1、第五節橢圓(一)第七章平面解析幾何考考 綱綱 要要 求求1掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質2理解數形結合的思想理解數形結合的思想.課課 前前 自自 修修知識梳理知識梳理橢圓橢圓焦點焦點焦距焦距三、點三、點P(x0，y0)和橢圓和橢圓 =1(ab0)的關系的關系1點點P(x0，y0)在橢圓外在橢圓外_.2點點P(x0，y0)在橢圓上在橢圓上_.3點點P(x0，y0)在橢圓內在橢圓內_.1 =1 四、橢圓的標準方程、性質四、橢圓的標準方程、性質標準標準方程方程 +=1(ab0)+=1(ab0)圖形圖形中心中心(0,0)(0,0)標準標

2、準方程方程+=1(ab0) +=1(ab0)焦點焦點F1(-c,0)，F2(c,0)F1(0，-c)，F2(0，c)頂點頂點(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)軸長軸長長軸長軸|A1A2|的長的長2a，短軸，短軸|B1B2|的長的長2b，|B2O|=b，|OF2|=c，|B2F2|=a 離心率離心率e= (0eb0) +=1(ab0)范圍范圍|x|a，|y|b|y|a，|x|b對稱性對稱性對稱軸方程為對稱軸方程為x=0，y=0；對稱中心為；對稱中心為O(0,0)a，b，c的關系的關系c2=a2-b2準線準線(屬知識屬知識拓展拓展)x=y=基礎自測基礎自測1(2012長春市模擬長春市模擬

3、)橢圓橢圓x2+4y2=1的離心率為的離心率為()A. B. C. D.323422232(2012長沙市調研長沙市調研)中心在原點，焦點在中心在原點，焦點在x軸上，若長軸軸上，若長軸長為長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是()3(2012北京市海淀區模擬北京市海淀區模擬)已知橢圓已知橢圓 =1，長軸，長軸在在y軸上若焦距為軸上若焦距為4，則，則m等于等于()A4 B 5 C 7 D8解析解析：由題意得由題意得m210m 且且10m0，于是，于是6m4)，由橢圓的定義知，由橢圓的定義知點點C的軌跡是橢圓，其中的軌跡是橢圓，其中a3

4、，c2，b ，但點，但點C，A，B不能共線，因此不能共線，因此y0.動點動點C的軌跡方程為：的軌跡方程為： 1, (y0)答案：答案：(1)A(2)6(3) 1, (y0)1212點評點評：本題運用了橢圓的定義來解題橢圓定義是用橢本題運用了橢圓的定義來解題橢圓定義是用橢圓上任意一點圓上任意一點P到兩焦點的距離之和來描述的，定義中到兩焦點的距離之和來描述的，定義中|PF1|+|PF2|=2a|F1F2|.定義能夠對一些距離進行相關的轉化，定義能夠對一些距離進行相關的轉化，往往起到簡化解題過程，降低難度的效果因此在解題過程往往起到簡化解題過程，降低難度的效果因此在解題過程中，當遇到涉及橢圓上的點到

5、焦點的距離問題時，應先考慮中，當遇到涉及橢圓上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠使用橢圓的定義來解決是否能夠使用橢圓的定義來解決變式探究變式探究1(1)橢圓橢圓 +y2=1的兩個焦點為的兩個焦點為F1，F2，過，過F1作與作與x軸垂直軸垂直的直線與橢圓相交，一個交點為的直線與橢圓相交，一個交點為P，則，則|PF2|等于等于() A1 B2 C. D.(2)橢圓橢圓 =1上的一點上的一點P與橢圓的兩個焦點與橢圓的兩個焦點F1，F2的連的連線的夾角為線的夾角為60，則，則F1PF2的面積為的面積為_7232考點二考點二求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程 【例【例2】分別求滿足下列各條件的橢圓的

6、標準方程分別求滿足下列各條件的橢圓的標準方程(1)焦點在坐標軸上，且經過兩點焦點在坐標軸上，且經過兩點P ，Q ；(2)經過點經過點(2，-3)且與橢圓且與橢圓9x2+4y2=36具有共同的焦點；具有共同的焦點；(3)對稱軸是坐標軸，對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，為坐標原點，F是一個焦點，是一個焦點，A是一是一個頂點，若橢圓的長軸長是個頂點，若橢圓的長軸長是6，且，且cosOFA= ；(4)點點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距到兩焦點的距離分別為離分別為 和和 ，過點，過點P作長軸的垂線，恰好過橢圓的一作長軸的垂線，恰好過橢圓的一個焦點個焦點234

