1、第二章微積分學的創始人: 德國數學家 Leibniz 微分學導數導數描述函數變化快慢微分微分描述函數變化程度都是描述物質運動的工具 (從微觀上研究函數)導數與微分導數思想最早由法國數學家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數學家 Newton一、引例一、引例二、導數的定義二、導數的定義三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、函數的可導性與連續性的關系四、函數的可導性與連續性的關系五、單側導數五、單側導數第一節第一節機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 導數的概念導數的概念 第二章 一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為)(tfs 0t則 到 的

2、平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運動機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當 時)割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時

3、速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、導數的定義二、導數的定義定義定義1 . 設函數)(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )

4、(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數若的某鄰域內有定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數導數. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 運動質點的位置函數)(tfs so0t)(0tf)(tft在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 說明說明: 在經濟學中, 邊際成本率,邊際勞動生產率和邊

5、際稅率等從數學角度看就是導數.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數在開區間 I 內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說函數就稱函數在 I 內可導. 的導數為無窮大 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求函數Cxf)(C 為常數) 的導數. 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函數)N()(

6、nxxfn.處的導數在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明：說明：對一般冪函數xy ( 為常數) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數xxfsin)(的導數. 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2co

7、s(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )1(lnxh例例4. 求函數xxfln)(的導數. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 證明函數xxf)(在 x = 0 不可導. 證證:hfhf

8、)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可導在即xx例例6. 設)(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )(2 )(0hhxf)(0 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、三、 導數的幾何意義導數的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)

9、(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1111例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應,1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(13

10、1xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 處可導在點xxf)(四、四、 函數的可導性與連續性的關系函數的可導性與連續性的關系定理定理1.處連續在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點 x 處可導,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數)(xfy 在點 x 連續 .注意注意: 函數在點 x 連續未必可導連續未必可導.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續 , 但不可導.即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點0 x的某個右右 鄰域內五、五、 單側導

11、數單側導數)(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導數導數,0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設函數有定義,存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 函數在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為在點處右右 導數存在0 x定理定理3. 函數)(xf)(xf在點0

12、 x必 右右 連續.(左左)(左左)若函數)(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區間 a , b 上可導,)(baCxf在開區間 內可導,),(ba在閉區間 上可導.,ba可導的充分必要條件是且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 導數的實質:3. 導數的幾何意義:4. 可導必連續, 但連續不一定可導;5. 已學求導公式 :6. 判斷可導性不連續, 一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cos xaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比

13、的極限;切線的斜率;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 函數 在某點 處的導數)(xf0 x)(0 xf )(xf 區別:)(xf 是函數 ,)(0 xf 是數值;聯系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區別與聯系 ? )()(00 xfxf？與導函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設)(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導?解解:由題設)0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準

14、則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導, 且0)0( f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5. 設0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數在 x = 0 連續 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業 P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 第二節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 牛頓牛頓(1642 17

15、27)偉大的英國數學家 , 物理學家, 天文學家和自然科學家. 他在數學上的卓越貢獻是創立了微積分. 1665年他提出正流數 (微分) 術 , 次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成流數術與無窮級數一書 (1736年出版). 他還著有自然哲學的數學原理和廣義算術等 .萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716)德國數學家, 哲學家.他和牛頓同為微積分的創始人 , 他在學藝雜志上發表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優于牛頓 . 他還設計了作乘法的計算機 , 系統地闡述二進制計數法 , 并把它與中國的八卦聯系起來 .備用題備用題 解解: 因為1. 設)(xf 存在

16、, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(xf在 0 x處連續, 且xxfx)(lim0存在， 證明:)(xf在0 x處可導.證證：因為xxfx)(lim0存在， 則有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x處連續,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x處可導.2. 設xfxfx)0()(lim0)0(f 故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節二

17、、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數的求導法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構造性定義 )求導法則求導法則其它基本初等其它基本初等函數求導公式函數求導公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數求導問題初等函數求導問題本節內容機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理1.具有導數都在及函數xxvvxuu)(

18、)()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .)0)(xv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設, 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim

19、0)()(xvxu故結論成立.wvuwvu)( ,例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如,(2)vuvuvu )(證證: 設, )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( C為常數 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxx

20、y.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設)(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論

21、推論:2vvCvC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( C為常數 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( xf二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數的單調性知且由反函數的連續

22、性知 因此,)()(1的反函數為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1例例3. 求反三角函數及指數函數的導數.解解: 1) 設,arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則機動 目錄 上頁 下

23、頁 返回 結束 2) 設, )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結小結:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點 x 可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數 fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,證證:)(ufy 在點 u

24、 可導, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導.推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求下列導數:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(s

25、hxxeex2 xexexch說明說明: 類似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 設, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導數?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個記號含義不同練習練習: 設,)(xfffy .,)(yxf求可導其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 設, )1(ln2x

26、xy.y求解解: y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數的導數見 P94例例16. 2shxxeex的反函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 1. 常數和基本初等函數的導數 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x2

27、11x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 有限次四則運算的求導法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數 )0( v3. 復合函數求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數在定義區間內可導初等函數在定義區間內可導, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求導法則推出.且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求解解:,1111x

28、xxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx關鍵關鍵: 搞清復合函數結構 由外向內逐層求導機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. 設求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解:

29、 y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結求導公式及求導法則 (見 P94)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數結構 , 由外向內逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim

30、)(limxax)(a閱讀 L.P 51 例1 正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 求下列函數的導數解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 設),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99

31、()2)(1(xxx!99)0(f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4) , (5) , (8) , (10) ; 10;11 (4) , (8) ; 12 (3) , (8) , (10) 第三節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 1. 設 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x2 . 設,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f

32、 )(xf)(xf 其中)(xf可導, 求.y求.y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、高階導數的運算法則二、高階導數的運算法則第三節一、高階導數的概念一、高階導數的概念機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高階導數 第二章 一、高階導數的概念一、高階導數的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運動機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義.若函數)(xfy 的導數)(xfy可導,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導數的導數稱為三階導數 ,1n階導數的導數稱為 n 階導數 ,y ,)

33、4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導數二階導數 , 記作y )(xf 的導數為依次類推 ,分別記作則稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設, )(為任意常數xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 設求解解:特別有:解解:! ) 1( n規定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(

34、ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 設, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 設,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5

35、. 設bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求為常數 , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 設,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04l

36、im)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、高階導數的運算法則二、高階導數的運算法則都有 n 階導數 , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設函數v

37、unn) 1(推導 目錄 上頁 下頁 返回 結束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數學歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 設,22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 設,arctanxy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茲公式求 n 階導數)1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(my