1、超級畫板第七篇 立體幾何 本書介紹的超級畫板的版本，并不具有立體幾何作圖的功能；但它也可以用來畫一些模擬立體關系的圖形。偶爾用上了，就免去了切換軟件的麻煩。如果您在某一段相當長的時間內都要作立體圖形，建議使用其他的軟件，例如Z+Z智能教育平臺系列中的“立體幾何”。該軟件具有的立體幾何動態測量、直接作出3維坐標點、在空間對點、線、圓的跟蹤以及空間參數曲線等功能，更要方便一些。但是，用超級畫板作出的圖形，要更漂亮一些。一 長方體的截面 用一張平面截割一個長方體，得到的截面都是什么形狀？這是立體幾何課上常常要講的內容。也常常被作為多媒體課件的題材。 本書配套資源中的文件“7-1長方體的截面.zjz”

2、的第1頁中，顯示出用超級畫板制作的交互性模擬長方體，如圖7-1： 圖7-1 拖動點A可以改變視角。當點A被拖到直線OF的右側時，線段HG由實線變為虛線，而OF由虛線變為實線；當點A被拖到直線OH的上方時，線段OH由虛線變為實線，而GF由實線變為虛線；等等。 不妨先想想，這種模擬立體感的效果，是如何做出來的？ 用來截割立方體的平面，是由分別在射線CD、DE、DG上所取的3個點I、J、K所確定的。文件中另外作了3個點，對應地命名為i、j、k，拖動點i、j、k可以控制點I、J、K的位置，從而改變截割平面的位置。相應地，截面的形狀變為三角形、四邊形、五邊形或六邊形這些在不同情形分別顯示出不同的截面的效

3、果，又是如何做出來的？下面來說明制作這樣的立體效果的操作原理。說明了其實很簡單。先來說明虛線和實線相互轉化的道理。其實，這些能夠虛實變化的線段，都是兩條線重疊而成。當兩條線中的實線隱藏起來時，就只看見虛線了。你會想到，在一定條件下隱藏實線，要用到動態alpha參數。類似地，截面的變化，也是利用動態alpha參數做出來的效果。大致操作分為4步：（1）畫出長方體的骨架；（2）作出截割平面和有關截面的頂點；（3）實現虛實線變化的效果；（4）作出截面多邊形并設置其動態alpha參數。本課件具體步驟較為繁瑣，此處從略，有興趣的讀者參看超級畫板自由行。 習題7-1 掌握本課件的使用操作。打開上述文件的第2

4、頁，觀察圖中的立方體和截面。這里確定切割平面的三個點I、J、K分別在3條相互平行的棱上。找尋應當填充而未填充或填充錯誤的截面，填充并且正確設置其動態alpha參數。二 圓錐、圓臺和圓柱的體積 打開配套資源中文件“圓錐圓臺和圓柱的體積.zjz”的第一頁，如圖7-2。 圖7-2 圖中有一個圓錐體的直觀圖。下方有參數R和h的變量尺。左上部的測量數據文本指出h=AB是圓錐體的高，R=AC是圓錐體底面的半徑，V=R2h/3是圓錐的體積。拖動變量尺上的滑鈕，可以改變圓錐的高h和底半徑R，這時圖上的圓錐和3個測量數據都會作相應的改變。 拖動變量尺上的滑鈕來改變參數，很難讓參數取到準確的整數值，這對于有些練習

5、題的呈現很不方便。我們可以將變量動畫和變量尺結合起來，方便地對參數R和h進行設置。注意到左下部有一條較短的變量尺，尺的右方注有“設置整數值”的字樣。拖動這條變量尺上的滑鈕，變量尺上面的數字框里的整數會改變。圖上的當前整數值是11。這時單擊標注有“設置h為整數”的按鈕，h的值就會準確地變成11；若再拖動此變量尺的滑鈕使上面的整數值調整為7, 單擊標注有“設置R為整數”的按鈕，R的值就會準確地變成7。當然，圓錐體積的測量數據也會相應地變化。 如果需要參數R和h準確地取其它數值，還可以打開這兩個標注有“設置為整數”的按鈕的屬性對話框，直接進行設置。 文件的第2頁畫了一個直觀的圓臺體，有類似的變量尺、

