1、2.1 2.1 函函 數(shù)數(shù) （二）（二）*函數(shù)的定義：函數(shù)的定義： 定義：設(shè)定義：設(shè) A ，B 都是非空的數(shù)集，如果按某個都是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系確定的對應(yīng)關(guān)系 f ，使得對于集合，使得對于集合 A 中的任意一個中的任意一個數(shù)數(shù) x，在集合，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)中都有唯一確定的數(shù) f (x) 和它對應(yīng)，和它對應(yīng)，那么就稱那么就稱 f : AB 為從集合為從集合 A 到集合到集合 B 的一個函數(shù)的一個函數(shù),記作記作 y = f ( x ) ，x A .其中，其中，x 叫做自變量，叫做自變量，x 的取值范圍的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定叫做函數(shù)的定義域，與義域，與 x 的值

2、相對應(yīng)的的值相對應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合的集合 f (x) | x A 叫做函數(shù)的值域叫做函數(shù)的值域. 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧 v函數(shù)的三大要素函數(shù)的三大要素:1：定義域：定義域 2：對應(yīng)法則：對應(yīng)法則 3：值域：值域其中，定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的基本要素，因為函數(shù)其中，定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的基本要素，因為函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定以后，它的值域也就隨之確定的定義域和對應(yīng)法則確定以后，它的值域也就隨之確定了了.因而，在判定兩個函數(shù)是否相同時，就要看定義域和因而，在判定兩個函數(shù)是否相同時，就要看定義域和對應(yīng)法則是否完全相同，完全相同時，這兩個函數(shù)才是對應(yīng)法則

3、是否完全相同，完全相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)同一個函數(shù).（四復(fù)合函數(shù) 給定兩個函數(shù) y = f ( x ) 和 y = g ( x )，則稱 f g( x )和 g f ( x ) 為由這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù). 例 3 、 已知函數(shù) f (x) = 2x 3 和 g(x) = x2+2，求函數(shù) f g( x )和g f ( x ) . 解： f g( x ) = 2x 2+2）-3=2x2+1 g f ( x ) =(2x-3)2+2= 4 x2 -12x + 11 .解：解：f (3)=332-53+2=14f (a) = 3 a2 5 a + 2f (a+1) = 3 (a+1

4、)2 5 (a+1) + 2 =3a2+6a+3-5a-5+2 =3a2+a例：已知函數(shù)例：已知函數(shù) f (x) = 3 x2 5 x + 2 ，求，求 f ( 3 )， f ( a ) ，f ( a + 1 ) . 練練 習(xí)習(xí) 1、下列各組中的兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，為什么？、下列各組中的兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，為什么？ （1） f (x)=（x- 2)0， g(x)=1. (2) f (x)=x2, g(x)=(x-1)2. (3) f(x)=x-2, g(x)= (4) y=t 2 (t0), s=r 2 (r0) 定義域不同 對應(yīng)法則不同 值域不同 （注：與字母無關(guān)）244xx求：f

5、(x2), f (x+1), f g(x), g f (x)+2.2、知、知 f (x)=3x-1，g(x)=211x 答案：答案：（一區(qū)間的概念：（一區(qū)間的概念： 設(shè)設(shè) a a，b b 是兩個實數(shù)，而且是兩個實數(shù)，而且 a b a b，我們，我們規(guī)定：規(guī)定： （1 1滿足不等式滿足不等式 a x b a x b 的實數(shù)的實數(shù) x x 的集合叫做閉區(qū)間，表示為的集合叫做閉區(qū)間，表示為 a a，b ;b ; （2 2滿足不等式滿足不等式 a x b a x b 的實數(shù)的實數(shù) x x 的的集合叫做開區(qū)間，表示為集合叫做開區(qū)間，表示為a a，b b）; ; （3 3滿足不等式滿足不等式 a x b

6、a x b 或或 a x a x b b 的實數(shù)的實數(shù) x x 的集合叫做半開半閉區(qū)間，的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為分別表示為 a a，b b），（），（a a，b . b . 這里的這里的 a a 與與 b b 都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點 . . 新新 課課 教教 學(xué)學(xué) 定義定義名稱名稱符號符號數(shù)軸表示數(shù)軸表示x a x b閉區(qū)間閉區(qū)間 a，b x a x b開區(qū)間開區(qū)間 ( a，b )x a x b半開半半開半閉區(qū)間閉區(qū)間 a，b )x a a 的實數(shù)的實數(shù) x 的集合可表示為的集合可表示為 ( a ，+). 滿足滿足 x b 的實數(shù)的實數(shù) x 的集合可表示為的集合可表

7、示為 ( - ，b . 滿足滿足 x 0 ，集合，集合 A 中的元素中的元素 x 按照對應(yīng)關(guān)系按照對應(yīng)關(guān)系“計算面積和集合計算面積和集合 B 中的中的元素對應(yīng)，這個對應(yīng)是不是集合元素對應(yīng)，這個對應(yīng)是不是集合 A 到集合到集合 B 的映射？的映射？ （2設(shè)設(shè) A = R ，B = 直線上的點直線上的點，按照建立數(shù)軸的方，按照建立數(shù)軸的方法，使法，使 A 中的數(shù)中的數(shù) x 與與 B 中的點中的點 P 對應(yīng)，這個對應(yīng)是不對應(yīng)，這個對應(yīng)是不是集合是集合 A 到集合到集合 B 的映射？的映射？ （3設(shè)設(shè) A = P | P 是直角坐標(biāo)系中的點是直角坐標(biāo)系中的點 ，B = (x，y) | x R，y R

