1、2022-6-262022-6-26 彈性力學(xué)研究彈性力學(xué)研究彈性體彈性體由于受外力作用、由于受外力作用、邊界約束、溫度改變等原因發(fā)生的邊界約束、溫度改變等原因發(fā)生的應(yīng)力應(yīng)力、形形變變和和位移位移。 1-1 1-1 彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性力學(xué)的內(nèi)容一、研究任務(wù)一、研究任務(wù) 彈性力學(xué)的研究對(duì)象為彈性力學(xué)的研究對(duì)象為任意形狀的構(gòu)任意形狀的構(gòu)件、實(shí)體、板殼件、實(shí)體、板殼等。等。二、研究對(duì)象二、研究對(duì)象2022-6-26彈性體的形狀彈性體的形狀 a) 塊體塊體(body) b) 平板平板(plate) c) 殼體殼體(shell) d,e) 桿件桿件(bar)直桿、曲桿直桿、曲桿2022-6-26xyzo

2、 平行于單元體面的平行于單元體面的應(yīng)力稱為應(yīng)力稱為切應(yīng)力切應(yīng)力，用用 、 表示，其第表示，其第一下標(biāo)一下標(biāo)y表示所在的平表示所在的平面，第二下標(biāo)面，第二下標(biāo)x、z分別分別表示沿坐標(biāo)軸的具體表示沿坐標(biāo)軸的具體方向。方向。yxyz應(yīng)力標(biāo)注：應(yīng)力標(biāo)注：yyxyz2022-6-26正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)正向或負(fù)面上的應(yīng)力正向或負(fù)面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)負(fù)向?yàn)檠刈鴺?biāo)負(fù)向?yàn)檎？谠E：正面正向或負(fù)面負(fù)向的應(yīng)力為正。口訣：正面正向或負(fù)面負(fù)向的應(yīng)力為正。xyz yx z y zx zy yz圖圖17正面正面:截面的外截面的外法線方向和坐標(biāo)法線方向和坐標(biāo)軸正向一致軸正向一致,反反之為之為負(fù)面負(fù)面。正負(fù)規(guī)定

3、正負(fù)規(guī)定:2022-6-26zyyz yxxy zxxz xyz xy yx x z y xz zx zy yz應(yīng)力用矩陣表示：應(yīng)力用矩陣表示：zzyzxyzyyxxzxyx共六個(gè)應(yīng)力分量。共六個(gè)應(yīng)力分量。2022-6-26（三）形變（應(yīng)變）（三）形變（應(yīng)變） 形變形變就是形狀的改變。物體的形變可就是形狀的改變。物體的形變可以歸結(jié)為以歸結(jié)為長度的改變長度的改變和和角度的改變角度的改變。xy 1.線應(yīng)變線應(yīng)變：圖：圖1-9中中線段線段PA、PB、PC每單每單位長度的伸縮位長度的伸縮，即單位，即單位伸縮或相對(duì)伸縮，稱為伸縮或相對(duì)伸縮，稱為線應(yīng)變線應(yīng)變。分別。分別用用 、 、 表示。表示。zP圖圖1

4、-9ABCP2022-6-26應(yīng)變的正負(fù)：應(yīng)變的正負(fù)：線應(yīng)變：線應(yīng)變： 伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；切應(yīng)變：切應(yīng)變：以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)； 2. 切應(yīng)變：切應(yīng)變：圖圖1-9中線中線段段PA、PB、PC之間之間直角直角的改變的改變，用弧度表示，用弧度表示，稱為切應(yīng)變。分別稱為切應(yīng)變。分別 用用 、 、 表示。表示。yzzxxy 共六個(gè)形變分量。共六個(gè)形變分量。P圖圖1-9ABCP2022-6-26 （2）變形而引起的位移變形而引起的位移 物體內(nèi)各點(diǎn)之間有物體內(nèi)各點(diǎn)之間有相對(duì)位移，因而物體產(chǎn)生了變形。相對(duì)位移，因而物體產(chǎn)生了變形。 （1）剛

5、體位移剛體位移 包括平移、轉(zhuǎn)動(dòng)。這種位移包括平移、轉(zhuǎn)動(dòng)。這種位移并不使物體的形狀、質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)距離發(fā)生變并不使物體的形狀、質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)距離發(fā)生變化。化。1.當(dāng)物體各點(diǎn)發(fā)生位置改變時(shí)，一般認(rèn)為是由當(dāng)物體各點(diǎn)發(fā)生位置改變時(shí)，一般認(rèn)為是由兩種性質(zhì)的位移組成：兩種性質(zhì)的位移組成：（四）位移（四）位移位移：位移：物體變形時(shí)各點(diǎn)位置的改變量稱為位移物體變形時(shí)各點(diǎn)位置的改變量稱為位移2022-6-262.位移的表示方法位移的表示方法 物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x 、y 、z 軸上的投影軸上的投影 u 、v 、w 來表示，來表示，以沿坐標(biāo)軸正以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)向

