1、會計學1矩陣矩陣(j zhn)及其運算及其運算第一頁，共40頁。一、矩陣一、矩陣(j zhn)(j zhn)二、矩陣二、矩陣(j zhn)(j zhn)的運算的運算第1頁/共39頁第二頁，共40頁。其中其中 表示有表示有航班航班始發地始發地ABCD目的地目的地 A B C D例例1 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座城四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班的航班(hn bn)圖如圖所示，箭頭從始圖如圖所示，箭頭從始發地指向目的地發地指向目的地.BACD城市城市(chngsh)間的航班圖情況常用表格來表示間的航班圖情況常用表格來表示:1.引例

2、引例第2頁/共39頁第三頁，共40頁。為了便于計算，把表中的為了便于計算，把表中的改成改成1，空白，空白(kngbi)地方填地方填上上0，就得到一個數表：，就得到一個數表：ABCD A B C D這個數表反映這個數表反映(fnyng)(fnyng)了四個城市之間交通聯接的情況了四個城市之間交通聯接的情況. .11111100000000第3頁/共39頁第四頁，共40頁。其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發送發送(f sn)第第 j 種貨物的數量種貨物的數量 例例2 某工廠生產四種貨物，它向三家商店發送的貨物數量可某工廠生產四種貨物，它向三家商店發送的貨物數量可用數表用數

3、表(sh bio)表示為：表示為：這四種貨物的單價及單件重量這四種貨物的單價及單件重量(zhngling)也可列成數表：也可列成數表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價，種貨物的單價，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 第4頁/共39頁第五頁，共40頁。稱為稱為(chn wi) m (chn wi) m 行行 n n 列矩陣，簡稱列矩陣，簡稱 m mn n 矩陣矩陣 記作記作 定義定義1 1 由由 mn 個數個數 排成排成的的 m 行行 n 列的數表列的數表(1,2,;1,2, )ijaim jn第5頁/共39頁第六頁，共40頁。元素是實數的矩陣元素是

4、實數的矩陣(j zhn)稱為實矩稱為實矩陣陣(j zhn)，元素元素(yun s)是復數的矩陣稱為復矩是復數的矩陣稱為復矩陣陣.這這 mn 個數稱為矩陣個數稱為矩陣(j zhn)A的元素，簡稱為元的元素，簡稱為元.簡記為簡記為()()m nijm nijAAaa第6頁/共39頁第七頁，共40頁。n行數不等于列數行數不等于列數n共有共有mn個元素個元素n本質本質(bnzh)上就是一個上就是一個數表數表n行數等于行數等于(dngy)列數列數n共有共有n2個元素個元素矩陣矩陣(j zhn)行列式行列式第7頁/共39頁第八頁，共40頁。（1）行數與列數都等于）行數與列數都等于 n 的矩陣，稱為的矩陣，

5、稱為 n 階方陣階方陣(fn zhn)可記作可記作 .（2）只有一行的矩陣）只有一行的矩陣 稱為行矩陣稱為行矩陣(或行向量或行向量) .只有一列的矩陣只有一列的矩陣 稱為列矩陣稱為列矩陣(或列向量或列向量) .（3）元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作）元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .例如例如(lr)： 3. 特殊特殊(tsh)的矩陣的矩陣第8頁/共39頁第九頁，共40頁。（4）形如）形如 的方陣稱為對角矩陣的方陣稱為對角矩陣(j zhn) 當當 時，稱為數量矩陣時，稱為數量矩陣(j zhn). 特別地，方陣特別地，方陣 稱為單位矩陣稱為單位矩陣(j zhn)記作記作記作記作 12=n 第

6、9頁/共39頁第十頁，共40頁。4.4.同型矩陣同型矩陣(j zhn)(j zhn)與矩陣與矩陣(j (j zhn)zhn)相等相等（1） 兩個兩個(lin )矩陣的行數相等、列數相等時，稱為同型矩陣的行數相等、列數相等時，稱為同型矩陣矩陣.例如例如(lr)為同型矩陣為同型矩陣. .（2）兩個矩陣）兩個矩陣 與與 為同型矩陣，并且對應為同型矩陣，并且對應 元素相等，即元素相等，即 則稱矩陣則稱矩陣 A 與與 B 相等相等，記作，記作 A = B . .第10頁/共39頁第十一頁，共40頁。注：不同型的零矩陣是不相等注：不同型的零矩陣是不相等(xingdng)(xingdng)的的. . 矩陣之