6、測量數據文本框和按鈕，只是多了一個參數r，即圓臺上底的半徑。如圖7-3。 圖7-3 在兩個圖中，右上部都有一個標注有“渲染”字樣的按鈕和一條標注有“渲染顏色”的變量尺。拖動該變量尺上的滑鈕，錐體(臺體)的渲染顏色會有多種多樣的變化。單擊“渲染”按鈕，渲染顏色會消失而留下線條圖，如圖7-4；再單擊“渲染”按鈕，渲染顏色恢復。 圖7-4 下面以第一頁為例，說明圓錐體直觀圖的畫法，渲染著色的方法，設置參數為整數的方法以及隱藏和恢復渲染顏色的按鈕的制作方法。至于第2頁，還多了一些功能，留作習題。 注意這里的說明中，操作順序和上述文件不完全一樣。1. 圓錐體直觀圖的畫法(1) 用文本作圖命令，作錐體底面

7、中心A、頂點B和底面圓周上一點C(編號順次為5、6、7):Point(0, 0, , , ,);Point(0, h, , , ,);Point(R, 0, , , ,); (2) 連接線段AB、AC、BC(編號順次為8、9、10)：Segment(5, 6, );Segment(5, 7, );Segment(6, 7, ); (3) 順次選擇點C和線段AC、BC、AB（最后選擇的是對稱軸），在右鍵菜單中單擊“關于直線的對稱圖形”，作出點C和線段AC、BC關于直線的對稱圖形點D和線段AD、BD。若用文本命令，其函數序列為： Symmetric(7, 8, );Symmetric(9, 8,

8、);Symmetric(10, 8, ); 這里的作圖函數“Symmetric(, , );”是文本作圖對話框里“圖形變換”類里的第1個。其中第一個參數是要作對稱變換的幾何對象的編號，第2個參數是對稱軸的編號。每執行1條命令只能對1個幾何對象作變換。(4) 使用文本作圖命令做出圓錐底面的直觀圖。它是一個以A為心，AC=R為長半軸的標準橢圓（編號14）。作圖函數是文本作圖對話框中“圓錐曲線”類里的第1個：NormalEllipse(5, a=R, b=R/6, x, ); 其中第1個參數是橢圓中心A的編號；第2個參數a=R表示橢圓的長半軸為R；第3個參數b=R/6表示橢圓的短半軸為R/6；第4個

9、參數x表示橢圓的長軸平行于X軸。嚴格說來，等腰三角形BCD是圓錐體的平行于畫面的軸截面，不是圓錐體的直觀的輪廓線。直觀地看，輪廓線應當是自點B所作的橢圓的兩條切線段，它們與BC、BD很接近。另外，下面作出的圓錐體母線的軌跡，也就形成了圓錐體的直觀的輪廓線。2. 圓錐體渲染著色的方法 (5) 用智能畫筆，在橢圓上取任意點E（編號15）；作線段BE（編號16，注意上述文件中為線段BG, 編號也不同）。文本作圖命令為： PointOnConic(14, );Segment(6, 15, ); (6) 用文本作圖命令做出線段BE的軌跡（編號17）： Locus(15, , , , , ,16 );(7

10、) 對軌跡的屬性進行設置：頻率設置在200到400之間；參數保持缺省值0到2*pi；(8) 注意，這軌跡是線段BE的軌跡，將線段BE的畫筆設置為動態顏色，軌跡的顏色才能多姿多彩。選擇線段BE，單擊右鍵打開其屬性對話框，在“畫筆”欄中點選“動態顏色”，打開“動態顏色”對話框；在對話框上部“顏色類型”欄點選“HLS()顏色空間”；如圖7-5，在下部第一行左欄鍵入顏色參數 a+u000*36，將此行右欄中的255改為360；在第2行左欄鍵入亮度參數0.5；在第3行鍵入飽和度參數1。單擊“確定”關閉動態顏色對話框；再單擊“確定”關閉屬性對話框。 圖7-5 上面設置的顏色參數a+u000*36中的變量u

