1、會計學1非齊次問題處理非齊次問題處理第一頁，編輯于星期三：五點 二分。22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt 令( , )( , )( , )U x tV x tWx t 其中22222000, 0,0;|0;|( ),|( ).xxlttWWaxlttxWWWWxxt (1) (2)第1頁/共31頁第二頁，編輯于星期三：五點 二分。 ,sinnnnV x tvtxl 令 為待定函數.( )nv t并將 按特征函數系展為級數 txf,其中 , 2 , 1,sin,20 ndlntfltfln 1( , )sinnnn xf x t

2、ftl (3) (4)22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt (1)第2頁/共31頁第三頁，編輯于星期三：五點 二分。222211( )( ) sin( )sinnnnnnnan xn xvtvtftlll2222( )( )( )nnnnavtvtftl 將(3),(4) 代入方程得兩端比較將(3)代入初始條件(0)0, (0)0nnvv第3頁/共31頁第四頁，編輯于星期三：五點 二分。2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv 0sin,1,2,lnnn a tlvtfdnn al Lapl

3、ace變換所以 01,sinsinlnnn a tlnVx tfdxn all 第4頁/共31頁第五頁，編輯于星期三：五點 二分。例1. 求解具有熱源 ，兩端絕熱，初始溫度為零的桿的熱傳導問題。 0000,0sin002tlxxxxxxtuuutlxtAuau 本征函數為 設 解：第5頁/共31頁第六頁，編輯于星期三：五點 二分。代入方程得 比較系數得： 由初始條件得： 從而 所以 第6頁/共31頁第七頁，編輯于星期三：五點 二分。例在環形區域 內求解下列定解問題22axyb 2222222212,|0,|0 xxyyxyaxybuuxyaxybuun 解考慮極坐標變換:cossinxy 第7

4、頁/共31頁第八頁，編輯于星期三：五點 二分。定解問題可以轉化為: 0|, 0|2cos1211222222bauuuuu相應的齊次問題的特征函數系為:,2sin,2cos,sin,cos, 1第8頁/共31頁第九頁，編輯于星期三：五點 二分。于是可以設原問題的解為: 10sincos,nnnnBnAAu代入方程，整理得 20021222111cos1sin12cos2nnnnnnnnnAAAAAnnBBBn 第9頁/共31頁第十頁，編輯于星期三：五點 二分。比較兩端 和 的系數可得 ncosnsin 222221412AAA 22102nnnnAAAn 0010AA 2210nnnnBBB第

5、10頁/共31頁第十一頁，編輯于星期三：五點 二分。 0sincos10nnnnaBnaAaA由邊界條件，得 所以 0sincos10nnnnbBnbAbA 0bAaAnn 0bBaBnn第11頁/共31頁第十二頁，編輯于星期三：五點 二分。( )nnnnnAcd nnnnnBcd ( )0nA 2n 0nB 由邊界條件，可知 nnBnA),2( , 滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的形式為000( )lnAcd第12頁/共31頁第十三頁，編輯于星期三：五點 二分。下面求 . 2A , 222221241 AAA 422212ccA方程的通解為 446612babac由端點的條件， 得 442

6、24422bababac 原問題的解為： 2cos,2Au 220A aAb第13頁/共31頁第十四頁，編輯于星期三：五點 二分。2.5 2.5 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理 處理非齊次邊界條件問題的基本原則基本原則是: 選取一個輔助函數 ,通過函數之間的代換: 使得對新的未知函數 邊界條件為齊次的. 第14頁/共31頁第十五頁，編輯于星期三：五點 二分。例1振動問題 （I） 解：取 故要求滿足(I)的邊界條件即)()()()()(0)(21ttBltAttBtA 解得思路:作代換選取w(x,t)使v(x,t)的邊界條件化為齊次第15頁/共31頁第十六頁，編輯于星期三：五點 二分。

