1、13數學分析(三)復習范圍一、計算題(每小題10分，共70分) 1. 全微分計算題 2. 求隱函數(組)的一階偏導數 3. 求抽象函數的二階偏導數 4. 求曲線的切線與法平面方程或求曲面的切平面與法線方程 5. 求函數的極值 6. 計算第一型曲面積分 7. 計算第二型曲面積分 8. 計算第二型曲線積分(格林公式) 9. 二重積分的計算 10. 高斯公式與斯托克斯公式 11. 求多元函數的方向導數 12. 曲線積分與路徑無關問題 13. 將三次積分用柱坐標與球坐標表示 14. 應用-求曲面面積(二重積分)或質量問題(第一型曲線積分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=，計算類積分值二、解答與

2、證明題(第小題10分，共30分) 1. 用定義證明多元函數的極限 2. 證明多元函數的連續性 3. 研究含參量積分的一致收斂性 4. 證明含參量非正常積分的連續性 5. 三重積分的證明題 6. 有關多維空間的聚點或開閉集問題 7. 證明二重極限不存在 8. 多元函數的可微性證明例題一、計算題 1. 全微分計算題 公式：du=dx+dy+dz。例1：求函數u=的全微分；例2：已知函數z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所確定的函數，求z(x,y)的全微分。2. 求隱函數(組)的偏導數例3：設，求。例4：設2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求，。 3. 求抽象函數的

3、二階偏導數例5：設u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求，其中f具有二階連續的偏導數；例6：設u=f(x2-y2，)，求，其中f具有二階連續偏導數。 4. 求曲線的切線與法平面方程或曲面的切平面與法線 例7：求曲線：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在點(1,-2,1)處的法平面方程。例8：求曲線在點(1,1,1)處的切線方程和法平面方程。例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函數的極值或條件極值例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的極值。例11：求拋物線y=x2和直線x-y-2=0之間的最短距離。 6. 計算第一型

4、曲面積分例12：計算，其中S為錐面被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。例13：計算：，是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 計算第二型曲面積分例14：求I=，其中S是圓柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外側。例15：計算，其中是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所圍成的立方體的全表面的外側。 8. 計算第二型曲線積分(格林公式)例16：計算曲線積分，其中(y)和/(y)為連續函數，AmB為連接點A(x1,y1)和點B(x2,y2)的任何路徑，但與線段AB圍成的區域AmBA的面積為已知常數S。例17：求曲線積分，其中C為0<x<，0&l

5、t;y<sinx的正方向的圍線。 9. 二重積分的計算例18：計算：，其中D由x2+y21，x-y+10，0x1圍成。例19：計算I=，其中D由x=2，y=x，xy=1所圍成。 10. 高斯公式與斯托克斯公式例20：計算I=，其中L是平面x+y+z=2與柱面|x|+|y|=1的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向。例21：計算，其中是三個坐標平面和平面x+2y+z=1組成的按片光滑曲面，取外側。 11. 求多元函數的方向導數例22：求函數z=ln(x+y)在位于拋物線y2=4x上一點(1,2)處沿這拋物線切線上的方向導數。例23：在橢球面2x2+2y2+z2=1上求一點，使得函數f(x,

6、y,z)=x2+y2+z2在該點沿著點A(1,1,1)到點B(2,0,1)方向的方向導數具有最大值（不要求判別）。 12. 曲線積分與路徑無關問題例24：確定的值，使曲線積分I=與路徑無關，并計算自點A(1,2)到點B(0,0)的I值。例25：定常數a，使得任何不經過y=0的區域上曲線積分與路徑無關，并求 。 13. 將三次積分用柱坐標與球坐標表示 例26：將三次積分I=分別表示為柱坐標及球坐標的形式。例27：設是由x2+y2=2z，z=1，z=2所圍成的介于z=1及z=2之間的閉區域，f是上連續。利用柱面坐標將三重積分I=化為三次積分。 14. 應用：求曲面面積(二重積分)或質量問題(第一型

