1、Autumn 2013Instructor : Y. Huang Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUISTPartial Differential Equations第1頁/共106頁Ch4 分離變量法正交函數系與廣義Fourier級數施圖姆-劉維爾特征值問題齊次方程與齊次邊界條件的定解問題非齊次方程與齊次邊界條件的定解問題非齊次邊界條件的處理第2頁/共106頁第3章討論了無界或半無界問題，介紹了波動方程初值問題的求解方法。本章討論有界問題，介紹解決有界問題的有效方法分離變量法分離變量法。sin

2、sin()Akxt分離變量法來源于物理學中如下事實：它是求解數學物理定解問題的一種最普遍最基本的方法之一，適用于解一些常見區域(如有限區間、矩形域、圓域、長方體、球面、圓柱體等)上的混合問題和邊值問題。機械振動總可以分解為具有各種頻率和振幅的簡諧振動的疊加；而每個簡諧振動常具有 的駐波形式，即可表示成只含變量 x 的函數與只含變量 t 的函數的乘積變量分離。第3頁/共106頁成為問題的解。因此，分離變量法又稱為Fourier級數法，而在討論波動方程時也被稱為駐波法。求 和 的問題歸結為求解常微分方程的邊值問題(即特征值問題)，再利用初始條件確定各項中的任意常數 使 u(x,t)(比如傅里葉(F

3、ourier)級數形式) ( )nT t由此得到啟發，在解線性定解問題時可嘗試滿足齊次方程和齊次邊界條件的具有變量分離形式的解的疊加1( , )( )( ).nnnnu x tC Xx T t( )nXx,nC1sinsinnnnnnaNxtll第4頁/共106頁1. 正交函數系與廣義Fourier級數1.1 正交函數系三角函數系1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxnxnx具有正交性,即其中任何兩個不同函數的乘積在區間上的積分等于零., sincos0,1,2,kxnxdxk nsinsin0,kxnxdxkncoscos0,kxnxdxkncossin0

4、,1,2,nxdxnxdxn第5頁/共106頁Def 1. 設有一族定義在a,b上的函數若滿足則稱該函數系是a,b上的正交函數系正交函數系，簡稱正交系，常記為 或0,( )( ),0,1,0,bmnamnxx dxm nmn01( ), ( ),( ),nxxx0 ( )nnx .n例如,函數系1,cos,sin,cos,sin,xxn xn xllll為-l,l上的正交函數系。第6頁/共106頁一個函數 若積分 存在，則稱 平方可積平方可積，記為( ),x2( )baxdx( ) x2( , ).L a b數 稱為 在 中的范數范數。1222| ( )|( )baxxdx( ) x2( ,

5、)L a b一個正交函數系 若滿足 ，則稱 為標準正交系標準正交系。 ,n2|1, (0,1,2, )nn n例如,函數系1cossincossin,2xxnxnx為 上的標準正交系。, 第7頁/共106頁Def 2. 設 函數系 在a,b上滿足則稱該函數系在a,b上關于權函數關于權函數 正交正交。0,( )( ) ( ),0,1,0,bmnamnxxx dxm nmn( ) 0,x n( ) x一個函數 若積分 存在，則稱 關于權關于權函數平方函數平方 可積。可積。( ),x2( ) ( )baxx dx( ) x( ) 0 x1.2 廣義Fourier級數定理定理 1.設 f(x)是以 2

6、l 為周期的函數，如在-l,l上滿足(1)連續或只有有限個第一類間斷點；(2)至多有有限個極值點，第8頁/共106頁則在-l,l上 f(x)可以展成傅里葉級數01( )cossin,2nnnan xn xf xabll并且當 x 是 f(x)的連續(或間斷)點時，級數收斂 f(x)(或 )，其中()()2fxfx1( )cos,0,1,2,1( )sin,1,2,lnllnln xaf xdxnlln xbf xdxnll第9頁/共106頁特別地，當 f 是偶函數時，01( )cos,2nnan xf xal其中02( )cos,0,1,2,;lnn xaf xdxnll當 f 是奇函數時，1

7、( )sin,nnn xf xbl其中02( )sin,1,2,.lnn xbf xdxnll第10頁/共106頁定理定理 2.設 為定義在a,b上的一個關于權函數 平方可積的正交函數系，f(x)是a,b上的給定函數且 f (x)可表示成如下一致收斂的級數形式 n( ) x1( )( ),(4.1)nnnf xCx其中2( )( ) ( ),0,1,2,(4.2)( ) ( )bnanbnaf xxx dxCnxx dx按照(4.2)確定系數的方法得到的級數(4.1)，稱為 f (x) 按關于權函數 正交的函數系 展開的廣義傅里葉級數；由(4.2)確定的系數 成為廣義傅里葉系數。 ( ) x

