1、第五章 準靜態(tài)電磁場 麥克斯韋方程組描述了時變電磁場中時變電場與時變磁場相互依存又相互制約，并以有限速度在空間傳播，形成電磁波的普遍規(guī)律。此時，電磁場量的激勵與響應不是同時發(fā)生的，場量的時間變量t與空間變量r相關。但在許多工程問題中，尤其在電氣設備、電力傳輸、生命科學等領域，時變電磁場的頻率教低，因而在某些特定的情況下，可以忽略二次源 的作用，使場具有類同靜態(tài)電磁場的特點，這類場被稱之為準靜態(tài)電磁場。tDtB或5-1電準靜態(tài)場與磁準靜態(tài)場 準靜態(tài)電磁場考慮了電磁場隨時間緩慢變化的規(guī)律，具有靜態(tài)電磁場的某些特征。根據被忽略的 項，相應的準靜態(tài)電磁場又分為電準靜態(tài)場和磁準靜態(tài)場。tDtB或5.1.

2、1電準靜態(tài)場 時變電場由電荷q(t)和變化的磁場 產生，分別建立對應的庫侖電場Ec和感應電場Ei。在低頻電磁場中，如果感應電場Ei遠小于的庫侖電場Ec，則可以忽略 的作用，這時的電場呈現無旋性tBtB0cicEEEE）（5-1）這樣的電磁場稱為電準靜態(tài)場（Electroquasistatic field，簡記為EQS場）。其微分形式的基本方程組是00BDtDJHE 在EQS近似下，電場的方程與靜電場中對應的方程完全一樣，兩種場的計算方法相同。與靜電場相仿，電準靜態(tài)場也可以用隨時間變化的電位(t)的負梯度表示,即)(tE（5-2）（5-3）（5-4）（5-5）同時,可導出電位滿足的泊松方程)(2

3、t 電力傳輸系統(tǒng)中的高壓電場，各種常用電子器件、設備以及天線近區(qū)的電場等均屬于電準靜態(tài)場的工程應用實例。5.1.2磁準靜態(tài)場 時變磁場的激勵源是傳導電流密度 和位移電流密度 。在低頻電磁場中，如果 ，可以忽略位移電流，磁場按恒定磁場處理，即JtDJdJJdJtDJH（5-6）這樣的電磁場稱為磁準靜態(tài)場（Magnetoquasistatic field，簡記為MQS場）。其微分形式的基本方程組是0BDtBEJH 在MQS近似下，磁準靜態(tài)場具有與恒定磁場類同的有旋無源性，因此兩種場的計算方法相同。與恒定磁場相仿，磁準靜態(tài)場也可以用隨時間t變化的矢量磁位A(t)的旋度表示，即ABtAE（5-7）（5

4、-8）（5-9）（5-10）（5-11）ABtAE同樣，A(t)滿足矢量泊松方程JA2 除了運行于低頻(如工頻)情況下的各類電磁裝置中的磁場問題，電工技術中的渦流問題是這類磁準靜態(tài)場的典型應用實例，它廣泛地伴隨在電機、變壓器、感應加熱裝置、磁懸浮系統(tǒng)、電磁測量儀表、磁記錄頭和螺線管傳動機構等工程問題之中。 例例5-1：一平行板電容器如圖所示，極板間距d=0.5cm，電容器填充r=5.4的云母介質，極板間外施電壓為Vttu)314cos(2110)(忽略邊緣效應，試求極板間的電場與磁場。（5-12）d+u(t)rz 解解：極板間的電場由極板上的電荷q（t）和變化的電磁場產生。在工頻情況下忽略 的

5、影響，極板間的電場近似為EQS場，在圖示設定的坐標系下，仿照靜電場的計算，得tBmVetmVeteduEzzz/)(314cos(1011. 3/)(314cos(105 . 02110)(42磁場由全電流定律得出，即AlAdtDldH)()()314sin(3141011.32204zzreetHAlAdtDldH故極板間磁場mAeteteHH/)(314sin(1033. 2)()314sin(1085. 84 . 53141011. 3214124 若考慮因變化的磁場產生的感應電場，則有tHtBE0)314cos(1033. 231440tEz)/)(314cos(10537. 428m

