1、16學時15.1 彈性變形勢能的計算彈性變形勢能的計算 15.1.1 外力功的計算外力功的計算 15.1.2 應變能的計算應變能的計算 15.1.3 應變能密度應變能密度15.2 虛位移原理用于變形體虛位移原理用于變形體 15.2.1 虛位移原理用于變形體虛位移原理用于變形體 15.2.2 內力虛功的表達式內力虛功的表達式15.3 單位載荷法單位載荷法 15.3.1 單位載荷法單位載荷法 15.3.2 單位載荷法用于線彈性結構單位載荷法用于線彈性結構15.4 計算莫爾積分的圖乘法計算莫爾積分的圖乘法15.5 互等定理互等定理 15.5.1 功的互等定理功的互等定理 15.5.2 位移互等定理位

2、移互等定理15.6 勢能駐值原理和最小勢能原理勢能駐值原理和最小勢能原理作業作業15.6 15.10 15.14 15.162本章主要內容：本章主要內容：(1) 介紹彈性體變形勢能彈性體變形勢能；(2) 將虛位移原理虛位移原理、勢能駐值原理勢能駐值原理、最小勢能原理最小勢能原理用于變形體；(3) 重點介紹單位載荷法單位載荷法，這是一種用能量原理求位移的方法，是一種很簡單實用的方法。315.1 彈性體勢能的計算彈性體勢能的計算彈性變形勢能（變形能、應變能）彈性變形勢能（變形能、應變能）(strain energy) 當構件發生彈性變形時，其內部會貯存能量，從而使構件具有作功的能力。例如，被跳水運

3、動員壓彎的跳板，因變形而貯存了能量，再利用釋放出來的能量對運動員作功，加強了運動員的彈跳力。 因彈性變形而貯存的能量，稱為彈性變形勢能彈性變形勢能，簡稱變變形能形能或應變能應變能。用 表示，單位：J， 。Vm1NJ應變能密度應變能密度 (density of strain energy) 單位體積的應變能，稱為應變能密度。用 表示，單位： 。v3mJ4功能原理功能原理 (principle for work and energy) 外力由零開始緩慢地增加到最終值，構件始終處于平衡狀態，動能的變化及其能量的損耗均可忽略不計。 根據能量守恒定律，構件內部貯存的應變能在數值上等于外力所作的功W，即W

4、V ) 1 .15(此關系式稱為功能原理功能原理。515.1.1 外力功的計算外力功的計算(1) 力的功：0dfW外力由零緩慢增加到最終值F，外力作用點的位置發生移動，移動量為 （如圖所示）。(2) 服從胡克定律的力的功：FFff dOdFFff dOd若材料服從胡克定律，力和位移是線性關系，如圖，顯然外力功等于斜直線下三角形的面積FW21(3) 上述的力與位移都是廣義廣義的，外力可以是力或力偶，相應的位移是線位移或角位移。則此力的功為6)(21NlFEAlFFNN21EAlF22N15.1.2 應變能的計算應變能的計算功能原理在線彈性范圍內WV)1 .15(1) 軸向拉壓時的應變能軸向拉壓時

5、的應變能FWV21)2 .15()1 .15(FF NEAlFlNxEAxFVld2)(2N) 3 .15(niiiiiAExlFV12N2)(由n個直桿組成的桁架，整個結構內的應變能F21)2 .15(7l(2) 圓軸扭轉時的應變能圓軸扭轉時的應變能WV)1 .15(tMT pGITlp21GITlTxGIxTVld2)(p2)4 .15(tMOtMtMp22GIlTt)2 .15(21M8(3) 梁彎曲時的應變能梁彎曲時的應變能 純彎曲：純彎曲：WV)1 .15(EIMlM21eMM EIlMexEIxMVld2)(2)5 .15(lABeMeMeMeMOe)2 .15(21MEIlM22

