1、會計學1第一頁，共147頁。根軌跡定義(dngy)：開環系統傳遞函數的某一個參數變化時，閉環系統特征方程的根在復平面上變化的軌跡。例：如圖所示二階系統(xtng)，) 15 . 0(ssK)(sR)(sC-特征方程為：0222Kss閉環傳遞函數：KssKs222)(2系統開環傳遞函數為：) 15 . 0()(ssKsGkKs2112, 1特征根為：第1頁/共147頁第二頁，共147頁。201 j1 j1Ks2112, 1特征根為：討論(toln)： 當K=0時，s1=0,s2=-2, 是開環傳遞函數的極點 當K=0.32時，s1=-0.4,s2=-1.6 當K=0.5時，s1=-1,s2=-1

2、 當K=1時，s1=-1+j,s2=-1-j 當K=5時，s1=-1+3j,s2=-1-3j 當K=時，s1=-1+j,s2=-1-j0K0K1K5K第2頁/共147頁第三頁，共147頁。系統的結構圖如下：)(sR)(sC-)(sG)(sH閉環傳遞函數為：)()(1)()(sHsGsGs開環傳遞函數為：)()()(sHsGsGk將 寫成以下標準型，得：)(sGknjjmiigkpszsksG11)()()(為開環零極點。跡增益；傳遞系數，或稱為跟軌式中：jigpzk，第3頁/共147頁第四頁，共147頁。系統的結構圖如下：)(sR)(sC-)(sG)(sH閉環傳遞函數為：)()(1)()(sH

3、sGsGs開環傳遞函數為：)()()(sHsGsGk將 寫成以下標準型，得：)(sGknjjmiigkpszsksG11)()()(為開環零極點。跡增益；傳遞系數，或稱為跟軌式中：jigpzk，第4頁/共147頁第五頁，共147頁。閉環傳遞函數的極點就是閉環特征方程： 的根。0)(1sGk的根。的極點，閉環特征方程的點就是閉環系統或：換句話說，滿足：1)()(1)(11njjmiigkpszsksG根軌跡定義(dngy)：開環系統傳遞函數的某一個參數變化時，閉環系統特征方程的根在復平面上變化的軌跡。為根軌跡方程。或：稱1)()(1)(11njjmiigkpszsksG第5頁/共147頁第六頁，

4、共147頁。.2 , 1 , 0,) 12()()(1| )( | )( |1)(| )(|)(1111kkpszspszsksGsGsGnjjmiinjjmiigkkk或是復數，上式可寫成：由于上述兩式分別稱為滿足(mnz)根軌跡方程的幅值條件和相角條件。一些約定：在根軌跡圖中，“ ”表示開環極點，“ ”表示開環有限值零點。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數增加的方向。“ ”表示根軌跡上的點。我們先以根軌跡增益 （當然也可以用其它變量）作為變化量來討論根軌跡。gk第6頁/共147頁第七頁，共147頁。例4-1如圖二階系統(xtng)，當Kg從0時繪制系統(xtng)的根軌跡。) 1( sskg

5、)(sR)(sC-解閉環傳遞函數：ggkssks2)(特征方程和特征根：ggkskss41212102, 12，討論：；1，是開環系統的極點-0和時2, 10skg，1沿負實軸向右移動。從，從0沿負實軸向左移動時，12skgs在負實軸上。時重根。可見當時2, 12, 14102141skskgg，直線移動。于虛軸的點處分成兩支，沿平行21為復根。在時2, 141skg，jskg212, 1時，第7頁/共147頁第八頁，共147頁。總結當 從0變化到 時，系統的根軌跡是連續的。 的點稱為起點， 的點稱為終點。本例中有兩個分支，終點都在無窮遠處。gk0gkgk這里(zhl)是用解析法畫出的根軌跡，