6、VtEz由此得可見，在工頻時，由變化的磁場產生的感應電場遠小于庫侖電場。因此，忽略 的影響是符合工程分析要求的。tB5-2 磁準靜態(tài)場和電路 第二章中曾講過，由電流連續(xù)性方程可以推導出基爾霍夫第一定律，由（恒定電場中）電場強度的環(huán)路線積分可以推導出基爾霍夫第二定律。現在進一步說明磁準靜態(tài)場方程是交流電路的理論基礎。 對于方程式：兩邊取散度JH JH得0J(利用了書p.335最后一式)相應的積分形式是0SSdJ把它應用到交流電路的任一節(jié)點上，即得基爾霍夫第一定律：由電路中任一節(jié)點流出的總電流恒等于零，即0i（5-13）（5-14） 考慮磁準靜態(tài)場中的RLC串聯電路，如圖5-1所示。由于在MQS近

7、似中傳導電流是連續(xù)的，所以電路中任一時刻t的電流i(t)處處相等。電路中任一點的傳導電流密度是ABCRL圖5-1Ee)(eEEJEe是電源內部的局外場EJEe由tAE得JtAEe沿著導線由A到B積分ldJldldtAldEBABABABAe（5-15）（5-16）（5-17）ldJldldtAldEBABABABAe 由于局外場只存在于電源中，等式左端一項是電源電動勢； 右端第一項忽略電容器極板間的距離近似于閉合積分，而m=lAdl是磁鏈，因而這一項是感應電動勢。磁鏈又主要集中在電感線圈中，故該項應等于Ldi/dt。 右端第二項是標位梯度的線積分，積分數值與路徑無關，可在電容器內部積分，所以這

8、一項等于極板間的瞬時電壓：idtCCqu1 右端第三項的被積函數可寫為 ，S是電流穿過的橫截面積。沿線的電流i處處相等，線積分應等于包括電源內阻Ri，導線電阻r和電阻器電阻R在內的總電阻與i的乘積，即i（Ri+r+R）因此有SiJ）（）（RrRiidtCdtdiLti1RCLuuut）（ 例例5-2 用磁準靜態(tài)場的方法處理同軸電纜內的電磁問題。書P.191例5-2,ab圖5-2 解解：如圖所示，假設同軸電纜內外導體是理想導體，電源到負載的距離遠小于六分之一波長，忽略邊緣效應，同軸電纜內外導體之間的電場、磁場強度分別是eUabEln（5-18）eIH2式中 是內外導體間的復電壓， 是沿導體流過的

9、縱向復電流（相量）。UI 內外導體之間的坡印亭矢量是zabeIUHESln22同軸線傳輸的平均功率應是坡印亭矢量在內外導體之間的橫截面S上的面積分，即RelnReln2Re2IUdIUdSIUPbaabSab（5-19）RelnReln2Re2IUdIUdSIUPbaabSab可見，用磁準靜態(tài)場的理論計算同軸線傳輸功率與應用電路理論計算的結果一致。5-3 電準靜態(tài)場與電荷馳豫 在導電媒質中，自由電荷體密度隨時間衰減的過程稱為電荷的馳豫過程5.3.1電荷在均勻導體中的馳豫過程 在電導率為，介電常數為的均勻導電媒質中，考慮到J=E和D=E，對于電準靜態(tài)場的微分方程tDJH兩邊取散度0DtEH將ED