6、為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱。這三個(gè)投影稱為該點(diǎn)的位移分量。為該點(diǎn)的位移分量。彈性力學(xué)問題：彈性力學(xué)問題： 已知已知外力外力、物體的、物體的形狀和尺寸形狀和尺寸（包括邊（包括邊界）、界）、材料特性（材料特性（E、）、約束條件約束條件等，求解等，求解應(yīng)力、形變、位移共應(yīng)力、形變、位移共15個(gè)未知量。個(gè)未知量。2022-6-26彈力問題的研究方法彈力問題的研究方法 1、解析法解析法根據(jù)彈性體的靜力學(xué)、幾何根據(jù)彈性體的靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)等條件，建立模型的微分方程組學(xué)、物理學(xué)等條件，建立模型的微分方程組和邊界條件，并應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法求解這類和邊界條件，并應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法求解這類微分方程的邊

7、值問題，得出的解答是精確的微分方程的邊值問題，得出的解答是精確的函數(shù)解。函數(shù)解。2022-6-26 2、變分法（能量法）變分法（能量法）根據(jù)變形體的能量根據(jù)變形體的能量極值原理，導(dǎo)出彈性力學(xué)的變分方程，并進(jìn)行極值原理，導(dǎo)出彈性力學(xué)的變分方程，并進(jìn)行求解。該方法能有效的用于彈性力學(xué)問題的數(shù)求解。該方法能有效的用于彈性力學(xué)問題的數(shù)字求解，得到的解答大多是近似解，所以常將字求解，得到的解答大多是近似解，所以常將變分法歸入近似解法。變分法歸入近似解法。 3、差分法差分法是微分方程的近似數(shù)值解法。是微分方程的近似數(shù)值解法。它將彈力中導(dǎo)出的微分方程及其邊界條件化為它將彈力中導(dǎo)出的微分方程及其邊界條件化為差

8、分方程（代數(shù)方程）進(jìn)行求解。差分方程（代數(shù)方程）進(jìn)行求解。2022-6-26 4、有限單元法有限單元法是近半個(gè)世紀(jì)發(fā)展起來是近半個(gè)世紀(jì)發(fā)展起來的非常有效、應(yīng)用非常廣泛的數(shù)值解法。它的非常有效、應(yīng)用非常廣泛的數(shù)值解法。它首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再將變分首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再將變分原理應(yīng)用于離散化結(jié)構(gòu)，并使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行原理應(yīng)用于離散化結(jié)構(gòu)，并使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解的方法。求解的方法。 5、實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的各模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的各種方法。種方法。 對(duì)于許多工程實(shí)際問題，由于邊界條件、對(duì)于許多工程實(shí)際問題，由于邊界條件、外荷載及約束等較為復(fù)雜，所以常常應(yīng)用近外荷載及約束

9、等較為復(fù)雜，所以常常應(yīng)用近似解法似解法變分法、差分法、有限單元法等求變分法、差分法、有限單元法等求解。解。一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題圖圖2 21 1等厚度薄板，只在板邊受到平行于板面并等厚度薄板，只在板邊受到平行于板面并且不沿厚度變化的且不沿厚度變化的面力面力，同時(shí)，同時(shí)體力體力也平行也平行于板面并且不沿厚度變化。于板面并且不沿厚度變化。應(yīng)力特征應(yīng)力特征 選取坐標(biāo)系，以板的中選取坐標(biāo)系，以板的中面為面為xy 平面，垂直于中面平面，垂直于中面的直線為的直線為 z 軸。軸。由于板面上由于板面上不受力，有不受力，有20zz20zxz20zyz因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 軸方向不變

10、。軸方向不變。可認(rèn)為整個(gè)薄板可認(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：的各點(diǎn)都有：0z0 xz0yz圖圖2 21 1結(jié)論：結(jié)論：平面應(yīng)力問題只剩下三個(gè)應(yīng)力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy應(yīng)變分量、位移分量也僅為應(yīng)變分量、位移分量也僅為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z 無關(guān)。無關(guān)。xyxyxyxyxyyxxyzzyzxyzyyxxzxyx共六個(gè)應(yīng)共六個(gè)應(yīng)力分量力分量二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題x 圖圖 2 22 2如擋土墻、受內(nèi)壓的圓柱管道和長水平巷道等。如擋土墻、受內(nèi)壓的圓柱管道和長水平巷道等。xyP 設(shè)有很長的柱體，在柱面上受有平行于橫設(shè)有很長的柱體，在柱面上受有平行于橫截面并

