1、初等模型初等模型 n數(shù)學(xué)模型定義：數(shù)學(xué)模型定義：n根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，n歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的n數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法。用以描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。n數(shù)學(xué)建模一般步驟數(shù)學(xué)建模一般步驟 n由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決，需要分三步完成： n分析問題，找出問題中各因素關(guān)系； n提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型； n將數(shù)學(xué)模型納入相應(yīng)的知識(shí)體系去處理n從而解決實(shí)際問題。n1臺(tái)灣華航客機(jī)失事后，祖國大陸海上搜救中心立即通知位于A、B兩處的上海救撈局所屬專業(yè)救助輪華意輪、滬救12輪前往出事地點(diǎn)協(xié)助搜救接到通知后，華意輪測得出事地點(diǎn)C在A的南偏東60，滬救12輪測得出事

2、地點(diǎn)C在B的南偏東30已知B在A的正東方向，且相距100海里，分別求出兩船到達(dá)出事地點(diǎn)C的距離如圖1分析 作BDAC，依題意知ABC120，BAC30，BCAB100海里在RtBDC中，C30，n如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75方向，與A相距3海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60方向，與B相距5海里的C處則兩艘輪船之間的距離為海里n【解析】連接AC，則AC5，n在ACD中，AD3，AC5，DAC45，n由余弦定理得：CDn如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)

3、北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船達(dá)到D點(diǎn)需要多長時(shí)間？n4已知A船在燈塔C北偏東80且A到C的距離為2 km，B船在燈塔C西偏北50處，A、B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為km.n【解析】由已知得：ACB120，AC2，AB3n設(shè)BCx，則AB2BC2AC22BCACcos120n即32x22222xcos120n即x22x5，解得n如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在B處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n km范圍

4、內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)n【解析】在ABM中，n解得：BM.n要使該船沒有觸礁危險(xiǎn)需滿足：BMsin(90)n.n當(dāng)與的關(guān)系滿足mcoscosnsin()時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)n例例某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇.n（）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？n（）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇

5、能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由. n解析解析:（1）如圖，為使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為T，小艇到達(dá)T位置時(shí)輪船的航行位移 n (2)討論：若輪船與小艇在、之間位置相遇時(shí)，根據(jù)小艇的速度限制，有OGAG，但實(shí)際上，這種情況中AGOG，所以不符合要求舍去.輪船與小艇的交點(diǎn)必在T、B之間.若輪船與小艇在H處相遇時(shí)，在直角三角形OHT中運(yùn)用勾股定理有： n例例 某工廠要建一面積為512的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其它三面需新建。問堆料場的長和寬各為多少米時(shí)，能使砌墻所用的料最省？n例例 制作一個(gè)容積為定數(shù)的圓柱形帶蓋鐵皮水箱，如何設(shè)計(jì)其底半徑與高可用料最省？( k 為某一常數(shù)

6、)例例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB , 要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 , 為使貨D 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20AB100C,(km)xAD x則,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x總運(yùn)費(fèi)物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省, 問DKm ,公路, n 例例3 修建大橋的橋墩時(shí)，先要下圍囹，再抽出其中的水以便施工. 圍囹是圓柱形，其直徑為20，水深為27，圍囹高出水面3. 求抽盡圍囹中的水作多少功n ghApAFghApAFxdxgdW21030345)(104 . 1108

7、 . 9JxdxWn一橫放的半徑為的圓柱形油桶盛有半桶油，油的密度為，計(jì)算桶的圓形一側(cè)所受n的壓力.ghApAFdxxRgxdF222302320220222232)(32)(2gRxRgxRdxRgdxxRgxFRRRn例例5 一貯油罐裝有密度為的油料.為了便于清理，罐的下部側(cè)面開有半徑的圓孔，孔中心距液面孔口擋板用螺釘鉚緊，已知每個(gè)螺釘能承受的力.問至少需要多少個(gè)螺釘？dxxR222dxxRxhgdF222)(RRRRRRdxxRxghdxxRghdxxRxhgF222222222)()(2938. 08 . 630141598 . 996. 0kNFn某輪船在航行使用的燃料費(fèi)用和輪船的航

