1、出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁第第7 7章章 Fourier Fourier變換變換出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁所謂積分變換Fourier變換、Laplace變換等），就是通過積分運算，把一個函數變成另一個函數的變換，一般是含參積分其中K(t,)是一個確定的二元函數，稱為積分變換的核。f(t)稱為像原函數，F()稱為f(t)的像函數。出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁 7.1Fourier積分在微積分中已學過Fourier級數，若fT(t)是以T為周期的周期函數，在 上滿足Dirichlet條件，則fT(t)可展成Fourier級數出版社 理工分社復數函數與積分變換

2、退出頁在fT(t)的連續點t處有利用Euler公式 可將Fourier級數的三角形式化為復指數形式出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁其中將式(7.3)代入式(7.2)，得到出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁如果f(t)是定義在(,+)上的非周期函數，作周期為T的函數fT(t)：它在 上等于f(t)而在 之外按周期T進行延拓，可知T越大，fT(t)與f(t)相等的范圍也越大，即有記 ，則當T時,有n0，由式(7.5) 、式(7.4)知即出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁式(7.6)稱為f(t)的Fourier積分公式。定理7.1(Fourier積分定理) 若f(t)在區間(,+

3、)上有定義且f(t)在任何有限區間上滿足Dirichlet條件； f(t)在區間(,+)上絕對可積，即那么這個定理的證明要用到較多的基礎理論，這里從略。 出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁 7.2Fourier變換7.2.1Fourier變換的概念定義7.1設函數f(t)滿足Fourier積分定理的條件，記稱函數F()為f(t)的Fourier 變換，記為 F()=Ff(t)，由式7.7知，在f(t)的連續點處有稱函數f(t)為F()的Fourier逆變換，記為f(t)=F1F()。F()也稱為f(t)的Fourier變換的像函數，f(t)稱為F()的像原函數，因而，像函數f(t)與像原

4、函數F()構成了一個Fourier變換對，即f(t)與F()可通過相應的積分相互表示。出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁順便指出，Fourier變換及其逆變換的定義可采用不同的形式，如在實際應用中，可根據具體問題選用，本書采用式7.8和式7.9定義的形式。例7.1求矩形脈沖函數的Fourier變換及其積分表達式.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁解由式(7.8)知f(t)的Fourier變換為由式(7.9)知f(t)的積分表達式為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁由此得到一個含參量廣義積分的結果：特別地，當T=1,t=0時,有 ，這是微積分中已得的Dirichlet積分。例7

5、.2求指數衰減函數的Fourier變換及其積分表達式。出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁解由定義知f(t)的Fourier變換為據式 (7.10)并注意利用奇偶函數的積分性質，知f(t)的積分表達式為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁由此我們得到一個含參量廣義積分的結果：經常用到Fourier正弦和余弦變換。當f(t)是奇函數時，利用歐拉公式及積分的性質，式(7.9)變為且F()=F()，從而式(7.10)變為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁將式(7.12)代入式(7.13)有根據式(7.14)我們得定義7.2。定義7.2若函數f(t)在(0,+)有定義，則f(t)的Fou

6、rier正弦變換為其反演公式為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁同理可定義Fourier余弦變換為其反演公式為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁7.2.2函數及其Fourier變換(1)函數的定義由Fourier變換的定義可知，f(t)要在(,+)上絕對可積，才存在Fourier變換，這樣的條件很強，使許多常見的函數如1,t,sint等都不能進行Fourier變換。例7.3設某一電路中原來的電流為0，某一瞬時設t=0時進入一單位電量的脈沖，求電路上的電流i(t).出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.4設x軸表示一根弦，質量分布函數為 ，求線密度函數(x).解任取x(,+)

7、，當x0且0充分小時，(x,x+)上分布的質量m(x)=0，故x0處的密度當x=0時，(x,x+)=(,)上分布的質量m(0)=1，故x=0處的密度. 出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁定義7.3在區間(,+)內具有如下性質的函數稱為函數.特別當t0=0時，式(7.16)即可表示例式(7.3)，式(7.4)中的電流函數或密度函數.由上可見，函數不是一個普通函數，函數在整個x軸上除t=t0外處處為0，它的積分值卻不為0.函數在物理學中具有重要作用，它最先是由狄拉克在量子力學中引入的，所以也叫狄拉克(Dirac)函數，或單位脈沖函數.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁定義7.4對于任何

8、一個無窮次可微函數f(t)，如果滿足(tt0)也可取成其他函數序列.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(2)函數的性質性質1對于任何一個無窮次可微函數f(t)，有當t0=0時，即為證利用定義7.4及積分中值定理，我們有性質1也稱為函數的篩選性，即對任何一個無窮次可微函數f(t)都對應著一個確定的數f(t0)或f(0).出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁定義7.5設(t)與(t)都是定義在區間(a,b)上的函數，若對于區間(a,b)上的任意連續函數f(t)，都有則稱(t)與(t)弱相等，記為 .函數弱相等是函數通常意義下相等概念的推廣，在上述定義中若(t)與(t)都在(a,b)上連續

9、，則由(t)與(t)弱相等可推出(t)與(t)在通常意義下相等.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁性質2(t)=(t);t(t)=0;(ta)f(t)=(ta)f(a).根據式(7.18)可知，對于(,+)上的任意連續函數f(t)有令t=u，那么即由定義7.5知(t)=(t). 出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁性質3設a0為實數，那么我們僅證，事實上只要證對于(,+)上的任意連續函數f(t)有即可. 下面區分兩種情況：當a0時，令x=at，那么而出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁可知成立.當a0時，令x=at，那么而于是證畢.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁定義7.

