1、 主講教師：主講教師：*建筑工程學(xué)院建筑工程學(xué)院 College of Civil Engineering and Architecture第四章第四章 平面任意力系平面任意力系 4-1 力的平移力的平移 4-2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 4-3 平面任意力系的平衡條件平面任意力系的平衡條件 4-4 剛體系的平衡剛體系的平衡 4-5 靜定與靜不定問(wèn)題的概念靜定與靜不定問(wèn)題的概念 作用于剛體某平面上任一點(diǎn)的力，可平移到此平面作用于剛體某平面上任一點(diǎn)的力，可平移到此平面上的任意點(diǎn)而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)，但需增加一上的任意點(diǎn)而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)，但需增加一附附加力偶加力偶，

2、附加力偶的，附加力偶的力偶矩力偶矩等于等于原力對(duì)新的作用點(diǎn)之矩原力對(duì)新的作用點(diǎn)之矩。力的平移定理力的平移定理（平面、重點(diǎn)）（平面、重點(diǎn)）()BBFdMMF第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 力的平移力的平移 作用在剛體上的力可向剛體上任意點(diǎn)平移，平移作用在剛體上的力可向剛體上任意點(diǎn)平移，平移后后附加一力偶附加一力偶，附加力偶的，附加力偶的力偶矩矢力偶矩矢等于原力對(duì)平移等于原力對(duì)平移點(diǎn)的之矩矢。點(diǎn)的之矩矢。力的平移定理（空間）力的平移定理（空間） FMFrMBAB一、平面任意力系向作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化一、平面任意力系向作用平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化4-2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化

3、平面匯交力系平面匯交力系 平面力偶系平面力偶系 1122nnFFFFFF ， ，1O12O2nOn()()()FFF MMMMMM，平面任意力系平面任意力系 12nFFF ， ，力的力的平移平移定理定理RFFFRxx FFRyy FF2222RRR()()()()xyxyFFFFFRRcos()xFi FF，RRcos()yFj FF，1. 1. 平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成 主矢大小主矢大小主矢方向主矢方向力系主矢力系主矢x Fy F 力系的主矢等于力力系的主矢等于力系各力的矢量和，大小、系各力的矢量和，大小、方向方向與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。O MM2. 2. 平面力偶系的合成

4、平面力偶系的合成力系力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩O()F M力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，等于力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，等于力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和，作用于原平面內(nèi)，大小、方向的代數(shù)和，作用于原平面內(nèi)，大小、方向與簡(jiǎn)化中心位置有與簡(jiǎn)化中心位置有關(guān)關(guān)。3. 3. 固定端約束固定端約束平面任意力系平面任意力系向作用面內(nèi)向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化任一點(diǎn)簡(jiǎn)化力力力偶力偶力系主矢力系主矢力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩二、平面任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果二、平面任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果1. 1. 力系簡(jiǎn)化為合力偶力系簡(jiǎn)化為合力偶 力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的位

5、置無(wú)關(guān)。RO00F MOAMM 2. 2. 力系簡(jiǎn)化為合力力系簡(jiǎn)化為合力 RO00F M3. 3. 力系簡(jiǎn)化為合力力系簡(jiǎn)化為合力 4. 4. 力系平衡（力系平衡（重點(diǎn)重點(diǎn)） RO00F MRO00F MRRFF ORd MF力的平移力的平移逆定理逆定理求：求：力系向力系向 點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果；點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果；合力與合力與 的交點(diǎn)到點(diǎn)的交點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 ；已知已知: :1450kN,P 2200kN,P 1300kN,F kN701FOOAOx解：解：（1 1）主矢主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF 22R()()709.4kNxyFFFRRRRcos(,

6、)0.3283, cos(, )0.9446yxFFFiFjFF RR(, )70.84 ,(, )18019.16FiFj 主矩主矩：112( )31.53.92355kN mOOMMFFPP （2 2）合力與）合力與OA的交點(diǎn)到點(diǎn)的交點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的距離x：003.514mcos 9070.84dx dORd MF一、平面任意力系平衡方程的基本形式一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面力系任意平衡的充分與必要條件：力系的主矢平面力系任意平衡的充分與必要條件：力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩分別等于零分別等于零。 22()()0 xy RFFFOO()0F MM0 x F