8、行速度的立方成正比，經(jīng)測試，當(dāng)船速為10公1里/小時(shí)，燃料費(fèi)用是每小時(shí)20元，其余費(fèi)用（不論速度如何）都是每小時(shí)320元，試問該船以每小時(shí)多少公里的速度航行時(shí)，航行每公里耗去的總費(fèi)用最少，大約是多少？ 2今欲造一個(gè)無蓋的容積為 的圓柱形水池，池底所用材料每平方米300元，池壁所用材料每平方米200元，那么設(shè)計(jì)這個(gè)水池的最低成本是多少元？有一張長方形紙片，它的長和寬分別為32cm和20cm，將它的四個(gè)角各剪去邊長為x的小正方形，再把它做成沒有蓋的紙盒，當(dāng)x等于多少時(shí)，盒子的容積最大？最大容積是？1.沒有問題，就是當(dāng)何速度時(shí)，值最小 某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其

9、跳傘的飛 行行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。2.1 艦艦艇的會(huì)合艇的會(huì)合12,11222aabrbaah令：令：則上式可簡記成則上式可簡記成 ： 222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 護(hù)衛(wèi)艦護(hù)衛(wèi)艦 1 2 )()(22222b-yx a byx即：即：22222222) 1(411ababaayx可化為：可化為：記記v2/ v1=a通常通常a1 222|A

10、P|a|BP|則則匯合點(diǎn)匯合點(diǎn) p必位于此圓上。必位于此圓上。 bxy)(tan1（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）bxy)(tan2（航母的路線方程（航母的路線方程 ）即可求出即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。的值。本模型雖簡單，但分析本模型雖簡單，但分析極極清晰清晰且且易于實(shí)際應(yīng)用易于實(shí)際應(yīng)用 2.2 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效在寒冷的北方，在寒冷的北方， 許多住房的許多住房的 玻璃窗都是雙層玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡單玻璃的，現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡單 的數(shù)學(xué)模的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。大的功效。比較兩座其他條件

11、完全相同的房屋，它們比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的的差異僅僅在窗戶不同。差異僅僅在窗戶不同。 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 假設(shè)假設(shè)：1、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)、設(shè)室內(nèi)熱量的流失是熱傳導(dǎo)引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對引起的，不存在戶內(nèi)外的空氣對流。流。2、室內(nèi)溫、室內(nèi)溫 度度T1與戶外溫與戶外溫 度度T2均均為常數(shù)。為常數(shù)。3、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)、玻璃是均勻的，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。為常數(shù)。設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為為k1，空氣的，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù) 為為k2，單位時(shí)間通過單，單位時(shí)間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)

12、的熱量為的一側(cè)的熱量為 ddl室室外外T2室室內(nèi)內(nèi)T1TaTb由熱傳導(dǎo)公式由熱傳導(dǎo)公式 =kT/d 12121aabbTTTTTTkkkdld)/()(21212121dklkTTdklkTa解得：解得：dklkdTTkddklkTTdklkTk212112121211122)1 (此函數(shù)的圖形為此函數(shù)的圖形為dd室室外外T2室室內(nèi)內(nèi)T1dTTk2211)/()(2221dklk類似有類似有 321621kk一般一般dl /811故故記記h=l/d并令并令f(h)= 181h01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考慮到考慮到美觀美觀和使用上

13、和使用上 的的方便方便，h不必取得過大，例如，可不必取得過大，例如，可 取取h=3，即，即l=3d，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗，此時(shí)房屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時(shí)的時(shí)的 3% 。 n問題： 某生豬收購站，需要研究如何根據(jù)生豬的體長（不包括頭尾）估計(jì)其體重？n三重玻璃的功效?2.3 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度，一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時(shí)間，你又怎樣來推算假定你能準(zhǔn)確地測

14、定時(shí)間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。表功能的計(jì)算器。方法一方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來計(jì)算。例如，來計(jì)算。例如， 設(shè)設(shè)t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，則可求得，則可求得h78.5米。米。221gth 我學(xué)過微積分，我可以做我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng) 屬屬空氣阻空氣阻力力。根據(jù)流體力

15、學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系落的速度，阻力系 數(shù)數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：得： kgcevkt令令k=K/m，解得解得 代入初始條件代入初始條件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再積分一次，得：再積分一次，得： cekgtkghkt2若設(shè)若設(shè)k=0.05并仍設(shè)并仍設(shè) t=4秒，則可求秒，則可求 得得h73.6米。米。 聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間 不妨設(shè)不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間平均反應(yīng)時(shí)間

16、為為0.1秒秒 ，假如仍，假如仍 設(shè)設(shè)t=4秒，扣除反秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為為3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 2221()ktktggggghtetekkkkkk多測幾次，取平均多測幾次，取平均值值代入初始條代入初始條 件件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將將e-kt用泰勒公式展開并用泰勒公式展開并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮還應(yīng)考慮回聲回聲傳回來所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落傳回來所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間的真正時(shí)間 為為t1，聲音

