1、4.2 序列相關性序列相關性 Serial Correlation一、序列相關性概念一、序列相關性概念二、實際經濟問題中的序列相關性二、實際經濟問題中的序列相關性 三、序列相關性的后果三、序列相關性的后果四、序列相關性的檢驗四、序列相關性的檢驗五、具有序列相關性模型的估計五、具有序列相關性模型的估計六、案例六、案例4.2 序列相關性序列相關性 一、序列相關性概念一、序列相關性概念 如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關的，而是存在某種相關性，則認為出現了序列相關性。 對于模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2, ,n隨機項互不相關的基本假設表現為 Cov(i ,

2、 j)=0 ij, i,j=1,2, ,n在其他假設仍成立的條件下，序序列列相相關關即意味著0)(jiE2112)()()()(nnEEECov2112nnI22或稱為一階列相關，或自相關autocorrelation）其中：被稱為自協方差系數coefficient of autocovariance或一階自相關系數first-order coefficient of autocorrelation） i是滿足以下標準的OLS假定的隨機干擾項：如果僅存在 E(i i+1)0 i=1,2, ,n 自相關往往可寫成如下形式：自相關往往可寫成如下形式： i=i-1+i -11 0)(iE, 2)va

3、r(i, 0),cov(sii 0s 由于序列相關性經常出現在以時間序列為樣本的模型中，因而，本節將用下標t代表i。 二、實際經濟問題中的序列相關性二、實際經濟問題中的序列相關性 大多數經濟時間數據都有一個明顯的特點:慣性，表現在時間序列不同時間的前后關聯上。由于消費習慣的影響被包含在隨機誤差項中，則可能出現序列相關性往往是正相關 ）。例如，絕對收入假設下居民總消費函數模型：例如，絕對收入假設下居民總消費函數模型： Ct=0+1Yt+t t=1,2,n 1 1、經濟變量固有的慣性、經濟變量固有的慣性 2 2、模型設定的偏誤、模型設定的偏誤 所謂模型設定偏誤Specification error

4、是指所設定的模型“不正確”。主要表現在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。 例如，本來應該估計的模型為 Yt=0+1X1t+ 2X2t + 3X3t + t但在模型設定中做了下述回歸： Yt=0+1X1t+ 1X2t + vt因而， vt=3X3t + t，如果X3確實影響Y，則出現序列相關。 但建模時設立了如下模型： Yt= 0+1Xt+vt 因而，由于vt= 2Xt2+t, ，包含了產出的平方對隨機項的系統性影響，隨機項也呈現序列相關性。又如：如果真實的邊際成本回歸模型應為： Yt= 0+1Xt+2Xt2+t其中：Y=邊際成本，X=產出， 3 3、數據的、數據的“編造編造” 例

5、如：季度數據來自月度數據的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數據的波動性，從而使隨機干擾項出現序列相關。 還有就是兩個時間點之間的“內插技術往往導致隨機項的序列相關性。 在實際經濟問題中，有些數據是通過已知數據生成的。 因而，新生成的數據與原數據間就有了內在的聯系，表現出序列相關性。 計量經濟學模型一旦出現序列相關性，如果仍采用OLS法估計模型參數，會產生下列不良后果： 二、序列相關性的后果二、序列相關性的后果 1 1、參數估計量非有效、參數估計量非有效 因為，在有效性證明中利用了 E(NN)=2I 即同方差性和互相獨立性條件。 而且，在大樣本情況下，參數估計量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近

6、有效性。 2、變量的顯著性檢驗失去意義、變量的顯著性檢驗失去意義 在變量的顯著性檢驗中，統計量是建立在參數方差正確估計基礎之上的，這只有當隨機誤差項具有同方差性和互相獨立性時才能成立。 其他檢驗也是如此。 3、模型的預測失效 區間預測與參數估計量的方差有關，在方差有偏誤的情況下，使得預測估計不準確，預測精度降低。 所以，當模型出現序列相關性時，它的預測功能失效。三、序列相關性的檢驗三、序列相關性的檢驗 然后，通過分析這些然后，通過分析這些“近似估計量之間近似估計量之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。列相關性。 序列相關性檢驗方法有多種，但基本思

