1、湍流的基本理論Basic knowledge of Turbulence2013年10月“能源與環境”研究中心常州大學研究生課程粘性流體力學粘性流體力學蔣綠林蔣綠林粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論主要內容：主要內容：湍流研究的基本方法和理論雷諾方程以及雷諾應力方程、湍流平均動能方程、湍動能方程、湍動能耗散率方程等粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論1 湍流的兩種統計理論 歷史上，對湍流的統計研究主要沿兩個方向發展：一個是湍流平均量的半經驗分析湍流平均量的半經驗分析，另一個是湍流相關函數的統計理論分析湍流相關函數的統計理論分析。

2、 缺 點基于大量的試驗，確定湍流的特征參數 基于相關函數及譜分析等方法，研究湍流的結構 代表人物能方便地解決實際問題 主要涉及湍流的大尺度運動 ，對了解湍流的實質幫助不夠普朗特馮卡門尼古拉茲 泰勒柯爾莫戈羅夫未能解決工程技術方面的實際問題 方法增進了對湍流（特別是湍流的小尺度部分）機理的了解 優 點粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論1.1 1.1 湍流平均量的半經驗分析湍流平均量的半經驗分析如何來求平均量呢？ 通常應用三種平均方法 時間平均法(temporal average) 空間平均法(spacial average) 系綜平均法(ensemble ave

3、rage)設湍流運動的瞬時流場為 ),(tzyxuu (instantaneous velocity field)做法：主要研究各個參數的平均量以及它們之間的相互關系，如平均速度、壓力、邊界層厚度等。粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論q 時間平均法(temporal average)00/2/21( , , )lim( , , , )tTTtTTux y zu x y z t dtT時均值的定義為：時均值的定義為：若平均值 與積分時刻t0無關，既使在不同的t0時刻做多次相同的重復試驗，所得 是一樣的，稱為定常定常(或準定常或準定常)湍流。湍流。 A于是瞬時速度

4、可分為時均流速和脈動流速兩部分：Tuuu且：00/2/21lim0tTtTTu dtTTuTu粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論 嚴格地講時間平均法只能用在定常湍流或準定常湍流，但在一定的條件下也可以推廣到非定常湍流中使用。 若非定常湍流的脈動周期為T1，平均流動的變化周期為T2，而且T1T2，在取時間積分的積分域T時，使T1TT2 ，這樣得到的時間平均值可以用來表示非定常湍流：/2/21( , , , )( , , , )t TTt Tux y z tu x y z t dtT例如：海洋潮汐運動的周期為12小時或24小時，而最低的湍流脈動頻率約為1Hz，則平

5、均時間T取2分鐘即可。粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論常用的時均運算關系式：設為湍流物理量的瞬時值 ，則：CBA, AA0 ABABA0BABABA BABAABCBABACCABCBACBAABCiixAxA2222iixAxAtAtA 推論：0ixA022ixA0tA在準定常湍流場中，有：0tAtA粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論q 空間平均法(spacial average)t0 時刻，流場中一點（ ）流速的體積平均值為000,xyz000001(,)( , ,)limuxyztu x y z td 積分體積 應包含

6、（ ）點，且應足夠大000,xyz體積平均法在滿足以下條件時也可推廣到非均勻湍流場推廣到非均勻湍流場湍流脈動的空間尺度湍流脈動的空間尺度 湍流流動平均值的空間變化尺度湍流流動平均值的空間變化尺度 000001(,)( , ,)uxyztu x y z td粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論q 系綜平均法(ensemble average)對重復多次的試驗進行算術平均 0000000011(, )lim(, )NekNkuxyz tuxyz tN可以將上式寫成概率分布（probability distriution）的形式： 0000(, )( )euxyz t

7、p u udu需要知道流動的概率密度函數需要知道流動的概率密度函數 粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論q 各態遍歷假設（ergodic hypothesis） 各態遍歷假說認為一定條件下，三種方法具有一致性。定義：定義：一個隨機變量在多個相同試驗中或一個試驗重復多次時一個隨機變量在多個相同試驗中或一個試驗重復多次時出現的所有可能狀態，能夠在一次試驗的相當長時間或相當大出現的所有可能狀態，能夠在一次試驗的相當長時間或相當大空間范圍內，以相同概率出現，空間范圍內，以相同概率出現，稱為各態遍歷。稱為各態遍歷。N次試驗中，u出現在u0至u0 +u的次數為N；一次試驗中

8、，在T時間內， u出現在u0至u0 +u的時間間隔為T一次試驗中，在 范圍內， u出現在u0至u0 +u范圍為 NNTT若 足夠大則有 即：,TNteuuu粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論1.2 1.2 湍流的統計理論湍流的統計理論做法：將流體視為連續介質，將各物理量如：流速、壓力、溫度等脈動值視為連續的函數，并通過各脈動值的相關函數和譜函數來描述湍流結構。應用：為了描述湍流的組織或結構，需要通過多點相關理論建立起合理的長度尺度準則為了建立合理的湍流模型，需要知道各種尺度的渦對能量生成、傳輸和耗散的貢獻，通過譜分析可以得到 粘性流體力學電子教案粘性流體力學電

9、子教案湍流的基本理論湍流的基本理論q 隨機變量的各階原點矩和中心矩 當 ，隨機變量 和 的數學期望（假設存在）分別稱為隨機變量 的 階原點矩和階原點矩和 階中心矩階中心矩。 0rrA()rAAArrrArAA)(若隨機變量為u（t），則：定義：定義：一階原點矩為： 為其時均值 duuupu一階中心矩為： 0udupuuuu二階中心矩為： ，此即u（t）的方差。實際上 表示了流動的湍流度。 2222)(udupuuuu粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論三階中心矩為： udupuuuu333)(偏斜度因子偏斜度因子 ， 表示分布的相對偏斜程度， 即不對稱性不對稱性