17、傳回來的時(shí)間記，聲音傳回來的時(shí)間記 為為t2，還得解一個(gè)，還得解一個(gè)方程組：方程組： 933401212211.ttthkg)ekt (kghkt這一方程組是這一方程組是非線性非線性的，求的，求解不太容易，解不太容易，為了估算崖高為了估算崖高竟要去解一個(gè)竟要去解一個(gè)非線性主程組非線性主程組似乎不合情理似乎不合情理 相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石塊下落時(shí)間塊下落時(shí)間 t1t-t2將將t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。

18、例如， 若若h=69.9米，則米，則 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題n 人、狗、雞、米問題人、狗、雞、米問題 人、狗、雞、米均要過河，船上除人、狗、雞、米均要過河，船上除1人劃人劃船外，最多還能運(yùn)載一物，而人不在場船外，最多還能運(yùn)載一物，而人不在場時(shí)，狗要吃雞，雞要吃米，問人，狗、時(shí)，狗要吃雞，雞要吃米，問人，狗、雞、米應(yīng)如和過河？雞、米應(yīng)如和過河？n允許狀態(tài)集合 n 我們用（w, x, y, z），w, x, y, z=0或1，表示南岸的狀態(tài)，例如（1，1，1，1）表示它們都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，雞在南岸，人

19、，米在北岸；很顯然有些狀態(tài)是允許的，有些狀態(tài)是不允許的，用窮舉法可列出全部10個(gè)允許狀態(tài)向量， (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1)n三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，現(xiàn)有一只小船只能容納兩個(gè)人，由他們自己劃行，若在河的任一岸的隨從人數(shù)多于商人，他們就可能搶劫財(cái)物。但如何乘船渡河由商人決定，試給出一個(gè)商人安全渡河的方案。去一商一隨（2，2）（3，3）回一商（3，2）去二隨（3，0

20、）回一隨（3，1）去二商（1，1）回一商一隨（2，2）去二商（0，2）回一隨（0，3）去二隨（0，1）回一隨（0，2）去二隨（0，0）2.8 方桌問題方桌問題將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？ 不附加任何條件，答案不附加任何條件，答案 顯然顯然 是否定的，是否定的， 因此我們因此我們假設(shè)假設(shè) （1）地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 （2）方桌的四條腿長度相同方桌的四條腿長度相同 （3）相對于地面的彎曲程相對于地

21、面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長度而言，方桌的腿是足夠長的的 （4）方桌的腿只要有一點(diǎn)方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。接觸地面就算著地。總可以使三條腿總可以使三條腿同時(shí)著地。同時(shí)著地。 現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌圖所示，方桌的四條腿分別在的四條腿分別在A、B、C、D處，處，A、C的初始位置在的初始位置在x軸上，軸上，而而B、D則在則在y軸上，當(dāng)方桌繞中軸上，當(dāng)方桌繞中 心心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對角線旋轉(zhuǎn)時(shí)，對角線 AC與與x

22、軸軸的夾角記為的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令定的。為消除這一不確定性，令 f()為為A、C離地距離之和，離地距離之和，g()為為B、D離地距離之和，它們的值離地距離之和，它們的值 由由唯一確定。由唯一確定。由假設(shè)假設(shè)（1），），f()、g()均為均為的連續(xù)函數(shù)。又的連續(xù)函數(shù)。又 由由假設(shè)（假設(shè)（3），），三條腿三條腿總能同時(shí)著地，總能同時(shí)著地， 故故 f()g()=0 必成立（必成立（ ）。不妨設(shè)）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)0（若（若g(0)也為也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著

23、地，不必，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：yxCDABo已知已知f()、g()均為均為的連續(xù)函數(shù)，的連續(xù)函數(shù)，f(0)=0,g(0)0且對任意且對任意有有f()g()=0，求證存在某一，求證存在某一0，使，使f(0)=g(0)=0。 （證法一）（證法一）當(dāng)當(dāng)=/2時(shí)，時(shí)，AC與與BD互換位置，故互換位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。作。作h()=f()-g()，顯然，顯然，h()也是也是的連續(xù)函數(shù)，的連續(xù)函數(shù)，h(0)=f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在零值定理，存在 o，0o 0,g(/2)=0。令。令o