8、nnC第11頁/共106頁類似，可定義雙變量正交函數系 將 f(x,y)按 展開成廣義傅里葉級數( , )mnx y( , )mnx y00( , )( , ),mnmnnmf x yCx y其中2( , )( , ).( , )mnRmnmnRf x yx y dxdyCx y dxdy第12頁/共106頁2 施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)問題2.1 二階線性齊次常微分方程的求解求解特征值問題時，常遇到二階線性齊次常微分方程的求解問題。對二階常系數線性齊次常微分方程的求解問題。0(4.3)ypyqy可利用特征根法特征根法求解。設(4.3)對應的特征方程 的兩個根為20rpr

9、 q 12, .r r根據 的不同情形，有下面的結論：12, r r第13頁/共106頁當 為相等實根時，12rrr12( ) () ;rxy xCCx e當 為共軛復根時，1,2ri 12( )(cossin).xy xeCx Cx對于二階變系數歐拉(Euler)方程2120,x ya xya y若令 可將其化為關于 t 的常系數方程,tx e2122(1)0.d ydyaa ydtdt再用特征根法求解，最后用 回代，得到關于 x 的解。lntx當 為相異實根時，12, r r1212( );rxr xy xCeCe第14頁/共106頁2.2 二階線性齊次偏微分方程問題的變量分離解通過變量代

10、換，二階線性常系數齊次偏微分方程及一維情形下的線性齊次邊界條件總可化為如下標準形式：()0,(4.4) (, )(, )0,xxyyxyxx aaubucudueuku yluy邊界點比如處其中a,b,c,d,e,k,l都是常數，且a,b不全為零，k,l不全為零。例如,當 a=-b 時為雙曲型，a=0 或 b=0 時為拋物型，a=b 時為橢圓型；當 l=0 時為Dirichlet邊界，k=0 時為Neumann邊界，k,l 時為Robin邊界。0第15頁/共106頁下面求解其變量分離形式的非零解 u(x,y)=X(x)Y(y).將 u 代入泛定方程，得( ) ( )( ) ( )( ) ( )

11、( ) ( )( ) ( ) 0,aX xY ybX xY ycX xY ydX xY yeX xY y即( )( )( )( ),( )( )aX xcX xbY ydY yeX xY y上式左端僅是 x 的函數，右端僅是 y 的函數。欲對所有變量 x,y 均相等，兩端必為常數，記作( )( )( )( ),( )( )aX xcX xbY ydY yeX xY y 第16頁/共106頁于是( )( )( ) 0( )( ) () ( ) 0aX xcX xX xbY ydY yeY y即化為了兩個常微分方程。將 u 代入邊界條件，有 ( )( ) ( ) 0,kX alX a Y y欲求非

12、零解 u(x,y)，應有 故需( ) 0,Y y ( )( ) 0.kX alX a因此，欲求解偏微分方程問題(),只需：先解常微分方程的邊值問題( )( )( ) 0( )( )0aX xcX xX xkX xlX x邊界點得到 及其對應的非零X(x);再將 代入( )( )() ( )0,bYydY yeY y結合其他定解條件求解非零Y(y)。第17頁/共106頁2.3 Sturm-Liouville問題(1) Sturm-Liouville方程方程在分離變量法中，常遇到下面含參數 的二階線性齊次常微分方程21232( )( ) ( )0, (4.5)d ydya xa xa xya x

13、bdxdx 其中 乘上適當的函數后,()可化為1( ) 0.a x ( )( )( )0, (4.6)ddyk xq x yx ya x bdxdx 事實上，將()式兩端同乘以函數 有( ),x21232( ) ( )( ) ( )( ) ( )0. (4.7)d ydyx a xx a xx a xydxdx第18頁/共106頁()式可寫成22( )( )( )( )0, (4.8)d ydyk xk xq xx ydxdx 比較兩式，可得12( ) ( )( ),( ) ( )( ).x a xk xx a xk x從而21211( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),( )a

14、 xx a xx a xx a xa x即1 210( )( )11( ),( )xxa tdta txea x其中 是a,b中任一點。進而0 x第19頁/共106頁11221100( )( )( )( )331( )( ), ( )( ) ( ).( )xxxxa ta tdtdta ta ta tk xeq xx a xea t方程()稱為施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)方程，簡記S-L方程，其中 為實函數。( ), ( ), ( )k x q xx( ), ( )q xx注1. 在分量變量法中遇到的常微分方程都是()(或()的特例。例如：當 時，()變為( ) 1, (