7、路相同：首先首先， 采用 OLS法估計模型， 以求得隨機誤差項的“近似估計量近似估計量” ，用ei表示： lsiiiYYe0)( 基本思路基本思路: : 三、序列相關性的檢驗三、序列相關性的檢驗 1 1、圖示法、圖示法 2 2、回歸檢驗法、回歸檢驗法 以te為被解釋變量， 以各種可能的相關量， 諸如以1te、2te、2te等為解釋變量，建立各種方程： tttee1tttteee2211 如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關性。 回歸檢驗法的優點是：（回歸檢驗法的優點是：（1能夠確定序列相能夠確定序列相關的形式，（關的形式，（2適用于任何類型序列相關性問適用于任何類

8、型序列相關性問題的檢驗。題的檢驗。3 3、杜賓、杜賓- -瓦森瓦森Durbin-WatsonDurbin-Watson檢驗法檢驗法 D-W檢驗是杜賓J.Durbin和瓦森(G.S. Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法，該方法的假定條件是：（1解釋變量X非隨機；（2隨機誤差項i為一階自回歸形式： i=i-1+i（3回歸模型中不應含有滯后應變量作為解釋變量，即不應出現下列形式： Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4回歸含有截距項 該統計量的分布與出現在給定樣本中的X值有復雜的關系，因此其精確的分布很難得到。 但是，他們成功地導出了臨界值的下限dL和上限dU ，且這些

9、上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個數k有關，而與解釋變量X的取值無關。 杜賓和瓦森針對原假設：H0: =0， 即不存在一階自回歸，構如下造統計量： nttnttteeeWD12221)(. D.W. 統計量統計量: D.W檢驗步驟檢驗步驟:（1計算DW值（2給定，由n和k的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU（3比較、判斷 假設 0D.W.dL 存在正自相關 dLD.W.dU 不能確定 dU D.W.4dU 無自相關 4dU D.W.4 dL 不能確定 4dL D.W.4 存在負自相關 0 dL dU 2 4-dU 4-dL 正相關不能確定無自相關不能確定負相關 當D.W.值在2左右時，模型

10、不存在一階自相關。 證明：證明： 展開展開D.W.D.W.統計量：統計量： nttntntnttttteeeeeWD1222212122.(*)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD如果存在完全一階正相關，即如果存在完全一階正相關，即=1，那么，那么 D.W. 0 完全一階負相關，即完全一階負相關，即= -1, 那么那么 D.W. 4 完 全 不 相 關 ，完 全 不 相 關 ， 即即=0， 那 么， 那 么 D.W.2這里，nttntttnttnttteeeeee22211221為一階自回歸模型 i=i-1+i 的參數估計。)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD

11、 4、拉格朗日乘數、拉格朗日乘數Lagrange multiplier檢驗檢驗 拉格朗日乘數檢驗克服了DW檢驗的缺陷，適合于高階序列相關以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。 它是由布勞殊Breusch與戈弗雷Godfrey于1978年提出的，也被稱為GB檢驗。 ikikiiiXXXY22110 對于模型如果懷疑隨機擾動項存在p階序列相關： tptpttt2211 GB檢驗可用來檢驗如下受約束回歸方程 tptptktkttXXY11110約束條件為： H0: 1=2=p =0約束條件H0為真時，大樣本下)()(22pRpnLM其中，n為樣本容量，R2為如下輔助回歸的可決系數： tptptktkt

12、teeXXe11110給定，查臨界值2(p)，與LM值比較，做出判斷，實際檢驗中，可從1階、2階、逐次向更高階檢驗。 如果模型被檢驗證明存在序列相關性，則需要發展新的方法估計模型。 最常用的方法是廣義最小二乘法GLS: Generalized least squares和廣義差分法(Generalized Difference)。四、序列相關的補救四、序列相關的補救 1 1、廣義最小二乘法、廣義最小二乘法 對于模型 Y=X+ 如果存在序列相關，同時存在異方差，即有,22212222111221)()Cov(nnnnnE 是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D，使得，