10、代入上式得0t（5-20）（5-21）這是一階常微分方程，其解為etezyx/0),(式中0(x,y,z)為t=0時的電荷分布；e=/（單位為秒）稱為馳豫時間。一般情況下，良導體的介電常數0，電導率在107 S/m的數量級上，所以e非常小。這表明，在導體內部，體電荷很快衰減至零，這個衰減過程就是自由電荷的馳豫過程。所以一般可認為良導體內部無自由電荷積累，電荷馳豫過程的電磁場可近似認為EQS場。E 在EQS近似下，由于 ，因此可引入電位函數0 E進而得到2考慮到 ， 則有 etezyx/0),(（5-22）（5-23）ete/02在同一種導電媒質的無限空間中，其解為eetVtezyxdVeRtz

11、yx/0/0),(4),(dVRzyxV4),(00式中 為t=0時的電位分布。這個結果表明，導體中的電位分布隨時間也按指數規(guī)律衰減，其衰減的快慢同樣決定于馳豫時間。對于點電荷情況，有 ， 而磁場處處、時時均為零。eteRq/04（5-24）（5-25）5.3.2電荷在分片均勻導體中的馳豫過程 在分片均勻導電媒質的分界面上，電場切向分量連續(xù)：2121ttEE電位移矢量的法向分量滿足的關系：nnnnEEDD112212仍然成立。根據電荷守恒定律tJtqSdJS或不難導出012tJJnn以J1=1E1，J2=2E2，2E2n1E1n=代入上式，整理得0)()(11221122nnnnEEtEE（5

12、-26）（5-27）（5-28）（5-29）此式表明，在時變電磁場中，位于導電媒質分界面上的全電流密度法向分量連續(xù)。現以雙層有損介質的平板電容器為例，通過求解由上式給出的由電場法向分量對時間t的一階微分方程，即可分析在導電媒質分界面上自由電荷的積累過程。 例例5-3 研究具有雙層有損介質的平板電容器接至直流電壓源的過度過程，如圖5-3所示。書p.195例5-42 21 1baSUox圖5-3 解：設電容器在t0-時處于零狀態(tài)，極板上沒有電荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)=0；t0+時，電容器的端電壓被強制躍變，即u(0+)=U。根據電容的伏安關系dtduCi 0)()(1122

13、1122nnnnEEtEE電路中將出現沖激電流，極板上的電荷將發(fā)生躍變。此時位移電流相對較大，但因電容器中漏電流很小，磁感應強度B的變化綠 可以忽略不計，故電容器中的電磁場可按EQS場分析。tB/ 在EQS場中，t0+時)(21tubEaE再按前述分界面上的邊界條件得0)()(22112211EEdtdEE2 21 1baSUox圖5-3從上兩式中消去E2，則有dtduuEabdtdEab22121121)()(這是關于E1的一階非齊次微分方程，其通解形式為E1=齊次方程的解E1+穩(wěn)態(tài)解E1”（5-30）（5-31）（5-32）（5-33）將穩(wěn)態(tài)解代入（5-32），并因t時，uU，du/dt=

14、0，故有2121abUE（5-34）設E1=Aept，代入與式（5-32）對應的齊次微分方程0)()(121121EabdtdEab0)()(2121ptptAeabdtdAeab0)()(2121ptptAeababAep得特征根eababp12121e為馳豫時間2121ababe（5-35）綜合以上結果（5-32）式的一般解是2121abUAeEetUabE2121)0(（5-36）為了得到E1的初始條件，將式（5-32）兩邊對時間t積分，取積分區(qū)間為0-0+，可得dudtudtEabdEab0020020012110021)()(由于E1(0-)=0，u(0-)=0，（b1+a2）E1與

15、2u為有限值，所以（5-37）這樣，由式（5-36），當t=0+時可解得待定常數212212abUabUA因此，開關閉合后，E1的過渡過程為eetteabUeabUE2122121)1 (（5-38）（5-37）將上式代入（5-30），即得eetteabUeabUE2112112)1 (所以，分界面上的自由電荷面密度為)1 (2112212211eteUabEE（5-38） 由此可見，開始充電時，分界面上=0。隨著時間t增加，分界面上的面電荷逐漸積累，直至電路達到穩(wěn)態(tài)時，=常數。 以上結論可以推廣到一般情況，即當對多導體區(qū)域充電時，在不同導電媒質的交界面上會產生自由面電荷的分布。由式（5-38