6、9 橫力彎曲：橫力彎曲： 橫力彎曲梁的橫截面上，有彎矩和剪力，應分別計算與彎曲和剪切相對應的應變能。 剪切應變能的表達式xGAxKFVld2)(2S其中K為量綱為1的量，它與橫截面形狀和尺寸有關。矩形截面：K=6/5實心圓截面：K=10/9薄壁圓管：K=2 對于細長梁，對應于剪切的應變能與彎曲應變能相比，一般很小，所以常常忽略不計忽略不計。10(4) 組合變形構件的應變能組合變形構件的應變能 小變形情況下，各內力分量引起的應變能互不耦合互不耦合，因此組合變形構件的總應變能（不計剪力的影響）為xEIMxGITxEAFVllld2d2d22p22N)6 .15(若桿件非圓截面，將上式中的 換為 ；

7、pItI若桿件為變截面桿，上式中 均為x的函數。IIA,p1115.1.3 應變能密度應變能密度(1) 應變能密度的計算應變能密度的計算 單向拉壓：單向拉壓：O1vOvd10v21v斜線下的面積應力應變線性關系 純剪切：純剪切：21v12 復雜應力狀態下的應變能密度：復雜應力狀態下的應變能密度：)(21332211v由廣義胡克定律上式可寫為)(221133221232221Ev)7 .15( 用應變能密度表示應變能：用應變能密度表示應變能：VVdVvVd13(density of energy due to volume change)(2) 體積改變能密度體積改變能密度 一般情況下，三向應力

8、狀態的單元體將同時發生體積改變和形狀改變，因此應變能密度也相應地分為兩部分：由體積改變而形狀不變所引起的，稱為體積改變能密體積改變能密度度，用 表示；vv由形狀改變而體積不變所引起的，稱為畸變能密度畸變能密度，用 表示。dv(distortional strain energy density)畸變能密度畸變能密度14 體積改變密度：體積改變密度：123三向應力狀態形狀不變體積改變體積不變形狀改變mmmm1m2m3 任意三向應力狀態下的體積改變能密度體積改變能密度為)3(23212m2m)7 .15(vEv)(31321m)8 .15()3(2212mE2321)(621E15 畸變能密度：畸

9、變能密度：)()()(2)()()(21m1m3m3m2m2m12m32m22m1)7 .15(dEv 任意三向應力狀態下的畸變能密度為)8 .15( 顯然dv)9 .15()8 .15()7 .15(vvv例題15.1)(232)(2321321m2m133221321m2m232221E)(31133221232221E213232221)()()(61E1615.2 虛位移原理用于變形固體虛位移原理用于變形固體15.2.1 虛位移原理用于變形固體虛位移原理用于變形固體變形固體的虛位移原理（虛功原理）變形固體的虛位移原理（虛功原理） 變形固體平衡的充分必要條件變形固體平衡的充分必要條件：作

10、用于變形固體上的外力系和內力系在任意一組虛位移上所作的虛功之和為零，即虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理）(principle of virtual displacement) 虛位移原理是分析力學的一個基本原理，適用于任意質任意質點系點系。 虛位移原理應用于變形固體時，外力在虛位移上作功（外力虛功外力虛功 ），內力在相應的變形虛位移上也作功（內內力虛功力虛功 ）。eWiW0ieWW)10.15(17虛位移的含義虛位移的含義虛位移原理的適用范圍虛位移原理的適用范圍(1) 虛位移是除作用在桿件上的原力系本身以外除作用在桿件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的滿足約束條件的假想的無限小位

11、移滿足約束條件的假想的無限小位移。虛位移是在原力系作用下的平衡位置上的再增加的位移平衡位置上的再增加的位移。(2)虛位移可以是真實位移的增量真實位移的增量，也可以是與真實位移無與真實位移無關的其他位移關的其他位移。(3)例如：另外的廣義力或溫度變化、支座移動等引起的位移，甚至是完全虛擬的位移。但是這種虛位移必須滿足虛位移必須滿足邊界位邊界位移條件移條件和變形連續條件，變形連續條件，并符合小變形小變形要求。 虛位移既然與作用的力無關，就不受外力與位移關系的限制，也不受材料應力應變關系的限制，所以虛位移原理可虛位移原理可以用于以用于非線性情況非線性情況。1815.2.2 內力虛功的表達式內力虛功的

