1、1 第三篇第三篇 完整系統動力學完整系統動力學自由度f = 廣義坐標數k2 應用動力學普遍方程求解復雜的非自由質點系的動力學問題并不方便，由于約束的限制，各質點的坐標不獨立，解題時必須用約束方程消去多余的坐標變分。如果先考慮約束條件，采用廣義坐標表示動力學普遍方程，就可得到與廣義坐標數目相同的一組獨立的微分方程，從而使復雜的動力學問題變得簡單，這就是著名的拉格朗日方程。 拉格朗日第二類方程是研究動力學問題的又一有力手段，在解決非自由質點系的動力學問題時，顯得十分簡捷、規范。 第六章第六章 拉格朗日第二類方程拉格朗日第二類方程3 質點系：n個質點，受d個完整約束，取k=3n-d個廣義坐標：q1，

2、.， qk ，系統的位形： 6.1 動能的廣義坐標表達式動能的廣義坐標表達式) 1 . 1 . 6(),.,(21tqqqrrkii)2 . 1 . 6(1trqqrrijkjjii于是：系統的動能：)3 . 1 . 6(2121211iniiiiniirmrrmTtrqriji/,/其中 都是qj和t的函數4 trtrmqtrqrmqqrqqrminiiijinikjjiiijkjkjinii1111112121)()(21111trqqrtrqqrmikiijkjjiniitrtrmqtrqrmqqqrqrminiiijikjnijiijikjkjinii 11111121)()(215

3、顯然，aj、bj、c都是都是qj和t的函數令再令qrqrmaijiniij1trqrmbinijiij1trtrmciniii1qqaTjkjkj11221jkjjqbT11cT210則系統的動能： T=T2+ T1 + T0 (6.1.5)式中T2、T1 、T0 分別是廣義速度的二次、一次、零次齊次函數6 對定常系統， 中不顯含時間t，即 ，于是T1 =0，T0 =0ir0/tri)6 . 1 . 6(21112qqaTTjkjkj故定常系統的動能是廣義速度的二次齊次函數（二次型）。由于動能恒為正，故只有當系統所有質點全部靜止時動能才有零值，因而以廣義速度表示的動能的二次型是正定的。計算出系

4、統的動能后，含有 或 的項為T2，含有 的項為T1，不含 的項為T0 。見P143例6-22q qqjq q 6.2 拉格郎日第二類方程拉格郎日第二類方程一 拉格郎日第二類方程7 設有n個質點組成的質點系，受完整約束，具有f=k個自由度，可由k個廣義坐標q1， q2，. ， qk 確定其位置。在非定常約束下，質點系中任一質點Mi的矢徑 )( ), 2 , 1( ),(21anitqqqrrkiiMi的虛位移（固定時間t）：)( ), 2 , 1( .12211bniqqrqqrqqrqqrrkjjjikkiiii代入質點系動力學普遍方程：)1 .1 .3(0)(1niiiiiramF8 )1

5、.1 .3(0)(1niiiiiramF)(11dqQrFkjjjniiininiiiiiicramrF11)( 0得：第一項：主動力在質點系的虛位移的元功之和：第二項：慣性力在質點系的虛位移的元功之和：)()( 11111eqqramqqramramjjikjniiinijkjjiiiniiii 9)()(fqrdtdvmqrvmdtdqramjiiijiiijiii為簡化上式 , 需要用到以下兩個關系式：Mi點的速度： 由(a)式)(.12211gtrqqrtrqqrqqrqqrdtrdvikjjjiikkiiiii廣義速度式中：jq jiiijiiijiiiqrdtdvmqramqrvm

6、dtd)(10 trqriji,由（a）知 只是廣義坐標和時間的函數，與廣義速度無關，故將上式對 求偏導：jq )(hqvqrjiji將（g）對任一廣義坐標ql 求偏導：)()()(2121iqtrqqqrtrqqqrqqvlijkjjliiljjikjlli將（a）式先對ql求偏導再對t求導：11 )()()()(.)()()(21212211jqtrqqqrqrtqqrqdtdtqrtdtdqqrqdtdqqrqqrdtdlijkjljilijlikjjlililili比較（i）（j）得)(liliqrdtdqv12 將下標l換成j得：)()(kqvqrdtdjiji將（h）（k） 代入（

7、f）得：)()21()21()(22lqvmqvmdtdqvvmqvvmdtdqramjiijiijiiijiiijiii13 于是（e）式為)()21()21()21()21()(1212112211111mqqTqTdtdqqvmqvmdtdqqvmqvmdtdqqramramjjjkjjjiinijiinikjjjiijiikjnijjiikjniiiinii 14 將（d）（m）代入（c）得：),1,2,( kjQqTqTdtdjjj 0 )(11jjjkjjkjjqqTqTdtdqQ 0 )1jjjkjjqqTqTdtdQ（或：由于qj彼此獨立，所以：這就是拉格朗日第二類方程。(6.

