1、2022年7月5日振動力學22022年7月5日中國力學學會學術大會200522022年7月5日22022年7月5日振動力學3單自由度系統的振動單自由度系統的振動2022年7月5日振動力學42022年7月5日振動力學4 2.1 2.1 運動方程的建立運動方程的建立彈簧彈簧- -質量系統：質量系統：將結構簡化為將結構簡化為“無質量無質量”的彈簧和的彈簧和“無無 彈性彈性 ”的質量塊所組成的系統的質量塊所組成的系統單度系統（單自由度系統）：單度系統（單自由度系統）：系統的位置可以用一個獨系統的位置可以用一個獨 立坐標描述的系統。立坐標描述的系統。單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動振動力學5單自

2、由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-1 2-1 彈簧質量系統彈簧質量系統解：這是最簡單的單自由度系統。圖解：這是最簡單的單自由度系統。圖2-12-1中，我們考察彈簧質量系統沿鉛垂中，我們考察彈簧質量系統沿鉛垂方向的自由振動。彈簧剛度為方向的自由振動。彈簧剛度為k k，其質量忽略不計，其質量忽略不計,x,x1 1方向以向下為正，由牛方向以向下為正，由牛頓第二定律，系統的運動方程為頓第二定律，系統的運動方程為若設偏離靜平衡位置的位移為若設偏離靜平衡位置的位移為 x x , ,則因則因，故上式變為故上式變為 因此，當像重力一類的不變力作用時，可只考慮偏離系統靜平衡位置的位移，因此，當像重力一類的

3、不變力作用時，可只考慮偏離系統靜平衡位置的位移，那么運動方程中不會再出現重力這類常力，使方程形式簡潔。那么運動方程中不會再出現重力這類常力，使方程形式簡潔。現約定，無特現約定，無特別指明，一律以系統穩定的靜平衡位置作為運動（或廣義）坐標的原點。別指明，一律以系統穩定的靜平衡位置作為運動（或廣義）坐標的原點。1/xxlmg k 0m xk x11()m xkxlm g圖圖 2-12-1振動力學6單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-2 2-2 扭擺的振動扭擺的振動解：如圖解：如圖2-22-2所示，相對于固定軸所示，相對于固定軸x x，建立系統的轉動運動方程。僅有兩力矩作，建立系統的轉動運動

4、方程。僅有兩力矩作用在圓盤上，即用在圓盤上，即 慣性力矩慣性力矩 恢復力矩恢復力矩 由動靜法原理得由動靜法原理得 其中，其中， 為軸的扭轉剛度為軸的扭轉剛度 , ,故故JpGIl0pGIJlpGIltk0tkJ圖圖 2-22-2振動力學7單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-3 2-3 帶重物帶重物m m的簡支梁的橫向振動的簡支梁的橫向振動解：梁的質量與解：梁的質量與m m相比可略去。彈簧常數相比可略去。彈簧常數k k取決于質量取決于質量m m在梁上的位置。對圖在梁上的位置。對圖2-2-3 3（a a）簡支梁，由材料力學得）簡支梁，由材料力學得 從而從而 因矩形橫截面慣性矩因矩形橫截面慣

5、性矩 ，所以，所以 由圖由圖2-32-3（c c）當量系統，慣性力與彈性恢復力相平衡，所以有）當量系統，慣性力與彈性恢復力相平衡，所以有 或或 如果梁的兩端不是簡支，那么如果梁的兩端不是簡支，那么 應改變為不同數值。應改變為不同數值。22123m g llE I l22123m gE Ilkl l312bhI 322124E b h lkl l0m yk y3221204E b hlyym ll圖圖 2-32-3振動力學8單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-4 2-4 較復雜系統的振動較復雜系統的振動 解：我們可以選擇任意坐標解：我們可以選擇任意坐標x x1 1,x,x2 2, , 作

6、為變量。它們互相關聯且只有一個獨立，現取作為變量。它們互相關聯且只有一個獨立，現取繞固定軸繞固定軸O O的轉角的轉角 為獨立坐標，則等效轉動慣量為獨立坐標，則等效轉動慣量 其中，其中，r r是是m m3 3的慣性半徑。系統的等效角剛度的慣性半徑。系統的等效角剛度 則則 或或 其中其中 可以取可以取x x1 1為獨立坐標，于是為獨立坐標，于是 令令222123cJm am bm r222123ekk ak bk c2221232221230k ak bk cm am bm r0A222123222123k ak bk cAm am bm r221123221123()()()()()()eebr

