1、 第八章 第十一節第十一節機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 經濟學應用舉例經濟學應用舉例 一、交叉彈性一、交叉彈性 二、極值問題二、極值問題 三、最小二乘問題三、最小二乘問題 一、交叉彈性一、交叉彈性需求交叉彈性需求交叉彈性是需求交叉價格彈性的簡稱，是需求交叉價格彈性的簡稱，需求的交叉彈性是指某種其他物品的價格每變化需求的交叉彈性是指某種其他物品的價格每變化1%，會使該物品的需求量變化百分之幾。，會使該物品的需求量變化百分之幾。 例如例如, 某種商品的電視機營銷人員在開拓市場某種商品的電視機營銷人員在開拓市場時時, 除了關心本品牌電視機的價格取向外除了關心本品牌電視機的價格取向外,更關心更關

2、心其他品牌同類型電視機的價格情況其他品牌同類型電視機的價格情況,以決定自己的以決定自己的營銷策略營銷策略. 即該品牌電視機的銷售量即該品牌電視機的銷售量QA是它的是它的價格價格PA及其他電視機價格及其他電視機價格PB的函數的函數,AABQf P P通過分析其邊際通過分析其邊際AAQP及及ABQP可知道，可知道，AQ隨著隨著AP及及BP變化而變化的規律。變化而變化的規律。QA對對PA的彈性：的彈性：AAAAQPQPABABQPQP表示這種變化的靈敏度。表示這種變化的靈敏度。，QA對對PB的彈性：的彈性：QA對對PB的彈性，亦稱為的彈性，亦稱為QA對對PB的的交叉彈性交叉彈性。例例1 隨著養雞工業

3、化程度的提高，肉雞價格（用隨著養雞工業化程度的提高，肉雞價格（用PB表示）會不斷下降。現估計明年肉雞價格將下表示）會不斷下降。現估計明年肉雞價格將下降降 5%，且豬肉需求量（用，且豬肉需求量（用QA表示）對肉雞價格表示）對肉雞價格的交叉彈性的交叉彈性0.85，問明年豬肉的需求量將如何變化？，問明年豬肉的需求量將如何變化？解：解：由于雞肉與豬肉互為替代品，故肉雞價格的由于雞肉與豬肉互為替代品，故肉雞價格的下降將導致豬肉需求量的下降。下降將導致豬肉需求量的下降。依題意，豬肉需求量對肉雞價格的依題意，豬肉需求量對肉雞價格的交叉彈性交叉彈性為為0.85BP而肉雞價格將下降而肉雞價格將下降5%BBPP，

4、于是豬肉的需求量，于是豬肉的需求量將下降將下降4.25%BBPABPABQPQP例例2 某種數碼相機的銷售量某種數碼相機的銷售量QA ，除與它自身的價格，除與它自身的價格PA 有關外，還與彩色噴墨打印機的價格有關外，還與彩色噴墨打印機的價格 PB 有關，有關，具體為具體為225012010ABBAQPPP求求PA= 50，PB= 5 時，時，（1）QA 對對PA 的彈性；的彈性；（2）QA 對對PB 的交叉彈性。的交叉彈性。225012010ABBAQPPP銷售函數銷售函數，PA= 50，PB= 5解：解： （1）QA 對對PA 的彈性為的彈性為AAAAAAEQQPEPPQ22A2502501

5、2010ABBAPPPPP 225012025010AABBPPPP 當當PA= 50，PB= 5 時，時，2501120 5025050 502510AAEQEP 225012010ABBAQPPP銷售函數銷售函數，PA= 50，PB= 5（2）QA 對對PB 的交叉彈性為的交叉彈性為AABBBAEQQPEPPQ210225012010BBBBAPPPPP 當當PA= 50，PB= 5 時，時，520212055025ABEQEP 由以上兩例可知，不同交叉彈性的值，能反映由以上兩例可知，不同交叉彈性的值，能反映兩種商品的相關性，具體就是：兩種商品的相關性，具體就是：（3）當交叉彈性等于零時，

6、兩商品為相互獨立的）當交叉彈性等于零時，兩商品為相互獨立的 商品商品（1）當交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；）當交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；（2）當交叉彈性小于零時，兩商品互補品；）當交叉彈性小于零時，兩商品互補品；習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義 設函數設函數,zf x y在在, x y處偏導數存在，處偏導數存在，函數對函數對x的相對改變量的相對改變量,xf xx yf x yzzf x y與自變量與自變量x的相對改變量的相對改變量xx之比之比xzzxx稱為函數稱為函數,f x y對對x從從x到到xx兩點間的彈性。兩點間的彈性。習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束

7、當當0 x 時，時，的極限稱為的極限稱為xzzxx,f x y在在, x y處對處對x的彈性，記作的彈性，記作x或或EzEx，即，即0limxxxzEzz xzxExx zx 類似地，可定義類似地，可定義,fx y在在, x y處對處對y的彈性的彈性0limyyyzEzz yzyEyy zy 特別地，如果特別地，如果,zf x y中中 z 表示需求量，表示需求量，x 表示表示價格，價格，y 表示消費者收入，則表示消費者收入，則表示需求對價格的彈性。表示需求對價格的彈性。表示需求對收入的彈性。表示需求對收入的彈性。xEzz xExx zyEzzyEyy z二、極值問題二、極值問題例例3 經濟學中