6、但對于高階系統，求根困難，需用圖解法畫圖。復平面上滿足相角條件的點應在根軌跡上。上例中，A點在根軌跡上嗎？向量s和s+1的相角分別為 根據相角條件(試探法)： 21AA和) 12() 1() 1(21kBAOAsssskAAg顯然，只有三角形OAB是等腰三角形時， ，A點在根軌跡上。 點顯然不在根軌跡上。21AAA100gk0gk1 j1 j5 . 0gkgkA1ss1A2ABA第8頁/共147頁第九頁，共147頁。定義：滿足相角條件(tiojin)的點連成的曲線稱為180度等相角根軌跡。同樣，滿足幅值條件(tiojin)的點連成的曲線稱為等增益根軌跡（它是在某一增益的情況下繪制的）。180度

7、等相角根軌跡和等增益根軌跡是正交的，其交點滿足根軌跡方程，每一點對應一個 。由于180度等相角根軌跡上的任意一點都可通過幅值條件計算出相應的 值，所以直接稱180度等相角根軌跡為根軌跡。gkgk在根軌跡上的已知點求該點的 值的例子。上例中，若A點的坐標是0.5+j2，則根據幅值條件：gk25. 41) 1(25 . 0gjsgkssk，第9頁/共147頁第十頁，共147頁。，KSSKSRSC2)()(02KSSKS4121211KS4121212根軌跡定義：開環系統傳遞函數的某一個參數變化(binhu)時，閉環系統特征方程的根在復平面上變化(binhu)的軌跡。第10頁/共147頁第十一頁，共

8、147頁。從系統的根軌跡圖，可以獲得下述信息從系統的根軌跡圖，可以獲得下述信息:.穩定性：因為根軌跡全部位于穩定性：因為根軌跡全部位于(wiy)左半平面，故閉環系統對所左半平面，故閉環系統對所有的值都是穩定的。有的值都是穩定的。.穩態性能：因為開環傳函有一個位于穩態性能：因為開環傳函有一個位于(wiy)坐標原點的極點，所以坐標原點的極點，所以是是I型系統，階躍作用下的穩態誤差為型系統，階躍作用下的穩態誤差為0。K=0.25K=0K=0KK-1j當當K=0K=0時，時，S S1 1=0=0，S S2 2=-1=-1第11頁/共147頁第十二頁，共147頁。暫態性能暫態性能（）當（）當 m，那么剩

9、余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠處。 由根軌跡方程知：當 時 )1(mizsisgK第26頁/共147頁第二十七頁，共147頁。若開環零點數m小于開環極點(jdin)數n，則當系統的開環增益Kg時趨向無窮遠處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠的方位可由漸近線決定。gmiijnjKzsps11)()(由根軌跡(guj)方程可得：gmmmnnnmiijnjKbsbsbsasasaszsps0111011111)()(njjnpa11miimzb11式中 ，第27頁/共147頁第二十八頁，共147頁。gmnmnmnKsbas111)(當Kg，由于m=2時， ，即：njjniinpsa

10、111對于任意的 ，閉環極點之和等于開環極點之和，為常數。gK表明：當 變化時，部分閉環極點在復平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變小）。gKq 閉環極點之積為：miignjjgniizKpbKas11001 根據上述10個性質（或準則），可以大致畫出根軌跡的形狀(xngzhun)。為了準確起見，可以用相角條件試探之。當有為零的開環極點：miiggniizKbKs101第58頁/共147頁第五十九頁，共147頁。根軌跡(guj)作圖步驟一、標注開環極點和零點，縱橫坐標用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點(ji

11、odin)；六、根軌跡的分離點、會合點； 結合根軌跡的連續性、對稱性、根軌跡的支數、起始點和終點，閉環極點與閉環極點之和及之積等性質畫出根軌跡。第59頁/共147頁第六十頁，共147頁。180603180) 12( k漸近線67. 238344440jj例開環傳遞函數為： ，畫根軌跡。 16)4()(2ssKsGgk出射角 ，45135901801c 452c032823gKsss求與虛軸的交點，此時特征方程為解：求出開環零極點，即：jpp4403 , 21 ，實軸上的根軌跡(guj)：(，0將 代入得：js 032823gpKjj082gpK0323657.524,0256,0gpK第60頁

