1、第 2 課控制系統的動態數學模型控制系統的動態數學模型1、基本環節數學模型基本環節數學模型2、數學模型的線性化、數學模型的線性化3、拉氏變換、拉氏變換1. 基本環節數學模型基本環節數學模型 數學模型是描述系統內部物理量之間關系的數學表達式 數學模型是研究的第一步 建立數學模型的方法：分析法、實驗法微分方程的列寫微分方程的列寫（1）質量）質量-彈簧彈簧-阻尼系統阻尼系統彈性元件x1x2FFF=k(x1-x2)阻尼元件阻尼元件12()dxdxFBdtdtFx1x2F慣性負載慣性負載22d xFmdtmx相對于大地坐標系例題221()()()ioiood xxBk xxdtd xxBdtxixoxB

2、2k2B1k111()od xxBk xdt(2) 電路網絡電路網絡電感元件電容元件diuLdt1uidtC例題1 1iouRiu2ouRi21 11i dtRiC12iiiCR1R2uiuoi1i2i(1)(2)(3)(4)（3）電樞控制式直流電機）電樞控制式直流電機mT aTK iaaa aabdiLR iuudtbbuK22mddJBTdtdt 自然界中，真正的線性系統自然界中，真正的線性系統是不存在的。是不存在的。 將非線性方程在一定范圍內將非線性方程在一定范圍內用近似的線性方程來代替，用近似的線性方程來代替，稱為線性化稱為線性化2、數學模型的線性化、數學模型的線性化sincTmglI

3、2sincTglml非線性模型的例子非線性模型的例子 單變量函數y=f(x)的線性化 00220002( )1( )( )( )|()|()2!x xx xdf xd f xf xf xx xx xdxdx000( )( )()|()x xdf xf xf xxxdxyK x yxx0yx x例:2sincTglml000sinsin()cos()() 2cTglml00( ,)LQf x p 雙變量函數y=f(x1,x2)的線性化11011022022012102011022012( ,)(,)|()|()xxxxxxxxf x xf xxffxxxxxx1122yKxKx 0：|qx xQ

4、Kx流量增益000000(,) |()|()LLx xppLLQQ xpQQxxppxp0：|LcppQKp 流量-壓力系數qcLQK xK p線性化是針對某一工作點進行的線性化是針對某一工作點進行的為保證一定的精度，變量偏離工作點的為保證一定的精度，變量偏離工作點的范圍應足夠?。ǚ秶鷳銐蛐。ㄐ⌒盘柧€性化小信號線性化）對于含本質非線性的系統不適用（對于含本質非線性的系統不適用（死區、死區、滯后滯后）3、 拉氏變換拉氏變換3.1 定義1、x(t)為時間的函數，且t0時，x(t)= 02、s為復變量,s=+j0( ) ( )( )stX sL x tx t edt則則x(t)的拉氏變換定義為的拉

5、氏變換定義為F(s)的拉氏反變換為11( ) ( )( )2cjstcjf tLF sF s e dsj 拉氏變換將函數從拉氏變換將函數從時間域時間域轉到轉到復數域復數域。 許多函數通過拉氏變換可以轉變為復變許多函數通過拉氏變換可以轉變為復變量量s的代數函數，且可以使微積分用復數平的代數函數，且可以使微積分用復數平面內的代數運算取代。面內的代數運算取代。 3.2 簡單函數的拉氏變換簡單函數的拉氏變換 單位階躍函數0 01( )1 0ttt0tf(t)10011( )|ststeLtedtss 單位脈沖函數 0( )0 0ttt0( )1t dt( ) ( )(0)t f t dtf0tf(t)

6、(t) ( )1Lt 單位斜坡函數0 0( ) 0tf ttt0tf(t)21 ( )L f ts 指數函數( )atf te1atL esa0tf(t)1 正弦函數 余弦函數22sinLts22cossLts3.3 拉氏變換的性質拉氏變換的性質 疊加原理1212( )( )( )( )L f tf tF sF s11( )( )L af taF s 平移定理( )()atL ef tF sa22sin()atL etsa22cos()atsaL etsa 延時定理 ()( )sL f teF s 微分定理( )( )(0)df tLsF sfdt0000( )( )( )()( )|( )(

7、0)1( )ststststeF sf t edtf tdtseef tf tdtssfL f tss(1)12( )( )(0)(0)(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt若若(1)(0)(0)(0) 0nfff( )( )( )nnL fts F s則則1( )(0)( )F sfLf t dtss 積分定理 終值定理0( )( )tsLim f tLimsF s注意成立條件：注意成立條件：當當sF(s)有極點位于虛軸或有極點位于虛軸或s右右半平面不成立半平面不成立例：1sa例：sint 初值定理0( )( )t

8、sLim f tLimsF s 卷積定理1212( )*( )( )( )L f tf tF s F s卷積定義1212210()* ()() ( )()* ()tf tf tf tfdf tf t 3.4 拉氏反變換拉氏反變換1211112 ( )( )( ) ( )( )( )F sF sF sLF sLF sLF s若則 將象函數分解成比較簡單的形將象函數分解成比較簡單的形式式,然后通過拉氏變換表進行反變然后通過拉氏變換表進行反變換換.1011111( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbB sF sA ssa sasa將分母進行因式分解101112( )( )( )()()(

9、)mmmmnb sbsbsbB sF sA sspspsp極點和零點的概念 零點：零點： 若使得若使得 f(z0）=0，則，則z0稱為函數稱為函數f(z)的零點的零點 極點：極點： 令函數分母多項式為零的點令函數分母多項式為零的點zp稱為極點稱為極點( )( )( )g zf zh z( )()( )kkkspB saspA s1212( )( )( )nnaaaB sF sA sspspsp1、F(s)的極點各不相同12( )12aaF sss例1：113(1)2(1)(2)ssasss3( )(1)(2)sF sss223(2)1(1)(2)ssasss 解：321( )(1)(2)12s

10、F sssss12( ) ( )2ttf tLF see 當極點為復數時當極點為復數時,也適用也適用思考思考?1222( )aaF sssjsj112aj 212aj111122 ( )jjLF sLsjsj111( )()sin222jjjjf teeeetjjj 極點為共軛復數時的另一種分解方法極點為共軛復數時的另一種分解方法222( )25sF sss例:222222102(1)( )(1)22152(1)2(1)2sF sssss( )5sin22cos2ttf tetet2、F(s)含有重極點101111( )( )( )() ()()mmmmrrnb sbsbsbB sF sA s

11、spspsp11111111( )( )( )()() rrrrnrrnaaB sF sA sspspaaaspspsp11111112212(1)111()( )()( )1()( )2!1()( )(1)!rrsprrsprrsprrspraspF sdaspF sdsdaspF sdsdaspF srds例222( )(1) (3)sF ss ss32142( )(1)(1)3aaaaF sssss解：221221(1)(1) (3)2ssass ss 211223(1)(1) (3)4sdsasdss ss 30222(1) (3)3ssass ss43221(3)(1) (3)12ssass ss21/23/42/31/12( )(1)(1)3F sssss31321( )24312tttf te tee 3.5 拉氏變換的應用 求解微分方程1、將微分方程進行拉氏變換2、整理方程，得到變量的拉氏變換表達式3、進行拉氏反變換微分方程象函數代數方程象函數原函數（微分方程解）拉氏變換解代數方程拉氏反變換566 0)(0)2xxxx(x2( )(0)(0)65( )(0)6( ) s X ssxxsX sxX ss222126( )(56)ssX ssss例：解：231222126( )(56)23aaassX ss sssss2102126|1(2)(3)sssass