1、初二數學第十一章全等三角形綜合復習切記：“有三個角對應相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等。例1.如圖，A,F,E,B四點共線，AC丄CE,BD丄DF,AE=BF,AC=BD。求證:,ACF=,BDE2.根據下列條件，能畫出唯一AABC的是（）aAB=3BC=4CA=8bAB=4BC=3A=30。C.C=60，B=45，AB=4d.C=90。，AB=6二、填空題：6.如圖，在，ABC中，C二90，ABC的平分線BD交AC于點D，且CD:AD=2:3AC=10cm，則點D到AB的距離等于cm；，則CBD的大小為CC三、解答題：11.如圖，AABC為等邊三角形，點M,N

2、分別在BC,AC上，且BM，CN,AM與bn交于Q點。求AQN的度數。；v，也可以是例1.思路分析：從結論AACF=ABDE入手，全等條件只有AC，BD；由AE，BF兩邊同時減去EF得到AF=BE，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是CF=DA，B由條件AC丄CE，BD丄DF可得ACE，BDF，90。，再加上AE，BF，AC，BD,可以證明AACE=ABDF，從而得到A，B。解答過程：AC丄CE，BD丄DF:.ACE，BDF，90。在RtAACE與RtABDF中JAE，BFAC，BD:.RtAACE=RtABDF(HL)A，B/AE，BF:.AE-EF，BF-EF，即AF，BE在AA

3、CF與ABDE中JAF，BEA，BAC，BD:.AACF=ABDE(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結論。再對比“所需條件”和“得出結論”之間是否吻合或具有明顯的聯系，從而得出解題思路。小結：本題不僅告訴我們如何去尋找全等三角形及其全等條件，而且告訴我們如何去分析一個題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明2=1C比較困難，我們可以間接證明，即找到Za，證明2，a且a，1C。也可以看成將2“轉移”到a。那么a在哪里呢？角的對稱性提示我們將AD延長交BC于F，則構造了FBD,可以通過

4、證明三角形全等來證明Z2=ZDFB，可以由三角形外角定理得ZDFB=Z1+ZCo解答過程：延長AD交BC于F在ABD與FBD中,ABD=,FBD.BD=BD,ADB=,FDB=90。又,DFB=,1+,CABD=FBD(ASA,2=,1+,C。,2=,FB解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構造或發現全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關鍵是要找到這兩個三角形。以線段AE為邊的ABE繞點B順時針旋轉90。到CBF的位置，而線段CF正好是CBF的邊，故只要證明它們全等即可。解答過程：,ABC=90。，F為AB延長線上一點,ABC=,CBF=90

5、。在ABE與CBF中fAB=BC，ABC=,CBF、BE=BFABE=CBF(SAS)AE=CF。解題后的思考：利用旋轉的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應邊和對應角。小結：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據需要利用平移、翻折和旋轉等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構造全等三角形。例5.思路分析：要證明“BP為ZMBN的平分線”，可以利用點P到BM,BN的距離相等來證明，故應過點P向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是ZMAC和ZNCA的平分線”，也需要作出點P到兩外角兩邊的距離。解答過程：過P

6、作PD丄BM于D，PE丄AC于E，PF丄BN于FAP平分,MAC，PD丄BM于D，PE丄AC于EPD=PECP平分ZNCA，PE丄AC于E，PF丄BN于FPE=PFPD=PE，PE=PFPD=PFPD=PF，且PD丄BM于D，PF丄BN于F.BP為,MBN的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結論時，常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質或判定來解答問題。例6.思路分析：要證明“AC=2AE”，不妨構造出一條等于2AE的線段，然后證其等于AC。因此,延長AE至F，使EF=AE。解答過程：延長AE至點F，使EF=AE，連接DF在ABE與FDE

7、中,AE=FEAEB=FED、BE=DE:.ABE=FDE(SAS)B=EDFADF=ADB+EDF,ADC=BAD+B又ADB=BAD:.ADF=ADCAB=DF,AB=CD:.DF=DC例7.思路分析：欲證AB-ACPB-PC,不難想到利用三角形中三邊的不等關系來證明。由于結論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構造線段AB-AC。而構造AB-AC可以采用“截長”和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在AB上截取AN=AC，連接PN在APN與APC中，AN=AC1=2AP=APAPN=APC(SAS)PN=PC在BPN中，PBPNBNPBPCPBPC。法二：延長AC至M，使AM=A

8、B，連接PM在ABP與AMP中,AB=AM1=2、AP=AP:.ABP二AMP(SAS)PB=PM在PCM中，CMPMPC:.ABACPBPC。解題后的思考：當已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結：本題組總結了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學習的深入還要繼續總結。我們不光要總結輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習的答案一、選擇題：1.A2.C3