11、000，是點E在橢圓上的位置參數，也是BE的軌跡的參數。隨著點E在橢圓上的位置的變化，u000在0到2之間取不同的值，BE的軌跡也就呈現出不同的顏色。參數a是一個自由變量，a的變化可以影響軌跡顏色的范圍。(9) 用文本命令做出參數a的變量尺，變化范圍設置為0到360： Variable(a, 0, 360, ); 拖動變量尺上的滑鈕，可以看到軌跡顏色的變化。3.設置參數為整數的方法（10）執行菜單命令“測量|測量表達式”，在測量表達式對話框中分別輸入R、h和 pi*h*R2/3，作出R、h和圓錐體積 R2h/3的測量數據文本框。另外，再輸入表達式 floor(x)，作出其測量數據的文本框，為設

12、置參數為整數作準備。這些操作的文本命令為： MeasureExpress(R);MeasureExpress(h);MeasureExpress(pi*R2*h/3);MeasureExpress(floor(x);(11) 用文本作圖命令作出參數R、h和x的變量尺： Variable(R, 0, 20, );Variable(h, 0, 20, );Variable(x, 0, 20, );（12）在右鍵菜單中單擊“動畫”，在對話框中輸入R 和h，兩參數之間用逗號分開。單擊確定，作出參數R和h的動畫按鈕。其文本命令為： AnimationVar(R, );AnimationVar(h, );

13、 兩個按鈕的屬性設置相同：頻率設置為1（或不超過10），最大值和最小值都設置為floor(x)，類型設置為一次運動，文本寫成“設置R為整數”或“設置h為整數”。 這樣操作后，只要單擊其中一個按鈕，就可以把R或h設置為floor(x)的當前值了。4 制作隱藏和顯示對象的按鈕前面我們都是用設置動態alpha參數的辦法來控制對象的隱藏和顯示?，F在介紹直接制作隱藏顯示按鈕的方法。(1) 打開文本作圖命令對話框，展開“對象的屬性”條目下的函數列表，兩次雙擊第一行的“Button”函數（這是單變元函數，用來制作隱藏或顯示按鈕），再雙擊第2行的“Button” 函數（這是多變元函數，用來制作序列按鈕）。在上

14、方的文本編輯欄里鍵入參數構造3行文本命令： Button(A);Button(B);Button(28, 29, ,渲染 );如圖7-6： 圖7-6這里，前兩個函數中的參數A和B分別是所生成的按鈕上的文本，即按鈕的名字。至于按鈕的作用，下面要再作設置。第3個函數中的參數28、29分別是按鈕A、B的編號。這是因為當前的對象編號已到27，新生成的按鈕編號自然是28、29了。參數“渲染”是第3個按鈕上面的文本，即該按鈕的名字。運行文本命令后，生成按鈕A、按鈕B和渲染按鈕。（2）右鍵單擊按鈕A，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開屬性對話框，如圖7-7的左部。 7-7在對話框的“動作”欄的左上部空白條的右端，

15、有一個帶黑三角的按鈕。單擊黑三角展開一個功能目錄，其中第1行是“Hide”（隱藏），第3行是“Show”（顯示），這是最常用的兩種功能。單擊“Hide”，則“Hide”出現在上部空白條內，功能目錄關閉；單擊“增加動作”按鈕，則在左下部空白欄中出現“隱藏對象”字樣。單擊“隱藏對象”，則此行文本被黑色覆蓋，文字反白。這時可以指定要隱藏的對象了。在對話框右部的對象列表欄里，雙擊17號對象“軌跡 BE”，則在中上部空白欄里出現一行“17 軌跡 BE”。如果需要，還可以雙擊想隱藏的其它對象。這里我們只要隱藏此軌跡，就單擊“確定”關閉對話框。（3）右鍵單擊按鈕B，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開屬性對話框，如