15、) 0, ( ) 1,0,k xq xxab l0, 0.yyx l 為保證解的存在性，假定 連續，而k(x)連續可微。 第20頁/共106頁20, 0,ddynxyxyx bdxdxx 即222()0, 0.x yxyxn yx b 當 時，()變為勒讓德(Legendre)方程2( ) 1, ( ) 0, ( ) 1,0,1k xx q xxab 2(1)0, 01,ddyxyxdxdx 即2(1)20, 01.x yxyyx 當 時，()變為n階貝塞爾(Bessel)方程。2( ), ( ), ( ),0nk xx q xxx ax第21頁/共106頁(2) 正則與正則與奇異奇異S-L方

16、程()常分為正則和奇異兩種類型。若在a,b上， 則稱()在(a,b)上是正則的；( ) 0, ( ) 0,k xx當區間是無窮或半無窮時，或者當 k(x)或 在有限區間a,b的一個或兩個端點處為零時，()稱為在(a,b)上是奇異的。( ) 0 x(3) S-L特征值問題根據 k(x)在端點 a,b 處的不同取值可給予S-L方程()相應的邊界條件。當 k(a),k(b)0 時，給予邊界條件例如勒讓德方程在（0,1）上是奇異的。第22頁/共106頁1212( )( ) 0,( )( ) 0,k y a y k y al y a y l y a其中 為實數,且 與 不同時為零, 與 不同時為零.12

17、12, , ,k k l l1k2k1l2l如果還有k(a)=k(b),則可給予周期性邊界條件( )( ), ( )( ).y ay b y ay b當 時,對端點 a 處給予自然邊界條件(有界性條件)| ( )|.y a ( ) 0, ( ) 0k bk a對于 的情況，或者k(a)=k(b)=0的情況，可類似地提邊界條件。( ) 0, ( ) 0k ak b第23頁/共106頁S-L方程()若帶上上述邊界條件之一，就得到一個二階線性常微分方程的兩點邊值問題，稱該問題為施圖姆-劉維爾問題，簡稱為S-L問題。 一定是它的解(平凡解)。現在要問：是否存在參數 的一些值，使得該問題有非零解？0y這

18、樣的一類問題稱為特征值問題(或固有值問題)，而使得S-L問題有非零解的參數 的值稱為此問題的特征值(或固有值)，相應的非零解 y(x)稱為是與特征值 相對應的特征函數(或固有函數)。第24頁/共106頁例1. 求解特征值問題( )( ) 0, 0(0). 0,(yyyyx llxx 解. 對 取值的三種情形加以討論。(1)當 時，方程的通解是20,012( ).xxy xCeCe由邊界條件得1212(0)0, ( )0,llyCCy lCeCe由此解得 120.CC從而 不符合非零解的要求。因此 不能小于零。( ) 0,y x (2)當 時，方程的通解是012( ).y xCx C第25頁/共

19、106頁由邊界條件得112(0)0, ( )0,yCy lCl C由此解得120,CC從而 同樣，它也不是所需要的解。( ) 0,y x (3)當 時，方程的通解是20,0 12( )cossin.y xCx Cx為求非零解，設 故20,C sin0.l從而,1,2, .nnln因此所求的特征值為 22,1,2, .nnnln 對應于 的特征函數為( )sin,1,2, .n xnnly xAnn其中 為任意非零常數。nA第26頁/共106頁注2. 本例中， 且120,n().nn例2. 求解特征值問題( )( ) 0, 0,(0)( ) 0.y xy xx lyy l解. 對 取值的三種情形

20、加以討論。(1)當 時，方程的通解滿足20,012( ).xxy xC eC e由邊界條件得1212(0) ()0, ( ) ()0,llyCCy lCeCe由此解得 從而 不符合非零解的要求。120.CC( ) 0,y x 第27頁/共106頁(2)當 時，方程的通解滿足01( ).y xC由邊界條件得 從而可得非零常數解( ) 0,y x00( )0.y xA(3)當 時，方程的通解滿足20,0 12( )sincos.y xCx Cx由邊界條件，得212(0)0,( )sincos0.yCy lCl Cl故 且 20C 1sin0.Cl為求非零解，設 故 從而10,C sin0.l,1,

21、2, .nnln因此，綜合情況(2)和(3)，所求的特征值為 22,0,1,2, .nnnln 第28頁/共106頁對應于 的特征函數為( )cos,0,1,2, .n xnnly xBnn其中 為任意非零常數。nB注3. 本例中， 且0120,n().nn例3. 求解特征值問題(0) 0, ( )( ) 0( )( ) 0, 0,.y xy xxyy lhyll 解. 易知,當 時,沒有非零解.0當 時，方程的通解為2,0 12( )cossin.y xCx Cx第29頁/共106頁由邊界條件得120,( cossin) 0.CCl hl為求非零解，設 故20,C cossin0.l hl記