7、曲線積分) 例28：有一鐵絲成半圓形x=acost，y=asint，0t，其上每一點密度等于該點的縱坐標，求鐵絲的質量。 例29：，其中L為圓錐螺線x=tcost，y=tsint，z=t，t0,t0； 例30：求球面x2+y2+z2=a2為平面z=，z=所夾部分的曲面面積S。 15. 利用余元公式B(p,1-p)=，計算類積分值例31：利用余元公式B(p,1-p)=計算積分。例32：利用余元公式B(p,1-p)=計算積分。 (注意B函數的另一形式：B(p,q)=)二、解答與證明題： 1. 用定義證明多元函數的極限例33：用極限定義證明。 例34：用極限定義證明。 2. 證明多元函數的連續性 例

8、35：若函數f(x,y)在區域D內關于每一個變量都有有界偏導數，則f在D內連續。 例36：設f(x,y)在上連續，函數列在a,b上一致收斂，且cn(x)d，證明：在a,b上一致收斂。 3. 研究含參量積分的一致收斂性例37：研究：在a,+，a>0的一致收斂性。例38：研究：在,1內一致收斂性。 4. 證明含參量非正常積分的連續性 例39：證明：F()=在(-,+)內連續。例40：證明：F(x)=在(2,+)內連續。 5. 三重積分的證明題例41：設一元函數f(t)在(0,+)內具有一階連續導數，令，F(t)=。(1)證明F(t)在(0,+)內具有二階連續導數；(2)求出F/(t)的表達式

9、。例42：設函數f(u)具有連續的導數，且f(0)=0，試求，其中：x2+y2+z2t2。 6. 有關多維空間的聚點或開閉集問題例43：設f(x,y)是定義在R2上的連續函數，求證：對任意實數c，集合E=(x,y)|f(x,y)>c是開集，F=(x,y)|f(x,y)c是閉集。例44：證明：當且僅當存在各點互異的點列PnE，PnP0，Pn=P0時，P0是E的聚點。 7. 證明二重極限不存在 例45：證明：不存在。例46：討論極限的存在性。 8. 多元函數的可微性證明 例47：設f(x,y)=，證明f(x,y)在原點連續，存在偏導數但在原點不可微。例48：設f(x,y)=。證明f(x,y)

10、在(0,0)不可微。 9. 曲線積分的證明題例49：證明：若C為平面上的封閉曲線，則，為C的外法線向量。例50：求積分值I=，其中L為包圍有界區域D的閉曲線，為L的外法線方向。例題選講一、計算題 1. 全微分計算題例1：求函數u=的全微分；解：du=dxdy+dz。例2：已知函數z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所確定的函數，求z(x,y)的全微分。解：dz=dx+dy=dx-dy。2. 求隱函數(組)的偏導數例3：設，求。解：令F=z-x=0，則，=。例4：設2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求，。解：=-，=-。3. 求抽象函數的二階偏導數例5：設u=f(

11、ax+by,by+cz,cz+ax)，求，其中f具有二階連續的偏導數；解：=a(f1/+f3/)，=ac(f12/+f13/+f23/+f33/)。 =b(f1/+f2/)，=b2(f11/+2f12/+f22/)。例6：設u=f(x2-y2，)，求，其中f具有二階連續偏導數。解：=2xf1/+yf2/，=2x(-2yf11/+xf12/)+(1+xy)f2/+y(-2yf21/+xf22/) =-4xyf11/+2(x2-y2)f12/+xyf22/+(1+xy)f2/。 4. 求曲線的切線與法平面方程或曲面的切平面與法線方程 例7：求曲線：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在點(1,-2

12、,1)處的法平面方程。解：令F(x,y,z)=x2+y2+z2-6=0，G(x,y,z)=x+y+z=0，則，(z-1)-(x-1)=0，即x-z=0為所求。例8：求曲線在點(1,1,1)處的切線方程和法平面方程。解：，16x+9y-z-24=0。例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。解：設F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-21=0，則(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,6z)，取其法向量=(x,2y,3z)，由于切平面與平面x+4y+6z=0平行，得，將其代入曲面方程得：t2+8t2+12t2=21，t=1，曲面x2+2y2+3z2=21在點(

13、1,2,2)和點(-1,-2,-2)處的切平面分別為：(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0，(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0，即x+4y+6z-21=0，x+4y+6z+21=0。 5. 求函數的極值或條件極值例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的極值。解：f(0,-)=-為極小值。例11：求拋物線y=x2和直線x-y-2=0之間的最短距離。解：作拉格朗日函數L(x,y,)=(x-y-2)2+(y-x2)，解方程組得：，d=。 6. 計算第一型曲面積分例12：計算，其中S為錐面被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。解：設S在xOy平面上的投影區域為Dxy，則Dxy