16、圖7-11的右部。單擊左上部空白條的右端黑三角，展開功能目錄，單擊“Show”，則“Show”出現在上部空白條內，功能目錄關閉；單擊“增加動作”按鈕，則在左下部空白欄中出現“顯示對象”字樣。單擊“顯示對象”，則此行文本被黑色覆蓋，文字反白。這時可以指定要顯示的對象了。在對話框右部的對象列表欄里，雙擊17號對象“軌跡 BE”，則在中上部空白欄里出現一行“17 軌跡 BE”。單擊“確定”關閉對話框。上述設置完成后，單擊按鈕A則軌跡隱藏，單擊按鈕B則軌跡出現。若單擊渲染按鈕，則軌跡隱藏；再單擊它，軌跡出現。所以，渲染按鈕兼有按鈕A和按鈕B的作用，從而可以把按鈕A和按鈕B隱藏起來。這只要在對象工作區單

17、擊這兩個按鈕項前面的小方形；或選擇這兩個按鈕再在右鍵菜單中單擊“隱藏”。文件的第2頁，比第一頁多了一個長半軸為r橢圓（圓臺的上底面）。相應地多了有關r的變量尺、測量數據文本框和設置r為整數的動畫按鈕。此外，當設置r=0時，圓臺成為圓錐；當設置R和r為同一數值時，圓臺又成為圓柱。相應的，在這兩種情形下，會出現圓錐體積公式和圓柱體積公式的測量數據文本框，如圖7-8和圖7-9。 圖7-8 圖7-9習題7-2 參考上述文件的第2頁，做出一個圓臺的直觀圖和體積的測量數據文本框。要求當圓臺上底半徑為0時成為圓錐，當兩底半徑相等時成為圓柱，并同時出現圓錐和圓柱的體積公式和測量數據。習題7-3 試畫出上述圓臺

18、的側面展開圖，并制作其面積測量數據文本框(參看文件第3頁)。 三 空間的曲線這一節里，我們以空間的螺旋線和李薩如曲線為例，說明繪制動態空間曲線的方法。打開本書配套資源中的文件“7-3圓柱面上的螺旋線.zjz”第一頁，如圖7-10。 圖7-10 圖中的點A、B、C、E是可以拖動的。單擊“顯示或隱藏說明”按鈕，會出現一個文本框，其中有操作說明和空間曲線參數方程以及它在平面上的投影的參數方程。操作說明指出：拖動點A(a,0)改變螺旋圈數，拖動點B(b,c)改變投影方向，拖動點C (b*k,c*k)改變螺圈直徑，拖動點E旋轉螺旋線。你不妨動手拖一拖，先有些感性認識。再來看空間曲線的參數方程:從方程看出

19、，螺旋線的軸線應當和X軸重合，這和圖上的曲線不一樣。原來，圖上的曲線是旋轉過的。在左方的對象工作區用鼠標單擊編號為5的曲線前的小方形來勾選它，就可以看見曲線的原型。知道了空間曲線的參數方程，如何在平面坐標系里直觀地把曲線畫出來呢？設想把空間曲線投影在XY平面上，會有多種投影方法。不論哪種方法，都相當于用一組變換公式，把空間點的三維坐標變成投影點的二維坐標。用（x,y,z）表示空間點的三維坐標，(f,g)表示投影點的二維坐標，u、v是兩個參數，有一個簡單的常用的變換是： 這個變換表示的一類投影叫做“斜二側類投影”。在上述變換公式中，取u=b、v=c、x=x(t)、y=y(t)、z=z(t) 則上

20、述空間曲線在XY平面上的投影的參數方程為： 有這個公式，以下的操作就是順理成章的了。1. 根據空間曲線參數方程繪制圓柱面上的螺旋線(1) 用文本命令作出曲線和有關的控制點： Function(t+b*k*cos(a*t), k*sin(a*t)+c*k*cos(a*t), t, 0, 6*pi, 500, );Point(a, 0, a , , );Point(b, c, b, c, , );Point(b*k,c*k, k, , , );Point(b*k*cos(6*a*pi)+6*pi, k*sin(6*a*pi)+c*k*cos(6*a*pi), , , , );這里第1行作出曲線，以