7、532 53思路點撥思路點撥：對于對于(1)，由題設條件不能確定橢圓的焦點在哪，由題設條件不能確定橢圓的焦點在哪一坐標軸上，因此應分別設出焦點在一坐標軸上，因此應分別設出焦點在x軸，軸，y軸上的標準方程，軸上的標準方程，進行討論求解；或采用橢圓方程進行討論求解；或采用橢圓方程mx2+ny2=1(m0，n0，且，且m n)直接求解，避免討論；對于直接求解，避免討論；對于(2)，由于橢圓，由于橢圓9x2+4y2=36的焦點坐的焦點坐標為標為(0， )，因而可設所求的橢圓方程為，因而可設所求的橢圓方程為 =1(l l0)，再，再由題設條件確定由題設條件確定l l的值即可；對于的值即可；對于(3)，注

8、意由橢圓的一個短軸端，注意由橢圓的一個短軸端點，一個焦點，中心點，一個焦點，中心O為頂點組成的特征直角三角形，為頂點組成的特征直角三角形，b，c，a分別是它的直角邊和斜邊；對于分別是它的直角邊和斜邊；對于(4)，由題設條件設出橢圓的標，由題設條件設出橢圓的標準方程，求出焦距與長軸長是求解本題的關鍵因橢圓的焦點準方程，求出焦距與長軸長是求解本題的關鍵因橢圓的焦點位置未明確在哪個坐標軸上，故應有兩種情況位置未明確在哪個坐標軸上，故應有兩種情況5點評點評：由于題由于題(1)中的橢圓是唯一存在的，為了運算方中的橢圓是唯一存在的，為了運算方便，可設其方程為便，可設其方程為mx2+ny2=1(m0，n0，

9、且，且m n)，而不必，而不必考慮焦點的位置，直接求得橢圓的方程；題考慮焦點的位置，直接求得橢圓的方程；題(2)中橢圓中橢圓9x2+4y2=36變形為變形為 =1，其焦點坐標為，其焦點坐標為F1(0， )，F2(0，- )，所設的方程，所設的方程 =1(l l0)是具有共同焦點的是具有共同焦點的F1(0， )，F2(0，- )的橢圓系方程遇到與本題類似的的橢圓系方程遇到與本題類似的問題，我們可以采用類似的方法來求解橢圓的方程另外問題，我們可以采用類似的方法來求解橢圓的方程另外本題還可以設方程本題還可以設方程 =1(l l5)， =1(l l-4)等解等解決一般說來，與橢圓決一般說來，與橢圓 =

10、1(ab0)具有相同焦點的橢具有相同焦點的橢圓方程可設為圓方程可設為 =1(l l-min(m，n)，其中，其中|m-n|=c2.本本題實質上運用的也是待定系數法題題實質上運用的也是待定系數法題(3)由橢圓的一個短軸由橢圓的一個短軸端點，一個焦點，中心端點，一個焦點，中心O為頂點組成的直角三角形在求解橢為頂點組成的直角三角形在求解橢圓問題中經常用到圓問題中經常用到55552(2013北京市模擬北京市模擬)已知橢圓已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為的中心在原點，一個焦點為F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比是，且長軸長與短軸長的比是2： .求橢圓求橢圓C的方程；的方程；設點設點M(m,0)在橢圓

11、在橢圓C的長軸上，點的長軸上，點P是橢圓上任意一是橢圓上任意一點當點當| |最小時，點最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取的取值范圍值范圍3變式探究變式探究考點三考點三利用橢圓定義求點的軌跡方程利用橢圓定義求點的軌跡方程【例【例3】一動圓與已知圓一動圓與已知圓O1：(x+3)2+y2=1外切，與圓外切，與圓O2：(x-3)2+y2=81內切，則動圓圓心的軌跡方程是內切，則動圓圓心的軌跡方程是_解析解析：兩定圓的圓心和半徑分別為兩定圓的圓心和半徑分別為O1(-3,0)，r1=1；O2(3,0)，r2=9.設動圓圓心為設動圓圓心為M(x，y)，半徑為，半徑為R