7、0y FO()0F M 平面力系平衡的充分與必要條平面力系平衡的充分與必要條件：各力在直角坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸件：各力在直角坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸上上投影的代數(shù)和分別等于零，投影的代數(shù)和分別等于零，各力各力對(duì)對(duì)任一點(diǎn)之矩任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。的代數(shù)和等于零。 4-3 平面任意力系的平衡條件平面任意力系的平衡條件R0F O0 M二、平面任意力系平衡方程的其他形式二、平面任意力系平衡方程的其他形式 1. 1. 二矩式二矩式0 x F(0)y FA()0F MB()0F M2. 2. 三矩式三矩式A()0F MB()0F MC()0F MA、B 的連線不能與的連線不能與x軸軸（或（或y 軸）垂直軸）垂直A

8、、B、C 三點(diǎn)不能共線三點(diǎn)不能共線 ABxABC0y FO()0F MA()0F MB()0F M三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程1. 1. 一力一矩式平衡方程：一力一矩式平衡方程：y 軸與力平行軸與力平行2. 2. 二矩式平衡方程：二矩式平衡方程：A、B 連線不能與各力平行連線不能與各力平行0 x F0y F四、平面匯交力系的平衡方程四、平面匯交力系的平衡方程yxF2F3F4F5F1五、平面力偶系的平衡方程五、平面力偶系的平衡方程yxM3M2M1M4M50 M求解力系平衡問(wèn)題的方法和步驟：求解力系平衡問(wèn)題的方法和步驟：（1 1）選取研究對(duì)象）選取研究對(duì)象；（2 2）分析研

9、究對(duì)象受力，畫(huà)受力圖）分析研究對(duì)象受力，畫(huà)受力圖；（3 3）根據(jù)力系的類型列平衡方程）根據(jù)力系的類型列平衡方程；（；（選取適當(dāng)坐選取適當(dāng)坐標(biāo)軸和矩心，以使方程中未知量個(gè)數(shù)最少；盡可能標(biāo)軸和矩心，以使方程中未知量個(gè)數(shù)最少；盡可能每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量）。）。（4 4）求解未知量，分析和討論計(jì)算結(jié)果）求解未知量，分析和討論計(jì)算結(jié)果。 例例4-2：懸臂式簡(jiǎn)易起重機(jī)簡(jiǎn)化為圖示結(jié)構(gòu)。：懸臂式簡(jiǎn)易起重機(jī)簡(jiǎn)化為圖示結(jié)構(gòu)。AB 是吊車(chē)梁，是吊車(chē)梁，BC 是鋼索，是鋼索，A 端支承可簡(jiǎn)化為鉸鏈支座。設(shè)已知電動(dòng)葫蘆和重物端支承可簡(jiǎn)化為鉸鏈支座。設(shè)已知電動(dòng)葫蘆和重物其重其重P = 10 k

10、N ，梁自重，梁自重W = 5 kN ，= 30o。試求鋼索。試求鋼索BC 和鉸鏈和鉸鏈A 的約束力，及鋼索受力的最大值。的約束力，及鋼索受力的最大值。A()0,F MBsin02lxlWPF 0,x FABcos0 xFF 解：解：（1 1）以吊車(chē)梁以吊車(chē)梁AB 為研究對(duì)象為研究對(duì)象（2 2）受力圖和坐標(biāo)系如圖所示，）受力圖和坐標(biāo)系如圖所示，電動(dòng)葫蘆距電動(dòng)葫蘆距A 處處 距離為距離為x（3 3）建立平衡方程）建立平衡方程0,y F0sinBAyFPWFB2PFxWlA3()2xPWFxlA()2ylxWFPl （4 4）解得）解得 Bmax225kNFPWX=l時(shí)時(shí)矩心矩心A()0:F MB