21、下幾行順次作出坐標點A、B、C、D；其中C和D分別是曲線的兩端點，而點D是不能拖動的。(2) 單擊“文本”圖標或執行菜單命令“插入|文本”，在打開的對話框里輸入說明文字和有關的數學表達式，單擊“確定”作出說明文本，編號為10。 此操作若用文本命令執行，命令文本為： Text(拖動點A(a,0)改變螺旋圈數拖動點B(b,c)改變投影方向拖動點C (b*k,c*k)改變螺圈直徑拖動點E旋轉螺旋線空間曲線參數方程:$fcx(t)=t,y(t)=k*sin(a*t),z(t)=k*cos(a*t)曲線在x-y平面上的投影的參數方程:$fcx(t)=t+b*k*cos(a*t),y(t)=k*sin(a

22、*t)+c*k*cos(a*t);注意，在文本命令函數內使用分號可能會出錯，所以這里在方程的表達式之間用逗號分隔。運行后，再將方程表達式中的逗號重新編輯為分號，才能正確顯示。 (3) 以下添加其他文本標題，并制作按鈕來控制編號為10的說明文本的隱藏和顯示。TransformText(等徑螺旋線);Text(圓柱面上的螺旋線);Button(1);Button(2);Button(13, 14, , 顯示或隱藏說明); Text(參數方程作圖); 控制隱藏顯示的按鈕的制作方法見前一節“二 圓錐、圓臺和圓柱的體積”的第4段“4制作隱藏和顯示對象的按鈕”。 (4) 最后，對曲線作一個旋轉變換：Poi

23、nt(3, 2, );MeasureAngleOfVector(7,17 );Rotate(5, 7, m000, );Rotate(8, 7, m000, );Rotate(9, 7, m000, );這里第1行命令作出編號為17的自由點E, 其初始位置為（3，2）；第2行命令測量出BE的方向角m000（注意，點E的編號為7），作為后面旋轉的參數。以下3條命令，分別對曲線（編號5）、點C和點D（編號分別為8和9）作旋轉；旋轉中心為B, 旋轉角為m000。這樣，把原來編號為5的曲線隱藏后，就是圖7-10中的曲線了。2繪制圓柱面上的螺旋線的軌跡方法上述文件的第2頁，如圖7-11，畫出了圓柱側面上

24、的螺旋線。圖7-11其文本作圖程序只有13行： Point(1, 1, );Point(1, -1, );EllipseOfFocusPoint(1, 5, 6, );Point(1, 5, );Translate(7, 1, 8, );PointOnConic(7, );Segment(1, 8, );PointOnLine(11, );Parallelogram(10, 1, 12, );Locus(10, 12, , , , , 13);Translate(11, 1, 10, );Locus(10, , , , , ,15 );TransformText(圓柱面上的螺旋線);這里開始2

25、行作出自由點A、B（編號分別為5，6）；第3行，作出以O、A為焦點且經過點B的橢圓（編號為7）作為圓柱體的下底面；第4行，作出自由點C；第5行，對橢圓作沿向量OC的平移，得到圓柱體的上底面；第6行，在前一個橢圓（編號為7）上取點D（編號為10）；第7行，連接線段OC（編號為11）；第8行，在線段OC上取點E（編號為12）；第9行，作點F（編號為13）使EODF為平行四邊形;第10行，以點D、E為主動點，作點F的軌跡（螺旋線）；第11行，對線段OC作沿向量OD的平移，得到圓柱體的一條母線（編號為15）；第12行，以點D為主動點，作圓柱體的母線的軌跡（渲染用）；第13行，添加標題。運行后，要對軌跡

26、的屬性進行設置。點F的軌跡頻率設置在200以上，周期比設置為10和1。母線的軌跡的顏色變化，是通設置母線本身的動態顏色而實現的，方法和前一節類似。3. 根據空間曲線參數方程繪制圓錐面上的螺旋線操作過程和根據空間曲線參數方程繪制圓柱面上的螺旋線完全一樣，不同的只是曲線的參數方程，可作為習題。操作時可參看文件“7-4圓錐面上的螺旋線.zjz”第1頁，如圖7-12。 圖7-12 從圖中可以看出曲線在空間和在投影平面上的參數方程。文本命令程序如下：Function(t+b*(y*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*sin(a*t), (x+c*y)*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*