16、）可見，只有當相鄰媒質滿足21=12的條件時，交界面上面電荷=0，即不會有自由面電荷的積累。5-4集膚效應 將導電媒質放置在變化的磁場中，或在導電媒質中通以交變電流時，由于交變磁場產生的感應電場的作用，將使場量在導體表面分布密集，且沿其縱深方向衰減，呈現所謂集膚效應。本節(jié)討論在交變情況下導體中電流的流動及其電磁場的分布特性。5.4.1 E、H和J的微分方程 在MQS近似中，設相對于傳導電流可以忽略不計位移電流的影響，此時電磁場滿足方程組0BDtBEJH（5-7）（5-8）（5-9）（5-10） 將式（5-7）兩邊取旋度，并運用恒等式FFF2)(將左邊展開，得JHHH2)(再利用HBEJ，得：E

17、HB2)(1將（5-8）和（5-10）代入tHtBEH)(2tHH2即同理，可得tEE2（5-39）（5-40）式（5-40）推導過程：對（5-8）式兩邊取旋度tEHttHE)(運用恒等式FFF2)(0ED及（良導體內無自由電荷積累）EEEE22)(tEE2所以此式兩邊同乘以電導率，并考慮到J=E，得tJJ2（5-41）5.4.2集膚效應 從能量的觀點很容易理解產生集膚效應的原因。由于導體的電導率，即電阻率0，所以其中有能量損耗，即有一部分電磁能轉變成熱能。因此，當電磁波進入導體內部時，隨著與表面距離的增大，能量逐漸減少，從而引起電磁能量的逐漸減弱。對平板來說，場量按指數規(guī)律下降；對圓柱體來說

18、，衰減的規(guī)律比較復雜；若頻率很高，電磁波透入導體的深度較圓柱體的曲率半徑小得多時，則可把圓柱體近似地看成平板，因而它內部的電磁場量隨距離的變化，也可看成是按指數規(guī)律衰減的。 集膚效應是由場量在導體內部的衰減形成的，而場量在導體內的衰減快慢又可用導體的透入深度d表示，因此，集膚效應和透入深度之間有著密切的關系。 設在如圖5-4所示的半無限大導體（x0）中，正弦電流i沿y軸方向流動，電流密度J只有y分量并在yoz平面上處處相等，即yyeJJ而且只是x的函數，所以方程（5-41）簡化后的復數形式為（5-42）yyJjdxJd22,xyz圖5-4令： k2=j（5-44）（5-43）則上述二階常微分方

19、程的一般解是kxkxyeCeCJ21由于在x=+處電流密度為有限值，故應取C2=0，并假設x=0時， ，則0JJ （5-45）xjxyeeJJ0式中)1 (2jjk電場強度的解為xjxxjxyyeeEeeJJE00（5-46）（5-47）（5-48）由式（5-8）可求得磁場強度的解為xjxzeeEjkH0（5-49）由以上各式可見，電流密度、電場強度和磁場強度的振幅沿導體的縱深都按指數規(guī)律ex衰減，相位也隨之改變。這說明，當交變電流流過導體時，靠近導體表面處電流密度大，愈深入導體內部，它們愈小。當頻率很高時，它們幾乎只在導體表面附近一薄層中存在，這種場量主要集中在導體表面附近的現象，稱為肌膚效

20、應。 透入深度定義為場量振幅衰減到表面值的1/e時所經過的距離由1eed得21d（5-50）這個結果表明,頻率越高,導電性能越好的導體,集膚效應越顯著。下表是不同條件下，幾種導體中的透入深度。媒質 d（mm）f（Hz）銅鐵海水干燥土壤=5.8107西/米=102西/米=1西/米=107西/米=0=0=10000=05050104501099.350.0940.31030.7120.0071271.21030.7121037121037.121032.251052.2522 . 5關于透入深度，應該注意以下幾點：書上說0.66m關于透入深度，應該注意以下幾點： （1）透入深度d僅表示場強或電流密

