1、習題課習題課 靜電場中的導體和電介質靜電場中的導體和電介質1. 靜電平衡條件: 導體內部場強處處為零，導 體表面上的場強垂直于該點表面。推論：1） 整個導體是等勢體，表面是等勢面。2） 導體內部電荷體密度為零，電荷只分布表面。 2. 在靜電平衡條件下，導體上的電荷分布:1) 實心導體實心導體: (不論導體是否帶電不論導體是否帶電 , 不論導體是否在外電場中）不論導體是否在外電場中）導體內部沒有導體內部沒有凈凈電荷電荷,電荷只能分布在導體電荷只能分布在導體表面表面上。上。2）空腔導體：）空腔導體：腔內腔內無無電荷時電荷時 - 電荷只分布在外表面上；電荷只分布在外表面上；腔內腔內有有電荷時電荷時

2、- 腔體內表面電荷與腔內電荷腔體內表面電荷與腔內電荷 等值異號等值異號。一、靜電場中的導體3）導體表面電荷密度與場強關系）導體表面電荷密度與場強關系 ：nE03.電容和電容器平行平板電容器 dSC0同心球電容器 ABBARRRRC04UQC 同軸圓柱形電容器)ln(20ABRRLC等效電容 :串聯(lián)等效電容.11121CCC并聯(lián)等效電容.21CCC)(0CCr充有電介質充有電介質( r), 則則二、靜電場中的電介質1. 電介質對電場的影響 :EEE02.電介質中的高斯定律內ssqsdD0電位移矢量電位移矢量PED0在各向同性線性介質中在各向同性線性介質中:當均勻介質充滿電場全部空間當均勻介質充滿

3、電場全部空間 , 或分界面是等勢面時或分界面是等勢面時:,00EDrEE0,0CCrEEDr0EEpr00)1(cospnp三、靜電場能量1、電容器能量22212121CUCQQUw2、靜電場能量dvEdvwv221(A) F/q0比比P點處原先的場強值大點處原先的場強值大(B) F/q0.小小(C) F/q0等于原先等于原先P點處的場強值點處的場強值(D) 無法確定無法確定例例1 帶負電的大導體附近帶負電的大導體附近P點有點有試驗電荷試驗電荷q0，測，測得得q0受力為受力為F, 若電量若電量q0不是足夠小，則：不是足夠小，則： +q0P 例例2 不帶電金屬球殼內外半徑不帶電金屬球殼內外半徑R

4、1和和R2,今在球心今在球心處放點電荷處放點電荷q, 則球殼的電勢則球殼的電勢? q-q+q Pr q Pr2000444RqrqrqP204RqP答：答：E內內=0，降低為，降低為 0, 右，負右，負思考：比較思考：比較 -q, 導導？例例4 金屬球金屬球(+Q), 與金屬球殼與金屬球殼(r1,r2)同心，取同心，取 為電勢零點，則殼內為電勢零點，則殼內P點點的的E=_, =_Qr1r2r P, 0PE204rQP答：答：例例3 負電荷負電荷(-q)移近不帶電導體移近不帶電導體A，則該導體內則該導體內E_, 導體電勢導體電勢_.此時此時若導體接地，則導體上若導體接地，則導體上_端端_電電荷入

5、地。荷入地。( -q 導導 R1 )的兩個同心的兩個同心導體薄球殼，分別帶有電荷導體薄球殼，分別帶有電荷Q1和和Q2，今將，今將內球殼用細導線與遠處半徑為內球殼用細導線與遠處半徑為r的導體球相的導體球相聯(lián)，如圖所示聯(lián)，如圖所示, 導體球原來不帶電，試求相導體球原來不帶電，試求相聯(lián)后導體球所帶電荷聯(lián)后導體球所帶電荷qOR2R1r解：設導體球帶電解：設導體球帶電q，取無窮遠處為電勢零點，取無窮遠處為電勢零點，則則 導體球電勢導體球電勢 內球殼電勢：內球殼電勢： 二者等電勢，即二者等電勢，即 rqU00410114RqQU2024RQrq041014RqQ2024RQ解得解得 )()(122112r