8、，按照建立平面直角坐標(biāo)系的方法，按照建立平面直角坐標(biāo)系的方法，使使 A 中的點中的點 P 與與 B 中的有序?qū)崝?shù)對中的有序?qū)崝?shù)對 (x，y)對應(yīng)，這個對應(yīng)，這個對應(yīng)是不是集合對應(yīng)是不是集合 A 到集合到集合 B 的映射？的映射？ 答案：以上三個小題中的對應(yīng)都是集合答案：以上三個小題中的對應(yīng)都是集合 A 到集合到集合 B 的映射的映射. 定義：給定一個集合定義：給定一個集合 A 到集合到集合 B 的映射，且的映射，且 a A，b B，如果元素，如果元素 a 和元素和元素 b 對應(yīng)，那么，我們就對應(yīng)，那么，我們就把元素把元素 b 叫做元素叫做元素 a 的象，元素的象，元素 a 叫做元素叫做元素 b

9、 的原的原象象.123123456AB乘以乘以2 例如，右圖就表示例如，右圖就表示一個集合一個集合 A 到集合到集合 B 的的映射，對應(yīng)法則是映射，對應(yīng)法則是“乘以乘以2”，集合，集合 B 中的中的 4 是集是集合合 A 中的中的 2 的象，集合的象，集合 A 中的中的 2 是集合是集合 B 中的中的 4 的原象的原象.（3對應(yīng)的形式有，一對多，多對一，一對一對應(yīng)的形式有，一對多，多對一，一對一. 作為映射的對應(yīng)，肯定是對一的作為映射的對應(yīng)，肯定是對一的.（2注意映射是有方向的注意映射是有方向的. 注意：注意： （1假如假如 A 的元素的象的集合是的元素的象的集合是 C，那，那么么 C B (

10、 有時有時 C = B，有時，有時C B ). （4f : A B 是映射是映射 A 中的每個元素在中的每個元素在 B 中都有象，中都有象， 象是唯一的象是唯一的 .考慮：函數(shù)和映射有什么共同點，又有什么不同？考慮：函數(shù)和映射有什么共同點，又有什么不同？ 函數(shù)和映射的關(guān)系：函數(shù)和映射的關(guān)系： 從映射的概念可以知道，函數(shù)實際上就是集從映射的概念可以知道，函數(shù)實際上就是集合合 A 到集合到集合B的一個映射的一個映射 f : AB ，其中，其中 A，B 是非空的數(shù)集，對于自變量在定義域是非空的數(shù)集，對于自變量在定義域 A 內(nèi)的任何內(nèi)的任何一個值一個值 x，在集合，在集合 B 中都有唯一的函數(shù)值和它對

11、中都有唯一的函數(shù)值和它對應(yīng)，自變量的值是原象，和它對應(yīng)的函數(shù)值是象應(yīng)，自變量的值是原象，和它對應(yīng)的函數(shù)值是象. 反過來，映射就不一定是函數(shù)，因為映射中反過來，映射就不一定是函數(shù)，因為映射中的兩個集合的兩個集合 A 和和 B，可以是由任意元素所構(gòu)成的，可以是由任意元素所構(gòu)成的集合集合. 例例3、已知、已知A= 1, 2, 3, m , B= 4, 7, n4, n2+3n ,且且nN, f : xy=px+q 是從是從A到到B的一個映射，已知的一個映射，已知1的象是的象是 4，7的原象是的原象是2，求，求 p, q, m, n.解：由題意可得：解：由題意可得：472pqpq= 3 1pq解得：

12、f : xy=3x+1于是于是3的象是的象是10.若若10=n4，那么，那么 n N. 10= n2+3n, 解得解得 n=2 或或n =-5舍去）舍去）從而從而 3m+1=n4，得，得 m=5, p=3, q=1, m=5, n=2.1、在從集合、在從集合A到集合到集合B的映射中，下列說法哪一的映射中，下列說法哪一個是正確的？個是正確的？ （AB中的某一個元素中的某一個元素b的原象可能不止一個的原象可能不止一個 （BA中的某一個元素中的某一個元素a的象可能不止一個的象可能不止一個 （CA中的兩個不同元素所對應(yīng)的象必不相同中的兩個不同元素所對應(yīng)的象必不相同 （DB中的兩個不同元素的原象可能相同

13、中的兩個不同元素的原象可能相同 練練 習(xí)習(xí) A2、下面哪一個說法正確？、下面哪一個說法正確？ （A對于任意兩個集合對于任意兩個集合A與與B，都可以建立一，都可以建立一個從集合個從集合A到集合到集合B的映射的映射 （B對于兩個無限集合對于兩個無限集合A與與B，一定不能建立一，一定不能建立一個從集合個從集合A到集合到集合B的映射的映射 （C如果集合如果集合A中只有一個元素，中只有一個元素，B為任一非為任一非空集合，那么從集合空集合，那么從集合A到集合到集合B只能建立一個映只能建立一個映射射 （D如果集合如果集合B只有一個元素，只有一個元素，A為任一非空為任一非空集合，則從集合集合，則從集合A到集合到集合B只能建立一個映射只能建立一個映射D1212nn 3、集合、集合A=N，B=m|m= , nN,1191311 象象 ， 的原象分別是多少的原象分別是多少. ，x，yB.請計算在請計算在 f 作用下，作用下，1212xx f : xy= 5，6.4、已知集合、已知集合A到集合到集合B= 0, 1, 2, 3 的映射的映射f : x 1|-1x, 則集合則集合A中元素最多有幾個？寫出中元素最多有幾個？寫出元素最多時的集合元素最多時的集合A.33 442, 2,22 33A . 1、映射實質(zhì)上是、映射實質(zhì)上是“多對一或多對一或“一對一的對應(yīng)，但不一對一的對應(yīng)，但不包括包括 “一對多