12、/共147頁第六十一頁，共147頁。求分離(fnl)會合點：由特征方程032823gKsssjjs89.167.23248)328(23sssKg0)32163(2ssdsdKg由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將 代入得 為復數。3248js)25(27256jKg-8-6-4-202-8-6-4-202468第61頁/共147頁第六十二頁，共147頁。180603180) 12( k漸近線67. 238344440jj例開環傳遞函數為： ，畫根軌跡。 1)4()(2ssKsGgk出射角 ，76)41180(9018011tgc 762c017823gKsss求與虛軸的交

13、點，此時特征方程為解：求出開環零極點，即：jpp403 , 21，實軸上的根軌跡(guj)：(，0將 代入得：js 017823gpKjj082gpK0173123.417,0136,0gpK第62頁/共147頁第六十三頁，共147頁。求分離(fnl)會合點：由特征方程017823gKsss94. 388.10869. 3465. 13138ggKKs)178(23sssKg0)17163(2ssdsdKg由圖知這兩點都在根軌跡(guj)上，所以都是分離會合點。-8-6-4-202-8-6-4-202468第63頁/共147頁第六十四頁，共147頁。180603180) 12( k漸近線67.

14、 238344440jj例開環傳遞函數為： ，畫根軌跡。 316)4()(2ssKsGgk出射角 ，60)33180(9018011tgc 602c0364823gKsss求與虛軸的交點，此時特征方程為解：求出開環零極點，即：jpp334403 , 21 ，實軸上的根軌跡(guj)：(，0將 代入得： ，js 082gpK0364362.4364,03512,0gpK第64頁/共147頁第六十五頁，共147頁。求分離(fnl)會合點：由特征方程0364823gKsss96.1838gKs)3648(23sssKg0)364163(2ssdsdKg由圖知這點在根軌跡上，所以是分離(fnl)會合點

15、。而且是三重根點。此時分離(fnl)角為603180d-8-6-4-202-8-6-4-202468第65頁/共147頁第六十六頁，共147頁。 需掌握(zhngw)繪制根軌跡的十個準則 根軌跡的連續性和對稱性； 根軌跡的支數、起始點和漸進線； 根軌跡實軸上的點和根軌跡的分離點，會合點； 根軌跡的出射角、入射角和虛軸的交點； 閉環極點之積和之和。第66頁/共147頁第六十七頁，共147頁。第67頁/共147頁第六十八頁，共147頁。例設一反饋例設一反饋(fnku)控制系統的開環傳函控制系統的開環傳函)22)(3()()(21SSSSKSHSG繪制繪制(huzh)變化時的系統根軌跡。變化時的系統

16、根軌跡。1K解：解：.在平面中標出開環極點在平面中標出開環極點11,3,04,321jppp.由規則二和三知，根軌跡共有四個分支，從開環極點出發，當時趨向無窮遠處。由規則二和三知，根軌跡共有四個分支，從開環極點出發，當時趨向無窮遠處。1K.由規則四，實軸上的根軌跡由規則四，實軸上的根軌跡 。03S第68頁/共147頁第六十九頁，共147頁。漸近線的相角漸近線的相角(xin jio)和交點為和交點為25.14113315,225,135,454180)12(aaq求根軌跡求根軌跡(guj)的分離點的分離點0) 5 . 1475. 3(4)685()22)(3(0)22)(3(2312342112