7、mmmmaabckkkkaa221231221123()()()()()()eebckkkkaaBbrmmmmaa圖圖 2-42-4振動力學9單自由度系統的振動單自由度系統的振動 經推導可得系統運動方程經推導可得系統運動方程 同理以同理以x x2 2為獨立坐標，可得為獨立坐標，可得 其中其中 不難驗證不難驗證 A=B=CA=B=C 可見，可見，對結構較復雜的單自由度系統，不管我們選擇哪一個坐標變對結構較復雜的單自由度系統，不管我們選擇哪一個坐標變量作為獨立坐標，其運動方程形式不變。這說明系統固有振動規律與坐標量作為獨立坐標，其運動方程形式不變。這說明系統固有振動規律與坐標選擇無關。選擇無關。1

8、10 xB x220 xC x2212322123()()()()bckkkaaCbrmmmaa2022年7月5日振動力學10單自由度系統的振動單自由度系統的振動2022年7月5日振動力學10單自由度系統的振動單自由度系統的振動振動力學11單自由度系統的振動單自由度系統的振動2.2 2.2 等效質量、等效剛度、等效阻尼等效質量、等效剛度、等效阻尼1.1.等效質量等效質量( (動能等效原則）動能等效原則） 把有多個集中質量或分部質量系統簡化為具有一個把有多個集中質量或分部質量系統簡化為具有一個等效質量等效質量單自由單自由度系統。度系統。求等效質量的方法：求等效質量的方法：例例2-5 2-5 如圖

9、如圖2-52-5彈簧質量系統若需要考慮彈簧質量，則其等效質量為多彈簧質量系統若需要考慮彈簧質量，則其等效質量為多少？設彈簧原長為少？設彈簧原長為l l，單位長度的質量為，單位長度的質量為 。解：彈簧的質量為勻布，它要參與系統振動，可以將其簡化，即把它集解：彈簧的質量為勻布，它要參與系統振動，可以將其簡化，即把它集中到質量塊上，如圖中到質量塊上，如圖2-52-5（b b）所示。現按）所示。現按動能等效的原則動能等效的原則來獲得等來獲得等效質量，如圖（效質量，如圖（d d）所示，取微段）所示，取微段dsds，其質量，其質量在在dsds段處的彈簧位移為段處的彈簧位移為 ，速度為，速度為 ，微段的動能

10、為，微段的動能為圖圖 2-52-5dsdmsxlsxl221()22sdTdm vdsxl振動力學12單自由度系統的振動單自由度系統的振動 則彈簧的動能為則彈簧的動能為 令令 則則 故故 即彈簧的等效質量是按即彈簧的等效質量是按1/31/3的彈簧質量附加到原質量塊上。的彈簧質量附加到原質量塊上。 例例2-6 2-6 如圖如圖2-62-6，已知，已知l l、m m、k k。求該系統的等效質量。求該系統的等效質量。 解：依據動能等效原則，有解：依據動能等效原則，有 又又 ，則，則 由幾何關系，得由幾何關系，得 故故 由（由（a a）、（）、（b b）兩式得）兩式得22220111()223lxTd

11、Ts dsl xl113ml2112Tm x113emml222011( ) ( )224clTJJma2112cJml2217()248Tml34xl22113()( )224eeTm xmlb72 7emm圖圖 2-62-6振動力學13單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-7 2-7 圖圖2-72-7為轉動慣量為為轉動慣量為 的桿件的桿件ABAB，連接有質量塊，連接有質量塊m m1 1和和m m2 2，距桿，距桿ABAB轉動點轉動點O O的距離分別為的距離分別為a a和和b b。現求將質量簡化到。現求將質量簡化到A A點的等效質量。點的等效質量。解：設等效質量的動能為解：設等效質量的

12、動能為而總系統的動能而總系統的動能又又得得0J圖圖 2-72-7212eeeTm u222120111222ABTm vm vJeAuvaBvb222120111()()222TmambJ22221201111()()()2222emamambJ20122()eJbmmmaa振動力學14單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例 2-8 2-8 如圖如圖2-82-8均質等截面簡支梁，在梁中央放置一集中質量均質等截面簡支梁，在梁中央放置一集中質量m m1 1，梁，梁本身的質量為本身的質量為m m2 2。試求將梁本身質量簡化到梁的中央的等效質量。試求將梁本身質量簡化到梁的中央的等效質量。解：已知梁中