7、間不能比較大小矩陣之間不能比較大小. .例如例如(lr) (lr) 第11頁/共39頁第十二頁，共40頁。例例3 某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店(shngdin)發送貨物的數量可用數表表示：發送貨物的數量可用數表表示：試求：工廠在一年內向試求：工廠在一年內向(ni xin)各商店發送貨物的數量各商店發送貨物的數量 其中其中aij 表示上半年工廠向第表示上半年工廠向第 i 家家商店商店(shngdin)發送第發送第 j 種貨物的數量種貨物的數量其中其中cij 表示工廠表示工廠下半年下半年向第向第 i 家家商店發送第商店發送第 j

8、種貨物的數量種貨物的數量二、矩陣的運算二、矩陣的運算第12頁/共39頁第十三頁，共40頁。解：工廠在一年內向各商店解：工廠在一年內向各商店(shngdin)發送貨物的數量發送貨物的數量第13頁/共39頁第十四頁，共40頁。1. 矩陣矩陣(j zhn)的加法的加法定義定義2 2 設有兩個設有兩個(lin ) m(lin ) mn n 矩陣矩陣 A = (aij) A = (aij)，B = B = (bij) (bij) ，那么矩陣，那么矩陣 A A 與與 B B 的和記作的和記作 A AB B，規定為，規定為說明：只有說明：只有(zhyu)(zhyu)當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算當

9、兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算. .第14頁/共39頁第十五頁，共40頁。知識點比較知識點比較(bjio)(bjio) 第15頁/共39頁第十六頁，共40頁。交交換換律律結結合合律律其其他他矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)加法的運算規律加法的運算規律設設 A A、B B、C C 是同型矩陣是同型矩陣(j zhn)(j zhn)設矩陣設矩陣(j zhn) A = (aij) ，記，記A = (aij)，稱為矩陣，稱為矩陣(j zhn) A 的負的負矩陣矩陣(j zhn)顯然顯然第16頁/共39頁第十七頁，共40頁。設工廠向某家商店發送四種設工廠向某家商店發送四種(s zhn)貨物各貨

10、物各 l 件，試求：工廠向該商件，試求：工廠向該商店發送第店發送第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量例例4（續例（續例2）該廠所生產的貨物的單價）該廠所生產的貨物的單價(dnji)及單件重量可列成數表：及單件重量可列成數表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價種貨物的單價(dnji)，bi 2 表示第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 第17頁/共39頁第十八頁，共40頁。解：工廠向該商店發送解：工廠向該商店發送(f sn)第第 j 種貨物的總值及總重量種貨物的總值及總重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價種貨物的單價(dnji)，bi 2 表示

11、第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 第18頁/共39頁第十九頁，共40頁。2. 數與矩陣數與矩陣(j zhn)相乘相乘定義定義3 3 數數 l l 與矩陣與矩陣(j zhn) A (j zhn) A 的乘積記作的乘積記作 l A l A 或或 A l A l ，規定，規定為為第19頁/共39頁第二十頁，共40頁。知識點比較知識點比較(bjio)(bjio)第20頁/共39頁第二十一頁，共40頁。結結合合律律分分配配律律備備注注數乘矩陣數乘矩陣(j zhn)(j zhn)的運算規律的運算規律設設 A A、B B是同型矩陣是同型矩陣(j zhn)(j zhn)，l , m l , m

12、是數是數矩陣相加與數乘矩陣合起來矩陣相加與數乘矩陣合起來(q li)，統稱為矩陣的線性運算，統稱為矩陣的線性運算.第21頁/共39頁第二十二頁，共40頁。其中其中aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發送第發送第 j 種貨物種貨物(huw)的數量的數量 例例5（續例（續例2 ） 某工廠生產四種某工廠生產四種(s zhn)貨物，它向三家商店發送的貨物，它向三家商店發送的貨物數量可用數表表示為：貨物數量可用數表表示為：這四種貨物這四種貨物(huw)的單價及單件重量也可列成數表：的單價及單件重量也可列成數表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物的單價，種貨物的單價，bi 2 表示