11、sin02lWP xFl B()0:F MA()02ylPlxWFl 0:x FABcos0 xFF 1 1）本題也可以用二矩式平衡方程求解，方程如下：）本題也可以用二矩式平衡方程求解，方程如下：注意：注意：A、B兩點(diǎn)連線與兩點(diǎn)連線與x軸不垂直。軸不垂直。A()0:F MBsin02lWP xFl B()0:F MA()02ylPlxWFl 2 2）用三矩式平衡方程求解，方程如下：）用三矩式平衡方程求解，方程如下： ：0FMC0sin2lFlWPxAx注意：注意：A、B、C三三點(diǎn)不共線。點(diǎn)不共線。D點(diǎn)為矩心點(diǎn)為矩心 例例4-34-3：試求圖示懸臂：試求圖示懸臂固定端固定端A 處的約束力處的約束

12、力。其中。其中q 為均布載為均布載荷集度，單位為荷集度，單位為kN/m ，設(shè)集中力，設(shè)集中力F=ql ，集中力偶矩，集中力偶矩M=ql 2。 解：以梁解：以梁AB 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程平衡方程 0,x F0Ax F0,y F20AylFqFA()0,F MA220l ll MqMFA0 x FAyql F2Aql M 解得：解得：MA 和和M投影？投影？q投影？投影？MA 和和M與矩心？與矩心？ 例例4-44-4：邊長(zhǎng)為：邊長(zhǎng)為a 的等邊三角形平板的等邊三角形平板 ABC 在鉛垂平面內(nèi)，在鉛垂平面內(nèi)，用三根沿邊長(zhǎng)方向的直桿鉸接

13、如圖所示。用三根沿邊長(zhǎng)方向的直桿鉸接如圖所示。BC 邊水平，三角形平邊水平，三角形平板上作用一已知力偶，其力偶矩為板上作用一已知力偶，其力偶矩為M 。三角形平板重為。三角形平板重為P ， 桿桿不計(jì)自重。不計(jì)自重。試求三桿對(duì)三角形平板的約束力試求三桿對(duì)三角形平板的約束力。 解：以三角形平板解：以三角形平板ABC 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程圖所示。建立平衡方程 A()0,F MC302FaMB()0,F MA3022aFaPMC()0,F MB3022aFaPMA2 3333MPFaB2 3333MPFaC2 33MFa 解得：解得： A、B、C三

14、點(diǎn)不共線，因此三個(gè)方程是獨(dú)立的三點(diǎn)不共線，因此三個(gè)方程是獨(dú)立的 例：塔式起重機(jī)簡(jiǎn)圖如圖所示。已知機(jī)架重量例：塔式起重機(jī)簡(jiǎn)圖如圖所示。已知機(jī)架重量W ，作用線距，作用線距右軌右軌 B 的距離的距離 e ，載重，載重W1 離右軌離右軌 B 的最遠(yuǎn)距離的最遠(yuǎn)距離 l ，平衡物重為，平衡物重為W2 ，離左軌，離左軌 A 的距離的距離 a ，軌距，軌距 b 。要使起重機(jī)在空載和滿載且。要使起重機(jī)在空載和滿載且載重載重W1 在最遠(yuǎn)處時(shí)均不致翻倒，試確定平衡物重在最遠(yuǎn)處時(shí)均不致翻倒，試確定平衡物重W2 。 解：空載時(shí)起重機(jī)繞解：空載時(shí)起重機(jī)繞 A 點(diǎn)向點(diǎn)向左翻倒，此時(shí)左翻倒，此時(shí)FB = 0 。 所以空載時(shí)

15、起重機(jī)不翻倒所以空載時(shí)起重機(jī)不翻倒的條件是的條件是FB 0。 A()0:MF B2()0FbWebWa 滿載時(shí)起重機(jī)繞滿載時(shí)起重機(jī)繞 B 點(diǎn)向右翻倒，此時(shí)點(diǎn)向右翻倒，此時(shí)FA = 0 。 所以滿載時(shí)起重機(jī)不翻倒的條所以滿載時(shí)起重機(jī)不翻倒的條件是件是FA 0。 2B()W ebW aFb 2()W ebWa 解得：解得：B()0:MF A21()0FbWabW eWl 21A()W abWeW lFb 12WeW lWab 解得：解得： 綜合考慮上述兩種情況，平衡重物塊應(yīng)該滿足如下綜合考慮上述兩種情況，平衡重物塊應(yīng)該滿足如下不等式：不等式：abeWWbalWeW214-4 剛體系的平衡剛體系的平