7、代入(I)得 的定解問題(II) 令第16頁/共31頁第十七頁，編輯于星期三：五點 二分。如果仍取 的線性函數作為 ，則有 此時除非 ，否則這兩式互相矛盾。當x0和x= =l 滿足第二類邊界條件注意：應取第17頁/共31頁第十八頁，編輯于星期三：五點 二分。例 定解問題22222000, 0,0;|0,|;|0,|0 xx lttuuaAxlttxuuBuut 其中A, B為常數. ,u x tv x tw x 解:令第18頁/共31頁第十九頁，編輯于星期三：五點 二分。2( )ttxxva vwxA 代入方程，得 選 滿足 xw 200|0,|xx la wxAwwB 它的解為 22222A

8、AlBw xxxaal 第19頁/共31頁第二十頁，編輯于星期三：五點 二分。于是 滿足的方程為： txv, 22222000, 0,0;|0,|0;|,|0 xx lttvvaxlttxvvvvw xt 第20頁/共31頁第二十一頁，編輯于星期三：五點 二分。利用分離變量法，求解得 1,(cossin)sinnnnnananv x tCtDtxlllnBnaAlnnaAlCncos2222223322其中從而，原定解問題的解為 2221,cossin22nnAAlBnanu x txxCtxaalll 0.nD 第21頁/共31頁第二十二頁，編輯于星期三：五點 二分。一. 選擇適當的坐標系.

9、 原則:邊界條件的表達式最簡單.二. 若邊界條件是非齊次的, 引進輔助函數把邊界條件化為齊次的。三. 對于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個, 其 一是方程齊次, 并具有原定解條件的定解問題 (分離變量法)； 其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數法).一般的定解問題的解法一般的定解問題的解法第22頁/共31頁第二十三頁，編輯于星期三：五點 二分。22222000sin, 0,0;|0,|;|0,|0 xxxx ltt tuuaAtxlttxuuBuu例例 求下列定解問題的解求下列定解問題的解其中其中 為常數。為常數。, ,A B解解 1 1）邊界條件齊次化

10、，令）邊界條件齊次化，令 ,u x tU x tG x t2,2BG x txl第23頁/共31頁第二十四頁，編輯于星期三：五點 二分。于是, 滿足如下定解問題(, )Ux t2222220200sin, 0,0;|0,|0;|,|02xxxx ltt tUUa BaAtxlttxlUUBUxUl 2）將問題分解為兩個定解問題。設,U x tV x tW x t第24頁/共31頁第二十五頁，編輯于星期三：五點 二分。022222002sin, 0,0;( )|0,|0|0;|0,xxxx ltt tVVa BaAtxlttxlIIVVVV222022002, 0,0;( )|0,|0;|,|0

11、2xxxx ltt txltIWWWWaBWxWtxl第25頁/共31頁第二十六頁，編輯于星期三：五點 二分。3）求解問題）求解問題 (I), (II) 。首先，利用分離變量法求解問題首先，利用分離變量法求解問題 (I) 。222lnn ,cos,nnnXxAxl特征值及相應的特征函數特征值及相應的特征函數0, 1, 2,n tlanDtlanCtTnnnsincos第26頁/共31頁第二十七頁，編輯于星期三：五點 二分。則則01,(cossin)cos2nnnCanannW x tCtDtxlll利用初始條件確定系數利用初始條件確定系數10222,( 1),0,(1,2,)3nnnBlBlC

12、CDnn 20|2tBWxl 0|0ttW計算可得計算可得第27頁/共31頁第二十八頁，編輯于星期三：五點 二分。其次，利用特征函數法求解問題其次，利用特征函數法求解問題 (II) 將將 按問題（按問題（I）的特征函數系進行傅立葉展開）的特征函數系進行傅立葉展開( , )V x t 01,( )cosnnnV x tv tvtxl代入問題（代入問題（II）的方程及初始條件，得）的方程及初始條件，得 2201cossinnnnnana Bvtvtv txAtlll(0)0, (0)0,(0,1,2,)nnvvn第28頁/共31頁第二十九頁，編輯于星期三：五點 二分。 220000;sin;00, 0000, 00nnnnnaa BvtvtvtAtllvvvv問題轉化為求解下列常微分方程的初值問題問題轉化為求解下列常微分方程的初值問題解得解得220sin( )(),2( )0,(1,2,)nAta Bv tttlv tn所以，所以，0( ,