22、 則上式為 其中, ltan,k1.hlk 此方程的根(取正根)是正切曲線 與直線 的交點的橫坐標，有無窮多個，依次設為1tany2yk120,n其中1122()() ,1,2, .nnnn 對應于 的特征函數為( )sin,1,2, .nnny xCxnln其中 為任意非零常數。nC第30頁/共106頁例4. 求解特征值問題( )( )() 0, 02 , 02 .2 )yy xxxxxyy x 解. 易知,當 時,沒有非零解.當 時，有非零常數解000( )0.y xA0當 時，方程的通解為12( )cossin.y xCx Cx2,0 由周期性邊界條件，得(1,2, )n n所以特征值和

23、對應的特征函數為2,( )cossin,0,1,2, .nnnnn y xAnx Bnx n第31頁/共106頁例5. 求解特征值問題2220, 1,(1)( ) 0.d ydyxxyx edxdxyy e 解. 這是歐拉方程，可通過變換 來求解。tx e220.d yydt易知,當 時,沒有非零解.0當 時，方程的通解為12( )cos( ln )sin( ln ).y xCxCx2,0 原方程可化為: 由 y(1)=0，得 由 y(e)=0，得10.C 2sin0.C所以特征值和對應的特征函數為2() ,( )sin(ln ),1,2, .nnnny xAnxx n第32頁/共106頁關于

24、特征值和特征函數，有一些基本結論，是分離變量法能夠進行的關鍵所在。定理2. 設S-L問題中對應于不同特征值 和 的特征函數 和 在a,b上連續可微，則 和 在a,b上關于權函數 正交。mn( )my x( )ny x( )my x( )ny x( ) x推論1. 區間a,b上的周期S-L問題，屬于不同特征值的特征函數在a,b上關于權函數 正交。( ) x定理3. 若 則S-L問題的所有特征值都是實的，且相應的特征函數也可以取成實的。( ) 0,( , ),xxab定理4. 正則但非周期的S-L問題的所有特征值都是單重的，即在允許相差一個常數因子的定義下是唯一的。第33頁/共106頁定理5. 若

25、 則S-L問題存在可列無窮多個實的特征值，按大小排列為其中 且 對應的特征函數在區間(a,b)內恰好有n個零點。特征函數的全體 構成一個完備正交系。( ) 0,( , ),xxab012,n(),nn(0,1,2, )nn( )ny x ( )ny x進一步地，若函數 f (x) 在a,b上滿足狄利克雷條件和S-L問題的邊界條件，則 f (x) 可按特征函數系 展開為廣義傅里葉級數，即 ( )ny x0( )( ), (4.9)n nnf xC y x第34頁/共106頁其中2( ) ( ) ( ), 0,1,2, . (4.10)( ) ( )bnanbnaf x y xxdxCny xxd

26、x且等式在積分平均 2lim ( )( )( )0bnanf xS xxdx0( )( ),0,1,2, .nnkkkS xC y x n如果 f (x) 在a,b上有一階連續導數和分段連續的二階導數，則級數(4.9)a,b上絕對且一致收斂于 f (x)。的意義下成立，其中 第35頁/共106頁3 齊次方程和齊次邊界條件的定解問題3.1 波動方程的初邊值問題(1) 兩端固定的有界弦的自由振動例1. 考慮長為 l 的兩端固定的弦，由初始位移問題 和初始速度 引起的振動問題2, 0,0,( ,0)( ), ( ,0)( ),0, (1)(0, )(, ) 0,0.ttxxtuaux l tu xx

27、 u xxx lutu l tt ( ) x( ) x分析：此定解問題中泛定方程和邊界條件都是線性和齊次的，可利用疊加原理。第36頁/共106頁思路：分離變量法求解：通過初值問題找出奇次方程的無窮多個變量分離形式的特解，并做這些特解的疊加(線性組合)，再利用初始條件確定疊加系數，得到原問題的解。解：Step 1. 分離變量設定解問題有非零的變量分離形式的解 u(x,t)=X(x)T(t)，將其代入泛定方程得2( ) ( )( ) ( )X xT ta X xT t或2( )( ).( )( )T tX xaT tX x上式左端僅是 t 的函數，右端僅是 x 的函數，要使等號對所有0 x0成立，

28、兩端必為常數，記作2( )( ).( )( )T tX xaT tX x第37頁/共106頁于是2( )( ) 0,0,T taT tt( )( ) 0,0.X xX xx l 因T(t)不恒為零，利用邊界條件(0, )(0) ( ) 0, (, )( ) ( ) 0,utXT tu l tX l T t可得(0)( ) 0.XX lStep 2. 解特征值問題求解特征值問題( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx llxx 由前節可知，該問題的特征值和對應的特征函數為20,( )sin,1,2, .nnnnn xX xCnll第38頁/共106頁Step 3. 求解其它常微分方程，得