11、且不沿長度變化的面力，同時(shí)體力也平截面并且不沿長度變化的面力，同時(shí)體力也平行于行于橫截面橫截面并且不沿長度變化。并且不沿長度變化。厚壁圓筒厚壁圓筒(1) 幾何特征幾何特征水壩水壩 一個(gè)方向的一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，的尺寸大得多，且且沿長度方向幾何形沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化狀和尺寸不變化。 近似認(rèn)為無限長近似認(rèn)為無限長(2) 外力特征外力特征 外力（外力（體力、面力體力、面力）平行于橫截面作用，）平行于橫截面作用，且沿長度且沿長度 z 方向不變化。方向不變化。 約束約束 沿長度沿長度 z 方向不變化。方向不變化。(3) 變形特征變形特征建立如圖坐標(biāo)系：以任一

12、建立如圖坐標(biāo)系：以任一橫截面為橫截面為 xy 面，任一縱向面，任一縱向線為線為 z 軸。軸。, u, x, x沿沿 z 方向都不變化，方向都不變化，僅為僅為 x、y 的函數(shù)。的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱面任一橫截面均可視為對(duì)稱面水壩水壩0w所有各點(diǎn)的位移分量都平行于所有各點(diǎn)的位移分量都平行于 x y 平面。平面。 也叫也叫平面位移問題平面位移問題0z水壩水壩0z,0zyyz,0zxxz),(yxyy),(yxxx( , )xyxyx y 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題注：注：(1)平面應(yīng)變問題中平面應(yīng)變問題中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面應(yīng)變問題中有四個(gè)應(yīng)力分量：平面應(yīng)變問題中有四個(gè)應(yīng)力

13、分量：)0(,zyzxxyzyx 僅為僅為 x、 y 的函數(shù)。的函數(shù)。三三. . 平面問題的求解平面問題的求解問題：問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：件，求：xyyx,xyyx,vu, 僅為僅為 x、 y 的函數(shù)的函數(shù)需建立三個(gè)方面的關(guān)系：需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：）幾何學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；應(yīng)變與位移間的關(guān)系；應(yīng)變與位移間的關(guān)系； 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程（3 3）物理學(xué)關(guān)系：）物理學(xué)關(guān)系：應(yīng)變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)變與應(yīng)力間的關(guān)系。建立邊界條件：建立

14、邊界條件： 物理方程物理方程（1 1）應(yīng)力邊界條件；）應(yīng)力邊界條件；（2 2）位移邊界條件；）位移邊界條件；（3 3）混合邊界條件；）混合邊界條件；),(yxxx 設(shè)作用在單元體左側(cè)面設(shè)作用在單元體左側(cè)面上的正應(yīng)力是上的正應(yīng)力是 。222( , )(, )( , )( , )( , )11()()2!xxxnnxxnx yxx yx yxxx yx yxxxnxddddoxyxPABCxfyfD右側(cè)面上坐標(biāo)右側(cè)面上坐標(biāo)x得到增量得到增量dx，該面上的正應(yīng)力為，該面上的正應(yīng)力為 ，將上式展開，將上式展開為泰勒級(jí)數(shù)：為泰勒級(jí)數(shù)：(d , )xxx y2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程下面推導(dǎo)

15、平面應(yīng)力問題的平衡微分方程，對(duì)單元下面推導(dǎo)平面應(yīng)力問題的平衡微分方程，對(duì)單元體列平衡方程：體列平衡方程：(d ) d1d1(d )d1d1dd10yxxxxyxyxxxyyyxxyxfxy 0 xF yoxydyyyyxdxxxxxydxyxyxxyxdyxyxyyPABCxfyfD0yF 0yxxxfxy0yxyyfyx(d ) d1d1 (d ) d1d1dd10yxyyyxyxyyyxxxyyxyfxy yoxydyyyyxdxxxxxydxyxyxxyxdyxyxyyPABCxfyfD即有平衡微分方程：即有平衡微分方程：00yxxxyxyyfxyfyx 這兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函

16、這兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)數(shù) 。因此決定應(yīng)力分量的問題是。因此決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解出超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解出問題。問題。 yxxyyx,z 對(duì)于平面應(yīng)變問題，雖然前后面上還對(duì)于平面應(yīng)變問題，雖然前后面上還有有 ,但它們完全不影響上述方程的建立。但它們完全不影響上述方程的建立。所以上述方程對(duì)于兩種平面問題都同樣適用所以上述方程對(duì)于兩種平面問題都同樣適用。2-3 2-3 平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、斜截面上的應(yīng)力一、斜截面上的應(yīng)力 PABxyxyyxnyxo斜面的方向余弦分別為：斜面的方向余弦分別為：cos,co