13、央處靜載荷解：已知梁中央處靜載荷 , ,在其作用下梁的撓度曲線為在其作用下梁的撓度曲線為注意到注意到y y、y y m m 皆為時間函數。皆為時間函數。 由（由（a a）、（）、（b b）式得）式得則則設梁的單位長度的質量為設梁的單位長度的質量為 ，則其動能為，則其動能為故故1mg231(34)(0)( )482m glyl xxxaEI31/2( )( )48mx lm gyy xlbEI23334ml xxyyl23334( )ml xxyycl232222301341 1712()()22 352lmmeml xxTydxl ym yl21735emm振動力學15單自由度系統的振動單自由

14、度系統的振動2.2.等效剛度（勢能等效原則）等效剛度（勢能等效原則） 彈性元件斜向布置或幾個彈性元件（或彈簧）以不同方式連接在一彈性元件斜向布置或幾個彈性元件（或彈簧）以不同方式連接在一起，則必須求得一個與之起，則必須求得一個與之等效的彈性元件的剛度等效的彈性元件的剛度，稱為，稱為等效剛度等效剛度。（1 1）并聯彈簧）并聯彈簧 把圖把圖I I中（中（a a）作為并聯彈簧是顯而易見的，但對（）作為并聯彈簧是顯而易見的，但對（b b）和（）和（c c）圖有）圖有必要略加說明。必要略加說明。 圖圖I I中（中（b b）和（）和（c c）是并聯的，是因為（）是并聯的，是因為（b b）中）中k1k1和和

15、k2k2兩彈簧的兩彈簧的變形變形相同，力不同（并聯特征），相同，力不同（并聯特征），而（而（c c）中兩軸的扭角也相同。）中兩軸的扭角也相同。 如果如果F1F1、F2F2分別表示（分別表示（b b）中）中k1k1、k2k2彈簧所受到的力，彈簧所受到的力，x x為質點為質點m m的位移，則的位移，則 故故1212121212eFFFFFFxkkkkkkk12ekkk圖圖 I I振動力學16單自由度系統的振動單自由度系統的振動（2 2）串聯彈簧）串聯彈簧 串聯彈簧中各彈簧所受串聯彈簧中各彈簧所受力相等，但變形一般不等（串聯特征）力相等，但變形一般不等（串聯特征）。比較一下圖比較一下圖IIII中的（

16、中的（a a）、（）、（b b）與圖）與圖I I中的（中的（b b）、（）、（c c），可看出串聯），可看出串聯彈簧與并聯彈簧的差異。彈簧與并聯彈簧的差異。 若若F F為各彈簧中所受到的力，為各彈簧中所受到的力，x1x1和和x2x2分別表示圖分別表示圖IIII中（中（a a）中兩彈）中兩彈簧的變形，則簧的變形，則故故 串聯彈簧必須用剛度倒數相加，比較麻煩。可以借助下圖所示的串聯彈簧必須用剛度倒數相加，比較麻煩。可以借助下圖所示的圖解方法求得等效剛度圖解方法求得等效剛度k k e e 。利用幾何中的三角形比例關系不難證明。利用幾何中的三角形比例關系不難證明作圖法中的作圖法中的k k e e 完全

17、符合式（完全符合式（2-12-1）12121211()eFFFxxxFkkkkk121212111()(21)eek kkkkkkk或圖圖 IIII振動力學17單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-9 2-9 圖圖2-92-9，已知，已知k1k1、k2k2、a a、b b及及m m。求等效剛度。求等效剛度解：由受力分析知解：由受力分析知由幾何關系知由幾何關系知將（將（b b）、（）、（c c）、（）、（d d）代入式（）代入式（e e），有），有1 1220,( )yeFk xk xk xa()0,cmF有圖圖 2-92-91 1220ak xk x b211()k bxbk a1( )

18、xx ac 2( )xx bd 12()( )bxaxa b xe122212()()k a abxxfk ak b振動力學18單自由度系統的振動單自由度系統的振動將式（將式（e e）、（）、（b b）代入式（）代入式（a a），有），有即即例例2-10 2-10 求圖求圖2-102-10所示系統的等效剛度所示系統的等效剛度k k e e 。解：設解：設k1k1、k2k2、k3k3和圓盤在同一平面內。作用于固定軸的扭轉力矩和圓盤在同一平面內。作用于固定軸的扭轉力矩故故22112222112()()ek bab kk a abk xkk xxk aak ak b222222121221()()1