17、SSSdsdKSSSSSSSSKKSSSS系統的特征方程系統的特征方程第69頁/共147頁第七十頁，共147頁。上式的根為，。只有上式的根為，。只有(zhyu)是實際分離點。是實際分離點。3 . 2S對應對應(duyng)分離點的分離點的 值可按幅值條件確定值可按幅值條件確定1K11ipSK33.464.164.17.03.2111133.21sjsjsssK求根軌跡在求根軌跡在 的出射角的出射角3p6 .431)6 .2690135(180p），為減去6 .71360(365. 0725. 0jS3 . 2S第70頁/共147頁第七十一頁，共147頁。求根軌跡求根軌跡(guj)與虛軸的交點與

18、虛軸的交點此處利用此處利用(lyng)勞斯判據，由特征方程勞斯判據，由特征方程06851234Kssss4s3s2s1s0s5341K534552041K1K列勞斯表列勞斯表第71頁/共147頁第七十二頁，共147頁。令，得令，得0534552041K16. 81K根據行的系數寫出輔助根據行的系數寫出輔助(fzh)方程方程2S0)534(12 KS將代入，得將代入，得16. 8,1kjs1 . 1.作根軌跡圖作根軌跡圖在分離點附近在分離點附近(fjn)取取n個試驗點，知分離角為個試驗點，知分離角為90,在在 附近附近(fjn)取取n個試驗點個試驗點3p第72頁/共147頁第七十三頁，共147頁

19、。確定確定(qudng)閉環極點閉環極點.在上例中給定一對主導極點的阻尼比在上例中給定一對主導極點的阻尼比5 . 01.畫出線畫出線60arccos6012或arctg第73頁/共147頁第七十四頁，共147頁。線的根軌跡交點的坐標就是時，系統線的根軌跡交點的坐標就是時，系統(xtng)的一對閉環主導極點的一對閉環主導極點5 . 0主導極點主導極點(jdin)處對應的值用幅值條件求處對應的值用幅值條件求1K91.268.074.286.184.01K用試探法可找到另兩個閉環極點用試探法可找到另兩個閉環極點85. 24 . 121ss和當時，系統的閉環傳函為91. 21K)85. 2)(4 .

20、1)(7 . 04 . 0)(7 . 04 . 0(91. 2)()(ssjsjsSRsC第74頁/共147頁第七十五頁，共147頁。第75頁/共147頁第七十六頁，共147頁。根軌跡法分析系統的一般步驟：根軌跡法分析系統的一般步驟：繪制系統的根軌跡圖；繪制系統的根軌跡圖；分析根軌跡圖，估計分析根軌跡圖，估計(gj)系統增益系統增益 對閉環零、極點分布的影響；對閉環零、極點分布的影響；根據閉環零、極點的分布估算系統暫根據閉環零、極點的分布估算系統暫態響應指標；態響應指標；對高階系統要盡可能準確地找出它的對高階系統要盡可能準確地找出它的閉環主導極點。閉環主導極點。1K第76頁/共147頁第七十七

21、頁，共147頁。參數根軌跡繪制方法參數根軌跡繪制方法例已知系統例已知系統(xtng)框圖，繪制以為參數的根軌跡框圖，繪制以為參數的根軌跡.第77頁/共147頁第七十八頁，共147頁。解：（解：（1）系統）系統(xtng)的開環傳遞函數的開環傳遞函數SSSSG)1(1)(特征方程特征方程0)(1SG012sss（2）以為參變量，特征方程可寫為）以為參變量，特征方程可寫為0112sss即1)(2SSSSG繪制繪制(huzh)的根軌跡的根軌跡)(SG第78頁/共147頁第七十九頁，共147頁。（3）開環極點）開環極點(jdin) 閉環極點閉環極點(jdin)023212,1zjp（4）實軸上的根軌跡

22、）實軸上的根軌跡（5）漸近線傾角）漸近線傾角(qngjio)（6）會合點）會合點 求求 ，得，得 為實際會合點，該點為實際會合點，該點（7）出射角）出射角0,( 180a0dsd11s1, 121ss1150)90120(180p第79頁/共147頁第八十頁，共147頁。第80頁/共147頁第八十一頁，共147頁。第81頁/共147頁第八十二頁，共147頁。第82頁/共147頁第八十三頁，共147頁。第83頁/共147頁第八十四頁，共147頁。第84頁/共147頁第八十五頁，共147頁。第85頁/共147頁第八十六頁，共147頁。Matlab參考書推薦： 現代控制工程，美Katsuhiko O