13、使得 =DD變換原模型： D-1Y=D-1X +D-1即 Y*=X* + * (*)1211211111)()()(DDDDDDDDDD*EEEI2(*)式的OLS估計：*1*)(YXXXYXXXYDDXXDDX11111111)()( 這就是原模型的廣義最小二乘估計量這就是原模型的廣義最小二乘估計量(GLS estimators)，是無偏的、有效的估計量。是無偏的、有效的估計量。 該模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性：該模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性： 如何得到矩陣如何得到矩陣？ 對的形式進行特殊設定后，才可得到其估計值。1000001000000100000100000121D

14、,22121221111)(nnnnCov 如設定隨機擾動項為一階序列相關形式 i=i-1+i 那么 2 2、廣義差分法、廣義差分法 廣義差分法是將原模型變換為滿足廣義差分法是將原模型變換為滿足OLS法的差分模型，再進行法的差分模型，再進行OLS估計。估計。ikikiiiXXXY22110如果原模型存在tltlttt2211可以將原模型變換為: )()1 (1111111011ltlttlltlttXXXYYYtlktlktktkXXX)(11 該模型為廣義差分模型，不存在序列相關問題。可進行OLS估計。 注意： 廣義差分法就是上述廣義最小二乘法，但是廣義差分法就是上述廣義最小二乘法，但是卻損

15、失了部分樣本觀測值。卻損失了部分樣本觀測值。 如：一階序列相關的情況下如：一階序列相關的情況下, ,廣義差分是估廣義差分是估計計tktktkttttXXXXYY)()()1 (1111101nt, 3 , 2這相當于1000001000000100000100000121D去掉第一行后左乘原模型Y=X+ 。即運用了GLS法，但第一次觀測值被排除了。 3 3、隨機誤差項相關系數的估計、隨機誤差項相關系數的估計 應用廣義最小二乘法或廣義差分法，必須已知隨機誤差項的相關系數1, 2, , L 。 實際上，人們并不知道它們的具體數值，所以必須首先對它們進行估計。 常用的估計方法有： 科克倫科克倫-奧科

16、特奧科特Cochrane-Orcutt迭代法。迭代法。 杜賓杜賓durbin兩步法兩步法 （1科克倫-奧科特迭代法。 以一元線性模型為例： 首先，采用OLS法估計原模型 Yi=0+1Xi+i得到的的“近似估計值”，并以之作為觀測值使用OLS法估計下式 i=1i-1+2i-2+Li-L+i得到, 12l，作為隨機誤差項的相關系數 12,l的第第一一次次估估計計值值。求出i新的“近擬估計值”， 并以之作為樣本觀測值，再次估計 i=1i-1+2i-2+Li-L+iilln12 ,ililiilliliiXXXYYY)()1 (1111011 類似地，可進行第三次、第四次迭代。 關于迭代的次數，可根據

17、具體的問題來定。 一般是事先給出一個精度，當相鄰兩次1,2, ,L的估計值之差小于這一精度時，迭代終止。 實踐中，有時只要迭代兩次，就可得到較滿意的結果。兩次迭代過程也被稱為科克倫-奧科特兩步法。（2杜賓杜賓durbin兩步法兩步法 該方法仍是先估計1,2,l，再對差分模型進行估計 第一步，變換差分模型為下列形式第一步，變換差分模型為下列形式ililiilliliiXXXYYY)()1 (1111011illn12 ,進行OLS估計，得各Yjj=i-1, i-2, ,i-l)前的系數1,2, , l的估計值第第二二步步，將估計的l,21代入差分模型ililiilliliiXXXYYY)()1

18、(1111011 illn12 ,采用 OLS 法估計，得到參數110),1 (l的估計量，記為*0，*1。于是： )1 (1*00l， *11應用軟件中的廣義差分法應用軟件中的廣義差分法 在Eview/TSP軟件包下，廣義差分采用了科克倫-奧科特Cochrane-Orcutt迭代法估計。 在解釋變量中引入AR(1)、AR(2)、，即可得到參數和1、2、的估計值。 其中AR(m)表示隨機誤差項的m階自回歸。在估計過程中自動完成了1、2、的迭代。 如果能夠找到一種方法，求得如果能夠找到一種方法，求得或各序列相關或各序列相關系數系數j的估計量，使得的估計量，使得GLS能夠實現，則稱為能夠實現，則稱