19、()eababkabk ak bk kkk圖圖 2-102-10221223311223ttttttk kk kMkk aakkkk2122 3311223()tttetttMk kk kkkkakkkk振動力學19單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-11 2-11 求圖求圖2-112-11（a a）、（）、（b b）的等效剛度）的等效剛度解：圖解：圖2-112-11（a a）中，懸臂梁的剛度為）中，懸臂梁的剛度為 。質量質量m m上兩個彈簧的撓度相等，故（上兩個彈簧的撓度相等，故（a a）為并聯彈簧，則其等效剛度為）為并聯彈簧，則其等效剛度為圖圖2-112-11（b b）中，懸臂梁的

20、）中，懸臂梁的剛度同（剛度同（a a）, ,但兩個彈簧但兩個彈簧撓度不同，載荷卻相同，故撓度不同，載荷卻相同，故為串聯彈簧，則其等效剛度為串聯彈簧，則其等效剛度為為可見，連接方式改變，等效剛度就有明顯不同，這是應該引起注意的。可見，連接方式改變，等效剛度就有明顯不同，這是應該引起注意的。33 E Il33eEIkkl圖圖 2-112-113113eklkE I單自由度系統的振動單自由度系統的振動3.3.等效阻尼等效阻尼( (耗能等效）耗能等效） 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 阻尼在所有振動系統中是客觀存在的阻尼在所有振動系統中是客觀存在的 大多數是非粘性阻尼，其性質各不相同，一些機理不清楚大多數是

21、非粘性阻尼，其性質各不相同，一些機理不清楚 非粘性阻尼的數學描述比較復雜非粘性阻尼的數學描述比較復雜l處理方法之一：處理方法之一： 采用采用能量等效能量等效方法將非粘性阻尼簡化為方法將非粘性阻尼簡化為等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效原則：等效原則：l粘性阻尼（線性阻尼）：阻尼力與速度成正比的阻尼粘性阻尼（線性阻尼）：阻尼力與速度成正比的阻尼l平方阻尼：阻尼力與速度平方成正比的阻尼平方阻尼：阻尼力與速度平方成正比的阻尼2022年7月5日振動力學21振動力學21單自由度系統的振動單自由度系統的振動 通常假設在簡諧激振力作用下非粘性阻尼系統的穩態響應仍然通常假設在簡諧激振力作用下非粘性阻尼系統的穩態響應

22、仍然為簡諧振動為簡諧振動 求等效黏性阻尼求等效黏性阻尼c c e e 是計算非黏性阻尼的近似方法是計算非黏性阻尼的近似方法。 設等效黏性阻尼系數為設等效黏性阻尼系數為c c e e ，則阻尼力的大小為，則阻尼力的大小為 。系。系統在振動一個周期里消耗的能量為統在振動一個周期里消耗的能量為 而而即一周期內阻尼力所做的功。即一周期內阻尼力所做的功。 當激振力當激振力F=FF=F 0 0 sin sin t t時，系統作簡諧強迫振動，有時，系統作簡諧強迫振動，有 則則相應地相應地deFcx0TdeRAc xdxA0TRAR x d xsin()xBtcos()xBtcos()deeFc xc Bt振

23、動力學22單自由度系統的振動單自由度系統的振動故得故得例例2-12 2-12 干摩擦阻尼情況干摩擦阻尼情況解：如圖解：如圖2-122-12所示，所示，F F為常力，其大小不變、方向改變。分為常力，其大小不變、方向改變。分4 4個過程，即個過程，即O A O B,O A O B,均需消耗能量。均需消耗能量。O AO A過程摩擦力所做的功為過程摩擦力所做的功為則全過程中摩擦力所做的功為則全過程中摩擦力所做的功為022220222cos() sin()cos ()22TdeeeeRAc Btd Btc Btdtc Bc BA2(22)ReAcB圖圖 2-122-12(1)RAFB4RAFB可見可見c

24、ece與與和和B B有關有關振動力學23單自由度系統的振動單自由度系統的振動則由式（則由式（2-22-2）得其等效黏性阻尼）得其等效黏性阻尼例例2-13 2-13 流體阻尼流體阻尼解：流體阻尼有其自身特點，即當物體以較大的速度在黏性較小的流解：流體阻尼有其自身特點，即當物體以較大的速度在黏性較小的流體中運動時，其阻力為體中運動時，其阻力為阻力在一周期內所做的功為阻力在一周期內所做的功為代入式（代入式（2-22-2），則得），則得244eFBFcBB2dFcx2444333332008444cos ()3TTRdAF xdxcx dxcBtdtcB83ecBc可見可見cece與與和和B B有關有