6、RRQRQRrq例例7 如圖所示，一封閉的導體殼如圖所示，一封閉的導體殼A內有兩個導體內有兩個導體B和和CA、C不帶電，不帶電，B帶正電，則帶正電，則A、B、C三導體三導體的電勢的電勢UA、UB、UC的大小關系是的大小關系是 (A) UA = UB = UC (B) UB UA = UC (C) UB UC UA (D) UB UA UC (C)ABC 例例8 兩個同心薄金屬球殼，半徑分別為兩個同心薄金屬球殼，半徑分別為R1和和R2 (R2 R1 )，若分別帶上電荷，若分別帶上電荷q1和和q2，則兩，則兩者的電勢分別為者的電勢分別為U1和和U2 (選無窮遠處為電勢零選無窮遠處為電勢零點點)現(xiàn)用

7、導線將兩球殼相連接，則它們的電勢為現(xiàn)用導線將兩球殼相連接，則它們的電勢為 (A) U1 (B) U2 (C) U1 + U2 (D) 121()2UU (B)例例9 金屬球殼金屬球殼(q,R), (1)殼內真空殼內真空, 殼外電介質殼外電介質( ), 則此球殼的電勢則此球殼的電勢 1？(2)殼外真空殼外真空, 殼內電介質殼內電介質( ), 則此球殼的電勢則此球殼的電勢 2？解解: (1)PE dl1244RqqdrrR(2)同理同理Rq0240qSdDsqqqrD242244rqDErqD例例10 平行板電容器，平行板電容器，解：解：1 當當Q不變不變(充電后斷電充電后斷電), 則則d 時時,

8、 U,E,C,W如何變化？如何變化？2 當當U不變不變(接上電源接上電源), 則則d 時時, U,E,C,W如何變化？如何變化？1 Q不變不變E不變；不變；2 U不變不變, d ，則，則E ，Q ，W=(QU)/2 dSC0 d 時時 ，則，則U ，C=(Q/U) ，W=(QU)/2 例例11 一平行板電容器，上極板固定，下極一平行板電容器，上極板固定，下極板懸空，極板面積為板懸空，極板面積為S，間距為，間距為d，極板質，極板質量為量為m，問：當電容器兩極板間加多大電，問：當電容器兩極板間加多大電壓時，下極板才能保持平衡？（忽略邊緣壓時，下極板才能保持平衡？（忽略邊緣效應）效應）Smgd202

9、例例12 平行板電容器平行板電容器1 當當Q不變不變(充電后斷電充電后斷電), 插入插入( r)時時, U,E,C,W如何變化如何變化?2 當當U不變不變(接上電源接上電源),插入插入( r)時時, U,E,C,W如何變化如何變化?C r解：解：E=(U/d) ,W=(QU)/2 2 C= rC0 ,U不變，故不變，故Q =CU 1 C= rC0 ,Q不變，故不變，故U=(Q/C) ,W=(QU)/2 , E=U/d(不變不變) 可見可見: 有電介質時，介質內部的有電介質時，介質內部的E未必未必都減都減弱為真空中的弱為真空中的(1/ r)，要看前提條件是什么！要看前提條件是什么！例例13 兩相

10、同電容器兩相同電容器C1,C2，串聯(lián)后與電源相連，串聯(lián)后與電源相連，C1中插入電介質，則：中插入電介質，則： rC1C2(A)C總總 (C) U1 U2(B)Q1 Q2(D)W總總 解解: (A)總CCdSCrr,001(B) 串聯(lián)，則串聯(lián)，則Q1=Q2=Q，且都且都 (C) Q1=Q2=Q ，由，由U=Q/C，得得U1 1 感應電荷在球心處的場強感應電荷在球心處的場強? ? 此時球心的電勢此時球心的電勢? ?2 2 若球接地若球接地, ,則球上凈電荷？則球上凈電荷？qqqO又11球表面球表面, ,等量異號等量異號qq, ,204rqEEqq2 2 球接地，則球接地，則 球球= = O O=0

11、=0+q+q-q-q044 00rqRq即：rqRq 球心處球心處: : ROr q0qqEEE qq(P109/4.4)(P109/4.4)例17 平行板電容器一半充滿介質，一半為空氣，當兩極板帶上恒定的等量異號電荷時，有一個質點（m、-q）平衡在空氣區(qū)域中。此后，若把電介質抽去，則該質點如何運動?QQ00,右左由電壓相等：聯(lián)解：看成兩個電容器并r右左r)(均勻分布抽出介質后，右左右右右右右EE0右右右右FqEEqF質點將向上運動計計1 球殼球殼 (內徑內徑a,外徑外徑b,帶電帶電Q), 內腔有點電荷內腔有點電荷(q, 距球心距球心r)，設設 =0. 求求:1 球殼內外表面電荷球殼內外表面電