17、slm 設(shè)斜面設(shè)斜面AB上應(yīng)力沿上應(yīng)力沿x軸及軸及y軸的投影分別為軸的投影分別為px和和py。由。由PAB的平衡條件的平衡條件 可得：可得：0 xF ddd0 xxyxpsl sm s除以除以 后移項(xiàng)即得：后移項(xiàng)即得：dsxxyxplm同樣由同樣由 得出：得出： 0yFyyxypmlPABxyxyyxnyxo斜面斜面AB的面積的面積為為ds，則則PA和和PB的面積分別的面積分別為為mds 和和ldsxpyp設(shè)斜面設(shè)斜面AB上的正應(yīng)上的正應(yīng)力力 ，由投影可得：，由投影可得：n222nxyxyxylpmplmlm斜面斜面AB上的剪應(yīng)力上的剪應(yīng)力 ，由投影可得：，由投影可得：n22()()nyxyx

18、xylpmplmlmPABxyxynyxnxpyppNyxo小結(jié)：小結(jié)：yyxypmlxxyxplm（2-3）（2-4）xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2-5）（2-6）()()()()xsxysxysxysylmfmlf（2-18） 平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件(后面會(huì)具體講后面會(huì)具體講)（1 1）斜面上的應(yīng)力）斜面上的應(yīng)力2-4 2-4 幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移 在平面問題中，在平面問題中，彈性體中各點(diǎn)都可能彈性體中各點(diǎn)都可能產(chǎn)生任意方向的位移。產(chǎn)生任意方向的位移。通過彈性體內(nèi)的任一通過彈性體內(nèi)的任一點(diǎn)點(diǎn)P，取垂線，取垂線PA和和PB，如圖

19、如圖2-5所示，所示，PA和和PB的長度分別為的長度分別為dx和和dy 。彈性體受力后。彈性體受力后P、A、B分別移動(dòng)到分別移動(dòng)到P、A、B。PoxyAPuvBAB假設(shè)假設(shè)P產(chǎn)生的位移分別產(chǎn)生的位移分別為為u和和v。一、一、PA和和PB的的線應(yīng)變線應(yīng)變(d )dxuuxuxxux同理可求得：同理可求得：yvy此處位移此處位移v引起的引起的PA的伸縮是的伸縮是高一階高一階的微量，可的微量，可忽略不計(jì)。忽略不計(jì)。dvvyyduuyyduuxxdvvxxPoxyABPABuv二、二、P點(diǎn)的切應(yīng)變點(diǎn)的切應(yīng)變yuxvxy線段線段PA的轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：(d )vvxvvxdxx同理可得線段同理可得線段PB的

20、轉(zhuǎn)角：的轉(zhuǎn)角：yu所以所以dvvyyduuyyduuxxdvvxxPoxyABPABuv因此得到平面問題的幾何方程因此得到平面問題的幾何方程xyxyuxvyvuxy 由幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確由幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即可完全確定。定時(shí)，形變分量即可完全確定。反之，當(dāng)形變分反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。2022-6-26362-5 2-5 物理方程物理方程 在在完全彈性完全彈性的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系根據(jù)胡克定律建立如下：應(yīng)力分量之間的關(guān)系根據(jù)胡克定律建

21、立如下：1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 111yzyzzxzxxyxyGGG2022-6-2637物理方程的說明：物理方程的說明： 正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力只與切 應(yīng)變有關(guān)。 是線性的代數(shù)方程； 是總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體； 式中，式中，E為彈性模量；為彈性模量；G為剪切模量；為剪切模量；為為泊松比。對(duì)于泊松比。對(duì)于各向同性材料各向同性材料，三者的關(guān)系：，三者的關(guān)系：)1 (2EG2022-6-2638在平面應(yīng)力在平面應(yīng)力中中作變換作變換112EE就可得到平面應(yīng)變中就可得到平面應(yīng)變中的關(guān)系式的關(guān)系式xyxyxyyyxxEEE)1 (2111122平面應(yīng)力中

22、的關(guān)系式平面應(yīng)力中的關(guān)系式1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE平面應(yīng)變中的關(guān)系式平面應(yīng)變中的關(guān)系式2022-6-26392-6 2-6 邊界條件邊界條件 當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其內(nèi)部各點(diǎn)其內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡微分方程，的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡微分方程，在邊界在邊界上應(yīng)滿足邊界條件上應(yīng)滿足邊界條件。一、位移邊界條件一、位移邊界條件 按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和和混合混合邊界問題。邊界問題。2022-6-2640 當(dāng)邊界上已知位移時(shí)，應(yīng)建立物體邊界上當(dāng)邊界上已知位移時(shí)