25、關2022年7月5日振動力學242022年7月5日振動力學24單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動（3 3）結構阻尼）結構阻尼22deAcB由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內摩擦所引起由于材料為非完全彈性，在變形過程中材料的內摩擦所引起的阻尼稱為的阻尼稱為結構阻尼結構阻尼2RAB ：比例系數：比例系數等效粘性阻尼系數：等效粘性阻尼系數：特征：應力應變曲線存在滯回曲線特征：應力應變曲線存在滯回曲線內摩擦所耗散的能量等于滯回環內摩擦所耗散的能量等于滯回環所圍的面積：所圍的面積：ec 加載和卸載沿不同曲線加載和卸載沿不同曲線應變應變應力應力 加載加載卸載卸載0可見可見cece與與和和B

26、B有關有關 等效質量和等效剛度小結等效質量和等效剛度小結選定廣義位移坐標后，將系統得動能、勢能寫成如下形式：選定廣義位移坐標后，將系統得動能、勢能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe K Ke e：簡化系統的等效剛度：簡化系統的等效剛度M Me e：簡化系統的等效質量：簡化系統的等效質量 這里這里等效等效的含義是指簡化前后的系統的動能和勢能分別相的含義是指簡化前后的系統的動能和勢能分別相等等 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年7月5日振動力學26單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年7月5日振動力學26單自由度系統的振動單自由度系統的振動振動力學27單自由

27、度系統的振動單自由度系統的振動2-3 2-3 單自由度系統的自由振動單自由度系統的自由振動1.1.無阻尼的單自由度系統無阻尼的單自由度系統 圖圖2-192-19示單自由度彈簧示單自由度彈簧- -質量系統質量系統 令令x x為位移，以質量塊靜平衡位置為坐標原點，坐標軸如圖，系統為位移，以質量塊靜平衡位置為坐標原點，坐標軸如圖，系統受到初始擾動時，由牛頓第二定律得受到初始擾動時，由牛頓第二定律得式中：式中： 為彈簧在質量塊重力作用下的靜變形，由靜平衡有為彈簧在質量塊重力作用下的靜變形，由靜平衡有圖圖 2-192-19s()(23)smxmgkx(24)smgk振動力學28單自由度系統的振動單自由度

28、系統的振動由式（由式（2-32-3）得彈簧）得彈簧- -質量系統質量系統固有振動或自由振動固有振動或自由振動微分方程微分方程定義定義（2-52-5）變為）變為方程為常系數線性齊次二階常微分方程，通解為方程為常系數線性齊次二階常微分方程，通解為式中，式中，A A、B B是積分常數，由初始條件決定。設振動初始條件為是積分常數，由初始條件決定。設振動初始條件為方程解為方程解為因因兩個同頻率的簡諧振動，合成后仍然為一個簡諧振動兩個同頻率的簡諧振動，合成后仍然為一個簡諧振動，故式（，故式（2-82-8）亦可用下式表達：亦可用下式表達：式中式中0(25)m xkx2(26)km20( 27 )xxsinc

29、osxAtBt000,txxxx時，00cossin(28)xxxttsin()(29)xAt220000() ,tan(2 10)xxAxx振動力學29單自由度系統的振動單自由度系統的振動 式（式（2-82-8）或式（）或式（2-92-9）稱為系統對于初始條件）稱為系統對于初始條件 與與 的響應。的響應。式（式（2-92-9）說明，在）說明，在線性恢復力作線性恢復力作用下系統的運動是簡諧運動。用下系統的運動是簡諧運動。A A是偏離是偏離平衡位置的最大位移，稱為平衡位置的最大位移，稱為振幅振幅， 稱為稱為初相位初相位。 簡諧振動的簡諧振動的圓頻率圓頻率為為 ，由式（，由式（2-62-6），有）

30、，有固有頻率固有頻率為為f f周期周期為為T T 所以所以頻率和周期僅決定于系統本身的性質，即質量頻率和周期僅決定于系統本身的性質，即質量m m和彈簧剛度和彈簧剛度k k，與初始條件無關與初始條件無關。0 x0 x (1 /)(211)ksm1()(212)22kfHzm12( )(2 13)mTsfk振動力學30單自由度系統的振動單自由度系統的振動例例2-14 2-14 一臺電動機重一臺電動機重461N461N，轉速為，轉速為1430r/min, 1430r/min, 固定在兩根固定在兩根5 5號槽鋼組號槽鋼組成的簡支梁中點，如圖成的簡支梁中點，如圖(a)(a)。每根槽鋼長。每根槽鋼長1.5

