1、 第一章第一章 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 一、極限存在準則一、極限存在準則 二、兩個重要極限二、兩個重要極限 1.1.夾逼準則夾逼準則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 )( 充分大以后充分大以后n,011 ayNnNn時時恒恒有有當當,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nn , ayan即即,022 azNnNn時時恒恒有有當當, azan, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限,0 證證,azaynn機動機動 目錄目錄 上頁

2、上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 上兩式同時成立，上兩式同時成立，時時當當,Nn 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構造出鍵是構造出利用夾逼準則求極限關利用夾逼準則求極限關nnnnzyzy原則原則和準則和準則稱為夾逼準則稱為夾逼準則. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn機動機動 目

3、錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證明證明則則記記,maxEba EEEbannnnnnn2 nnEEEEnn 2lim而而由夾逼定理得由夾逼定理得,maxlimbaEbannnn 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 x1x2x3x1 nxnx2.2.單調有界準則單調有界準則滿足條件滿足條件如果數列如果數列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列幾何解釋幾何解釋: :AM機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 解：解：10

4、1 y11246yyy 1 kkyy假假設設kkyy 6116 kyky ，由由歸歸納納假假設設nnyy 1單調下降單調下降ny,0 ny顯顯然然故極限存在，故極限存在， 設設Aynn lim,6AA 則則23 AA或或解得：解得：（舍去）（舍去）3lim nny例例4 4.333的的極極限限存存在在證證明明數數列列 nx證證 ;是是單單調調遞遞增增的的nx, 331 x, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx,33312xx 又又,1 kkxx假假定定kkkkxxxx 1133機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 .lim存在存在nnx ,

5、31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得( (舍去舍去) ).2131lim nnx.limAxnn 設設 相應于準則相應于準則II II，函數極限在下面幾種變化過程，函數極限在下面幾種變化過程中也有類似的準則：中也有類似的準則：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 0)1(xx 0)2(xxx)3(x)4(0)5(xx x)6(xyo xyarctan 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 (一一)1sinlim0 xxx（1 1幾何解釋幾何解釋,xAB 的的弧弧長長設設xD

6、Bsin ,22xBABB xxxxxx2sin2limsinlim00 1lim0 BBBBx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 xAOB 則則xDBBBsin22 Ox1BAB Dxtanxsinxy)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓.ACO ，得得作作單單位位圓圓的的切切線線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的的高高為為 ACxoBD(2) 給出基本不等式：給出基本不等式：,tansinxxx )20( x,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有,tan2121sin21xxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

7、 返回返回 完畢完畢 ,tansinxxx )20( x, 1sincos xxx即即)20( x都是偶函數都是偶函數1,sin,cosxxx即即也也成成立立上上式式對對于于,02 x , |tan|sin|xxx 或或)2|0( x)2|0( x, 1sincos xxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

8、完畢完畢 （3求極限求極限由夾逼法則由夾逼法則例例5 5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 (二二)exxx )11(lim證明證明ennn )11(lim)1(證明證明nnnx)11( 設設 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ).11()221)(

9、111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記記為為)71828. 2( e類似地類似地, ,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 ,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(l

10、im xxxxxxxx, e .)11(limexxx exxx )11(lim)2(證明證明機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 exxx )11(lim例例6 6xxx)11(lim)1( xxx )11(1lim1)11(lim xxx.1e 機動機動 目錄目錄 上頁上

11、頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 xxxtanlim)2(0 xxxcot0)tan1(lim)3( xxxxcos1sinlim0 1 xxxtan10)tan1(lim e 1sinlim. 10 xxxexxx 10)1(lim. 4exxx )11(lim. 3ennn )11(lim. 2必須記住必須記住例例7 7xxxsin20)1(lim xxxxxsin210)1(lim 2e 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例8 8xxxx2)23(lim 222)211(lim xxxxx.2e lim x.)1cos1(sinlimxxxx 解解: : 原式

12、原式22)1cos1(sinlimxxxx 2)2sin1(limxxx )2sin1(x e xx22sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 x2sin1例例9. 9. 求求 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e例例10 10 求極限求極限 xxxx193lim 解解: : 數列數列nx收斂的充分必要條件為：收斂的充分必要條件為：對于任意給定的正數對于任意給定的正數0 ，存在正整數，存在正整數N，使得當，使得當Nm ，Nn 時，就有時，就有 |mnxx 柯西極限收斂準則柯西極限收斂準則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

13、 完畢完畢 1.1.兩個準則兩個準則2.2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; ; 單調有界準則單調有界準則 . .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 3.3.冪指函數求極限冪指函數求極限xxxsin20)1(lim)2( xxxx2)23(lim)3( .cos1lim)1(20 xxx 求下列極限求下列極限習題習題1-6P56） 1(5)(6)(7)(8)， 2(1)(3)(5)， 3(1)(2)(4) 1. 1. 如何判斷極限不存在如何判斷極

14、限不存在? ?方法方法1. 1. 找一個趨于找一個趨于或極限不存在的子數列或極限不存在的子數列; ;方法方法2. 2. 找兩個收斂于不同極限的子數列找兩個收斂于不同極限的子數列. .2. 2. 知知),2, 1(21,111 nxxxnn 求求nnx lim時時, ,下述作法是否正確下述作法是否正確? ? 說明理由說明理由. .設設,limaxnn 由遞推式兩邊取極限得由遞推式兩邊取極限得aa21 1 a不對不對! !此處此處 nnxlim機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 故極限存在，故極限存在，1.1.設設 )(211nnnxaxx ),2,1( n,0 a,01

15、x, , 且且求求.limnnx 解解1 1：設設Axnn lim則由遞推公式有則由遞推公式有)(21AaAA aA )(211nnnxaxx nxnxaa nnxx1 )1(212nxa )1(21aa 1 數列單調遞減有下界，數列單調遞減有下界，,01 x故故axnn lim利用極限存在準則利用極限存在準則,0 nx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解解2)(211nnnxaxx axaxnn 2)(21,1axn 顯顯然然axn有下界有下界即即因因此此又又,21axn 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 )(21112 nnnxaxx)(211211 nnnxxx1 nx單單調調減減少少即即nx,lim存在存在nnx .limAxnn 設設, )(21limlim1nnnnnxaxx )(21AaAA aAaA ,解得解得( (舍去舍去)