13、第表示第 i 種貨物的單件重量種貨物的單件重量 試求：工廠向三家商店所發貨物的總值及總重量試求：工廠向三家商店所發貨物的總值及總重量 第22頁/共39頁第二十三頁，共40頁。解：解：以以 ci1， ci2 分別分別(fnbi)表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店所發貨物的總值及家商店所發貨物的總值及總重量，其中總重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中(qzhng)aij 表示工廠向第表示工廠向第 i 家商店家商店發送第發送第 j 種貨物的數量種貨物的數量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 種貨物種貨物(huw)的單價，的單價，bi 2 表示第表示第 i 種貨物種貨物(huw)的單

14、件重量的單件重量 第23頁/共39頁第二十四頁，共40頁。可用矩陣可用矩陣(j zhn)表示為表示為一般一般(ybn)地，地，第24頁/共39頁第二十五頁，共40頁。3. 矩陣矩陣(j zhn)的乘法的乘法定義定義(dngy)4 (dngy)4 設設 ， ，那么規定矩陣，那么規定矩陣 A A 與矩陣與矩陣 B B 的乘積是一個的乘積是一個 m mn n 矩陣矩陣 ，其中，其中并把此乘積并把此乘積(chngj)記作記作 C = AB 第25頁/共39頁第二十六頁，共40頁。例例6 6 設設則則第26頁/共39頁第二十七頁，共40頁。知識點比較知識點比較(bjio)(bjio)有意義有意義(yy)

15、.(yy).沒有沒有(mi (mi yu)yu)意義意義. .只有當第一個矩陣的列數只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘，兩個矩陣才能相乘. .第27頁/共39頁第二十八頁，共40頁。例例7 7 結論：結論：（1 1）矩陣乘法）矩陣乘法(chngf)(chngf)不一定滿足交換律不一定滿足交換律. .（2 2）矩陣）矩陣 ，卻有，卻有 ，從而不能由從而不能由 得出得出 或或 的結論的結論第28頁/共39頁第二十九頁，共40頁。矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)乘法的運算規律乘法的運算規律 (1)(1) 結合律結合律 (3)(3) 分配律分配律(

16、2) (2) 結合律結合律 （其中（其中(qzhng) l (qzhng) l 是數）是數）(4) (4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用單位矩陣在矩陣乘法中的作用(zuyng)(zuyng)類似于數類似于數1 1，即，即推論推論1 1 矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數量陣矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數量陣 EE 與任何同階方與任何同階方陣都是可交換的陣都是可交換的. .數量陣不同數量陣不同于對角陣于對角陣第29頁/共39頁第三十頁，共40頁。(5) 矩陣的冪矩陣的冪 若若 A 是是 n 階方陣階方陣(fn zhn)，定義，定義顯然顯然(xinrn)思考：下列思考：下列(xili)等式在什么時候

17、成立？等式在什么時候成立？A、B可交換時成立可交換時成立第30頁/共39頁第三十一頁，共40頁。4. 矩陣矩陣(j zhn)的轉置的轉置定義定義5 5 把矩陣把矩陣 A A 的行換成同序數的行換成同序數(xsh)(xsh)的列得到的新矩陣，叫做的列得到的新矩陣，叫做A A 的轉置矩陣，記作的轉置矩陣，記作AT .AT .例例第31頁/共39頁第三十二頁，共40頁。轉置矩陣轉置矩陣(j zhn)的運算的運算性質性質第32頁/共39頁第三十三頁，共40頁。例例8 8 已知已知解法解法(ji f)1第33頁/共39頁第三十四頁，共40頁。解法解法(ji f)2第34頁/共39頁第三十五頁，共40頁。

18、定義定義6 設設 A 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那么那么 A 稱為稱為(chn wi)對稱矩陣對稱矩陣.如果滿足如果滿足 A = AT，那么，那么 A 稱為反對稱為反對(fndu)稱矩陣稱矩陣. 對稱對稱(duchn)矩陣矩陣 反對稱矩陣反對稱矩陣 第35頁/共39頁第三十六頁，共40頁。5. 方陣方陣(fn zhn)的行列式的行列式定義定義(dngy)7 (dngy)7 由由 n n 階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣 A A 的行的行列式，記作列式，記作|A|A|或或detA.detA.運算運算(yn sun)性質性質定義定義8 8 設設A 是是 n 階階方陣，當方陣，當| |A|=0|=0時，稱時，稱A 為為奇異矩陣奇異矩陣（或（或退化矩陣退化矩陣）；）；當當| |A| |0 0時，稱時，稱A 為為非奇異矩陣非