31、m1.5m，重，重64N64N，EIEI=162.8=162.810106 6 NcmNcm2 2。試求此系統的固有頻率。試求此系統的固有頻率。解：將其簡化為一個彈簧解：將其簡化為一個彈簧- -質量系統，質量系統，如圖如圖(b(b）。將槽鋼質量的（）。將槽鋼質量的（17/35)17/35)一半一半加在電動機質量上一起作為一個質量塊。加在電動機質量上一起作為一個質量塊。 質量塊的質量為質量塊的質量為據簡支梁撓度公式，在梁跨中點有集中力據簡支梁撓度公式，在梁跨中點有集中力P P作用點的撓度為作用點的撓度為 , ,于于是簡支梁中點的剛度為是簡支梁中點的剛度為兩根槽鋼的總剛度為兩根槽鋼的總剛度為461

32、 6453.529.8mkg348PlyEI348PEIkyl63348248 162.8 1024630/150EIkNml振動力學31單自由度系統的振動單自由度系統的振動系統的固有圓頻率為系統的固有圓頻率為固有頻率為固有頻率為例例2-15 2-15 一鋼結構單層廠房簡化為圖一鋼結構單層廠房簡化為圖2-212-21（a a）所示單層框架。設樓板質）所示單層框架。設樓板質量量m=2500kgm=2500kg，兩側墻壁的總質量，兩側墻壁的總質量2700kg2700kg，且在高度上均勻分布。每側墻，且在高度上均勻分布。每側墻的折算截面慣性矩的折算截面慣性矩I=3500cmI=3500cm4 4,

33、,鋼的彈性模量鋼的彈性模量E=2.06E=2.0610107 7 N/cm N/cm2 2, ,求樓板求樓板橫向振動的固有圓頻率。橫向振動的固有圓頻率。解：據題意，樓板橫向振動可用圖解：據題意，樓板橫向振動可用圖2-212-21（b b）的彈簧）的彈簧- -質量系統等效，彈質量系統等效，彈簧剛度為簧剛度為463093/0.535kradsm9314.822fH z圖圖 2-212-2176332 32 3 2.06 1035000.4747 10/450eEIkN ml 振動力學32單自由度系統的振動單自由度系統的振動框架的固有圓頻率為框架的固有圓頻率為33250027003078.57140

34、emkg60.47471012.42 (1/ )3078.57eeksm2022年7月5日振動力學33單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年7月5日振動力學33單自由度系統的振動單自由度系統的振動 能量法能量法對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統，也可以對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統，也可以利用利用能量守恒原理：能量守恒原理：（1 1）建立自由建立自由振動方程振動方程，（，（2 2）求出系）求出系統的統的固有頻率固有頻率。無阻尼系統為無阻尼系統為保守系統保守系統，其，其機械能守恒機械能守恒，即動能，即動能 T T 和勢和勢能能 V V 之和保持不變之和保持不變

35、 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動彈簧質量系統彈簧質量系統 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：mgx （重力勢能）（重力勢能）（彈性勢能）（彈性勢能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 0 x 0 kxxm 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動kmg 221kxxkmgx221kx0 0m mx x靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k如果將坐標原點不是取在系統的靜平衡如果將坐標原點不是取在系統的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置位置，而是取在彈簧為自由長時的

36、位置 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 設新坐標設新坐標 kmgxy0 kyym 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動221 kxmgx x0 0m mx x靜平衡位置靜平衡位置k考慮兩個特殊位置上系統的能量考慮兩個特殊位置上系統的能量 靜平衡位置上，系統勢靜平衡位置上，系統勢能為零，動能達到最大能為零，動能達到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系統動最大位移位置，系統動能為零，勢能達到最大能為零，勢能達到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT( )sin()x tAt/k mmaxm

37、axxx單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動maxmaxVTmaxmax 對于轉動：對于轉動：x x 是廣義的是廣義的0 0m mx x靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置x xmamax x0 0m mx xk例：如圖所示是一個倒置的擺例：如圖所示是一個倒置的擺 擺球質量擺球質量 m m剛桿質量忽略剛桿質量忽略 每個彈簧的剛度每個彈簧的剛度 2k求求: : 倒擺作微幅振動時的固有頻率倒擺作微幅振動時的固有頻率單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動l lm ma ak/k/2 2k/k/2 2廣義坐標廣義坐標動能動能2222121mlIT勢能勢能maxmax