21、度在該處已衰減到表面值的1/e，而在大于d的區(qū)域內，場強和電流密度繼續(xù)衰減，但并不等于零。d愈小，表示電磁波衰減得愈快。 （2）投入深度與電導率、磁導率及頻率的平方根成反比，所以、和值愈大，d愈小。從物理意義來看。、愈大，感應電勢就愈大；而愈大，引起的感應電流就愈大，從而消耗的功率愈大。所以電磁波不易深入到導體內部區(qū)域。 （3）嚴格地講，式(5-50)只適用于表面積很大的平面導體。但只要計算出來的d值比表面的曲率半徑小得多，也可推廣應用于其它形狀的導體。5-5渦流及其損耗5.5.1渦流的概念 位于交變磁場中的導體，在其內部將產生與磁場交鏈的感應電流，由于感應電流自成閉合回路，稱為渦流。渦流具有

22、與傳導電流相同的熱效應和磁效應，在大多數電器設備中，力求減小渦流及其損耗，但同時，渦流也有廣泛的工業(yè)應用，例如：感應加熱、無損檢測、金屬淬火等。因此，研究渦流問題具有重要的實際意義。 在MQS近似下，渦流問題中的電場強度E、磁場強度H和電流密度J同樣遵守上一節(jié)導出的微分方程：tHH2tEE2（5-39）（5-40）tJJ2（5-41）所以，通常也將這些方程稱為渦流方程，或磁擴散方程。它們是研究渦流問題的基礎。5.5.2薄導電平板中的渦流Il圖5-5 工頻、音頻(30Hz3KHz)變壓器和交流電器的鐵心通常均由相互絕緣的薄鋼片疊成，以減少渦流損耗，如圖5-5所示。以鐵心中一薄鋼片為例（如圖5-6

23、所示），為了分析其中的電磁場分布，假設： (1)由于ha，la，故鋼片截面內磁感應強度沿z軸方向，且是（x，t）的函數，與y和z無關； (2)由于外磁場B沿z方向，故薄片中的渦流無z分量，在平面內呈閉合路徑，現忽略感應電場沿x方向的分量（y方向兩端的邊緣效應），則歸結為E和J僅有y分量Ey（x，t）和Jy（x，t）。BzahBhaoxyz圖5-6 設磁場隨時間作正弦變化，且對y軸呈對稱分布。忽略位移電流，鐵心疊片中的渦流場可近似為MQS場，磁場強度滿足一維擴散方程，即zzzHkHjdxHdtHH2222（5-51）通解為kxkxzeCeCH21（5-52）根據磁場的對稱性22aHaHzz顯然，

24、C1=C2=C/2，采用雙曲函數可表示為)()(0kxchBkxchCHz)(0kxchBBz式中 是x=0處的場強。0B由 和 ，有：EBEJ)(0kxshkBEy)(0kxshkBJy（5-56）（5-55）（5-54）（5-53） 和 的模值分別為參閱馮慈璋電磁場（第二版）p.256zByJ)2cos()2cosh(210KxKxBBz)2cos()2cosh(210KxKxJJyy（5-58）（5-57）式中 。Bz，Jy隨x的變化曲線如圖5-7所示。2K書p.202 圖5-7表示Bz和Jy在某一頻率下的空間分布，可以看出，在薄片的中心出現B的極小值，這是渦流的去磁效應形成的，考慮到電

25、流的流向在薄板的兩邊是相反的，所以電流密度的分布對稱于原點。由圖5-7還可以看出，在導體內部，電場及磁場的分布并不均勻，愈深入導體內部，場量愈小。也就是說，場的分布比較集中在導體表面附近，正是集膚效應的體現。aBB0oxJ11876543212345602Kx0BB圖5-711876543212345602Kx0BB 應用B/B0對2Kx的關系曲線可以說明一些實際問題。對電工鋼片來說，一般=10000，=107S/m，a=0.5mm。設f=50Hz，則，mmd715.027 .0da ，集膚效應不顯著，可認為B還是沿截面均勻分布的。但當工作頻率為f=2000zH時， ，其表面的磁通密度已達到其