19、為可行的廣義最小二乘法可行的廣義最小二乘法FGLS, Feasible Generalized Least Squares）。）。 FGLS估計量，也稱為可行的廣義最小二乘估計估計量，也稱為可行的廣義最小二乘估計量量feasible general least squares estimators） 可行的廣義最小二乘估計量不再是無偏的，但可行的廣義最小二乘估計量不再是無偏的，但卻是一致的，而且在科克倫卻是一致的，而且在科克倫-奧科特迭代法下，奧科特迭代法下，估計量也具有漸近有效性。估計量也具有漸近有效性。 前面提出的方法，就是前面提出的方法，就是FGLS 注意：注意： 4、虛假序列相關問題、

20、虛假序列相關問題 由于隨機項的序列相關往往是在模型設由于隨機項的序列相關往往是在模型設定中遺漏了重要的解釋變量或對模型的函定中遺漏了重要的解釋變量或對模型的函數形式設定有誤，這種情形可稱為虛假序數形式設定有誤，這種情形可稱為虛假序列相關列相關(false autocorrelation) ，應在模型，應在模型設定中排除。設定中排除。 避免產生虛假序列相關性的措施是在開避免產生虛假序列相關性的措施是在開始時建立一個始時建立一個“一般的模型，然后逐漸一般的模型，然后逐漸剔除確實不顯著的變量。剔除確實不顯著的變量。五、案例：中國商品進口模型五、案例：中國商品進口模型 經濟理論指出，商品進口主要由進口

21、國的經濟發展水平，以及商品進口價格指數與國內價格指數對比因素決定的。 由于無法取得中國商品進口價格指數，我們主要研究中國商品進口與國內生產總值的關系。（下表）。 表表 4.2.14.2.1 19782001 年中國商品進口與國內生產總值年中國商品進口與國內生產總值 國內生產總值 GDP （億元） 商品進口 M （億美元） 國內生產總值 GDP （億元） 商品進口 M （億美元） 1978 3624.1 108.9 1990 18547.9 533.5 1979 4038.2 156.7 1991 21617.8 637.9 1980 4517.8 200.2 1992 26638.1 805.

22、9 1981 4862.4 220.2 1993 34634.4 1039.6 1982 5294.7 192.9 1994 46759.4 1156.1 1983 5934.5 213.9 1995 58478.1 1320.8 1984 7171.0 274.1 1996 67884.6 1388.3 1985 8964.4 422.5 1997 74462.6 1423.7 1986 10202.2 429.1 1998 78345.2 1402.4 1987 11962.5 432.1 1999 82067.46 1657 1988 14928.3 552.7 2000 89442.2

23、 2250.9 1989 16909.2 591.4 2001 95933.3 2436.1 資料來源： 中國統計年鑒 （1995、2000、2002） 。 1. 通過通過OLS法建立如下中國商品進口方程：法建立如下中國商品進口方程： ttGDPM02. 091.152 （2.32） （20.12） 2. 進行序列相關性檢驗。進行序列相關性檢驗。 DW檢驗檢驗 取=5%，由于n=24，k=2(包含常數項)，查表得： dl=1.27， du=1.45由于 DW=0.628 20.05(2) 故: 存在正自相關2 2階滯后：階滯后：3階滯后：321032. 0819. 0108. 10003. 0692. 6tttteeeGDPe (0.22) (-0.497) (4.541) （-1.842） （0.087） R2=0.6615 于是，LM=210.6614=13.89取=5%，2分布的臨界值20.05(3)=7.815 LM 20.05(3) 說明: 存在正自相關；但t-3的參數不顯著，說明不存在3階序列相關性。 3、運用廣義差分法進行自相關的處理、運用廣義差分法進行自相關的處理 （1采用杜賓兩步法估計采用杜賓兩步法估計