14、為平面上由圓所圍成的區域。=，所以= 。 sincos5+sincos4為奇函數，而cos5為偶函數，,.于是=。例13：計算：，是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。解：的投影是D：0x1，0y1-x，原式=。 7. 計算第二型曲面積分例14：求I=，其中S是圓柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外側。解：曲面S不封閉，補上平面S1：y+z=1，和平面S2：z=0，使S+S1+S2成閉曲面，圍成的空間區域記為。再用高斯公式。求得I=-。例15：計算，其中是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所圍成的立方體的全表面的外側。解：由高斯公式可得：原式=。 8. 計

15、算第二型曲線積分(格林公式)例16：計算曲線積分，其中(y)和/(y)為連續函數，AmB為連接點A(x1,y1)和點B(x2,y2)的任何路徑，但與線段AB圍成的區域AmBA的面積為已知常數S。解：原式=mS+(y2)-(y1)-m(y2-y1)-(x2-x1)(y2+y1)。例17：求曲線積分，其中C為0<x<，0<y<sinx的正方向的圍線。解：利用格林公式可求得：原式=-(-1)。 9. 二重積分的計算例18：計算：，其中D由x2+y21，x-y+10，0x1圍成。 解：原式=。y例19：計算I=，其中D由x=2，y=x，xy=1所圍成。12Ox 解：I=。 10

16、. 高斯公式與斯托克斯公式例20：計算I=，其中L是平面x+y+z=2與柱面|x|+|y|=1的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向。解：由斯托克斯公式：I=，其中是平面x+y+z=2被柱面|x|+|y|=1所截部分上側，其單位法向量為(,)。所以I=-2=-12=-24。例21：計算，其中是三個坐標平面和平面x+2y+z=1組成的按片光滑曲面，取外側。解：原式=2。 11. 求多元函數的方向導數例22：求函數z=ln(x+y)在位于拋物線y2=4x上一點(1,2)處沿這拋物線切線上的方向導數。解：=，=，又tg=(2)/|x=1=1，=或，cos=或-，cos=或-，方向導數=或-。例23：

17、在橢球面2x2+2y2+z2=1上求一點，使得函數f(x,y,z)=x2+y2+z2在該點沿著點A(1,1,1)到點B(2,0,1)方向的方向導數具有最大值（不要求判別）。解：設橢球面上點(a,b,c)為所求，則gradf(a,b,c)=(2a,2b,2c)，由題設(a,b,c)=(1,-1,0)，其中>0，a=，b=-，c=0，代入橢球面方程得：42=1，=，點(,-,0)為所求，且函數f在點(,-,0)沿著點A(1,1,1)到點B(2,0,1)方向的方向導數具有最大值|gradf(,-,0)|=。 12. 曲線積分與路徑無關問題例24：確定的值，使曲線積分I=與路徑無關，并計算自點A

18、(1,2)到點B(0,0)的I值。解：由，6(-1)=4，-2=1，-1=2。解得：=3。即當=3時，原曲線積分與路徑無關。于是I=-16+532=16-=15。例25：定常數a，使得任何不經過y=0的區域上曲線積分與路徑無關，并求 。解：欲使曲線積分與路徑無關，必須，解得a=-，于是 = 13. 將三次積分用柱坐標與球坐標表示 例26：將三次積分I=分別表示為柱坐標及球坐標的形式。Oyxz解：如圖所示，作柱坐標變換，得I=；1 作球坐標變換，得I=。zxOy21例27：設是由x2+y2=2z，z=1，z=2所圍成的介于z=1及z=2之間的閉區域，f是上連續。利用柱面坐標將三重積分I=化為三次

19、積分。 解：I= 14. 應用(求質量，第一型曲線積分) 例28：有一鐵絲成半圓形x=acost，y=asint，0t，其上每一點密度等于該點的縱坐標，求鐵絲的質量。 解：密度(x,y)=y，M=。 例29：，其中L為圓錐螺線x=tcost，y=tsint，z=t，t0,t0； 解：=-2。例30：求球面x2+y2+z2=a2為平面z=，z=所夾部分的曲面面積S。解：z=，曲面在xy平面投影為D：a2x2+y2a2。S=a2。 15. 利用余元公式B(p,1-p)=，計算類積分值例31：利用余元公式B(p,1-p)=計算積分。 解：令t=x4，則dx=dt，=B(,)=。例32：利用余元公式B