38、UTmaxmax22kamglml平衡位置平衡位置1 1cos1212122mglakV零平衡位置零平衡位置1 1單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動)(21 222mglka2221 2sin22kamgl22)(21 mglka l lm ma ak/k/2 2k/k/2 2單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動k k1 1R Rk k2 2M M m m 例：鉛垂平面內一個滑輪例：鉛垂平面內一個滑輪- -質量質量- -彈簧系統彈簧系統確定系統微振動的固有頻率確定系統微振動的固有頻率滑輪為勻質圓柱滑輪為勻質圓柱 ，繩子不可伸，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動，繩右下長，且與滑輪間無滑動

39、，繩右下端與地面固結。端與地面固結。 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動解：解：k k1 1R Rk k2 2M M m m 廣義坐標：質量塊的垂直位移廣義坐標：質量塊的垂直位移 x x動能：動能：x x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU勢能：勢能：212)41(21xkk 單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動解：解：k k1 1R Rk k2 2M M m m 廣義坐標：質量塊的垂直位移廣義坐標：質量塊的垂直位移 x x動能：動能：x x2)83(21xMmT勢能：勢能：212

40、)41(21xkkU2122838kkMmmaxmaxTU122838kkMm2022年7月5日振動力學43單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年7月5日振動力學43單自由度系統的振動單自由度系統的振動 瑞利法瑞利法利用能量法求解固有頻率時，對于系統的動能的計算只考慮利用能量法求解固有頻率時，對于系統的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質量所具有的動了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的能，因此算出的固有頻率是實際值的上限上限。這種簡化方法在。這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本許多場合

41、中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質量因占系統總質量相當大的比例而不能忽略，否則算身的質量因占系統總質量相當大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。出的固有頻率明顯偏高。單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動m mk kx x0 0例如：彈簧質量系統例如：彈簧質量系統設彈簧的動能設彈簧的動能: 221xmTtt 系統最大動能：系統最大動能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統最大勢能：系統最大勢能： 2maxmax21kxVmaxmaxxxtkmm若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2max)(21xmmttm彈簧彈

42、簧等效等效質量質量 mtmkx02022年7月5日振動力學462022年7月5日振動力學46單自由度系統自由振動單自由度系統自由振動2022年7月5日振動力學47單自由度系統振動單自由度系統振動2022年7月5日振動力學472022年7月5日振動力學48振動力學48單自由度系統的振動單自由度系統的振動2.2.有阻尼的單自由度系統有阻尼的單自由度系統 阻尼有各種來源阻尼有各種來源：（：（1 1）兩物體相對移動時的兩物體相對移動時的干摩擦干摩擦阻尼阻尼；（；（2 2）有潤滑劑的兩個面之間的）有潤滑劑的兩個面之間的摩擦力摩擦力；物體在；物體在液體中運動的液體中運動的流體阻尼流體阻尼；材料本身的內摩擦

43、引起的；材料本身的內摩擦引起的材材料阻尼料阻尼等。阻尼處理始終是振動分析中的一個難題。等。阻尼處理始終是振動分析中的一個難題。黏性阻尼由于它與速度成正比，又稱線性阻尼黏性阻尼由于它與速度成正比，又稱線性阻尼。式中式中c c為比例常數，稱為為比例常數，稱為黏性阻尼系數黏性阻尼系數，單位為，單位為Ns/mNs/m。黏性阻尼在分析振動問題時使求解大為簡化，也能。黏性阻尼在分析振動問題時使求解大為簡化，也能闡明阻尼對系統響應的影響。闡明阻尼對系統響應的影響。(2 14)Fcx振動力學49單自由度系統的振動單自由度系統的振動 對圖對圖2-222-22示有粘性阻尼的單自由度系統，運動微分方程為示有粘性阻尼

44、的單自由度系統，運動微分方程為令令得得設解設解 ，代入得，代入得則得則得特征方程特征方程特征方程解為特征方程解為其中其中 為無量綱量，稱為無量綱量，稱阻尼比（相對阻尼系數）阻尼比（相對阻尼系數）。 方程（方程（2-162-16）通解為）通解為 或或圖圖 2-222-220mxcxkx2,2(215)kcmm220(2 16)xxxstxe22(2)0stsse2220ss21,2(1)(2 17)s 1212s ts txC eC e22(1 )(1)12(218)ttxC eC e振動力學50單自由度系統的振動單自由度系統的振動C1C1、C2C2由初始條件確定。由初始條件確定。 對于對于 ，