23、，應(yīng)建立物體邊界上點(diǎn)的位移與給定位移相等的條件。如令給定點(diǎn)的位移與給定位移相等的條件。如令給定位移的邊界為位移的邊界為 ，則有（，則有（在在 上上）：）：uSuS( )suu( )svv其中其中 和和 表示邊界上的位移分量，而表示邊界上的位移分量，而 和和 在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。suusvv二、應(yīng)力邊界條件二、應(yīng)力邊界條件 當(dāng)物體的邊界上給定當(dāng)物體的邊界上給定面力面力時(shí)，則物體邊界時(shí)，則物體邊界上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的平衡條件。上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的平衡條件。2022-6-2641()()()()xsyxsxysxysylmfmlf其中其中 和和 為面力

24、分量，為面力分量， 、 、 、 為為邊界上的應(yīng)力分量。邊界上的應(yīng)力分量。xfyfsx)(sy)(sxy)(syx)(PABxyxyyxxpypnyxoyyxypmlxxyxplm2022-6-2642若若x=a，為為x正面，正面，l = 1, m = 0, 則上式成為則上式成為)( .)( ,)(effyxyxaxxaxyxba()()()()xsyxsxysxysylmfmlf 當(dāng)邊界當(dāng)邊界面垂直于面垂直于x 軸時(shí)，應(yīng)軸時(shí)，應(yīng)力邊界條力邊界條件簡化為：件簡化為：2022-6-2643()()()()xsyxsxysxysylmfmlf若若x=-b，為為x負(fù)面，負(fù)面，l = -1, m = 0

25、 , 則上式成為則上式成為(), () ( )xbxxbxxyyfffyxba2022-6-2644三、混合邊界條件三、混合邊界條件1.物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具有位移邊界條件，另一部分邊界上則具有已知有位移邊界條件，另一部分邊界上則具有已知面力面力。則兩部分邊界上分別有應(yīng)力邊界條件和。則兩部分邊界上分別有應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。如圖位移邊界條件。如圖2-6，懸臂梁左端面有位，懸臂梁左端面有位移邊界條件：移邊界條件：00vvuuss右端面將有應(yīng)力邊界條件右端面將有應(yīng)力邊界條件lqxyo2h2h圖圖2-62-6()xsq2022-6-2645

26、2.在同一邊界上，在同一邊界上，既有應(yīng)力邊界條件又有位移既有應(yīng)力邊界條件又有位移邊界條件邊界條件。0()0sxysuuoxy圖圖2-72-7如圖如圖2-7連桿支撐邊界條件：連桿支撐邊界條件：例例: 如圖所示，試寫出其邊界條件。如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB邊（邊（y = 0）：）：1, 0ml00,( )xyxffp xpl 代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：|0,|0 x lx luv0( 1)0( 1)0( )xyxyyxp x tantantantan()( sin)()cos0

27、()cos()( sin)0 xy xxyy xyy xyxy x (3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNmNABCxyhp(x)p0l2022-6-2648lx 圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： 如圖，考慮如圖，考慮 小邊界，小邊界， 精確的應(yīng)力邊界條件精確的應(yīng)力邊界條件2022-6-2649 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。( , )( , )xxx lxyyx lx yfx y

28、f2022-6-2650在小邊界在小邊界x=l上，可用下列條件代替上上，可用下列條件代替上式的條件：式的條件： 在同一邊界在同一邊界 x=l 上，上， 應(yīng)力的主矢量應(yīng)力的主矢量Fx , Fy= 面力的主矢量（給定面力的主矢量（給定) 應(yīng)力的主矩應(yīng)力的主矩( M )= 面力的主矩（給定）面力的主矩（給定）數(shù)值相等數(shù)值相等方向一致方向一致(b)積分的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件2022-6-2651/2N/2()d1 hxx lhyF 具體可列出以下三個(gè)積分條件：具體可列出以下三個(gè)積分條件：/2/2()d1 hxx lhyyM/2S/2()d1hxyx lhyF 左側(cè)面左側(cè)面：0, 1ml0 x

29、yff()()()()xsxysxysxysylmfmlf代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式00hxxyhxx例例: 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條應(yīng)力邊界條件件。( 為水的容重為水的容重)()0 xxhxyxhy 右側(cè)面右側(cè)面：0, 1ml,0 xyfy f代入應(yīng)力邊界條件公式，代入應(yīng)力邊界條件公式，有有上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y 方向力等效：方向力等效：0dhh()yyxsinP對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效：xdx