23、gats,盧伯英譯， 電子(dinz)工業出版社 MATLAB控制系統設計，歐陽黎明著， 國防工業出版社三、用Matlab繪制(huzh)根軌跡第86頁/共147頁第八十七頁，共147頁。num=0 0 0 1;%開環傳遞函數分子系數，降冪排列(pili)den=1 3 2 0; %開環傳遞函數分母系數，降冪排列(pili)r=rlocus(num,den);例子系統的開環傳遞函數為： ，試利用Matlab畫出系統的根軌跡。)2)(1(1)(ssssGk解打開Matlab,創建一個m文件，輸入下列(xili)程序片段：執行之，可得到根軌跡。第87頁/共147頁第八十八頁，共147頁。例4-13

24、已知系統開環傳遞函數為（1）畫出系統的根軌跡；（2）計算使系統穩定的k值范圍；（3）計算系統對于斜坡輸入的穩態誤差。 331sssksG1365. 6732. 1 j732. 1 j解：（1）畫根軌跡：第88頁/共147頁第八十九頁，共147頁。q 求出射角： ，得 。 該系統有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環零點 -1處；另兩條從原點以 的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。121801k180,60160q 會合分離點：由方程 得 解得 在根軌跡上，因此是會合點。 不在根軌跡上，舍去。 0sDsNsDsN0982 ss65. 242, 1s65. 61s35. 12s第89頁/共

25、147頁第九十頁，共147頁。q 求與虛軸交點 系統特征方程為 勞斯表為當 時，由輔助方程 ，可求出根軌跡與虛軸的交點為 。（2）由勞斯表可知當 時，系統穩定。（3）系統含有三個積分環節，屬型系統，型系統對于斜坡輸入的穩態誤差為零。03423kksksskskskksks3034341012343k032 kks3j43k第90頁/共147頁第九十一頁，共147頁。q 畫根軌跡 分離（會合）點分別為-2.93和-17.07，分離（會合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。45例4-14已知單位反饋系統的開環傳遞函數為（1）畫出系統的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統的阻尼比 是 ，并求此

26、時系統的閉環特征根；（3）分析k對系統性能的影響，并求系統最小阻尼比所對應的閉環極點。 510sssksG21第91頁/共147頁第九十二頁，共147頁。q當 時，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得由圖可知當 時直線OB與圓相切，系統的阻尼比 ，特征根為 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155j第92頁/共147頁第九十三頁，共147頁。q 對于分離點 ，由幅值條件可知 對于會合點 ，有 由根軌跡圖可知，當 時，閉環系統有一對不等的負實數極點，其瞬態響應呈過阻尼狀態。當 時，閉環系統有一對共軛

27、復數極點，其瞬態響應呈欠阻尼狀態。當 時，閉環系統又有一對不等的負實數極點，瞬態響應又呈過阻尼狀態。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.2945第93頁/共147頁第九十四頁，共147頁。q 由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負實軸夾角的余弦就是系統的最小阻尼比，由上可知，此時系統的閉環極點為 。55j第94頁/共147頁第九十五頁，共147頁。例4-15：設系統A和B有相同的被控對象(duxing)，且有相同的根軌跡，如下圖所示。

28、已知系統A有一個閉環零點，系統B沒有閉環零點。試求系統A和B的開環傳遞函數和它們所對應的閉環方塊圖。第95頁/共147頁第九十六頁，共147頁。系統A和B的閉環傳遞函數分別為： 211211211222sssksssksksssksDsksA 211212222sssksskskssksDksB 212sssksG 122sksssD解：由于兩系統的根軌跡完全相同，因而它們對應的開環傳遞函數和閉環特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統A和B的開環傳遞函數為：特征方程為：第96頁/共147頁第九十七頁，共147頁。由此可知，系統A是一單位反饋系統，前向通路的傳遞函數為： 。系統B的前向通路傳遞函