8、有經濟學中有Cobb Douglas 生產函數模型生產函數模型1,aaf x yCx y其中其中x 表示勞動力的數量，表示勞動力的數量，y 表示資本數量，表示資本數量，C與與 a（0 a 1）是常數，由不同企業的具體情形決定，函數）是常數，由不同企業的具體情形決定，函數值表示生產量。值表示生產量。 現已知某生產商的現已知某生產商的Cobb Douglas 生產函數為生產函數為3144,100f x yx y其中每個勞動力與每單位資本的成本分別為其中每個勞動力與每單位資本的成本分別為150元及元及250元，該生產商的總預算是元，該生產商的總預算是50000元，問該如何分配元，問該如何分配這筆錢用

9、于雇傭勞動力及投入資本，以使生產量最高。這筆錢用于雇傭勞動力及投入資本，以使生產量最高。解：解：目標函數目標函數3144,100f x yx y由于生產商的總預算為由于生產商的總預算為50000，故約束條件為，故約束條件xy作拉格朗日函數作拉格朗日函數3144,10050000 150250L x yx yxy令令1144751500,xLxy3344252500yLx y與方程與方xy聯立解得聯立解得250,50 xy這是目標函數在定義域這是目標函數在定義域,0,0Dx y xy內唯一可能是極值的點。內唯一可能是極值的點。 由于問題本身可知

10、最高生產量一定存在。故該由于問題本身可知最高生產量一定存在。故該制造商雇傭制造商雇傭250個勞動力及投入個勞動力及投入50個單位資本時。個單位資本時。可獲得最大產量?？色@得最大產量。例例4 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為設某電視機廠生產一臺電視機的成本為C，每臺，每臺電視機的銷售價格為電視機的銷售價格為P，銷售量為，銷售量為Q。假設該廠的生。假設該廠的生產處于平衡狀態，即電視機的生產量等于銷售量。產處于平衡狀態，即電視機的生產量等于銷售量。根據市場預測，銷售量根據市場預測，銷售量Q與銷售價格與銷售價格P有下面的關系：有下面的關系：e0,0aPQMMa其中其中M為市場最大需求量，為市場最大需

11、求量，a是價格系數。同時生產是價格系數。同時生產部門根據對生產環節的分析，對每臺電視機的生產部門根據對生產環節的分析，對每臺電視機的生產成本成本C有如下測算：有如下測算：0ln0,1CCkQkQ其中其中C0是只生產一臺電視機時的成本，是只生產一臺電視機時的成本，k 是規模系數。是規模系數。如何確定電視機的售價，才能使該廠獲得最大利潤？如何確定電視機的售價，才能使該廠獲得最大利潤？解解: 設廠家獲得的利潤為設廠家獲得的利潤為u，每臺電視機的售價，每臺電視機的售價為為P，每臺生產成本為，每臺生產成本為C，銷售量為，銷售量為Q，則，則uPC Q于是問題轉化為求利潤函數于是問題轉化為求利潤函數uPC

12、Q在附加在附加條件條件eapQM和和0lnCCkQ下的極值問題。下的極值問題。作拉格朗日函數作拉格朗日函數0, ,elnaPL Q P CPC QQMCCkQ令令0, ,elnaPL Q P CPC QQMCCkQ0QLPCkQe0aPPLQaM0CLQ eapQM和和0lnCCkQ由由，得，得0lnCCkMaPeapQM和和0PL由由，得，得1a 0CL 知，知，Q由由，即，即1Q由由QLPCkQ01ln0PCkMaPka因此，因此，0*1ln1CkMkaPak因為由問題本身可知最優價格必定存在，所以這個因為由問題本身可知最優價格必定存在，所以這個*P就是電視機的最優價格。就是電視機的最優價

13、格。三、最小二乘法三、最小二乘法例例5 為了弄清某企業利潤和產值的函數關系，我們為了弄清某企業利潤和產值的函數關系，我們把該企業從把該企業從1992年到年到2001年間的利潤年間的利潤 y 和產值和產值 x 的的統計數據列表如下：統計數據列表如下：年份年份19921993199419951996產值產值 xi（萬元）（萬元）4.925.004.934.904.90利潤利潤 yi（萬元）（萬元）1.671.701.681.661.66年份年份19971998199920002001產值產值 xi（萬元）（萬元）4.954.984.995.025.02利潤利潤 yi（萬元）（萬元）1.681.69

14、1.701.701.71根據上面的統計數據建立根據上面的統計數據建立y 和和 x 之間的經驗公式。之間的經驗公式。yx. . .4.92.4.96.5.00.1.67解：解： 首先，要確定首先，要確定 yf x的類型的類型建立直角坐標系如圖，描出建立直角坐標系如圖，描出上述各對數據的對應點，從上述各對數據的對應點，從圖上可以看出，這些點的連線圖上可以看出，這些點的連線大致接近于一條直線。大致接近于一條直線。于是，我們就可以認為于是，我們就可以認為 yf x是線性函數，并設是線性函數，并設 f xaxb其中其中 a 和和 b 是待定常數。是待定常數。我們考慮選取常數我們考慮選取常數a 和和 b ，使得，使得1021iiiMyaxb達到最小。這種根據偏差的平方和為最小的條件達到最小。這種根據偏差的平方和為最小的條件來選擇常數來選擇常數a 和和 b 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法。令令 10120iiiiMyaxbxa 101210iiiMyaxbb整理后，得整理后，得1010102111,iiiiiiiax