8、2.5)適用范圍：完整系統。15 （2）有勢力、非有勢力都適用（4）不含約束力。),() 1 (tqqTTjjjFjqAQ) 3( 如果作用于質點系的力是有勢力，則： jjqVQ二、保守系統的拉格朗日方程二、保守系統的拉格朗日方程而拉氏方程為：16 jjjqVqTqTdtd由于V=V（q1，q2，.，qk），不含廣義速度，所以0,0jjqVdtdqV jjjjqVqVdtdqTqTdtd上式為： 0 )()(jjqVTqVTdtd或：令L=T-V拉格朗日函數拉格朗日函數),1,2,( 0 )(kjqLqLdtdjj保守系統的拉格朗日第二類方程。保守系統的拉格朗日第二類方程。17 應用拉氏方程解

9、題的步驟：應用拉氏方程解題的步驟： 1. 判定質點系的自由度判定質點系的自由度 f，選取適宜的廣義坐標。必須注意：，選取適宜的廣義坐標。必須注意：不能遺漏獨立的坐標，也不能有多余的（不獨立）坐標。不能遺漏獨立的坐標，也不能有多余的（不獨立）坐標。 2. 計算質點系的動能計算質點系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標的函數。，表示為廣義速度和廣義坐標的函數。 3. 計算廣義力計算廣義力 ，計算公式為：，計算公式為：),1,2,( kjQj)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或jjFjqAQ 若主動力為有勢力，須將勢能若主動力為有勢力，須將勢能V表示為廣義坐標的函數。表示為廣義坐標的函

10、數。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。個二階常微分方程。 5. 求出上述一組微分方程的積分。求出上述一組微分方程的積分。18 例例 圖示行星齒輪機構位于水平面內。均質桿OA：重P，可繞O點轉動；均質小齒輪：重Q，半徑 r ，沿半徑為R的固定大齒輪滾動。系統初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。已知桿OA受大小不變力偶M作用后，求桿OA的運動方程。 所受約束皆為完整、理想、定常的，取OA桿轉角 為廣義坐標。rrRrvrRvAAA)(解解：圖示機構只有一個自由度19 2222222222222)(92121 )(2121)(21)(3121 212

11、121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPJvgQJTAAAO0 ; )(9261; )(926122TrRgQPTdtdrRgQPTMAQMA 20由拉氏方程：g)(92(6 0 )(926122rRQPMM rRgQP 積分，得：2122)(92(3CtCgtrRQPM22)(92(3gtrRQPM故：代入初始條件，t =0 時， 得0 0 , 02100C C QTTdtd21例例圖示系統，物塊C質量為m1 ，均質輪A、B質量均為m2，半徑均為R，A作純滾動，求系統的運動微分方程。解：解：系統具有一自由度，保守系統。以物塊C的平衡位置為原點，取x為廣義坐標：22222121212121

12、BBAAAJvmJxmT2222222221)(2121)2(21)2(212121RxRmxmRxRmxm221)78(161xmm以平衡位置為重力勢能零點，彈簧原長處為彈性勢能零點，則22gxmxkVst12)2(21靜止平衡時彈簧的伸長stgmkst12靜止平衡時有：gxmxkxmmVTLst12221)2(21)78(161xmmxL)78(8121xmmxLdtd )78(8121kxgmxkxLst4121)2(1代入到拉氏方程 得：0 xLxLdtd02)78(21kxxmm 23 例例 與剛度為k 的彈簧相連的滑塊A，質量為m1,可在光滑水平面上滑動。滑塊A上又連一單擺，擺長l

13、 ， 擺錘質量為m2 ，試列出該系統的運動微分方程。解解：系統為保守二自由度系統。取x , 為廣義坐標，x 軸 原點位于彈簧自然長度位置， 逆時針轉向為正。cos2 )sin( )cos(222222l xlxllxvB24cos21)(21 )cos2(2121212122222212222212221l xmlmxmml xlxmxmvmxmTB以彈簧原長為彈性勢能零點，滑塊A所在平面為重力勢能零點，則：cos2122glmkxVkxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmVTL , cos)(cos21cos21)(21 22122222222125 sincos)(sinsin

14、, cossincos)(22222222222221 l xml xmlmLdtdglml xmLl xmlmLlmlmxmmxLdtdkxxLlmxmmxL , cos)(221由拉氏方程： 0)( 0)(LLdtdxLxLdtd并化簡得：0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 26 0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 系統的運動微分方程。系統的運動微分方程。0 0)(22221glxkxlmlmxmm 上式為系統在平衡位置(x =0, =0)附近微幅運動的微分方程。 若系統在平衡位置附近作微幅運動，此時 1o, cos 1,