45、討論如下：，討論如下：（1 1） ，大阻尼大阻尼情況情況當當 時，特征方程的根時，特征方程的根s s1 1與與s s2 2均為負實數。式（均為負實數。式（2-182-18）表明，）表明，x x將隨時將隨時間按質數規律減小，并趨于平衡位置間按質數規律減小，并趨于平衡位置。（2 2） ，臨界阻尼臨界阻尼情況情況當當 時，特征方程有重根時，特征方程有重根 ，故方程的通解為，故方程的通解為在以上兩種情況下，系統受到初始擾動離開平衡位置后，將在以上兩種情況下，系統受到初始擾動離開平衡位置后，將逐漸回到平衡位逐漸回到平衡位置置，運動已，運動已無振動的性質無振動的性質，只有當，只有當 為負且絕對值足夠大時，

46、物體才能為負且絕對值足夠大時，物體才能通過平衡位置一次，隨即回到通過平衡位置一次，隨即回到平衡位置。在這兩種情況下，平衡位置。在這兩種情況下，對不同的初始條件，其運動對不同的初始條件，其運動曲線如圖曲線如圖2-232-23。1,1,1111112ssp ()(2 19)ptxC Dt e0 x 圖圖 2-232-23振動力學51單自由度系統的振動單自由度系統的振動（3 3） ，小阻尼小阻尼情況情況 時，特征方程的根時，特征方程的根s s1 1、s s2 2為共軛復數為共軛復數應用歐拉公式應用歐拉公式得方程（得方程（2-162-16）的解為）的解為式中式中 ，C C、D D由初始條件確定。設由初

47、始條件確定。設t=0t=0時，時， ，則，則由三角變換得由三角變換得式中式中1121,2(1)(2 20)si 2122cos1sin1itetit ( cos sin )(2 21)txeCtDt21 00,xxxx000,(2 22)xxCx Dsin( )(2 23)txAet22000()(2 24)xxAx000arctan(225)xxx振動力學52單自由度系統的振動單自由度系統的振動其運動曲線如圖其運動曲線如圖2-242-24所示。系統振動不再是等幅的簡諧振動，而是振幅被限所示。系統振動不再是等幅的簡諧振動，而是振幅被限制在曲線制在曲線 之內，隨時間不斷之內，隨時間不斷衰減振動衰

48、減振動。系統的衰減振動雖不是周期性運動，但式（系統的衰減振動雖不是周期性運動，但式（2-232-23）中的因子）中的因子 表明物體仍周期地通過平衡位置表明物體仍周期地通過平衡位置O O向兩側偏離，因此，習慣上將向兩側偏離，因此，習慣上將分別稱為分別稱為衰減振動的圓頻率和周期衰減振動的圓頻率和周期。將上式與無阻尼情況相比，阻尼對將上式與無阻尼情況相比，阻尼對自由振動的影響有兩個方面，一方面自由振動的影響有兩個方面，一方面是是阻尼使系統振動頻率阻尼使系統振動頻率 降低，周期降低，周期T T略有加長略有加長。 值越小，影響將越小。值越小，影響將越小。例如，當例如，當 時，時， ， ；當；當 時，時，

49、 ， 。可見。可見 時，時，阻尼對頻率和周期影響很小阻尼對頻率和周期影響很小。tAesin( )t21(226) 12222(227)11TT 圖圖 2-242-240.2210.20.9798121.020621 0.2TTT0.0521 0.050.99875121.0012510.05TTT1振動力學53單自由度系統的振動單自由度系統的振動 在另一方面，式（在另一方面，式（2-232-23）中因子）中因子 說明說明衰減振動的振幅按指數規律衰減振動的振幅按指數規律縮減縮減。當。當 時，運動曲線與包絡線時，運動曲線與包絡線 相切，在切點處的相切，在切點處的x x值值 稱為稱為衰減振動的振幅衰

50、減振動的振幅。設在第。設在第i i個振幅處個振幅處t=tt=ti i, ,振幅振幅 , ,第第i+1i+1個振幅個振幅 , ,則任意兩個相鄰振幅之比都等于則任意兩個相鄰振幅之比都等于式中式中 稱為稱為減幅系數或減縮率減幅系數或減縮率。上式說明衰減振動的振幅以公比。上式說明衰減振動的振幅以公比 按幾何級數按幾何級數遞減。阻尼越大，振幅衰減也愈快。當遞減。阻尼越大，振幅衰減也愈快。當 即振動一周后振幅減少即振動一周后振幅減少27%27%，經過，經過1010個周期，振幅將減為初始振幅的個周期，振幅將減為初始振幅的4.3%4.3%，這說明振動將很快停息，可見這說明振動將很快停息，可見阻尼對振幅的影響是顯著的阻尼對振幅的影響是顯著