20、(p,1-p)=計算積分。 解：令t=x6，則dx=dt，=B(,)=。 (注意B函數的另一形式：B(p,q)=)二、解答與證明題： 1. 用定義證明多元函數的極限例33：用極限定義證明。證：>0，設|x-1|<1，則0<x<2，|x+1|<3。要使|2x2-3y-5|=|2x2-2-3y-3|2|x2-1|+3|y+1|2|x+1|x-1|+3|y+1|6|x-1|+3|y+1|<。只要取=min1,，當|x-1|<，|y+1|<且(x,y)(1,-1)時，恒有|2x2-3y-5|<成立。故。 例34：用極限定義證明。 證：>0，設

21、|x|<1，|y-2|<1，則-1<x<1，1<y<3。要使|x2+3xy+y2-4|x|x+3y|+|y+2|y-2|10|x|+5|y-2|<，只要取=min1，當|x|<，|y-2|<且(x,y)(0,2)時，恒有|x2+3xy+y2-4|<成立。故。 2. 證明多元函數的連續性 例35：若函數f(x,y)在區域D內關于每一個變量都有有界偏導數，則f在D內連續。證：任取A(,)D，必存在A的鄰域U(A,)D，(x,y)U(A,), |f(x,y)-f(,)| =|fx(+1(x-),y)(x-)+fy(,+2(y-)(y-) M

22、|x-|+M|y-|0,0f在A連續，由A的任意性，f在D內連續。 例36：設f(x,y)在上連續，函數列在a,b上一致收斂，且cn(x)d，證明：在a,b上一致收斂。 證：f(x,y)在閉區域D=(x,y)|axb,cyd上連續，f(x,y)在D上一致連續。即>0,>0，當(P1,P2)<(P1、P2D)時，總有|f(P1)-f(P2)|<。又在a,b上一致收斂。N>0，當n、m>N時，對一切xa,b有|-|<，于是。在a,b上一致收斂。 3. 研究含參量積分的一致收斂性例37：研究：在a,+，a>0的一致收斂性。解：（ya,+）)，其中M，而

23、收斂，故原積分一致收斂。例38：研究：在,1內一致收斂性。解：由狄利克雷判別法易知其一致收斂性。 4. 證明含參量非正常積分的連續性 例39：證明：F()=在(-,+)內連續。證：0(-,+)，設0>0，則存在r1，r2使0<r1<0<r2，這時有成立，而收斂，故原積分在r1,r2上一致收斂，在0點連續，同理可證00的情況。故F()在(-,+)內連續。例40：證明：F(x)=在(2,+)內連續。證：x0(2,+)，必a,b使x0a,b，a>2，在a,b上有：。由于a>2，a-1>1，故收斂，原積分在a,b上一致收斂，從而在x0點連續，即F(x)在(2,

24、+)內連續。 5. 三重積分的證明題例41：設一元函數f(t)在(0,+)內具有一階連續導數，令，F(t)=。(1)證明F(t)在(0,+)內具有二階連續導數；(2)求出F/(t)的表達式。解：(1)利用球坐標變換可得：F(t)=4，其中被積函數f(r2)r2在(0,+)內具有一階連續導數。F(t)=4在(0,+)內具有二階連續導數。(2)F/(t)=4t2f(t2)，t(0,+)。例42：設函數f(u)具有連續的導數，且f(0)=0，試求，其中：x2+y2+z2t2。解：原式=。 6. 有關多維空間的聚點或開閉集問題例43：設f(x,y)是定義在R2上的連續函數，求證：對任意實數c，集合E=(x,y)|f(x,y)>c是開集，F=(x,y)|f(x,y)c是閉集。 證：P0(x0,y0)E，則f(x0,y0)>c，fC(R2)，由連續函數的保號性定理可知：>0，使得當(x,y)U(P0,)時，f(x,y)>c。即U(P0,)E，由P0E的任意性，E是開集。設Q是F的聚點，則存在點列QnF，使Qn=Q，fC(R2)，f(Qn)=f(Q)，又f(Qn)c，由