27、k*(cos(a*t)+c*sin(a*t), t, 0, 6*pi, 500, );Point(a, 0, a , , );Point(b, c, b, c, , );Point(0, k, , k, , );Point(6*pi+b*y, x+c*y, y, x, , );Text(拖動點A(a,0)改變螺旋圈數 拖動點B(b,c)改變投影方向 拖動點C (0,k)改變螺圈直徑 拖動點E旋轉螺旋線 拖動點D改變圓錐頂點位置空間曲線參數方程:$fcx(t)=t,y(t)=x*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*cos(a*t),z(t)=y*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)

28、*k*sin(a*t)曲線在x-y平面上的投影的參數方程:$fcx(t)=t+b*(y*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*sin(a*t),y(t)=(x+c*y)*t/(6*pi)+(1-t/(6*pi)*k*(cos(a*t)+c*sin(a*t);/運行后將方程表達式中的逗號重新編輯為分號;TransformText(圓錐面上的螺旋線);Button(1);Button(2);Button(12, 13, , 顯示或隱藏說明); Text(參數方程作圖);Point(3, 2, );MeasureAngleOfVector(7,16 );Rotate(5, 7, m000,

29、);Rotate(8, 7, m000, );Rotate(9, 7, m000, );4繪制圓錐面上的螺旋線的軌跡方法操作類似于繪制圓柱面上的螺旋線的軌跡方法。參看上述文件的第2頁(圖7-13)和后面的文本作圖命令，可作為習題。 圖7-13在運行下述程序后，注意對軌跡的屬性進行設置。Point(1, 1, );Point(1, -1, );EllipseOfFocusPoint(1, 5, 6, );Point(1, 5, );PointOnConic(7, );TransformText(圓柱面上的螺旋線);Text(軌跡作圖);Segment(8, 9, );Segment(5, 8,

30、);PointOnLine(13, );Segment(5, 9, );IntersectionOfLinePLine(12,14, 15, );Locus(9, 14, , , , , 16);Locus(9, , , , , ,12 );5 根據空間曲線參數方程繪制3維李薩如曲線在第四篇中我們介紹過2維的李薩如曲線(圖4-25)。3維的李薩如曲線變化更多，更有趣。它的空間參數方程為： 用帶有參數u、v的斜二側類投影，投影到XY平面上，其參數方程為 有了方程，以下就可以用文本命令繪制曲線了。文本命令程序為： Function(a*cos(k*t)+u*cos(n*t), b*sin(m*t)

31、+v*cos(n*t), t, 0, 8*pi, 1000, );Point(a, b, a, b, , );Point(u, v, u, v, , );Variable(k, );Variable(m, );Variable(n, );Variable(x, );AnimationVar(k, );AnimationVar(m, );AnimationVar(n, );MeasureExpress(k);MeasureExpress(m);MeasureExpress(n);TransformText(空間李薩如曲線);Text(方程作圖);這15行命令可以分為3組：1-6行是畫曲線并作出有

32、關參數的控制點或變量尺；7-13行是制作按鈕用來設置變量k、m、n為整數并顯示出其當前值；最后兩行是添加標題。 選擇不同的參數，曲線顯示出有趣的變化，如圖7-14，7-15，7-16和7-17。 圖7-14 圖7-15 圖7-16 圖7-176 繪制空間李薩如曲線的軌跡方法下面我們用軌跡方法繪制空間李薩如曲線。為了使曲線看起來更加直觀更有立體感，我們用線條構作一個長方體的骨架，把曲線安排在長方體內。以下的很多操作是可以用鼠標菜單執行的。(1) 構作一個長方體的骨架;這里除了開始的兩個坐標點A、B之外，都可以用鼠標菜單實現。 Point(a, b, a, b, , );Point(u, v, u

33、, v, , );Foot(5, 2, );Foot(5, 3, );Parallelogram(6, 1, 7, );Parallelogram(6, 1, 8, );Parallelogram(5, 7, 9, );Segment(1, 6, );Segment(1, 7, );Segment(1, 8, );Segment(5, 7, );Segment(5, 8, );Segment(6, 9, );Segment(6, 10, );Segment(7, 9, );Segment(11,10 , );Segment(11, 5, );Segment(11, 9, );Segment(1