29、數為： ，反饋通路傳遞函數為： 。由于系統A和B有相同的被控對象，因此，系統的A的前向通路傳遞函數可寫為： ，閉環方塊圖如下圖（a）所示，系統B的閉環方塊圖如下圖（b）所示。212sssk22ssk1s212ssks1s)2(2ssk)(sC)(sR圖(a) A系統1s)2(2ssk)(sC)(sR圖(b) B系統 根軌跡相同的系統(xtng)，開環傳遞函數和閉環極點都相同，但閉環零點卻不一定相同。 第97頁/共147頁第九十八頁，共147頁。例4-16:已知單位反饋系統的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統的閉環傳遞函數；（2）試用適當的方法使系統在任意K值時均處于穩定的狀態。 第98頁/共1

30、47頁第九十九頁，共147頁。解： 由根軌跡(guj)圖知系統的開環傳遞函數為： 62ssksG ksskkssks6622單位反饋系統的閉環傳遞函數為：提示：加入比例(bl)微分控制后，系統增加了開環零點。在系統中加入零點后，將使根軌跡左移，有利于系統的穩定性。 62ssasksG90026aa60 a 當在系統中加入比例微分控制時，開環傳遞函數增加了一個零點，此時：這時漸近線與實軸的夾角為： ，只要漸近線與負實軸相交,系統的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。第99頁/共147頁第一百頁，共147頁。 從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩定性越好。 a6時，根軌跡有一部分在s右半平

31、面。clear all;num1=0 0 1 3;den1=1 6 0 0;num2=0 0 1 5;den2=1 6 0 0;num3=0 0 1 7;den3=1 6 0 0;h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3)作業(zuy)：4-7，4-10，4-11第100頁/共147頁第一百零一頁，共147頁。q 條件穩定(wndng)系統的分析 q 臨界穩定(wndng)增益的確定；q 瞬態性能分析和開環系統參數的確定q 阻尼角和等阻尼線；q 超調量、調整時間與閉環極點的關系；q 根據性能指標確定二階

32、及高階系統的開環放大系數；q 開環零、極點對根軌跡形狀的影響。q 用Matlab繪制根軌跡的方法第101頁/共147頁第一百零二頁，共147頁。第102頁/共147頁第一百零三頁，共147頁。第103頁/共147頁第一百零四頁，共147頁。第104頁/共147頁第一百零五頁，共147頁。第105頁/共147頁第一百零六頁，共147頁。第106頁/共147頁第一百零七頁，共147頁。第107頁/共147頁第一百零八頁，共147頁。第108頁/共147頁第一百零九頁，共147頁。 :. G(S)H(S) 2.a)S(S10解解為為參參變變量量的的根根軌軌跡跡圖圖試試繪繪制制以以傳傳函函為為設設某某

33、負負反反饋饋系系統統的的開開環環例例a p1p210180 1809090180 )4(10s -a (3)0 )2(10-jP 10jP 0Z )1(01 01G(S)H(S)1 p1p1s10ss10)(s-s2sdsdas10s12)12(a21 110Sasa)S(S10222222 出射角出射角軌跡與實軸交點軌跡與實軸交點漸近線漸近線ll第109頁/共147頁第一百一十頁，共147頁。第110頁/共147頁第一百一十一頁，共147頁。第111頁/共147頁第一百一十二頁，共147頁。第112頁/共147頁第一百一十三頁，共147頁。第113頁/共147頁第一百一十四頁，共147頁。第