10、 33us(Skewness factor)S為正值 粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論四階中心矩為： (Flatness factor) udupuuuu444)(平坦因子平坦因子 ，度量曲線相對于高斯分布的 接近程度 44uK若若 ，則表示概率曲線中部，則表示概率曲線中部升得高，而在兩側下降較快升得高，而在兩側下降較快 3K粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論q 湍流脈動量的相關矩 表示湍流中，空間兩點上各種脈動速度分量之間的相關矩，表達了空間一點的脈動速度與鄰近一點上的脈動速度之間的關系。 空間相關空間相關 ,ijijRx

11、 xrux uxr 22,ijijijRx xrRx xruxuxr 空間相關矩空間相關矩 空間相關系數空間相關系數 顯然，若顯然，若 ， ；若；若 ，0r1iiR r0ijR粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論y/cDCA BbRax1Ueu2x1+ru2r1y/cDCA BbRax1Ueu2x1+ru2r1y/cDCA BbRax1Ueu2x1+ru2r122111,Rx xr可以看出：可以看出：當當 時，時， 完全相關；當完全相關；當 時時 ，相互無關；當相互無關；當 較小時較小時 ， 較大時較大時 01r221R1r220R220R1r220R1r粘性流

12、體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論 時間相關矩和自相關時間相關矩和自相關時間相關矩時間相關矩表示同一點上，不同時刻的脈動量之間的關系： tutuRjiij 22ijijijRRutut時間相關系數時間相關系數 i=j時的時間相關叫做自相關自相關 ： 2iiiiiut utRut可以證明：自相關系數是偶函數 粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論1.3 1.3 湍流的特征尺度湍流的特征尺度 湍流由各種不同尺度的渦體運動組成。大大渦渦區區含含能能渦渦區區平平衡衡區區含能渦區又稱為慣性區，平衡區又稱為耗散區粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子

13、教案湍流的基本理論湍流的基本理論Kolmogorov認為：認為：控制小尺度運動的參數，應包含單位控制小尺度運動的參數，應包含單位質量的能量消耗率質量的能量消耗率 和流體的運動粘性系數和流體的運動粘性系數為此，由量綱分析有（小渦的各項尺度）：長度尺度時間尺度速度尺度1/431/21/4VRe1dV耗散雷諾數 說明小尺度渦體的湍流脈動是粘性主宰的耗散流動，因此這一尺度的渦體也稱為耗散渦式粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論 在各向同性湍流中，可以認為大尺度渦體由它所包含的在各向同性湍流中，可以認為大尺度渦體由它所包含的湍動總能量湍動總能量 ，以及向小尺度傳遞的能量，

14、以及向小尺度傳遞的能量 決定。決定。k3/2kl 在含能尺度范圍內，慣性主宰湍流運動，因此含能尺度范圍又稱慣性區。uk為此由量綱分析可得：ktRe1dul一般積分尺度雷諾數式粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論Kolmogorov還認為：還認為：大渦體向小渦體提供的能量與小渦大渦體向小渦體提供的能量與小渦體本身消耗的能量兩者平衡，因此能量消耗率體本身消耗的能量兩者平衡，因此能量消耗率 應與能應與能量供應率平衡。量供應率平衡。即：23/uul ul其中： 表示大渦體的尺度， 為特征速度lu由此可得（代入式）：式3/43/4Reull1/21/2Reult1/41/

15、4Revulu長度尺度比時間尺度比速度尺度比粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論 小渦體的長度尺度、時間尺度、速度尺度均比大渦小渦體的長度尺度、時間尺度、速度尺度均比大渦體要小得多體要小得多小尺度的渦強比大尺度的要大得多，故小尺度的渦強比大尺度的要大得多，故能量耗散也能量耗散也大得多大得多大尺度渦體攜帶的能量比小渦體的大得多，因此大大尺度渦體攜帶的能量比小渦體的大得多，因此大渦體又稱為渦體又稱為含能渦含能渦粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論大尺度渦體與小尺度渦體的比較大尺度渦體與小尺度渦體的比較大尺度渦體大尺度渦體小尺度渦體小尺

16、度渦體由大尺度旋渦產生由大尺度旋渦產生由平均流動產生由平均流動產生與邊界有關與邊界有關有通用性有通用性具有擬序特征具有擬序特征隨機運動隨機運動要求確定性描述要求確定性描述可統計模擬可統計模擬非均勻非均勻均勻均勻非各向同性非各向同性各向同性各向同性長生命長生命短生命短生命起擴散作用起擴散作用起耗散作用起耗散作用模擬困難模擬困難模擬相對容易模擬相對容易粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論1.4 1.4 湍流的分類湍流的分類q 均勻湍流與非均勻湍流 均勻湍流均勻湍流：指統計上湍流的任何性質與空間位置無關，或者說，任何湍動量的平均值及它們的空間導數，在坐標作任何坐標作任

17、何位移下位移下不變。非均勻湍流非均勻湍流：湍流統計性質與空間位置有關注意：均勻湍流的均勻性是指脈動量具有均勻性，與均勻流不是同一概念。粘性流體力學電子教案粘性流體力學電子教案湍流的基本理論湍流的基本理論各向同性湍流，必然是均勻湍流，因為湍流的任何不均勻性各向同性湍流，必然是均勻湍流，因為湍流的任何不均勻性都會帶來特殊的方向性。都會帶來特殊的方向性。在實際中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流，在實際中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流，如：蜂窩格柵下游較遠處；大多數真實流動的耗散渦也具有如：蜂窩格柵下游較遠處；大多數真實流動的耗散渦也具有各向同性各向同性各向同性下，各向同性下， ，雷諾應力