10、6設f(t)是具有連續導數的函數，若函數(t)滿足則稱(t)為函數(t)的導數，記為(t)=(t).性質4函數的導數性質： t(t)=(t);(tt0)(tt0)=(tt0).證由式(7.19)，對具有任意連續導數的函數f(t)有故所以t(t)=(t).出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(3)函數的Fourier變換利用函數的篩選性，則有即函數的Fourier變換為常數1，利用定義7.5可以證明可見函數(t)與常數1構成一個廣義Fourier變換對. 從而有積分等式 一般地 構成一個Fourier變換對，且 出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁由式(7.19)得再由函數的篩選性得即1

11、與2()構成一個廣義Fourier變換對，同理， 與2(0)構成一個廣義Fourier變換對.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.5求正弦函數f(t)=sin at的Fourier變換解利用正弦函數的定義及式(7.20)得同理可得余弦函數f(t)=cos at的Fourier變換為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.6證明Heaviside函數也稱為單位階躍函數）證用Fourier逆變換來推證函數H(x)的Fourier變換為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁將函數的Fourier變換仍舊寫成古典的形式，所不同的是，此處的廣義積分是按式(7.16)來定義的，而不是普通

12、意義下的積分值，所以(t)的Fourier變換是一種廣義Fourier變換.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁7.2.3Fourier變換的物理意義頻譜Fourier變換和頻譜概念有著非常密切的關系.隨著無線電技術、聲學的蓬勃發展，頻譜理論也相應得到了發展. 知，如果f(t)是以T為周期的周期函數，且滿足Dirichlet條件就可展成Fourier級數出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁若f(t)的Fourier級數表示為復數形式，即 所以，以T為周期的周期函數f(t)的第n次諧波的振幅為An=2|Cn|(n=0,1,2,)，即用橫坐標表示頻率n，縱坐標表示振幅An，把點(n,An)

13、用圖形表示出來.對于非周期函數f(t)，當它滿足Fourier積分定理中的條件時，f(t)的Fourier變換F()稱為f(t)的頻譜函數，而頻譜函數的模|F()|稱為f(t)的振幅頻譜(簡稱頻譜).由于|F()|是的連續函數，所以稱之為連續頻譜.可以證明，頻譜|F()|是頻率的偶函數，在作頻譜圖時，只要作出(0,+)上的圖形，根據對稱性即可得到(,0)上的圖形出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.7作出下圖所示的單個矩形脈沖的頻譜圖.解單個矩形脈沖的頻譜函數為注意F()是偶函數，這里只畫出了0的部分.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁 7.3Fourier變換的性質 (1)線性

14、性質設F1()=Ff1(t),F2()=Ff2(t)，,是常數，那么這個性質用Fourier變換的定義即可證。它表明了函數線性組合的Fourier變換等于各函數Fourier變換后的線性組合. 同樣Fourier逆變換也具有類似的線性性質，即出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(2)原函數的位移性質它表明時間函數f(t)沿t軸向右或向左位移t0的Fourier變換等于f(t)的Fourier變換乘以因子 證由Fourie變換定義可得例如， 因為F(t)=1，則由原函數的位移性質知出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(3)象函數的位移性質(4)相似性質出版社 理工分社復數函數與積分變換退

15、出頁(5)原函數的微分性質證首先，由高等數學知識可知，對任何kN0，滿足Fourier積分定理條件的函數 于是由Fourier變換定義，利用分部積分可得類似可證其余部分.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(6)像函數的微分性質出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(7)積分性質出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.9利用Fourier變換的性質，求下列函數的Fourier變換.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(8)乘積定理出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁(9)能量積分出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.10 為了敘述卷積定理，我們先給出定義7.7若已知

16、函數f1(t),f2(t)，則積分出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁稱為函數f1(t)與f2(t)的卷積，記為f1(t)*f2(t)，即由卷積的定義，容易驗證卷積滿足下面運算規律出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁（10卷積定理若F1()=Ff1(t),F2()=Ff2(t)，則Ff1(t)*f2(t)=F1()F2()，或F1F1()F2()=f1(t)*f2(t)這個性質表明，兩個函數卷積的Fourier變換等于這兩個函數Fourier變換的乘積.證按Fourier變換的定義，有不難推證：若Ffk(t)=Fk()(k=1,2,n)，則有出版

17、社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.12設f(t)定義于(,+),求f(t)H(t),并求Ff(t)*H(t).后一等式利用了函數的性質.Fourier變換在工程技術中有廣泛的應用，下面舉例說明Fourier變換在求解微分方程、微分積分方程等方面的應用.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.13解積分方程解由Fourier正弦變換及其逆變換的定義知，假設出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.14解微積分方程出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.15解微分方程mx(t)+cx(t)+kx(t)=f(t)，其中m,c,k為常數,f(t)為已知函數.解對方程兩邊取Fou

18、rier變換，得出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.16用Fourier變換求下述無界弦振動方程的初值問題. 解對x作Fourier變換，為方便起見，記 對式(7.22)的各式對x作Fourier變換，得常微分方程式(7.21)的通解為出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁再由初始條件，可得式7.21的特意為故由式(7.23)，式(7.24)，式(7.25)，式(7.26)得把偏微分方程轉化為常微分方程，求常微分方程的解及Fourier逆變換.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁例7.17解微積分方程解對方程兩端取Fourier變換，得出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁 習題71求下列函數的傅氏積分表達式.出版社 理工分社復數函數與積分變換退出頁2.求證如果ft滿足傅氏積分定理條件，當ft為奇函數時，則有3利用習題2的結論，設 ，試算出a()，并推證 出版社 理工分社復