34、114頁/共147頁第一百一十五頁，共147頁。 :. )164(3)2S-k(-SG(S)H(S) . )(S: : .22解解圖圖試試繪繪制制該該系系統統的的根根軌軌跡跡開開環環傳傳遞遞函函數數為為設設某某非非最最小小相相位位系系統統的的例例零零點點或或極極點點和和平平面面的的右右半半部部具具有有開開環環非非最最小小相相位位系系統統平平面面的的左左半半部部點點均均位位于于反反饋饋系系統統的的全全部部開開環環極極最最小小相相位位系系統統跡跡非非最最小小相相位位系系統統的的根根軌軌二二 SSSS3.07k, 3.14 0k 0, 3 . 5 3 . 5 3.6 02 1Z -3Z 3j2-2P

35、 0P 1)164(3)-2Sk(S : 1)164(3)2S-k(-S 3,21P3P2a21212222 mnlSSSSSS標準化處理為標準化處理為第115頁/共147頁第一百一十六頁，共147頁。 -1)()( 0)()(1 2. )()(1)(R(S)C(S) : )()(S)X(S)X )-(tX(t) X ., ,)()(: 1. .11121212 SSSsSSeSHSGeSHSGeSHSGeSGeSXeSXtXtX 根根軌軌跡跡方方程程為為特特征征方方程程為為時時滯滯系系統統的的根根軌軌跡跡為為時時滯滯系系統統包包含含時時滯滯環環節節的的系系統統稱稱時時滯滯系系統統為為時時滯滯

36、這這種種環環節節稱稱為為時時滯滯環環節節滯滯后后一一定定時時間間比比其其輸輸入入信信號號輸輸出出信信號號時時滯滯環環節節時時滯滯系系統統時時滯滯系系統統的的根根軌軌跡跡三三X2(t)X1(t)C(S)G(S)H(S)R(S)-se第116頁/共147頁第一百一十七頁，共147頁。 180 -1 :. G(S)H(S)e .3 .57360180)P-(S-)Z-(S )(3 .57)(e ee 360180e)P-(S -)Z-(S )j(S 1e 1ke1s-m1n1iis-j)j(-s-m1n1s-ii-s-11根根軌軌跡跡繪繪制制故故按按根根軌軌跡跡方方程程為為解解跡跡草草圖圖試試繪繪制

37、制時時滯滯系系統統的的根根軌軌開開環環傳傳函函為為設設某某負負反反饋饋時時滯滯系系統統的的例例故故有有相相角角條條件件幅幅值值條條件件SSkeiiiiPSZSksiniimiiradeei第117頁/共147頁第一百一十八頁，共147頁。分支分支復平面內的完整根軌跡復平面內的完整根軌跡按上述方法可繪制在按上述方法可繪制在區間內選取一系列值，區間內選取一系列值，在虛軸在虛軸即滿足即滿足便是滿足相角條件的點便是滿足相角條件的點兩直線的交點兩直線的交點直線直線的的角為角為做一條與實軸正方向夾做一條與實軸正方向夾過開環極點過開環極點做實軸的平行線做實軸的平行線并過點并過點在虛軸上選一點在虛軸上選一點相

38、角條件的點相角條件的點現在在復平面尋找滿足現在在復平面尋找滿足則相角條件寫成則相角條件寫成令令復平面上的根軌跡復平面上的根軌跡根軌跡的相角條件相同根軌跡的相角條件相同故與繪制故與繪制所以相角條件變為所以相角條件變為在實軸上由于在實軸上由于實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡c. 3 .57180)1( ,3 .571801b. ), 0(,a. jS 57.318057.31801)(s 57.31801)(s- :, 0 )2(180 i3601801S- , 0 )1(1111111111jjSPji第118頁/共147頁第一百一十九頁，共147頁。.645.0 ,1 1)(s arctg , (