24、 =sup |f ()=0，0,顯然顯然0 0，總有，總有0且且0。因?yàn)橐驗(yàn)閒(0+)g (o+)=0，故必有，故必有g(shù) (0+)=0，由，由可任意小且可任意小且g連續(xù)，可知必連續(xù)，可知必 有有 g (0)=0，證畢。證法二除用，證畢。證法二除用 到到f、g的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。的連續(xù)性外，還用到了上確界的性質(zhì)。 例例3 錄像帶還能錄多長時(shí)間錄像帶還能錄多長時(shí)間錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤 180分鐘分鐘的錄像帶在開始計(jì)數(shù)時(shí)為的錄像帶在開始計(jì)數(shù)時(shí)為 0000，到結(jié)束時(shí)計(jì)，到結(jié)束時(shí)計(jì)數(shù)為數(shù)為1849，實(shí)際走時(shí)為，實(shí)際走時(shí)為185分分20秒。我們從秒。我

25、們從0084觀察到觀察到0147共用時(shí)間共用時(shí)間3分分21秒。若錄像秒。若錄像機(jī)目前的計(jì)數(shù)為機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問是否還能錄下一個(gè)，問是否還能錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目？分鐘的節(jié)目？rRl由由Wvt)r(R22得到得到212rvtWR又因又因 和和 得得 Rltvl tRv積分得到積分得到tdt)rWvtv(d02120rrWvtW2rWvtW2t2212021)()(即即從而有從而有rrWvtWn212)(12我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí)間我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí)間t與計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)與計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個(gè)正確的模型，首先必須之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個(gè)正確的模型，首先必

26、須搞清哪些量是常量，哪些量是變量。首先，錄像帶的搞清哪些量是常量，哪些量是變量。首先，錄像帶的厚度厚度W是常量，它被繞在一個(gè)半徑是常量，它被繞在一個(gè)半徑 為為r的園盤上，見圖。的園盤上，見圖。磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)中線速度磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)中線速度v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會(huì)失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀數(shù)會(huì)失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過的圈數(shù)有關(guān)，從與轉(zhuǎn)過的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過的角度而與轉(zhuǎn)過的角度成正比。成正比。 rRlrrWvtWn212)(12 此式中的三個(gè)參數(shù)此式中的三個(gè)參數(shù)W、v和和r均不易精確測得，均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出雖然我們可以從上式解出t與與n的函數(shù)關(guān)系

27、，的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令但效果不佳，故令 則可將上式簡化為：則可將上式簡化為： Wv vW/r2tn故故22221ntnn令令21a b2上式又可化簡記成上式又可化簡記成 t= an2+bn t= an2+bn rRl上式以上式以a、b為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的為參數(shù)顯然是一個(gè)十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組：供了方便。將已知條件代入，得方程組： 3.351471478484185.331849(1849)12122tbatbaba從后兩式中消從后兩式中消 去去t1，解得，解得a=0.0000291, b

28、=0.04646,故故t=0.0000291 n2+0.04646n，令，令n=1428，得到，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為185.33分，分，故尚可錄像時(shí)間故尚可錄像時(shí)間 為為59.64分，已不能再錄下一個(gè)分，已不能再錄下一個(gè)60分鐘分鐘的節(jié)目了。的節(jié)目了。 例例4（理想單擺的擺動(dòng)周期）（理想單擺的擺動(dòng)周期）考察質(zhì)量集中于距支點(diǎn)為考察質(zhì)量集中于距支點(diǎn)為 l 的質(zhì)點(diǎn)上的無阻的質(zhì)點(diǎn)上的無阻尼尼 單擺，（如圖），其運(yùn)動(dòng)為某周單擺，（如圖），其運(yùn)動(dòng)為某周 期期 t 的的左右擺動(dòng)，現(xiàn)希望得到周期左右擺動(dòng)，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量之間與

29、其他量之間的關(guān)系。的關(guān)系。lmg考察考察 ， 的量綱的量綱為為 MaLb+dTc-2b 若若 無量綱，則有無量綱，則有edcbaltgm 0002bcdba此方程組中不含此方程組中不含 e，故，故（0, 0, 0, 0, 1）為一解，對應(yīng)的為一解，對應(yīng)的1=即即為無量綱量。為求另一個(gè)無綱量可為無量綱量。為求另一個(gè)無綱量可 令令b=1，求得，求得（0，1，2，-1，0），），對應(yīng)有對應(yīng)有 lgt2故單擺公式可用故單擺公式可用 021) ,f(2( ,)0gtfl表示。表示。 從中解出顯函數(shù)從中解出顯函數(shù) 2gth()l則可得：則可得： llth()k()gg其中其中)()(hk此即理想單擺的周期