29、特解( , )nu x t對于每一個 代入與 T 相關的另一個常微分方程中：,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn其通解為( )cossinnnnnnT tAat Batcossin,1,2,nnn atn atABnll其中 都是任意常數。,nnA B于是得到滿足定解問題中的泛定方程和邊界條件的變量分離特解( , )( ) ( )nnnu x tX xT tsincossinnnnn xn atn atCABlllcossinsin,1,2,nnn atn atn xabnlll第39頁/共106頁其中 為任意常數。,nnnnnnaAC bBC這表明特解有無窮多個，但一般來說，

30、其中的任意一個并不一定能滿足定解問題中的初始條件。因為當t =0時，0( ,0)sin,sinnnnntun xn an xu xabltll當固定函數，而初值 和 是任意函數。因此這些特解中的任意一個，一般還不是問題的解。( ) x( ) xStep 4. 特解 的疊加( , )nu x t由于泛定方程和邊界條件都是線性齊次的，可利用疊加原理將諸 疊加起來，得到的函數項級數( , )nu x t第40頁/共106頁11( , )( , )cossinsin(2)nnnnnn atn atn xu x tu x tablll亦滿足泛定方程和邊界條件，只要該級數收斂且對 x,t 均二次逐項可微。

31、Step 5. 系數 的確定,nna b由初始條件得11( )( ,0)sin( )( ,0)sinnntnnn xxu xaln an xxu xbll這表明 分別是函數 在0,l上關于特征函數系 展開的系數(本例恰好是Fourier正弦級數的系數)。,nnn aa bl( ), ( )xxsinn xl第41頁/共106頁用 分別乘以上兩式，再對x在0,l上積分，并利用 在0,l上的正交性sinn xlsinn xl020,sinsin,lln kn xk xdxn kll可得002( )sin,1,2, . (3)2( )sin,lnlnn xaxdxllnn xbxdxn al這樣，該

32、定解問題的解形式上由級數(2)給出，其系數 由上式(3)所確定。,nna b第42頁/共106頁Step 6. 解的存在唯一性以上由分離變量法和疊加原理得到的定解問題(1)的級數解(2)僅是一個形式解，因用(2)中級數表示的u(x,t)要有意義，必須(2)中的級數收斂且關于 x,t 均二次可微。如果對初值函數 和 加上適當的光滑性條件，可以證明這個形式的解的確是一個古典解：( ) x( ) x定理2.(古典解存在定理)若函數且滿足相容性條件： 則定解問題(1)存在古典解，且可由級數(2)給出，其中系數由(3)確定。32( )0, , ( )0, xClxCl(0)( )(0)( )(0)( )

33、 0,lll第43頁/共106頁定理3.(唯一性定理)若u(x,t)是問題(1)的古典解，則它是唯一的。注1. 下面用分離變量法求解各種定解問題時，除非特別說明，一般是求形式解，不再列出古典解存在的有關條件。例2. 求定解問題2, 0,0,( ,0) sin, ( ,0) 0,0,(0, )(, ) 0,0.ttxxtua ux l txu xu xx llutu l tt 解：這個問題的級數解形式已由(2)給出1( , )cossinsin,nnnn atn atn xu x tablll第44頁/共106頁01,1,2sinsin0.0,1,lnnnxn xadxbnlll所以 與上一章行

34、波法得到的結果一致。( , ) cossin,atxu xtll(2) 兩端自由的有界桿的自由縱振動例3. 考慮長為l 的兩端自由的均勻細桿，由初始位移 和初始速度 引起的自由縱振動問題2, 0,0,( ,0)( ), ( ,0)( ),0,(0, )(, ) 0,0.ttxxtxxuaux l tu xx u xxx lutu l tt 解：與例1不同的是，這里的邊界條件是第二類的。( ) x( ) x第45頁/共106頁令u(x,t)=X(x)T(t)，代入泛定方程得2( )( ).( )( )T tX xaT tX x上式左端僅是t的函數，右端僅是 x 的函數，要使等號對所有0 x0成立

35、，兩端必為常數，記作2( )( ).( )( )T tX xaT tX x于是2( )( ) 0,0,T taT tt( )( ) 0,0.X xX xx l 結合邊界條件,得特征值問題( )( ) 0, 0,(0)( ) 0.X xX xx lXX l第46頁/共106頁其特征值和對應的特征函數為20,( )cos,0,1,2, .nnnnn xX xAnll對于每一個 求解,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn其通解為00, 0,( )cossin,1,2,nnnCDtnT tn atn atCDnll( ):nT T t其中 都是任意常數。,(0,1,2, )nnC D n

36、因此得到滿足定解問題中的泛定方程和邊界條件的變量分離形式的特解第47頁/共106頁( , )( ) ( )nnnu x tX xT t000() , 0,cossincos,1,2,nnnCDt Ann atn atn xCDAnlll利用疊加原理，設所求的形式解為001( , )cossincosnnnn atn atn xu x tabtablll其中系數由初始條件確定，即0101( )( ,0)cos( )( ,0)cosnntnnn xxu xaaln an xxu xbbll第48頁/共106頁從而得00000012( ) ,( )cos,1,2, .12( ) ,( )cos,ll