12、，則由題設條件可得，則由題設條件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R. |MO1|+|MO2|=10.由橢圓的定義知：由橢圓的定義知：M在以在以O1，O2為焦點的橢圓上，且為焦點的橢圓上，且a=5，c=3. b2=a2-c2=25-9=16，故動圓圓心的軌跡方程為故動圓圓心的軌跡方程為 =1.點評點評：若注意利用橢圓的定義解題，常常會起到事半功若注意利用橢圓的定義解題，常常會起到事半功倍的效果倍的效果變式探究變式探究3已知橢圓的焦點是已知橢圓的焦點是F1，F2，P是橢圓上的一個動點，如是橢圓上的一個動點，如果延長果延長F1P到到Q，使得，使得|PQ|=|PF2|，那么動點，那么動點Q的軌

13、跡是的軌跡是()A圓圓 B橢圓橢圓C雙曲線的一支雙曲線的一支 D拋物線拋物線解析：解析：|PF1|PF2|2a，|PQ|PF2|，|PF1|PF2|PF1|PQ|2a，即，即|F1Q|2a.動點動點Q到定點到定點F1的距離等于定長的距離等于定長2a，故動點，故動點Q的軌跡是的軌跡是圓故選圓故選A.答案：答案：A課時升華課時升華1本節重點是橢圓的定義、標準方程及其簡單幾何性質，本節重點是橢圓的定義、標準方程及其簡單幾何性質，難點是理解參數難點是理解參數a，b，c的關系及利用定義解決問題關鍵是的關系及利用定義解決問題關鍵是注意數形結合、函數與方程的思想、等價轉化的運用注意數形結合、函數與方程的思想

14、、等價轉化的運用2橢圓的定義是解決問題的出發點，如果運用恰當，可橢圓的定義是解決問題的出發點，如果運用恰當，可收到事半功倍之效收到事半功倍之效3特別注意：橢圓方程中的特別注意：橢圓方程中的a，b，c，e與坐標系無關，與坐標系無關，而焦點坐標，準線方程，頂點坐標與坐標系有關因此確定橢而焦點坐標，準線方程，頂點坐標與坐標系有關因此確定橢圓方程需要三個條件：兩個定形條件圓方程需要三個條件：兩個定形條件a，b，一個定位條件：焦，一個定位條件：焦點坐標點坐標(1)橢圓中有一個十分重要橢圓中有一個十分重要的三角形的三角形OF1B2(如圖所示如圖所示)，它，它的三邊長分別為的三邊長分別為a，b，c.易見易見

15、c2=a2-b2，且若記，且若記OF1B2=q q，則，則cos q q = =e.(2)橢圓的定義中應注意常橢圓的定義中應注意常數大于數大于|F1F2|.因為當平面內的動因為當平面內的動點與定點點與定點F1，F2的距離之和等于的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就是線段時，其動點軌跡就是線段F1F2；當平面內的動點與定點；當平面內的動點與定點F1，F2的距離之和小于的距離之和小于|F1F2|時，時，其軌跡不存在其軌跡不存在ca(3)橢圓標準方程中兩個參數橢圓標準方程中兩個參數a和和b確定了橢圓的形狀和大確定了橢圓的形狀和大小兩種標準方程中，總有小兩種標準方程中，總有ab0；橢圓的焦點位置

16、決定標準；橢圓的焦點位置決定標準方程的類型，并且橢圓的焦點總在長軸上；方程的類型，并且橢圓的焦點總在長軸上；a，b，c的關系是的關系是c2=a2-b2；在方程；在方程Ax2+By2=C中，只要中，只要A，B，C同號且同號且A B，就，就是橢圓方程是橢圓方程感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考2如圖所示，設如圖所示，設P是圓是圓x2+y2=25上的動點，點上的動點，點D是是P在在x軸上的投影，軸上的投影，M為為PD上一點，且上一點，且|MD|= |PD|.(1)當當P在圓上運動時，求點在圓上運動時，求點M的軌跡的軌跡C的方程；的方程；(2)求過點求過點(3,0)且斜率為且斜率為 的直線被的直線被C所截線段的長度所截線段的長度. 4545高考預測高考預測1設設F1，F2分別是橢圓分別是橢圓 =1的左、右焦點，的左、右焦點，P為橢圓為橢圓上任一點，點上任一點，點M的坐標為的坐標為(6,4)，則，則|PM|+|PF1|的最大值為的最大值為_解析解析：|PF1| PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|易知點易知點M在橢圓外，連接在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點并延長交橢圓于點P，此時，此時|PM| PF2|取最大值取最大值|MF2|，故，故|PM|PF1|的最大值為的最大值為1