16、衡 剛體系剛體系：實(shí)際工程結(jié)構(gòu)大都是由兩個(gè)或兩個(gè)以上構(gòu)件：實(shí)際工程結(jié)構(gòu)大都是由兩個(gè)或兩個(gè)以上構(gòu)件通過(guò)一定的約束方式連接起來(lái)的系統(tǒng)，因?yàn)樵陟o力學(xué)通過(guò)一定的約束方式連接起來(lái)的系統(tǒng)，因?yàn)樵陟o力學(xué)中構(gòu)件的模型都是剛體，所以稱為剛體系統(tǒng)。中構(gòu)件的模型都是剛體，所以稱為剛體系統(tǒng)。求解剛體系平衡問(wèn)題的方法和步驟：求解剛體系平衡問(wèn)題的方法和步驟：（1 1）選取研究對(duì)象）選取研究對(duì)象研究對(duì)象有多種選擇研究對(duì)象有多種選擇：一般先以整體一般先以整體為研究對(duì)象，有時(shí)雖然為研究對(duì)象，有時(shí)雖然不能求出全部未知約束力，但可求出其中一個(gè)或幾個(gè)未知力不能求出全部未知約束力，但可求出其中一個(gè)或幾個(gè)未知力；整體平衡與局部平衡整體平

17、衡與局部平衡：某些問(wèn)題中考慮整體平衡時(shí)未知約束某些問(wèn)題中考慮整體平衡時(shí)未知約束力的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，此時(shí)需要力的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，此時(shí)需要將系統(tǒng)分開(kāi)，依次考將系統(tǒng)分開(kāi)，依次考慮每個(gè)構(gòu)件的平衡慮每個(gè)構(gòu)件的平衡，則可求出全部未知約束力；，則可求出全部未知約束力；（2 2）分析研究對(duì)象受力，畫(huà)受力圖）分析研究對(duì)象受力，畫(huà)受力圖對(duì)剛體系統(tǒng)作受力分析時(shí)要對(duì)剛體系統(tǒng)作受力分析時(shí)要分清內(nèi)力和外力分清內(nèi)力和外力；嚴(yán)格根據(jù)約束的性質(zhì)確定約束力，嚴(yán)格根據(jù)約束的性質(zhì)確定約束力，注意作用力和反作用力注意作用力和反作用力；（3 3）根據(jù)力系的類型列平衡方程）根據(jù)力系的類型列平衡方程（選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和選取適

18、當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和矩心矩心，以使方程中未知量個(gè)數(shù)最少；盡可能每個(gè)方程中，以使方程中未知量個(gè)數(shù)最少；盡可能每個(gè)方程中只有一只有一個(gè)未知量個(gè)未知量）（4 4）求解未知量，分析和討論計(jì)算結(jié)果）求解未知量，分析和討論計(jì)算結(jié)果 例例4-6：圖所示三角形平板：圖所示三角形平板 A 點(diǎn)為鉸鏈支座，銷(xiāo)釘點(diǎn)為鉸鏈支座，銷(xiāo)釘 C 固定在桿固定在桿DE 上，并與滑道光滑接觸。不計(jì)各構(gòu)件重量，上，并與滑道光滑接觸。不計(jì)各構(gòu)件重量，試試求鉸鏈支座求鉸鏈支座 A 和和 D 約束力約束力。 解：解：（1 1）以三角形平板以三角形平板 ABC 為研究對(duì)象為研究對(duì)象，受力圖和坐，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程標(biāo)系如圖所示。建立

19、平衡方程 A()0,F MC0.2100 0.140F 0,x FAC100sin0 xFF 0,y FACcos0yFF 由幾何關(guān)系可得由幾何關(guān)系可得 解為：解為： sin0.6 cos0.8 NFC70NFAx58NFAy56A58NxF A56NyF C70NF （2 2）以桿以桿 DE 為研究對(duì)象為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示，建立平衡方程，建立平衡方程 解為：解為： E()0,F MDC0.2sin0.080 xFF 0,y FDCcos0yFF NFDx8 .16NFDy56 例：承重框架如圖所示，例：承重框架如圖所示，A、D、E 均為鉸鏈，各桿件和均為