30、yhhy0)(sin2hPx 方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyxyPxyyx上端面：上端面：（方法（方法2 2）在在P點(diǎn)附近取圖示微段，由微段的平衡求得點(diǎn)附近取圖示微段，由微段的平衡求得0yF0sin0Pdxyhhysin0Pdxhhyy 0OM0sin20hPxdxyhhyxdxyhhy0)(sin2hP 0 xF0cos0Pdxyhhyxdxyhhyx0)(cosP2022-6-2656（1）按位移求解（位移法、剛度法）按位移求解（位移法、剛度法） 以以u(píng)、v 為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用界條件都用u、v 表示，并求出表示，

31、并求出u、v ，再由幾何再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法、柔度法）按應(yīng)力求解（力法、柔度法） 以以應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，將所有方程為基本未知函數(shù)，將所有方程都用都用應(yīng)力分量表示，求出表示，求出應(yīng)力分量后 ，再用幾再用幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。何方程、物理方程求出形變分量與位移。2-8 2-8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題平面問題的求解方法整體上可分為以下三種平面問題的求解方法整體上可分為以下三種:2022-6-2657將幾何方程代入上式：將幾何方程代入上式：)()1 (2)(1)(122yuxvExuyv

32、EyvxuExyyx（a a）yuxvyvxuxyyxxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1222022-6-2658再將式（再將式（a）代入）代入平衡微平衡微分方程分方程簡化以后，即得簡化以后，即得22222222222211()012211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 這是這是用位移表示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移，也就是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)所需用的基本微分方程。求解平面應(yīng)力問題時(shí)所需用的基本微分方程。（1 1）0 xyyyfxy0yxxxfxy2022-6-2659將（將（a）式代入應(yīng)力邊界條件，簡化以后，得：）式代入應(yīng)力

33、邊界條件，簡化以后，得：221 ()() 121 ()() 12ssxssyEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy這是用這是用位移表示的應(yīng)力邊界條件位移表示的應(yīng)力邊界條件，也就是按位，也就是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)所用的應(yīng)力邊界條件。移求解平面應(yīng)力問題時(shí)所用的應(yīng)力邊界條件。（2 2）()(), ()()xsyxsxysxysylmfmlf2022-6-2660 總結(jié)起來，按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)滿總結(jié)起來，按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)滿足足平衡微分方程（平衡微分方程（1）和和位移邊界條件位移邊界條件或或應(yīng)力邊應(yīng)力邊界條件（界條件（2）。求出位移分量以后，用幾何方程。求出位移分量以后，用幾

34、何方程求出形變分量，再用物理方程求出應(yīng)力分量。求出形變分量，再用物理方程求出應(yīng)力分量。位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題1,12EE 只須將平面應(yīng)力問題的各個(gè)方程中只須將平面應(yīng)力問題的各個(gè)方程中E 和和作代換：作代換：2022-6-2661例例: 考慮考慮兩端固定兩端固定的一維桿件，如圖的一維桿件，如圖 。只受。只受重力作用，重力作用， 。試用位。試用位移法求解。移法求解。0,xyffg0gloyx2022-6-2662解：解：則位移則位移 , 00,( )uvv y22ddvgyE gloyx按位移求解，位移應(yīng)滿足式按位移求解，位移應(yīng)滿足式(1),(2

35、)。代入式。代入式(1)，第一式，第一式自然滿足，第二式成為自然滿足，第二式成為22222222222211()012211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 2022-6-266322gvyAyBE , 0)(, 0)(0lyyvvv0,2gBAlEgloyx解得解得2022-6-2664).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在在 處，處，2ly0y 代入代入v，并求出形變和應(yīng)力，并求出形變和應(yīng)力gloyxxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122yuxvyvxuxyyx2022-6-26652-9 2-9 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平

36、面問題 相容方程相容方程 按位移求解平面問題時(shí)，按位移求解平面問題時(shí)，必須求解兩個(gè)二必須求解兩個(gè)二階偏微分方程階偏微分方程，這在數(shù)學(xué)上是相當(dāng)困難的。而，這在數(shù)學(xué)上是相當(dāng)困難的。而按應(yīng)力求解彈性力學(xué)平面問題，則避免了這個(gè)按應(yīng)力求解彈性力學(xué)平面問題，則避免了這個(gè)困難，困難，故多采用的是按應(yīng)力求解故多采用的是按應(yīng)力求解。 按應(yīng)力求解時(shí)，以按應(yīng)力求解時(shí)，以應(yīng)力分量為基本未知函應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)數(shù)，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求出應(yīng)力分量以后，再用物理方程求出形條件求出應(yīng)力分量以后，再用物理方程求出形變分量，從而用幾何方程求出位移分量。變分量，從而用