37、nllnn xaxdxaxdxlllnn xbxdxbxdxln al(3) 邊界固定的矩形膜的自由振動*例4. 考慮長為a,寬為b的邊界固定的的矩形膜，由初始位移 和初始速度 引起的自由縱振動問題2(), 0,0,0,( , ,0)( , ), ( , ,0)( , ),0,0,(0, , )( , , ) 0, 0,0,( ,0, )( , , ) 0, 0,0.ttxxyytuc uux ay btu x yx y u x yx yx ay buy tu a y ty btu xtu x btx at ( , )x y( , )x y第49頁/共106頁解：使用兩次分離變量法。令u(x,

38、y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得2( ),( )( , )T tUcT tU x y其中 為分離常數， 于是,xxyyU UU 2( )( ) 0,0, (4)T tcT tt( , ) 0,0,0. (5)UU x yx ay b 在設U(x,y)=X(x)Y(y),代入(5),得(0, , )(0) ( ) ( ) 0, ( , , )( ) ( ) ( ) 0,uy tXY yT tu a y tX aY yT t結合邊界條件,( )( ).( )( )X xY yX xY y 第50頁/共106頁( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 得特征值問題其

39、特征值和對應的特征函數為20,( )sin,1,2, .mmmmm xX xAmaa類似地，得特征值問題( )( ) 0, 0(0). 0,(YYYYy bbyy 其特征值和對應的特征函數為20,( )sin,1,2, .nnnnn yY yBnbb第51頁/共106頁從而，得到滿足(5)及齊次邊界條件的解( , )( ) ( )sinsin.mnmnmnm xn yUx yX xY yA Bab以 代入(4)(記 )，求解,mn mnmn( ):mnT Tt222222( )( ) 0, ,1,2,mnmnmnT tcT tmnab其通解為22222222( )cossin,mnmnmnmn

40、mnTtCctDctabab其中 都是任意常數。,( ,0,1,2, )mnmnCD mn因此( , , )( ) ( )( )mnmnmnux y tX xY yT t第52頁/共106頁22222222sinsincossinmnmnmnm xn ymnmnA BCctDctababab滿足初值問題的泛定方程和邊界條件。利用疊加原理，設所求的形式解為2222222211( , , )cossinsinsin,mnmnnmmnmnm xn yu x y tactbctababab其中系數由初始條件確定，即11222211( , )( , ,0)sinsin,( , )( , ,0)sinsi

41、n,mnnmtmnnmm xn yx yu x yaabmnm xn yx yu x ybcabab第53頁/共106頁從而得002200224( , )sinsin,4( , )sinsin,abmnabmnm xn yax ydxdyababm xn ybx ydxdyabmnabcab (4) 邊界固定的立方體中波的傳播問題*例5. 考慮三維波動問題2(), 0,0,0,0,( , , ,0)( , , ), ( , , ,0)( , , ),0,0,0,(0, , , )( , , , ) 0, 0,0,0,( ,0, , )( , , , ) 0, 0,0,0,( , ,0, )(

42、, , ,ttxxyyzztuc uuux ay bz d tu x y zx y z u x y zx y zx ay bz duy z tu a y z ty bz d tu xz tu x b z tx az d tu x ytu x y d ) 0, 0,0,0.tx ay bt 第54頁/共106頁解. 類似地，可求得形式解111( , , , )cossinsinsinsin,lmnlmnlmnl xm yn zu x y z tact bctabd其中 系數0000008( , , )sinsinsin,8( , , )sinsinsin.abdlmnabdlmnl xm yn

43、zax y zdxdydzabdabdl xm yn zbx y zdxdydzabdabd 2222222,lmnabd第55頁/共106頁3.2 熱傳導方程的初邊值問題(1) 一維情形例6. 考慮長為l 的均勻細桿的熱傳導問題2, 0,0,( ,0)( ),0,(6)(0, ) 0, (, )(, ) 0,0.txxxuaux l tu xxx lutu l thu l tt 解. 這是一個熱傳導方程的第三初邊值問題。設u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程，得2( )( ).( )( )T tX xaT tX x第56頁/共106頁于是2( )( ) 0,0, (7)T taT t

44、t( )( ) 0,0.X xX xx l 結合邊界條件,得特征值問題(0)( )( )( ) 00, 0,.XX lhX lX xX xx l其特征值和對應的特征函數為20,( )sin,1,2, .nnnnnX xBx nll其中 是方程 的第n個正根。ntanhl由定理可知，特征函數系 是正交的。sinnxl對于每一個 求解,n 2( )( ) 0,1,2,nT taT tn( ):nT T t第57頁/共106頁其通解為2( ),1,2,na tnnT tAen因此 滿足(6)中的泛定方程和邊界條件。2( , )( ) ( )sin,1,2,na tnnnnnnu x tX xT tA

