1、 可分離變量微分方程(Differential equations of the variables separated) 第二節 第七章 轉化 解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22問題1：考慮一階微分方程( , )yf x y,2 xxdydxdxyd2,22yxxdydxdyxyd22的解法。例如：再兩邊求不定積分,2xdxydcxy2又如：,22xdyxyd含有未知函數 y, 積不出。xdyxyd22,22xdxyyd,22xdxyyd,12Cxy,12Cx

2、y分離變量方程一、可分離變量微分方程分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.425d2dyx yx4252dd ,yxyx例如：例如：d( , ) d yF x yx(d)d)gfxxyy可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .一階微分方程的一般形式：一階微分方程的一般形式：分離變量法分離變量法例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xe

3、Cy 1CeC令( C 為任意常數 )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )例2 的通解。求方程01122xyyyx得方程兩端同乘以解2211xydx01122yydyxxdxCyydyxxdx2211兩端積分得Cxy2211即得例例3. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數 )故所求特解為 1)0(y例例4. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1

4、故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數 )所求通解:練習練習:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0,21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉拋物面.于是方程化為(齊次方程) xyy22yx 頂到底的距離為 h ,hdC82說明說明:)(222CxCy2,2dyhCx則將這時旋轉曲面方程

5、為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達式得)0,(2CoyxA( h, k 為待 *二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111時當bbaa作變換kYyhXx,dd,ddYyXx則原方程化為 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齊次方程)定常數), ,代入將kyYhxX求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211時當bbaa原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd則1ddcvcvbaxv(可分離變量方程)注注: 上述方法可適用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0( b例例4. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh5, 1kh得XXuuudd112積分得uarctan)1(ln221uXCln代回原變量, 得原方程的通解:15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC