1、 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的分布函的分布函數(shù)，那么數(shù)，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，分布函數(shù)一般然而，在實(shí)際問(wèn)題中，分布函數(shù)一般是較難確定的是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的某些數(shù)字特征是重要的 .這

2、一講，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望這一講，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望平均值是日常生活中最常用的一個(gè)數(shù)字特征，平均值是日常生活中最常用的一個(gè)數(shù)字特征，它對(duì)評(píng)它對(duì)評(píng)判事物作出決策等具有重要作用判事物作出決策等具有重要作用.例如，例如，某商場(chǎng)計(jì)劃于某商場(chǎng)計(jì)劃于5月月1日在戶(hù)外搞一次促銷(xiāo)活動(dòng)，日在戶(hù)外搞一次促銷(xiāo)活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)資料表明，統(tǒng)計(jì)資料表明，如果在商場(chǎng)內(nèi)搞如果在商場(chǎng)內(nèi)搞可獲得經(jīng)濟(jì)可獲得經(jīng)濟(jì)效益效益3萬(wàn)元；萬(wàn)元；在商場(chǎng)外搞，在商場(chǎng)外搞， 如果不遇雨天可如果不遇雨天可獲

3、得獲得12萬(wàn)元，萬(wàn)元，遇到雨天則帶遇到雨天則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失來(lái)經(jīng)濟(jì)損失5萬(wàn)元；萬(wàn)元；若前一天的天氣若前一天的天氣預(yù)報(bào)稱(chēng)當(dāng)日有雨預(yù)報(bào)稱(chēng)當(dāng)日有雨的概率為的概率為40%，則商場(chǎng)應(yīng)如何選擇則商場(chǎng)應(yīng)如何選擇促銷(xiāo)方式？促銷(xiāo)方式？1.概念的引入概念的引入顯然商場(chǎng)在該日搞促銷(xiāo)活動(dòng)預(yù)期獲得的經(jīng)濟(jì)效益顯然商場(chǎng)在該日搞促銷(xiāo)活動(dòng)預(yù)期獲得的經(jīng)濟(jì)效益X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量， 其概率分布為其概率分布為,6 . 01211pXPxXP ,4 . 0522pXPxXP 要作出決策就要將此時(shí)的平均效益與要作出決策就要將此時(shí)的平均效益與3萬(wàn)元進(jìn)行比較萬(wàn)元進(jìn)行比較,如何求平均效益呢？如何求平均效益呢？ 要客觀(guān)地反映平均效益要客

4、觀(guān)地反映平均效益,慮慮X的所有取值，的所有取值，又要考慮又要考慮X取每一個(gè)值時(shí)的概率，取每一個(gè)值時(shí)的概率，即為即為既要考既要考2 . 54 . 0)5(6 . 01221 iiipx（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）.稱(chēng)這個(gè)平均效益稱(chēng)這個(gè)平均效益5.2萬(wàn)元為隨機(jī)變量萬(wàn)元為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望,2.數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義定義定義設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布為是離散型隨機(jī)變量，其概率分布為, 2 , 1,1 ipxXPi如果如果iiipx 1絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 （又稱(chēng)（又稱(chēng) 1)(iiipxXE均值均值）完完則稱(chēng)則稱(chēng)也就是說(shuō)也就是說(shuō),離散型隨機(jī)變量的

5、數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.例例1 甲甲, , 乙兩人進(jìn)行打靶乙兩人進(jìn)行打靶, , 所得分?jǐn)?shù)分別記為所得分?jǐn)?shù)分別記為,1X,2X它們的分布律分別為它們的分布律分別為,8 . 02 . 002101kpX1 . 03 . 06 . 02102kpX試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞.解解 我們來(lái)計(jì)算我們來(lái)計(jì)算1X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望, , 得得8 . 18 . 022 . 0100)(1 XE(分分).這意味著這意味著, , 如果甲進(jìn)行很多次的射擊如果甲進(jìn)行很多次的射擊, , 那么那么, , 所所得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平

6、均就接近 1.8, ,).(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(2分分 XE很明顯很明顯, , 乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲的成績(jī)乙的成績(jī)遠(yuǎn)不如甲的成績(jī). .完完而乙所得分?jǐn)?shù)的而乙所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為數(shù)學(xué)期望為例例2 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有把鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)自己的家門(mén)，他隨意地試用這串鑰一把能打開(kāi)自己的家門(mén)，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開(kāi)門(mén)匙中的某一把去開(kāi)門(mén). 若每把鑰匙試開(kāi)一次后若每把鑰匙試開(kāi)一次后除去，求打開(kāi)門(mén)時(shí)試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望除去，求打開(kāi)門(mén)時(shí)試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解解: 設(shè)試開(kāi)次數(shù)為設(shè)試開(kāi)次數(shù)為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE

7、(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)的分布，我們需要計(jì)算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)望，比如說(shuō)g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？呢？如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望? 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái)的分布求出來(lái). 一旦我

8、們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定義把就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái)計(jì)算出來(lái). 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根據(jù)根據(jù)X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？定理定理1設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，),(XgY 下面下面引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理. 且且)(YE存存在在, 于是于是(1) 若若X為離散型隨機(jī)變量，為離散型隨機(jī)變量，其

9、概率分布為其概率分布為, 2 , 1, ipxXPii則則Y的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為;)()()(1iiipxgXgEYE (2) 若若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量， 其概率密度為其概率密度為),(xf則則Y的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 .)()()()(dxxfxgXgEYE注：注：定理的重要性在于：定理的重要性在于：求求)(XgE時(shí)，時(shí)，不必知不必知道道)(Xg的分布，的分布，只需知道只需知道X的分布即可的分布即可.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來(lái)很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來(lái)很大方便.完完定理定理2 設(shè)設(shè)),(YX是二維隨機(jī)向量，是二維隨機(jī)向量，),(YXgZ 且且)(ZE

10、存在，存在，(1) 若若),(YX為離散型隨機(jī)向量，為離散型隨機(jī)向量， 其概率分布其概率分布為為), 2 , 1,(, jipyYxXPijji則則Z的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為;),(),()(11 jiijjipyxgYXgEZE(2)若若),(YX為連續(xù)型隨機(jī)向量，為連續(xù)型隨機(jī)向量， 其概率密度為其概率密度為),(yxf則則Z的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE注注：上述定理可推廣到二維以上的情形上述定理可推廣到二維以上的情形例例3 設(shè)設(shè)),(YX的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為: :8/1008/1308/38/3013210XY求求).(),

11、(),(YXEYEXE 解解 要求要求)(XE和和),(YE需先求出需先求出X和和Y的邊緣的邊緣分布分布. . 關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣分布為的邊緣分布為4/14/331PX8/18/38/38/13210PY4/14/331PX8/18/38/38/13210PY則有則有23413431)( XE23813832831810)( YE83)21(83)11(0)01()( YXE81)33( . 4/9 81)03(0)31( 0)23(0)13( 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)設(shè)C是常數(shù)，是常數(shù)，則則;)(CCE 2. 若若X是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，若若C是常數(shù)，是常數(shù)，則則);

12、()(XCECXE 3.E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(:推廣 4. 設(shè)設(shè)X、Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y獨(dú)立獨(dú)立數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.若若),(YX是二維隨機(jī)向量，是二維隨機(jī)向量，且且YX,相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則則).()()(YEXEXYE ),(11 niiniiXEXEnXXX,(21相互獨(dú)立相互獨(dú)立).注注：推廣到推廣到n維隨機(jī)向量的情形，維隨機(jī)向量的情形， 有有2. 若若X是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，若若C是常

13、數(shù)，是常數(shù)，則則);()(XCECXE 證證這里只對(duì)離散型情形進(jìn)行證明，這里只對(duì)離散型情形進(jìn)行證明，連續(xù)型情形留連續(xù)型情形留給讀者給讀者.設(shè)設(shè)X的概率分布為的概率分布為), 2 , 1( , ipxXPii則由定理則由定理1， 11).()()(iiiiiiXCEpxCpCxCXE有有完完4.設(shè)設(shè)YX,相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則).()()(YEXEXYE 證證 這里只對(duì)連續(xù)型情形進(jìn)行證明，這里只對(duì)連續(xù)型情形進(jìn)行證明， 離散型情形留給離散型情形留給讀者讀者.設(shè)設(shè)),(YX的聯(lián)合密度函數(shù)度為的聯(lián)合密度函數(shù)度為),(yxf其邊緣概率密度分別為其邊緣概率密度分別為)(xfX和和),(xfY由定由定理理

14、2知知 ,),()(dxdyyxxyfXYE因?yàn)橐驗(yàn)閄和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，),()(),(yfxfyxfYX 所以有所以有所以有所以有dxdyyfxxyfXYEYY)()()( dyyyfdxxxfYX)()().()(YEXE 注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,獨(dú)立獨(dú)立.例如，例如，在例在例8中，中， 我們已計(jì)算得我們已計(jì)算得, 4/9)()()( YEXEXYE但但, 4/31, 00, 1 XPYXP, 8/10 YP顯然顯然,010, 1 YPXPYXP注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,獨(dú)立獨(dú)立.例如，例如，在例

15、在例8中，中， 我們已計(jì)算得我們已計(jì)算得, 4/9)()()( YEXEXYE但但, 4/31, 00, 1 XPYXP, 8/10 YP顯然顯然,010, 1 YPXPYXP故故X與與Y不獨(dú)立不獨(dú)立.完完例例4設(shè)設(shè))(),(2XEXE均存在均存在, , 證明證明.)()()(222XEXEXEXE 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?)()(2)(222XEXEXXXEX 于是于是)()(2)(222XEXEXXEXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE .)()(22XEXE 完完例例5一民航送客車(chē)載有一民航送客車(chē)載有 20 位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出, ,旅客有旅客有 10 個(gè)車(chē)站可以下車(chē)個(gè)車(chē)

16、站可以下車(chē). .如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē)有旅客下車(chē)就不停車(chē), , 以以X表示停車(chē)的次數(shù)表示停車(chē)的次數(shù), , 求求)(XE(設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的, ,并設(shè)各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立并設(shè)各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立). .解解 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站沒(méi)有人下車(chē)站沒(méi)有人下車(chē)站沒(méi)有人下車(chē)站沒(méi)有人下車(chē), ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX 現(xiàn)在來(lái)求現(xiàn)在來(lái)求).(XE按題意按題意, , 任一旅客不在第任一旅客不在第i站站下車(chē)的概率為下車(chē)的概率為,10/9因此因此 20 位旅客都不在第

17、位旅客都不在第i站下車(chē)的概率為站下車(chē)的概率為,)10/9(20在第在第i站有人下車(chē)的站有人下車(chē)的概率為概率為,)10/9(120 即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i由此由此,)10/9(1)(20 iXE.10, 2 , 1 i進(jìn)而進(jìn)而)()(1021XXXEXE )()()(1021XEXEXE 784. 8)10/9(11020 (次次). .12E1(|) 故210133 13只要能夠?qū)懗鰲l件概率分布，條件期望的計(jì)算與無(wú)條件期望相同。六六 條件期望條件期望例6 兩封信隨機(jī)往編號(hào)為、的四個(gè)郵筒內(nèi)投，i表示i個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目(i=1,2)。

18、求第二個(gè)郵筒內(nèi)有一封信的條件下第一個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目的平均值。1120121P133 解：(|)解：首先求出邊緣概率表01310 10 20 320 20 1021E32 已知的聯(lián)合分布表為例求及E()( , ).( |)|12P0 60 4.013P0 30 30 4.3 時(shí) 的條件分布為124 3故E( | =3)=14542 時(shí) 的條件分布為113E2013244( |) 故=11231Pk344(|) 013111Pk|2244() i,x i對(duì)于二元離散型隨機(jī)變量()，在 x的條件下，求 的數(shù)學(xué)期望，稱(chēng)為給定 時(shí) 的條件期望。iEx( |) 記作ijjijExy Pyx( |)(|) ijj1jip