12、荷.3 O點總電勢點總電勢.2 球殼內表面電荷在球殼內表面電荷在O處所產(chǎn)生的處所產(chǎn)生的 . qOrab1 內內: -q; 外：外：Q+q3qQqqO2aqadqq0044)(410bqQaqrq方法：已知帶電體電勢電勢迭加原理 計計2 單芯電纜單芯電纜, ,電纜芯半徑電纜芯半徑r r1 1= =1515mmmm，鉛包皮的內，鉛包皮的內半徑半徑r r2 25050mmmm。其間充滿電介質其間充滿電介質( ( r r=2.3=2.3) )電纜芯電纜芯與鉛包皮間電壓與鉛包皮間電壓U U1212600600v v, ,求：長求：長l1 1kmkm的電纜的電纜中儲存的靜電能？中儲存的靜電能？r r1 1

13、r r2 2 解解1：可將電纜視為圓柱形電容器可將電纜視為圓柱形電容器,21212CUW 12ln20rrrlCJrrlUCUWr2122120212109 . 1ln21解解2：場能公式場能公式dVEdVWrVVe)21(20JrrlUWr2122120109 . 1)ln(drl,20rEr120012ln22.2121rrdrrl dEUrrrrrrdrrldV.2(1)(1)rrrUE1.)/ln(1212(2)(2)計計3 一平行板電容器中有兩層厚度分別為一平行板電容器中有兩層厚度分別為 d1 和和d2 ，相對介電常數(shù)分別為，相對介電常數(shù)分別為 和和 的電介質，的電介質，極板面積為極

14、板面積為 S，求該電容器的電容。，求該電容器的電容。1r2r解解 :設兩極板帶電量分別為設兩極板帶電量分別為 +q0 和和 q0 ，設自由電荷面密度為設自由電荷面密度為0和和,000兩層介質中的場強分別為兩層介質中的場強分別為 E1 和和 E2 ，1r2rs作正圓柱形高斯面，有：作正圓柱形高斯面，有：,0ssdDs,0sDs0Ds方法一：電容定義式方法一：電容定義式兩極板間電勢差為：兩極板間電勢差為：)(2211002211rrlABdddEdEl dEU電容為：電容為：2211000rrABABddSUSUqC,100101rrDE200202rrDE同理方法二：電容串并聯(lián)方法二：電容串并聯(lián)

15、 可看成兩個電容的串連可看成兩個電容的串連001r2rs串聯(lián)等效電容串聯(lián)等效電容.11121CCC2021012021012121dSdSdSdSCCCCCrrrr22110221102121rrrrrrddSddSdd計計4 兩塊平行金屬板間原為真空兩塊平行金屬板間原為真空, 分別帶上等分別帶上等量異號電荷量異號電荷 ，這時兩板間電壓，這時兩板間電壓 保保持兩板上電量不變，將板間一半空間充以持兩板上電量不變，將板間一半空間充以 的電介質，求的電介質，求 :（1）板間有介質和無介質處的）板間有介質和無介質處的 D，E 和板上自由電荷密度和板上自由電荷密度;（2） 板間電壓變?yōu)榘彘g電壓變?yōu)槎嗌伲侩娊橘|上、下表面束縛電荷面密度多大多少？電介質上、下表面束縛電荷面密度多大?0。VV30005rSd1212r解解 插入介質前電容器電容為插入介質前電容器電容為:dSC00插入介質相當于兩電容器并聯(lián)插入介質相當于兩電容器并聯(lián):000213322CdSdSdSCCCor(1) 求板左右求板左右D，E 和和:Sd1212r又由又由21QQQ2215r- ( 1 )得得22210SSS2102- ( 2 )00右左解：由電壓相等：r兩式聯(lián)立兩式聯(lián)立,35010231由介質中高斯定律由介質中高斯定律:,35011D000113rDE,31022D000223DE插入介質前插入介質前, 有有VC