45、Bex nl利用疊加原理，設所求的形式解為211( , )( , )sin,na tnnnnnu x tu x tCexl其中系數由初始條件確定，即1( )( ,0)sin,nnnxu xCxl用 乘以上式兩端并利用正交性，得sinnxl020( )sin.sinlnnlnxxdxlCxdxl第58頁/共106頁(2) 二維情形例7.考慮長為a,寬為b,邊界恒為零度的矩形板中的熱傳導問題2(), 0,0,0,( , ,0)( , ),0,0,(0, , ) 0, ( , , ) 0, 0,0( ,0, ) 0, ( , , ) 0, 0,0.txxyyuc uux ay btu x yx yx

46、 ay buy tu a y ty btu xtu x btx at 解. 設u(x,y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得2( ).( )( , )T tUcT tU x y于是2( )( )0,0, (8)T tc T tt( , ) 0,0,0. (9)UU x yx ay b 第59頁/共106頁同例4的求解，得到滿足(9)及齊次邊界條件的解( , )( ) ( )sinsin, ,1,2,mnmnm nm xn yUx yX xY yA Bmnab及其所對應的22222,1,2, .mnmnmnab以 代入(8),得其通解為2( ),1,2, .mnc tmnmnTtC e

47、mn因此2( , , )( ) ( )( )sinsinmnc tmnmnmnmnmnm xn yux y tX xY yT tA BC eabmn滿足泛定方程和邊界條件(m,n=1,2,).第60頁/共106頁利用疊加原理，設所求的形式解為11( , , )( , , )mnnmu x y tux y t其中系數由初始條件確定，即11( , )( , ,0)sinsin,mnnmm xn yx yu x yaab22222211sinsin,mnc tabmnmnm xn ya eab從而得004( , )sinsin.abmnm xn yax ydxdyabab 第61頁/共106頁例8.

48、考慮定解問題2(), 0,0,0,( , ,0)( , ),0,0,(0, , ) 0, ( , , ) 0, 0,0( ,0, ) 0, ( , , ) 0, 0,0.txxyyxxuc uux ay btu x yx yx ay buy tu a y ty btu xtu x btx at 解. 類似于例3和例7的求解，可得形式解其中22222201( , , )cossin,mnc tabmnmnm xn yu x y ta eab00002( , )sin,0,1,2,4( , )cossin, ,1,2,abmnabn yx ydxdymnabbam xn yx ydxdy mnab

49、ab 第62頁/共106頁例9. 考慮定解問題2(), 0,0,0,0,( , , ,0)( , , ), ( , , ,0)( , , ),0,0,0,(0, , , )( , , , ) 0, 0,0,0,( ,0, , )( , , , ) 0, 0,0,0,( , ,0, )( , , ,txxyyzztuc uuux ay bz d tu x y zx y z u x y zx y zx ay bz duy z tu a y z ty bz d tu xz tu x b z tx az d tu x ytu x y d t ) 0, 0,0,0.x ay bt (3) 三維情形*解.

50、 類似于例5和例7的求解，可得形式解2222222111( , , , )sinsinsin,lmnctabdlmnlmnl xm yn zu x y z ta eabd0008( , , )sinsinsin.abdlmnl xm yn zax y zdxdydzabdabd 其中第63頁/共106頁3.3 Laplace方程邊值問題(1) 矩形域的Dirichlet問題*例1. 考慮長為a,寬為b的矩形平板上的溫度分布的平衡狀態問題0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyu uux ay bu xf x u x bg xx auyu

51、a yy b 解. 設u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得( )( ).( )( )X xY xX xY x其中f(x)是已知的連續函數且滿足相容性條件f(0)=f(a)=0.第64頁/共106頁于是( )( ) 0,0,X xX xx a ( )( ) 0,0.Y yY yy b 結合邊界條件u(0,y)=X(0)Y(y)=0及u(a,y)=X(a)Y(y)=0,得特征值問題( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 其特征值和對應的特征函數為2,( )sin,1,2, .nnnnn xX xCnaa方程 的通解為( )( ) 0nY yY y( ),1,2,n

52、yn yaannnY yAeBen第65頁/共106頁因此( , )( ) ( )sin,1,2,n yn yaannnnnnn xu x yX xY yAeBeCna滿足泛定方程和邊界條件.利用疊加原理，設所求的形式解為其中系數由初始條件確定，即11( )( ,0)()sin,( )( , )()sin,nnnn bn baannnn xf xu xaban xg xu x baebea1( , )sin,n yn yaannnn xu x yaebea第66頁/共106頁所以,.n bn baannnnnnn bn bn bn baaaagf ef egabeeee002( )sin:,2

