1、第一部分教材梳理第第3節銳角三角函數及其應用節銳角三角函數及其應用第六章圖形與變換、坐標第六章圖形與變換、坐標知識梳理知識梳理概念定理概念定理 1. 銳角三角函數的定義銳角三角函數的定義假設在RtABC中，C=90，則有：（1）正弦：銳角A的對邊對邊a a與斜邊斜邊c c的比叫做A的正弦，記作sinsinA A.（2）余弦：銳角A的鄰邊鄰邊b b與斜邊斜邊c c的比叫做A的余弦，記作coscosA A. （3）正切：銳角A的對邊對邊a a與鄰邊鄰邊b b的比叫做A的正切，記作tantanA A. （4）銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數銳角三角函數.2. 解直角三角形

2、的應用的有關概念解直角三角形的應用的有關概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度坡度，又叫做坡比坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1m的形式. （2）坡角：把坡面與水平面坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡度i與坡角之間的關系為（3）仰角和俯角：仰角是向上看向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看向下看的視線與水平線的夾角.主要公式主要公式 1. 同角三角函數關系公式同角三角函數關系公式（1）平方關系：sin2A+cos2A=1. （2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即 或sinA=tanAcos

3、A. 2. 兩角互余的三角函數關系公式兩角互余的三角函數關系公式在RtABC中，A+B=90時，正余弦之間的關系為：（1）一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA=cos（90-A）.（2）一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA=sin（90-A）.也可以理解成若A+B=90，那么sinA=cosB或sinB=cosA.3. 特殊角的三角函數值特殊角的三角函數值方法規律方法規律 1. 解直角三角形要用到的關系解直角三角形要用到的關系（1）銳角之間的關系：A+B=90.（2）三邊之間的關系：a2+b2=c2.（3）邊角之間的關系：2. 解直角三角形的應用問題的有關要點解直角

4、三角形的應用問題的有關要點（1）應用范圍：通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問題，如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，解此類問題關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.（2）一般步驟將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形，轉化為解直角三角形的問題）.根據題目的已知條件選用適當的銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案.中考考點精講精練中考考點精講精練考點考點1銳角三角函數、解直角三角形銳角三角函數、解直角三角形考點精講考點精講【例【例1 1】（2016廣東）如圖1-6

5、-3-1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，3），那么cos的值是（）考題再現考題再現1. （2016沈陽）如圖1-6-3-2，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，則BC的長是（）D2. （2014汕尾）在RtABC中，C=90，若sinA=，則cosB的值是（）3. （2014廣州）如圖1-6-3-3，在邊長為1的小正方形組成的網格中，ABC的三個頂點均在格點上，則tanA等于（）BD4. （2015廣州）如圖1-6-3-4，ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE.若BE=9，BC=12，則cosC=_.考點演練考點演練5. 在RtABC中，C=90，AB

6、=13，AC=12，則cosA=（）6. 如圖1-6-3-5，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則ABC的正切值是（）CD7. ABC中，C=90，BC=3，AB=5，求sinA，cosA，tanA的值. 考點點撥：考點點撥：本考點的題型一般為選擇題或填空題，難度較低. 解答本考點的有關題目，關鍵在于畫出直角三角形的圖形，利用銳角三角函數的定義進行計算，要熟練掌握銳角三角函數包括正弦、余弦、正切等概念的定義和計算公式 （相關要點詳見“知識梳理”部分）.考點考點2解直角三角形的應用解直角三角形的應用考點精講考點精講【例【例2 2】（2014廣東）如圖1-6-3-6，某數學興

7、趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30，然后沿AD方向前行10 m，到達B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60（A，B，D三點在同一直線上）.請你根據他們的測量數據計算這棵樹CD的高度（結果精確到0.1 m）.（參考數據： 1.414， 1.732）思路點撥：首先利用三角形的外角的性質求得ACB的度數，得到BC的長度，然后在RtBDC中，利用三角函數即可求解.解：CBD=A+ACB，ACB=CBD-A=60-30=30.A=ACB.BC=AB=10（m）.在RtBCD中，答：這棵樹CD的高度為8.7米.考題再現考題再現1. （2016六盤水）據調查，超速行駛是引發交

8、通事故的主要原因之一，所以規定以下情境中的速度不得超過15 m/s，在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖1-6-3-7，AD=24 m，D=90，第一次探測到一輛轎車從B點勻速向D點行駛，測得ABD=31，2秒后到達C點，測得ACD=50.（tan310.6，tan501.2，結果精確到1 m）（1）求B，C間的距離. （2）通過計算，判斷此轎車是否超速. 解：（解：（1 1）在）在RtRtABDABD中，中，ADAD=24 m=24 m，B B=31=31，tan31tan31= = ，即，即BDBD= =40= =40（m m）. .在在RtRtACDACD中，中，ADAD

9、=24 m=24 m，ACDACD=50=50，tan50tan50= = ，即，即CDCD= =20= =20（m m）. .BCBC= =BDBD- -CDCD=40-20=20=40-20=20（m m）. .則則B B，C C間的距離為間的距離為20 m.20 m.（2 2）根據題意，得）根據題意，得20202=10 m/s2=10 m/s15 m/s15 m/s，則此轎車沒有超速則此轎車沒有超速. .答：此轎車沒有超速答：此轎車沒有超速. . 2. （2014珠海）如圖1-6-3-8，一艘漁船位于小島M的北偏東45方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到