12、表達式xdNNdFF NFSFSSdFF MMMd2)(d*l2)(d*l2d*2d*2d*2d*2d*2d*微段的虛位移可分為剛性虛位移剛性虛位移和變形虛位移變形虛位移：該微段因其他各微段的變形而引起的虛位移稱為剛性虛位移剛性虛位移；由該微段本身變形而引起的虛位移稱為變形虛位移變形虛位移。19)(deW*S*Ndd)(dFMlF略去高階無窮小項由虛位移原理：0)(d)(d)10.15(ieWW則有)(d)(deiWW整個結構的內力虛功為*S*Nidd)(dFMlFW式中求和符號表示考慮結構中的所有桿件。若橫截面上存在扭矩扭矩則上式改寫為*S*Niddd)(dTFMlFW2)(d)d(2)(d

13、*NN*NlFFlF2d)d(2d*MMM2d)d(2d*SS*SFFF*S*Ndd)(dFMlF20虛位移原理應用于變形固體的具體表達式：虛位移原理應用于變形固體的具體表達式：*S*N*ddd)(dTFMlFFii)11.15(iF作用在結構上的原力系中的廣義力；*i點i沿 作用方向的廣義虛位移。iF 的符號與 指向或轉向一致者為“”，相反者為“”。規定：規定：*d,d,d,)(d,liTFMFFi,SN21llllTFMlFddd)(dSNaa15.3 單位載荷法單位載荷法 由虛位移原理可以得到計算結構中一點位移的單位載荷法。KKaaK1dd)(d1SN)11.15(lllFMlF 一般情

14、況下，求結構中一點位移的單位載荷法單位載荷法的計算公式為15.3.1 單位載荷法單位載荷法(dummy-load method, unit load method)12.15(單位力引起的內力SN,FMF22單位載荷法計算公式的解釋單位載荷法計算公式的解釋(1) 所求的位移及施加的單位力都是廣義的。 若要求某點的線位移線位移，則應在該點沿所求位移的方向施加單位力單位力； 若要求的是角位移角位移，則應相應地施加單位力偶矩單位力偶矩； 若要求兩點間的相對線位移相對線位移，則應在兩點處同時相應地施加一對方向相反的單位力一對方向相反的單位力； 若要求兩橫截面間的相對角位移相對角位移，則應在兩橫截面處同

15、時相應地施加一對方向相反的單位力偶矩一對方向相反的單位力偶矩； 廣義單位力引起的內力 的量綱與外載作用下引起的 量綱相同。TFMF,SNTFMF,SN(2) 是單位力作功的縮寫。 1 為“” ，則說明單位力所作功為“”，所求位移 與單位力同向； 為“-” ，則說明單位力所作功為“-”，所求位移 與單位力反向。23(3) 剪力的影響： 由于剪力影響很小，第三項可以略去不計。llllTFMlFddd)(dSN)12.15(ABql例如：如圖所示懸臂梁矩形橫截面)(hb101lh則剪力引起的自由端B處的撓度和彎矩引起的B處撓度相比，僅有1。 以彎曲為主的桿件，只計第二項； 只受扭轉的桿件，只計第四項

16、； 只有軸力的桿件，只計第一項；若軸力為常量，例如有n根桿的桁架，則有iniilF1N24 若桿件為組合變形，則要根據具體情況確定應包括哪幾項。(4) 單位載荷法對于線性問題和非線性問題都適用。例題15.22515.3.2 單位載荷法用于線彈性結構單位載荷法用于線彈性結構 線彈性材料服從胡克定律EAxFld)(dNxxwxddddddpddGIxTlllxGITTxEIMMxEAFFdddpNN)12.15(莫爾定理（莫爾積分）莫爾定理（莫爾積分） (Mohrs integration)13.15(莫爾定理（莫爾積分）莫爾定理（莫爾積分）xxwddd22EIxMd26莫爾定理（莫爾積分）公式的

17、適用范圍莫爾定理（莫爾積分）公式的適用范圍lllxGITTxEIMMxEAFFdddpNN)13.15(1) 對于截面高度遠小于軸線曲率半徑的平面曲桿也適用的。(2) 對于平面剛架和曲桿，橫截面上通常有軸力 ，剪力 和彎矩 。剪力 的影響可以略去不計。NFSFMSF桁架的莫爾定理表達式桁架的莫爾定理表達式niliiiiiAElFF1NN)13.15(例題15.3例題15.4例題15.5實際上，軸力 的影響比彎矩 也小得多，因此當軸力 、剪力 、彎矩 同時存在時, 和 對應的項都可以略去不計。NFMNFSFNFSFM27等截面直桿：15.4 計算莫爾積分的圖乘法計算莫爾積分的圖乘法lllxGIT