20、鉸鏈，各桿件和滑輪的重量不計(jì)。試求滑輪的重量不計(jì)。試求A、D、E 點(diǎn)的約束力。點(diǎn)的約束力。 解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 A()0:MF E200 0.250.20 xF0:xF AE0 xxFF0:yF AE2000yyFFA250NxF E250NxF 解為：解為： NFEx250NFAx250 以桿以桿DE 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立平衡方程 D()0:MF 0:xF 0:yF A250NxF E250NxF 解為：解為：

21、EE0.20.30.150 xyFFFDE0 xxFFFDE0yyFFE266.7NyF D450NxF D266.7NyF A66.7NyF NFEy7 .266NFDx450NFFEyDy7 .266再由上式可得，再由上式可得， 例：結(jié)構(gòu)如圖所示。已知例：結(jié)構(gòu)如圖所示。已知AB = BC = 1m ，DK = KE ，F(xiàn) = 1732kN ，W = 1000kN ，各桿重量不計(jì)，試求結(jié)構(gòu)的外約束力。，各桿重量不計(jì)，試求結(jié)構(gòu)的外約束力。 以桿以桿DE 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立平衡方程 E()0:MF oDcos300FEDF E

22、K0:xF oEsin300 xFF0:yF oEDcos300yFFFD1000kNF E866kNxF E500kNyF 解為：解為： kNFFFD1000330cos2kNFFEx8662kNFEy500D1000kNF E866kNxF E500kNyF CD1000kNFF 以桿以桿AC 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程如圖所示。建立平衡方程 解得：解得： A()0:MF 0:xF 0:yF AC0MW ABFACA0 xF AC0yFWFA0 xF A2000kNyF A3000kN mMmkNMA 3000kNFAy2000 例例4-94

23、-9：圖所示構(gòu)架由桿：圖所示構(gòu)架由桿AC 、CE 及及 BH 鉸接而成。桿鉸接而成。桿CE和和 E 端用滾子擱置在光滑面上，桿端用滾子擱置在光滑面上，桿BH 水平，在水平，在H 點(diǎn)作用一鉛垂點(diǎn)作用一鉛垂力力F1 = 1kN 。銷(xiāo)釘。銷(xiāo)釘C 上作用一水平力上作用一水平力F2 = 600N 和一鉛垂力和一鉛垂力F3 = 600N ，不計(jì)各桿重量。試求，不計(jì)各桿重量。試求A、B、D處的約束力。處的約束力。 求解思路？求解思路？ 解：解：以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象以整個(gè)剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象，受，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 A()0,MF 0,xF 0,yF 解得

24、：解得： oE123sin4522.25210FFFF oA2Ecos450 xFFFoA3E1sin450yFFFFE2864NF A1425NxF A42NyF 以桿以桿BH 為研究對(duì)象為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 B()0,MF 0,xF D()0,MF D111.750yFF B110.750yFF BD0 xxFFB750NyF D1750NyF 解得：解得： A1425NxF A42NyF 以桿以桿AC 為研究對(duì)象為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程 BB750NyyFF C

25、()0,MF AABB2110.50 xyxyFFFF 解得：解得： B2900NxF BB2900NxxFF DB2900NxxFF 例：平面結(jié)構(gòu)如圖所示。已知例：平面結(jié)構(gòu)如圖所示。已知F=10kN，l1=2m，l2=3m。如。如若不計(jì)結(jié)構(gòu)自重，試求若不計(jì)結(jié)構(gòu)自重，試求CD、EO所受的力。所受的力。 例：平面結(jié)構(gòu)如圖所示。已知例：平面結(jié)構(gòu)如圖所示。已知q=2kN/m，l1=2m，l2=3m。如若不計(jì)各個(gè)桿件自重，試求如若不計(jì)各個(gè)桿件自重，試求AC、BC兩桿所受的力。兩桿所受的力。 例：平面剛架結(jié)構(gòu)受力以幾何及尺寸如圖所示，如若不計(jì)例：平面剛架結(jié)構(gòu)受力以幾何及尺寸如圖所示，如若不計(jì)剛架自重，試求剛架自重，試求A、B支座所受的約束力。支座所受的約束力。 例：靜定組合梁受力以及幾