39、4) )/-(1 0 /, -s )(lim lim lim )3(1js1dsd-s)1()(-s1-s圖圖由由此此繪繪制制出出主主根根軌軌跡跡如如解解得得時時則則坐坐標標設設根根軌軌跡跡與與虛虛軸軸的的交交點點根根軌軌跡跡與與虛虛軸軸的的交交點點分分離離點點坐坐標標為為根根軌軌跡跡趨趨向向與與直直線線時時當當環環極極點點也也是是給給定定系系統統的的一一個個開開由由于于實實軸軸的的根根軌軌跡跡arctgarctgKeKsesssKesKeSdsdSdsdS第119頁/共147頁第一百二十頁，共147頁。j-1ji=0i=0i=1i=12j2j0 K0jW主根(zhgn)軌跡圖第120頁/共1

40、47頁第一百二十一頁，共147頁。 利用根軌跡，可以對閉環系統的性能進行分析和校正 由給定參數確定閉環系統的零極點的位置； 分析參數變化(binhu)對系統穩定性的影響； 分析系統的瞬態和穩態性能； 根據性能要求確定系統的參數； 對系統進行校正。第121頁/共147頁第一百二十二頁，共147頁。一、 條件穩定系統(xtng)的分析 例4-11：設開環系統傳遞函數為：) 14 . 1)(6)(4()42()(22sssssssksGgk試繪制根軌跡并討論使閉環系統穩定時 的區值范圍。gk 開環極點：0，-4，-6， ，零點：714. 07 . 0j732. 11j 實軸上根軌跡區間： 0 , 4

41、),6,( 漸進線：與實軸的交點：13. 3324 . 164mnzpii,3) 12(mnk傾角：解根據繪制(huzh)根軌跡的步驟，可得：046第122頁/共147頁第一百二十三頁，共147頁。 分離角（點）：2d22)(, 42)(2ssNsssNssssssD246 .43394 .11)(2345242 .871176 .455)(234sssssD3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50 sgdk 的最大值為9.375，這時s=-2.5，是近似分離點。gdk由：dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0

42、)()()()(可以求得分離點。近似(jn s)求法：分離點在-4，0之間。第123頁/共147頁第一百二十四頁，共147頁。 入射角：1032 與虛軸的交點（略）。這時的增益值：195,64,14gpk64gk64gk14gk14gk195gk195gk由圖可知：當 和 時，系統是穩定的（為什么？）；當 時，系統是不穩定的。140gk19564gk6414195ggkk和左圖是用Matlab工具(gngj)繪制的。第124頁/共147頁第一百二十五頁，共147頁。條件穩定系統：參數在一定(ydng)的范圍內取值才能使系統穩定，這樣的系統叫做條件穩定系統。v 具有(jyu)正反饋的環節。 下面

43、的系統就是(jish)條件穩定系統的例子：v 開環非最小相位系統，其閉環系統的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；第125頁/共147頁第一百二十六頁，共147頁。例非最小相位系統： ，試確定使系統穩定時的增益值。)2)(1()(ssksGgk解：根軌跡(guj)如右：有閉環極點在右半平面，系統是不穩定的。顯然穩定臨界點在原點。該點的增益臨界值為 。gpk閉環特征方程為： ，當s=0時， ，所以，系統穩定的條件是：022gkss2gpk2gk第126頁/共147頁第一百二十七頁，共147頁。二、瞬態性能分析和開環系統參數(cnsh)的確定 利用根軌跡可以清楚的看到開環根軌跡增益或其他開環系統參數變化時，閉環系統極點位置(wi zhi)及其瞬態性能的改變情況。以二階系統為例：開環傳遞函數為)2()(2sssGnk閉環傳遞函數為2222)(nnnsss共軛極點為：nnjs22, 11在s平面(pngmin)上的分布如右圖：nnj21閉環極點的張角 為：1222cos,)()1(cosnnn所以 稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。第127頁/共147頁第一百二十八頁，共147頁。 我們知道閉環二階系統的主要的性能指標是超調量和調整時間(shjin)。這些性能指標和閉環極點的關系如下：%100%100%21ctgee)(33為極點實部ns