10、達位于小島南偏東60方向的B處.（1）求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離（結果用根號表示）；（2）若漁船以20海里/小時的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達小島M的航行時間（結果精確到0.1小時）.（參考數據： ）解：（解：（1 1）如答圖）如答圖1-6-3-11-6-3-1，過點過點M M作作MDMDABAB于點于點D D. .AMEAME=45=45，AMDAMD=MADMAD=45=45. .AMAM=180=180海里，海里，MDMD= =AMAMcos45cos45= = （海里）（海里）. .答：漁船從答：漁船從A A到到B B的航行過程中與小島的航行過程中與小島

11、M M間間的最小距離是的最小距離是 海里海里. .（2 2）在）在RtRtDMBDMB中，中，BMFBMF=60=60，DMBDMB=30=30. .MDMD= = 海里，海里，答：漁船從答：漁船從B B到達小島到達小島M M的航行時間約為的航行時間約為7.47.4小時小時. .考點演練考點演練3. 如圖1-6-3-9，小山崗的斜坡AC的坡度是tan= ，在與山腳C距離200 m的D處，測得山頂A的仰角為26.6，求小山崗的高AB.（結果取整數，參考數據：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）解：解：在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，在直角三角

12、形在直角三角形ADBADB中，中，BDBD- -BCBC= =CDCD=200,=200,解得解得ABAB=300=300（m m）. .答：小山崗的高答：小山崗的高ABAB為為300300米米. .4. 如圖1-6-3-10，甲、乙兩條輪船同時從港口A出發，甲輪船以每小時30海里的速度沿著北偏東60的方向航行，乙輪船以每小時15海里的速度沿著正東方向行進，1小時后，甲船接到命令要與乙船會和，于是甲船改變了行進的方向，沿著東南方向航行，結果在小島C處與乙船相遇.假設乙船的速度和航向保持不變，求港口A與小島C之間的距離. 解：如答圖解：如答圖1-6-3-2. 1-6-3-2. 由題意，得由題意，

13、得1=601=60，2=302=30，4=454=45，ABAB=30=30海里海里. . 過點過點B B作作BDBDACAC于點于點D D，則則1=3=601=3=60. .在在RtRtBCDBCD中，中，4=454=45，CDCD=BD. =BD. 在在RtRtABDABD中，中，2=302=30，ABAB=30=30海里，海里，考點點撥：考點點撥：本考點的題型一般為解答題，難度中等. 解答本考點的有關題目，關鍵在于借助實際問題中的俯角、仰角或方向角等構造直角三角形并解直角三角形. 熟記以下解直角三角形的應用問題的一般過程：（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形，轉

14、化為解直角三角形的問題）；（2）根據題目的已知條件選用適當的銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案. 課堂鞏固訓練課堂鞏固訓練1. 如圖1-6-3-11，ABC的頂點都是正方形網格中的格點，則cosABC等于（）B2. 如圖1-6-3-12，在平面直角坐標系中，直線OA過點（2，1），則sin的值是（）B3. 如圖1-6-3-13，在ABC中，C=90，AC=8 cm，AB的垂直平分線MN交AC于點D，連接BD，若cosBDC= ，則BC的長是（）A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm4. 如圖1-6-3-14，在RtABC中，A

15、CB=90，CDAB，垂足為點D，tanACD= ，AB=5，那么CD的長是_. A5. 在RtABC中，C=90，如果AC=4，sinB= ，那么AB=_. 6. 如圖1-6-3-15，ABC中，ACB=90，sinA= ，BC=8，D是AB的中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點E. （1）求線段CD的長；（2）求cosDBE的值. 67. 某國發生8.1級強烈地震，我國積極組織搶險隊赴地震災區參與搶險工作，如圖1-6-3-16，某探測對在地面A，B兩處均探測出建筑物下方C處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角分別是25和60，且AB=4 m，求該生命跡象所在位置C的深度. （結果精確到1

16、m，參考數據：sin250.4，cos250.9，tan250.5， 1.7）解：如答圖解：如答圖1-6-3-31-6-3-3，作，作CDCDABAB交交ABAB的延長線于點的延長線于點D D. . 設設CDCD為為x x m. m. 在在RtRtADCADC中，中，DACDAC=25=25，在在RtRtBDCBDC中，中，DBCDBC=60=60，而，而ABAB=4 m,=4 m,解得解得x x33（m m）. .答：生命跡象所在位置答：生命跡象所在位置C C的深度約為的深度約為3 m.3 m.8. 如圖1-6-3-17，水庫大壩的橫斷面為四邊形ABCD，其中ADBC，壩頂BC=10 m，壩高20 m，斜坡AB的坡度i=12.5，斜坡CD的坡角為30. （1）求壩底AD的長度（結果精確到1 m）；（2）若壩長100 m，求建造這個大壩需要的土石料. （參考數據： ）解：（解：（1 1）如答圖）如答圖1-6-3-41-6-3-4，作，作BEBEADAD于點于點E E，CFCFADAD于點于點F F. . ADADBCBC,四邊形四邊形BEFCBEFC是矩形是矩形. . EFEF= =BCBC=10=10（m m）. . BEBE=20 m=20