1、復數的運算及幾何性質復數的運算及幾何性質習題課習題課對任何對任何 及及 ，有，有Czzz 21, Nnm,nmnmzzz mnnmzz )(nnnzzzz2121)( 復數的乘方法則：復數的乘方法則：注注:在復數集合中未定義分數指數冪的運算在復數集合中未定義分數指數冪的運算244142431(1)(1)_,(2)_,11(3)_;(4)_1nnnniiiiiiiii幾個有用結論：2iii0 2210041.11(1)()() ;(2)();112132(3). (4)() 122iiiiiiiii計 算 ：1(1).1;(2)1;(3)(4)42ii19222 312.(5)()12 323.

2、(1)(1)nniiiiiin計算：若求最小正整數5;4i223134.,221(1)10 (2)(3) (4)1i 設求證：； 證明：證明： （1）22)2321()2321(11ii ; 0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （4）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 223134.,(1)10 221(2)(3) (4)1i 設求證：；441313()() ;22ii 1、計算36( 13 )23121(1)iiiiii 2、計算-136( 13 )23121(1)iii

3、iii 計算iiiiiiiiiiiiiiii2131)223(242)231()1)(1()1)(3(21)21()1()31(33323 解：原式解：原式224100102008.13(1)()() ;(2)() ;11213(3)(); (4)() ;222 32(5)()112 3iiiiiiiiiiii計算：補充作業:復習復習1、已知復數、已知復數Z Z 滿足滿足|Z Z|=1，求，求|Z+Z+1-2i i|的最大值與最小值。的最大值與最小值。分析： |Z+Z+1-2i i|=|Z Z -(-1+2i i)|xyB -1 0 1PA M(-1,2) 如圖，求得|OM| = 5|Z+Z+

4、1-2i i| =|MB|= + +1max 5|Z+Z+1-2i i| =|MA|= -1min 52 2、已知復數、已知復數 Z Z 滿足滿足| |Z Z-2|=1-2|=1，求，求| |Z Z+1-2i+1-2i| |的最大值與最小值。的最大值與最小值。3 3、已知復數、已知復數 Z Z 滿足滿足| |Z Z+i+i| +| +|Z Z-i-i| =2| =2，求，求| |Z Z+1+i+1+i| |的最大值的最大值. .4.y已知復數(x-2)+yi(x,yR)的模為 3,求 的最大值x1.1.復數的意義復數的意義形如形如z=a+bi(a,bR)的數叫做復數，其中的數叫做復數，其中i

5、叫虛數單叫虛數單位，滿足位，滿足i2=-1，a叫做實部，叫做實部，b叫做虛部叫做虛部.復數集記作復數集記作C，數集，數集N、Z、Q、R、C的關系是：的關系是：N Z Q R Cz=a+bi(a,bR)是實數的充要條件是是實數的充要條件是b=0；是虛數的是虛數的充要條件是充要條件是b0；是純虛數的充要條件是是純虛數的充要條件是a=0且且b02.2.復數的相等復數的相等兩個復數相等，當且僅當它們的實、虛部分別相等兩個復數相等，當且僅當它們的實、虛部分別相等.3.3.共軛復數及復數的模的代數表示共軛復數及復數的模的代數表示z=a+bi(a,bR)與與z=a-bi互為共軛復數，互為共軛復互為共軛復數，

6、互為共軛復數的模相等，且數的模相等，且|z|=|z|=a2+b2 - - -1:設設x是實數是實數,y是純虛數是純虛數,且滿足且滿足(2x-1)+(3-y)i=y-i,求求 x與與y.解解:由已知可設由已知可設y=bi( ).0, bRb則則(2x-1)+3i+b=bi-i,整理得整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i.由復數相等的條件得由復數相等的條件得:.23431012xbbbx故故x=-3/2,y=4i.2:已知關于已知關于x的方程的方程x2+(m +2i)x+2+mi=0有實根有實根,求求 這個實根及實數這個實根及實數m的值的值.:已知已知z=|z|i,求復數求復數z的對應點的軌

7、跡的對應點的軌跡.解解:設設z=x+yi(x,yR),則則x+yi=.22iyx .00022 yxyxyx所以復數所以復數z的對應點的軌跡是虛軸的上半軸和原點的對應點的軌跡是虛軸的上半軸和原點(即軌跡是一條射線即軌跡是一條射線).4.4.復數的代數運算復數的代數運算對于對于i，有，有i4n=1,i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nN)已知兩個復數已知兩個復數z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,dR)，則，則 z1z2=(ac)+(bd) i z1z2=(ac-bd)+(bc+ad)i：特別地，若特別地，若z=a+bi(a,bR)，則，則zz=|z|2=a2+b2;c

8、d122222abicdizabiacbdbcadizcdiicdicdcd02z課課 內內 練練 習習101. 設設zC，（，（z2) i=1+i，則，則 |z|=_-62.設設 x,yR，且，且 ,則則x+y=_i-i-yi -x315211A3.若若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是純虛數，則實數是純虛數，則實數x的值是的值是( )(A) 1 (B) -1(C)1 (D) 以上都不對以上都不對D4.設設z1、z2為復數，則下列結論中正確的是為復數，則下列結論中正確的是( )(A)若若z21+z220，則，則z21-z22(B)|z1-z2|2=(z1+z2) 2-4z1z2(C)z2

9、1+z22=0z1=z2=0(D)z1-z1是純虛數或零是純虛數或零C5. i0+i1+i2+i3+i 2011的值為的值為( )(A) 1 (B) -1(C) 0 (D) i1.設復數設復數z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i，試求實數，試求實數m的的取值，使得取值，使得(1)z是純虛數；是純虛數；(2)z是實數；是實數；(3)z對應的點位于復平面的第二象限對應的點位于復平面的第二象限【解題回顧】純虛數的充要條件是【解題回顧】純虛數的充要條件是“實部為零且虛實部為零且虛部不為零部不為零”, ,實數的充要條件是實數的充要條件是“虛部為零虛部為零”。2. 設設zC，求滿足，求滿足z+

10、1/zR且且|z-2|=2的復數的復數z【解題回顧】將復數問題向實數問題轉化，是一【解題回顧】將復數問題向實數問題轉化，是一種重要的思想方法，而轉化的基本依據就是復數種重要的思想方法，而轉化的基本依據就是復數的相等的相等4. 是否存在復數是否存在復數z，使其滿足，使其滿足zz+2iz=3+ai(aR)如如果存在，求出果存在，求出z的值；如果不存在，說明理由的值；如果不存在，說明理由2. 設復數設復數 ，若，若求實數求實數 的值。的值。z 2(1+ i) + 3(1-i)2+ i, a b21zazbi 3. 設復數設復數 ，若，若求實數求實數 的值。的值。z 2(1+ i) + 3(1-i)2+ i, a b21zazbi 1. 在假設在假設z=x+yi進行代換時，要注意說明進行代換時，要注意說明x,yR，因為，即使因為，即使x,yC，z=x+yi還是有意義的，它仍舊還是有意義的，它仍舊表示一個復數，這一點要引起注意表示一個復數，這一點要引起注意.2. 課前熱身課前熱身4中，式子中，式子|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2是一種