37、幾何方程求出位移分量。2022-6-2666一、用應(yīng)變表示的相容方程一、用應(yīng)變表示的相容方程由平面問題的幾何方程：由平面問題的幾何方程：yuxvyvxuxyyx22332222yxuvyxx yy x 即：即：yxxyxyyx22222這個(gè)關(guān)系式稱為這個(gè)關(guān)系式稱為形變協(xié)調(diào)方程或相容方程形變協(xié)調(diào)方程或相容方程。22()xyuvx yyxx y 2022-6-2667即即 必須滿足上式才能保證位移分量必須滿足上式才能保證位移分量 u、v 的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C為常數(shù)。為常數(shù)。顯然，要想使形變協(xié)調(diào)方

38、程得到滿足，除非顯然，要想使形變協(xié)調(diào)方程得到滿足，除非C=0，因而不可能求出滿足幾何方程的解。因而不可能求出滿足幾何方程的解。yxxyxyyx222222222yxyx2xyCx y 解解: :2022-6-26682. 相容方程的相容方程的應(yīng)力應(yīng)力表示表示（1）平面應(yīng)力情形）平面應(yīng)力情形將物理方程代入相容方程，得：將物理方程代入相容方程，得：yxxyxyyx22222yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程將上述化簡：利用平衡方程將上述化簡：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (20yxyyfxy0 xyxxfxy（a）2022-6-26692222()(1)yx

39、xyffxyxy 將將 上式整理得：上式整理得：（2-23）上式為上式為用應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)力情形）用應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)力情形）（2）平面應(yīng)變情形）平面應(yīng)變情形將將 上式中的泊松比上式中的泊松比代為：代為： ， 得得1（2-24）上式為上式為應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）22221()1yxxyffxyxy 2022-6-26700)(2222yxyx（2-25）22221()1yxxyffxyxy 2222()(1)yxxyffyxxy 在常體力的情況下在常體力的情況下0)(2yx22222xy 2022-6-2671結(jié)論結(jié)論: 在單連體

40、的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個(gè)彈在單連體的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個(gè)彈性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力，那么，不管這兩個(gè)彈性體的材料是否相外力，那么，不管這兩個(gè)彈性體的材料是否相同，也不管它們是在平面應(yīng)力情況下或是在平同，也不管它們是在平面應(yīng)力情況下或是在平面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量 、 、 的分布是相的分布是相同的（同的（兩種平面問題中的應(yīng)力分量兩種平面問題中的應(yīng)力分量 ，以及，以及形變和位移，卻不一定相同形變和位移，卻不一定相同）。）。xyxyz2022-6-2672推論推論2 在用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的上述應(yīng)力在用實(shí)驗(yàn)方法

41、測(cè)量結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的上述應(yīng)力分量時(shí)，可以用便于量測(cè)的材料來制造模型，分量時(shí)，可以用便于量測(cè)的材料來制造模型，以代替原來不便于量測(cè)的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件材料；還以代替原來不便于量測(cè)的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件材料；還可以用可以用平面應(yīng)力情況下的薄板模型平面應(yīng)力情況下的薄板模型來代替來代替平面平面應(yīng)變情況下的長柱形的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件應(yīng)變情況下的長柱形的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件。推論推論1 針對(duì)任一物體而求出的應(yīng)力分量針對(duì)任一物體而求出的應(yīng)力分量 、 、 ，也適用于具有同樣邊界并受有同樣外力的，也適用于具有同樣邊界并受有同樣外力的其它材料的物體；針對(duì)其它材料的物體；針對(duì)平面應(yīng)力平面應(yīng)力問題而求出的問題而求出的這些應(yīng)力分量，也適用于邊界相同、外力相同

42、這些應(yīng)力分量，也適用于邊界相同、外力相同的的平面應(yīng)變平面應(yīng)變情況下的物體。情況下的物體。xyxy2022-6-2673應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，在按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，在體力為常量體力為常量的情況下的情況下，應(yīng)力分量，應(yīng)力分量 、 、 應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程：平衡微分方程：xyxy00 xyxxyxyyfxyfyx（a）以及相容方程以及相容方程0)(2222yxyx（b） 方程（方程（a）的解包含兩部分：任意一個(gè)）的解包含兩部分：任意一個(gè)特解特解和齊次微分方程的和齊次微分方程的通解通解。2022-6-2674微分方程（微分方程（a）的全解：）的全解：22222,xx