18、TxEIMMxEAFFdddpNN)13.15(constEAconstEIconstpGI只需計算積分xFFldNNxMMdlxTT d采用圖形相乘的方法計算。28圖乘法圖乘法 (multiplicative graph method)以 為例說明圖乘法。xMMdCxxdCxM(x)OxMxxdCx)(xMCMxMtan)(xxM)a (xxxMxxMxMlld)(tand)()()b(xxMd)(是M圖中陰影線的微分面積xxxMd)(是M圖中陰影線的微分面積對M軸的靜矩xxxMld)(是M圖的面積對M軸的靜矩設M圖的面積為 ，M圖的形心到M軸的距離為 。CxClxxxxMd)(則tand)

19、()()b(ClxxxMxM) c (CM29于是莫爾積分可寫為xEIxMxMld)()(彎矩xEAxFxFld)()(NN軸力)14.15(lxGIxTxTd)()(p扭矩EIMC彎矩EAFCN軸力pGITC扭矩30用圖乘法計算位移的注意事項用圖乘法計算位移的注意事項(1) 和 均有 之分之分。CM, 當 圖與 圖在同一側時， ；0CMMM當 圖與 圖分別位于軸線的兩側時， 。0CMMM(2) 當 圖為折線折線時，需在折點處將 圖及 圖分段分段，分別分別圖乘圖乘，然后再按代數值疊加代數值疊加MMMniCiiEIM1(3) 有變化時有變化時，需在變化處分段變化處分段，再圖乘再圖乘。EI(4)

20、根據彎矩可以疊加的道理，將彎矩圖分成幾個簡單部分彎矩圖分成幾個簡單部分，例如可將梯形彎矩圖分為兩個三角形或一個三角形加一個矩形，對每一部分使用圖乘法，然后再疊加。(5) 當梁上載荷較復雜時梁上載荷較復雜時，為使M圖面積便于計算，形心便于確定，可將其分解為若干簡單載荷單獨作用在梁上分解為若干簡單載荷單獨作用在梁上，分別畫出M圖，與 圖互乘，然后再疊加。M31(6) 只有同種類型的內力圖才能互乘同種類型的內力圖才能互乘，對于雙向彎曲的梁，只有同一平面內的 M 圖和 圖才能互乘。M32常用圖形的面積和形心位置計算公式常用圖形的面積和形心位置計算公式 應用圖乘法時，經常要計算某些圖形的面積和形心位置，

21、現給出幾種常用圖形的面積和形心位置的計算公式，其中拋物線頂點的切線平行于基線或與基線重合。3)(bl Cl3)(al abh三角形2lh二次拋物線C83ll85lh32lh頂點3lh二次拋物線C4ll43lh頂點1nlhCl)2() 1(nlnh頂點n次拋物線)2( nl33例題15.6例題15.7例題15.8例題15.9例題15.10例題15.11342F1F15.5 互等定理互等定理15.5.1 功的互等定理功的互等定理ji作用于點 j 的載荷 引起的點 i 沿 方向的位移。jFiF(reciprocal theorem for work)功的互等定理功的互等定理以簡直梁為例說明功的互等定

22、理。111221112222351111F22F22122F22211F112112122211112121FFFW21211122222121FFFW載荷所作的功與加載順序無關：21WW 212121FF)15.15(表明： 在由 引起的位移 上所作的功等于 在由 引起的位移 上所作的功。這就是功的互等定理功的互等定理。1F2F122F1F21功的互等定理的表述：功的互等定理的表述： 第一組廣義力系在第二組廣義力系引起的位移上所作的功等于第二組廣義力系在第一組廣義力系引起的位移上所作的功。36(reciprocal theorem for displacement)位移互等定理位移互等定理1