15、 sin ，則27 6.3 拉格朗日方程的第一積分拉格朗日方程的第一積分 拉格朗日方程是關于廣義坐標的二階非線性微分方程組，要求它們的積分一般是很困難的。但是 對于保守系統，可以得到拉格朗日方程的某些統一形式的首次積分，從而使得保守系統動力學問題的求解過程進一步簡化。 保守系統拉格朗日方程的首次積分包括：能量積分、循環積分。 一、能量積分一、能量積分 設系統所受的主動力是有勢力，且拉格朗日函數L = T - V 中不顯含t ，即 ， 則),(jjqqLL28 )(dd1jjjkjjqqLqqLtL 0)(dd 1LqqLtjkjj或寫成)( 1常數hLqqLjkjj (6.3.8)由保守系統的

16、拉氏方程可知：)(dd jjqLtqLjkjjjjjjkjqqLtqqLqqLttL 11dd)(dddd 上式稱為廣義能量積分或雅可比積分。 稱為廣義能量。)(1LqqLjkjj29于是 L= L2 + L1+ L0 (6.3.9)廣義能量積分的意義：T=T2+ T1 + T0L=T-V=T2+ T1 + T0 -VV(q,t)中不含廣義速度，令L2=T2L1=T1L0=T0-V(6.3.10)L2 、 L1 、 L0分別是廣義速度的二次、一次、零次齊次函數。 由歐拉齊次函數定理：齊次函數對各變量的偏導數乘以對應的變量，相加起來，就等于這函數乘以它的次數。30(2L2 + L1)(L2 +

17、L1 + L0 )=h則由式(6.3.8)，得 這是廣義能量積分的另一種表達形式。1210111212LLqqLqqLqqLqqLjkjjjkjjjkjjjkjj或 (2T2 + T1)(T2 + T1 + T0V )=h即 T2T0 +V =h (6.3.11)對定常系統：對定常系統：(由式6.1.6)， T=T2，T0 =0，則得即 T +V =h (6.3.12)廣義能量積分退化為能量積分能量積分，即機械能守恒。31對完整保守系統且對完整保守系統且L 中不顯含中不顯含t 廣義能量積分。對非定常系統：對非定常系統：T2T0 +V =h (6.3.11)對定常系統：對定常系統：T +V =h

18、 (6.3.12)能量積分能量積分機械能守恒。結論：結論：T2T0 +V廣義能量32二、循環積分二、循環積分 如果保守系統的拉格朗日函數L中不顯含某一廣義坐標 qj , 則該坐標稱為保守系統的循環坐標或可遺坐標。 當qj( jk ) 為系統的循環坐標時，必有0jqL于是拉氏方程成為0)(dd jqLtCqLj 或：循環積分循環積分 (6.3.15)33 jjqLp 定義：廣義動量廣義動量0jqV因L = T - V，而V中不顯含 ，即jq 因此循環積分表示廣義動量守恒廣義動量守恒。注意，廣義動量表示動量或動量矩。 jjqTp 一個系統的能量積分只可能有一個；而循環積分可能不止一個，有幾個循環坐

19、標，便有幾個相應的循環積分。 能量積分和循環積分都是由保守系統拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。34 例如：自由質點，f=k=3。q1=x， q2=y，q3=z 。 （由理論力學知，質點在有心力作用下的軌跡為平面曲線）又例如：萬有引力場中的質點的運動： f=k=2。q1=r， q2=。mgzzyxmL)(21222x、y為循環坐標。1CxmxLpx2CymyLpy動量守恒35 解解：（1）研究對象：小環 f=k=1，q= q例例：半徑R的大圓環在水平面內以勻繞O轉動，質量為m的小環在其上無摩擦地滑動，求小環運動微分方程的第一積分。)()(21222rMmGrr

20、mL為循環坐標。CmrLp2動量矩守恒 （2）小環坐標：以上兩例均有能量積分。36 V=0（水平面） (4)計算L(3)小環的約束方程非定常約束（方程中顯含t）)cos(cos)cos(cosqqtRtRRRx)sin(sinqtRtRy222)()(RyyxxCC222)sin()cos(RtRytRx即：)(2122yxmT )cos1 ()cos1 (2122222qqqqmRmRmRT2T1T037 (5)L中不顯含t，有廣義能量積分（非定常約束）： T2T0 +V =h )cos1 ()cos1 (2122222qqqqmRmRmRVTL（常量）得：hmRmR)cos1 (212222qq38 例例 楔形體重P，斜面傾角，置于光滑水平面上。均質圓柱體重Q，半徑為 r ，在楔形體的斜面上只滾不滑。初始系統靜止，且圓柱體位于斜面最高點。試求：(1)系統的運動微分方程；(2)楔形體的加速度；(3)系統的首次積分。解：解：研究楔形體與圓柱體組成的系統。系統受