43、yyxyf xf yyxx y （1）將（將（1）代入式（）代入式（b），即得：），即得：22222222()()0 xyf xf yxyyx上式可簡化為：上式可簡化為：22222222()()0 xyxy函數(shù)函數(shù) 稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)，也稱為稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)，也稱為艾艾瑞應(yīng)力函數(shù)瑞應(yīng)力函數(shù)。2022-6-2675或者展開為：或者展開為：444422420 xxyy進(jìn)一步表示為：進(jìn)一步表示為：40（2） 按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，如果體力按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，如果體力是常量，就只須由微分方程（是常量，就只須由微分方程（2）求解應(yīng)力函）求解應(yīng)力函數(shù)數(shù)，然后用公式（，然后用公式（1）求

44、出應(yīng)力分量，但這）求出應(yīng)力分量，但這些應(yīng)力分量在邊界上必須滿足應(yīng)力邊界條件。些應(yīng)力分量在邊界上必須滿足應(yīng)力邊界條件。22222,xxyyxyf xf yyxx y （1）例例: 圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力曲應(yīng)力 和切應(yīng)力和切應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力力 =0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。xyxy解解: :材料力學(xué)解答：材料力學(xué)解答：0yxyIPyIMx*22S24 zxyzF SPhyI bI（

45、a）式（式（a）滿足平衡方程和相容）滿足平衡方程和相容方程？方程？式（式（a）是否滿足邊界條件？）是否滿足邊界條件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0 xyff代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：0yxyyfxy0 xyxxfxy（2-2）平衡微分方程滿足。平衡微分方程滿足。00 yIPyIP00000yxPxyI 2224xyPhyI 式（式（a）滿足相容方程。）滿足相容方程。0)(2222yxyx代入相容方程：代入相容方程：02222xyIPyx00)(2222yxyx0yxPxyI 2224xyPhyI 再驗(yàn)證，式（再驗(yàn)證，式（a）是否滿足）是否滿足邊界條件？邊界條

46、件？220, 0hhyyxyy 滿足滿足00 xx滿足滿足202dhhxyxyP 等效滿足等效滿足上、下側(cè)邊界：上、下側(cè)邊界：左側(cè)邊界：左側(cè)邊界：0yxyIPyIMx2224xyPhyI 結(jié)論：式（結(jié)論：式（a）為正確解，不適用于桿端）為正確解，不適用于桿端3-1 3-1 逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項(xiàng)式解多項(xiàng)式解答答444422420 xxyy （2）邊界條件：）邊界條件：()()()()xsxysxysxysylmfmlf（2）（1）相容方程：）相容方程：（4）對(duì)于多連體，還須滿足）對(duì)于多連體，還須滿足位移的單值條件位移的單值條件。22yyf yx22xxf xy2xyx y （3

47、）應(yīng)力分量：）應(yīng)力分量：（3）2022-6-26823-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷 設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為 ，長度，長度為為 ，受均布載荷，受均布載荷 ，體力不計(jì)體力不計(jì)，由兩端的反，由兩端的反力力 維持平衡，如圖維持平衡，如圖3-5所示。取所示。取單位厚度的梁單位厚度的梁來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。hl 2qql)(yfy解解: : 本問題宜采用半逆解法本問題宜采用半逆解法。由于由于 將由將由q引起引起,而而q又不又不隨隨x變化變化,因此可假設(shè)因此可假設(shè) 只只是是 y的函數(shù)：的函數(shù)：yyqlqqllloxy2h2

48、h圖圖3-53-52022-6-2683則：則：22( )f yx1( )( )xf yfyx對(duì)對(duì) 積分，得：積分，得：x212( )( )( )2xf yxf yfy再積一次分，得：再積一次分，得：其中，其中， 、 是是 y 的任意函數(shù)，待定。的任意函數(shù)，待定。)(1yf)(2yf（a a）（b b）)(yfyqlqqllloxy2h2h圖圖3-53-52022-6-2684 現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。將以上結(jié)果代入相容方程：將以上結(jié)果代入相容方程：0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd212( )( )( )2xf yxf yfy444422420 xxyy 相容條件要求該二次方程有無數(shù)的根相容條件要求該二次方程有無數(shù)的根(全梁內(nèi)的任全梁內(nèi)的任意意x值都應(yīng)該滿足值都應(yīng)該滿足)，所以它的系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)都必，所以它的系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)都必須等于零。即：須等于零。即：2022-6-26854442124442( )( )( )( )0,0,20d f yd fyd f yd f ydydydydy相應(yīng)的應(yīng)力分量為：相應(yīng)的