23、5.5.2 位移互等定理位移互等定理 若 ，則21FF 21)15.15(12)16.15(表明： 若兩個廣義力 和 數值上相等，則 在 作用處沿 方向引起的廣義位移 等于 在 作用處沿 方向引起的廣義位移 。這就是位移互等定理位移互等定理。1F2F122F1F2F211F2F1F例題15.123715.6 勢能駐值原理和最小勢能原理勢能駐值原理和最小勢能原理 剛體靜力學中講述過勢能駐值原理和最小勢能原理，對變形體而言，這兩個原理仍然成立。VV總勢能V彈性變形勢能V外力勢能1. 勢能駐值原理勢能駐值原理 結構處于平衡狀態時，總勢能的一階變分為零，或者總勢能對某一位移函數取駐值，即0)(VV)1

24、7.15(382. 最小勢能原理最小勢能原理滿足變形連續條件和位移邊界條件的位移，記作 。kiu(1) 結構在穩定平衡狀態下，所具有的總勢能恒小于在其鄰域內其他可能位移狀態下的總勢能。(2) 可能位移：(3) 最小勢能原理：)()(kiiuuiu真是位移當 時，ikiuu )()(kiiuu因此，對 取極小值，即可得到滿足力的平衡條件的真實位移。)(kiu最小勢能原理與平衡條件是等價的。393. 瑞利里茨法瑞利里茨法 (RayleighRitz method) 作為勢能原理的一個重要應用，下面介紹求近似解的一種方法瑞利瑞利里茨法里茨法。瑞利瑞利里茨法的適用范圍：里茨法的適用范圍：(1) 瑞利里

25、茨法是一個很有用的方法，不僅可用于桿件結構的變形和內力計算，還可用于板和殼的結構分析、穩定理論和振動理論；(2) 適用于線性結構，也適用于非線性結構；(3) 適用于靜定結構，也適用于靜不定結構；(4) 瑞利里茨法還是有限單元法的基礎，問題越復雜，其優越性就越能充分體現出來。 結合簡單的桿件問題介紹瑞利里茨法的原理和方法。瑞利瑞利里茨法的原理和方法：里茨法的原理和方法：40第一步：假設一個位移函數近似地表示結構的真實位移。作為最低要求，此位移函數需要滿足變形連續條件變形連續條件和位移邊界條件位移邊界條件，如果能滿足力的邊界條件力的邊界條件更好。此函數包括一個或多個待定的位移參數位移參數。第二步：

26、將總勢能 表達為待定位移參數的函數。第三步：第四步：求出了位移參數，意味著假設的位移函數已經確定，進而可以求出結構的內力。 這種位移函數位移函數將近似于真實位移。一般來說，假設的位移函數中應用的位移參數越多，結果越精確。 在工程實際中，取兩個或三個位移參數就可達到滿意的結果。從理論上，如果假設的位移函數為完備的函數系列構成的無窮級數，則可得到精確的結果。根據勢能駐值原理，將總勢能 對每一個參數取偏導數，并令其為零，得到包含待定位移參數的聯立方程組。解之，即可求得位移參數。41)0(lx 0 wEIM舉例說明瑞利舉例說明瑞利里茨法：里茨法： 以簡支梁簡支梁為例說明如何應用瑞利里茨法得到近似的撓撓

27、曲線方程曲線方程及彎矩方程彎矩方程，并研究其精度精度。第一步：假設位移函數F2l2lxy梁的邊界條件：:0 x0w0w0 wEIQ: lx 0 wEIM0w0w0 wEIQ一般選擇三角函數或多項式函數為位移函數。此處選擇的位移函數（撓度函數）為lxawsin)a (其中a待定位移參數（只有一個），表示梁中點的撓度。 此位移函數對簡支梁特別適用，不僅滿足位移邊界條件，而且滿足力的邊界條件。42第二步：將總勢能 表示為位移參數a的函數梁的彈性變形勢能（應變能）為3240424224dsin2d)(2d2lEIaxlxlaEIxwEIxEIMVlll 外力勢能為FaV則總勢能為FalEIaVV3244第三步：勢能駐值原理02dd34FalEIaEIFla432)b(第四步：確定撓曲線方程和彎矩方程lxEIFllxawsin2sin43)b()a(lxFlwEIMsin22 ) c ()d(43第五步：討論近似解的精確度(1) 梁