26、中間部分量值的4.5倍。可見在4 .4da音頻時，已不適宜采用厚度為0.5mm的鋼片了，而應代之以0.050.1mm的鋼片。在無線電頻率時，即使鋼片再薄，磁通沿鋼片厚度的分布還是極不均勻，必須考慮集膚效應的影響。 下面計算鋼片中的渦流損耗。在體積V中消耗的平均功率為dVJPyV21當頻率較低，即a/d較小時，經計算得：VBaPzav222121（5-60）（5-59）式中Bzav是有效值的平均值，V是鋼片的體積。由此可見，鋼片的電導率及其厚度a愈大，損耗愈大。所以交流電器的鐵心都由彼此絕緣的硅鋼片組成。鋼片間的絕緣從電的角度看，相當于使整塊鐵心變薄，而材料中加硅是為了增加材料的電阻率即減小其電

27、導率。此外，損耗隨頻率而增加，當頻率高到一定程度以后，采用薄板形式就不適宜了，而應采用由粉狀材料壓制而成的鐵心。5-6導體的交流內阻抗 導電媒質中時變電磁場的分布不同于恒定場的分布，因此，相應的等效電路的參數值也不同。在正弦時變場的情況下，可通過復數形式的坡印亭向量的面積分計算導體的交流內阻抗。)(2*jXRIIZI 設導體中通有總電流 ，它的等效交流電路參數為Z=R+Jx，則該導體消耗的復功率為I流入該導體的復功率，也使坡印亭向量的面積分dSHES)(*因此，得導體的等效交流電路參數的計算公式為2*)(IdSHEZS（5-61）2*)(IdSHEZS式中S為導體的表面，Z稱為等效交流阻抗，由

28、于交流阻抗只計算了導體內部電磁場引起的阻抗，故稱Z為導體的交流內阻抗。 例例 5-4 有一半無限大導體，如圖5-8所示。試求圖示斜線柱體體積（底面面積為ha）的交流內阻抗。書p.204例5-5yEzHSIxyahz圖5-8 解解：導體位于x0的半無限大空間，其中電流、電場和磁場沿x方向的分布在5-4節(jié)中得到kxyeEJ0kxyeEE0kxzeEjkH0yEzHSIxyahz圖5-8流過寬度為a、在x方向無限深的截面上的總電流是kEadxeEadSJIkxSy000由圖可見，坡印亭向量沿x軸正向，并且其通量只在導體上底面（x=0處）才不為零。因此有20*2*)()(IahHEISdHEjXRZx

29、zyS20*2*)()(IahHEISdHEjXRZxzyS)1 (2jjk32200220kahjkEaeEjkahxkxk2=j)1()1(2)1(2)(2jdahjahjjahj故dahRdahXLi和（5-62）由此可見，隨著頻率的增大，該系統(tǒng)中的交流電阻也隨著增大，但內阻卻減少。同時，這一結論還可用來說明透入深度d的另一涵義，即當交流電阻相當于直流電流集中在某一范圍內的直流電阻時，該范圍的長度（縱深方向）便是透入深度。 例例5-5 求半徑為a的圓截面導線單位長度上的交流電阻。假設半徑a遠遠大于透入深度d。書p.205例5-6 解解：由于ad，所以可把導線看成是厚度無限大、寬度為導線截面周長2a的平面導體，因此，圓導線單位長度上的交流電阻是addaR21這相當于厚度為d（da）的圓管導體的直流電阻.圓導線單位長度上的直流電阻是2ahRd同一根圓導線的交流電阻與直流電阻的比值是daRRd2例如，當a=2103 m，f=3108Hz，=5.8107S/m時，2.26dRR這說明同一根導線的交流電阻比直流電阻大得多