30、公式。當(dāng)然此即理想單擺的周期公式。當(dāng)然 k()是無法求得的，事實(shí)是無法求得的，事實(shí)上，需要用橢圓積分才能表達(dá)它。上，需要用橢圓積分才能表達(dá)它。 2.7 賽艇成績的比較賽艇成績的比較(比例模型比例模型)八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分 成成86公斤公斤的重量級和的重量級和 73公斤的輕量級。公斤的輕量級。1971年，年，T.A.McMahon比較了比較了1964-1970年期間兩次年期間兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn)奧運(yùn)會(huì)和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級比公斤級比73公斤級的成績大約好公斤級的成績大約好5%，產(chǎn)生這一差異的，產(chǎn)生這一差異的原因何在呢？原因何在呢？

31、我們將以我們將以L表示輕量級、以表示輕量級、以H表示重表示重量級，用量級，用S表示賽艇的浸水面積，表示賽艇的浸水面積，v表示賽艇速度，表示賽艇速度，W表示選手體重，表示選手體重，P表示選手的輸出功率，表示選手的輸出功率，I表示賽程，表示賽程，T表示比賽成績（時(shí)間）。表示比賽成績（時(shí)間）。 考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實(shí)際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)賽程考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中的實(shí)際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個(gè)賽程大致可以分三個(gè)階段，大致可以分三個(gè)階段， 即即初始時(shí)刻的加速階初始時(shí)刻的加速階 段段、中途的勻速中途的勻速階段階段和和到達(dá)終點(diǎn)的沖刺階段到達(dá)終點(diǎn)的沖刺階段 。由于賽程較長，可以略去前后。由于賽程較長，可以略

32、去前后兩段而兩段而只考慮中間一段只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設(shè)。，為此，提出以下建模假設(shè)。（1）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力）設(shè)賽艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比正比 于于Sv2,（見流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計(jì)。（見流體力學(xué)），空氣阻力等其他因素不計(jì)。（2）同一量級的選手有相同的體重）同一量級的選手有相同的體重W，選手的輸出功，選手的輸出功 率率P正比于正比于W，且效率大體相同。，且效率大體相同。由由假設(shè)假設(shè)1，3svfvp ，故，故131svp 競賽成績競賽成績13IsTvp記比例系數(shù)記比例系數(shù) 為為k，則有，則有：31HHH31LLLPSkT ,PS

33、kT31HL31LHHLSSPPTT故故由由假設(shè)假設(shè)2， LHLHWWPP31HL31LHHLSSWWTT故故令令WH=86,WL=73,則有則有由于由于SL略小于略小于SH，故輕量級所化時(shí)間比重量級所化時(shí)間，故輕量級所化時(shí)間比重量級所化時(shí)間約約 多多5%左右。左右。31HLHLSS TT1.056在解決實(shí)際問題時(shí)，注意觀察和善于想象是十分重要的，在解決實(shí)際問題時(shí)，注意觀察和善于想象是十分重要的，觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問題隱含的某些屬性，有時(shí)還能順觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問題隱含的某些屬性，有時(shí)還能順理成章地找到解決實(shí)際問題的鑰匙。本節(jié)的幾個(gè)例子說明，理成章地找到解決實(shí)際問題的鑰匙。本節(jié)的幾個(gè)例子說

34、明，猜測也是一種想象力。沒有合理而又大膽的猜測，很難做猜測也是一種想象力。沒有合理而又大膽的猜測，很難做出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。開普勒的三大定律（尤其是后兩條）出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。開普勒的三大定律（尤其是后兩條）并非一眼就能看出的，它們隱含在行星運(yùn)動(dòng)的軌跡之中，并非一眼就能看出的，它們隱含在行星運(yùn)動(dòng)的軌跡之中，隱含在第谷記錄下來的一大堆數(shù)據(jù)之中。歷史上這樣的例隱含在第谷記錄下來的一大堆數(shù)據(jù)之中。歷史上這樣的例子實(shí)在太多了。在獲得了一定數(shù)量的資料數(shù)據(jù)后，人們常子實(shí)在太多了。在獲得了一定數(shù)量的資料數(shù)據(jù)后，人們常常會(huì)先去猜測某些結(jié)果，然后試圖去證明它。猜測一經(jīng)證常會(huì)先去猜測某些結(jié)果，然后試圖去證明它。猜測一經(jīng)證明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會(huì)被明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會(huì)被推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。即使猜測被證明是錯(cuò)誤的，推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。即使猜測被證明是錯(cuò)誤的，結(jié)果也決不是一無所獲的失敗而常常是對問題的更為深入結(jié)果也決不是一無所獲的失敗而常常是對問題的更為深入的了解。的了解。 2.9最短路