53、( )sin:,annnn bn baaannnn xabf xdxfaan xaebeg xdxgaa解得從而()()1( , )sin,n b yny bn yn yaaaannn bn bnaaeefeegn xu x yaee第67頁/共106頁001()2( )sin( )sinsin.ssaann b yn yshshn xn xn xaaf xdxg xdxn bn baaaahhaa注1. 對于矩形域的一般Dirichlet問題0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( ), ( , )( ),0,xxyyu uux ay bu xf x u x bg

54、 xx auyh x u a yk xy b 可利用疊加原理，將其分解為兩個類似于例1的定解問題(即每個定解問題僅有一個非齊次邊界條件)分別用類似于例1的方法再將兩個解疊加起來即可得原定解問題的解。第68頁/共106頁(2) 矩形域的Neumann問題例2. 考慮長為a,寬為b的矩形平板的Neumenn問題0, 0,0,( ,0)( ),( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyyyxxu uux ay bu xf x u x bg xx auyu a yy b 解. 設u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得其中f(x),g(x)是已知的連續函數且滿足相容性條件0

55、 ( )( )0.af xg x dx( )( ) 0,0,X xX xx a ( )( ) 0,0.Y yY yy b 第69頁/共106頁結合邊界條件得特征值問題( )( ) 0, 0(0). 0,(XXXXx aaxx 其特征值和對應的特征函數為2,( )cos,0,1,2, .nnnnn xX xCnaa方程 的通解為( )( ) 0nY yY y00, 0,( ),1,2, .n yn ynaannAB ynY yAeBen因此000(), 0,( , )( ) ( )cos,1,2,n yn ynnnaannnC AB ynu x yX xY yn xAeBeCna 滿足泛定方程和

56、邊界條件。第70頁/共106頁利用疊加原理，設所求的形式解為其中系數由初始條件確定，即0101( )( ,0)()cos,( )( , )()cos,ynnnn bn baaynnnnn xf xu xbabaann xg xu x bbaebeaa001( , )cos,n yn yaannnn xu x yab yaebea所以00001( ) ,1( ) ,aabf x dxabg x dxa002()( )cos,2( )cos,annn bn baaannnn xabf xdxaaann xaebeg xdxaaa第71頁/共106頁解得由此可得 即Neumann問題的解存在的必要條

57、件(相容性條件)成立。0 ( )( )0,af xg x dx002( )cos:,2( )cos:,annnn bn baaannnn xabf xdxfnan xaebeg xdxgna由,.n bn baannnnnnn bn bn bn baaaagf ef egabeeee從而第72頁/共106頁00001( )()2( )cos( )coscos,ssaaanyaf x dxan yn b ychchn xn xn xaag xdxf xdxn bn baaan hn haa0011( , )( ) cos,an yn bn yn baaaannnnn bn bnaau x yaf

58、 x dx yaegf eegf en xaee其中 為任意常數(即定解問題的解相差一個常數)。0a第73頁/共106頁注2. 一般地，Laplace方程的Neumann內問題0,.uinuf onn 有解的必要條件是0.f ds事實上，由Gauss公式，有0.uudxdsf dsn注3. 類似地，可求解問題0, 0,0,( ,0) 0,( , ) 0,0,(0, )( ), ( , )( ),0,xxyyyyxxu uux ay bu xu x bx auyh x u a yk xy b 其中h(x),k(x)是已知的連續函數且滿足相容性條件0 ( )( )0.ah xk x dx第74頁/

59、共106頁(3) 矩形域的Dirichlet-Neumann混合問題例3. 求解Dirichlet-Neumenn混合邊值問題0, 0,0,( ,0)( ), ( , )( ),0,(0, )( , ) 0, 0,xxyyxxu uux ay bu xf x u x bg xx auyu a yy b 解. 求解過程的前面部分同例2，可設形式解為其中f(x),g(x)是已知的連續函數。001( , )cos,n yn yaannnn xu x yab yaebea其中系數由初始條件確定，即第75頁/共106頁01001( )( ,0)()cos,( )( , )()cos.nnnn bn ba

60、annnn xf xu xaaban xg xu x babbaebea所以00000001( ) ,1( ) ,2( )cos:,2( )cos:.aaannnn bn baaannnaf xdxaabbg xdxan xabf xdxfaan xaebeg xdxgaa第76頁/共106頁解得 000011( ) , ( )( ) ,.aan bn baannnnnnn bn bn bn baaaaaf xdxbg xf x dxaabgf ef egabeeee從而0011( , )( ) ( )( ) cosaan yn bn yn baaaannnnn bn bnaayu x yf