34、0, 8, );（2）作出軌跡曲線Point(a*(1+cos(k*t)/2, b*(1+sin(m*t)/2, t, , , );Point(u*(1+sin(n*t)/2, v*(1+sin(n*t)/2, t, , , );Foot(24, 2, );Parallelogram(25, 1, 26, );Parallelogram(24, 26, 27, );Locus(24, , , , , ,28 );這里第1行和第2行作出兩個以變量t為拖動參數的坐標點H、I（編號為24和25，注意I在線段OB上）；第3行，自H向X軸引垂足J（編號為26）；第4行，作點K（編號為27）使IOJK為平

35、行四邊形；第5行，作點L（編號為28）使HJKL為平行四邊形（如圖7-18）；第6行，以點H為主動點作點L的軌跡.運行后，將軌跡的頻率設置為1000以上，軌跡參數設置為0到T，T增加時曲線會延長。 圖7-18(2) 以下就容易理解了。無非是作出有關參數的變量尺，做出可以將k、m、n設置為整數的按鈕，顯示這些參數的變量值以及添加標題等。文本作圖程序如下： Variable(T, );Variable(k, );Variable(m, );Variable(n, );Variable(x, );AnimationVar(k, );AnimationVar(m, );AnimationVar(n,

36、);MeasureExpress(k);MeasureExpress(m);MeasureExpress(n);TransformText(空間的李薩如曲線);Text(軌跡作圖);對參數T、k、m、n作不同的設置，得到豐富的圖形，例如圖7-19至7-24。 圖7-19 圖7-20 圖7-21 圖7-22 圖7-23 圖7-24習題7-4參看文件“7-4圓錐面上的螺旋線.zjz”第1頁和有關的文本命令，用參數曲線作圖命令作出圓錐面上的螺旋線。習題7-5參看文件“7-4圓錐面上的螺旋線.zjz”第2頁和有關的文本命令，用軌跡作圖命令作出圓錐面上的螺旋線。四 圓錐的截線和截面平面和圓錐面相截，其截

37、線可能是橢圓、拋物線或雙曲線等。用動態圖形直觀地表現這個事實，當然是數學教學的要求。本書配套資源中的文件“7-6圓錐的截線.zjz”，可供這部分課程使用。如圖7-25，圓錐和平面LMPN相截，截線是橢圓。拖動圖上的幾個紅點，可以改變圓錐和平面的位置，從而改變截線的形狀。 圖7-25圖中圓錐體有一個外切正四棱錐，四棱錐的底為正方形ADBK。在直線BK上取一點L，過L作BD的平行線和直線AD交于N。在棱錐的側棱JK上取點M, 平面LMN和另一條側棱JA交于P；圖上畫出了等腰梯形LMPN和它所在的平面和圓錐面的截線，是一個與梯形的3條邊相切的橢圓。截線上任一點都是圓錐母線和梯形所在平面的交點。交點作

38、法如下：在圓錐體底面周界上任取一點Q，過Q作AN的平行線分別和LN、KA交于T和U, 設JU和MP交于V，則TV和圓錐母線JQ都在平面JTU上。設W是直線TV和JQ的交點。由于TV在梯形所在平面上，所以W也就是圓錐母線JQ和梯形所在平面的交點。當點Q在圓錐底面上運動時，點W的軌跡就是梯形所在平面和圓錐面的截線。拖動點L，使L向點K方面運動，則所截割出的橢圓更傾斜變長變大，當梯形所在平面和平面JBD平行時，截線成為拋物線，如圖7-26。 圖7-26繼續讓點L向點K方面運動，則等腰梯形所在平面和圓錐面的截線將成為雙曲線。這時可將母線JQ（文件中的32號對象）屬性中的類型轉換為直線或射線，如圖7-2

39、7。 圖7-27對上述文件中的圖形有了初步的了解后，現在可以進而掌握構圖的操作方法了。下面列出的步驟和文件中完全一致。1. 作圓錐的底面和軸線(1)作自由點A；自A作Y軸的垂線段AB, B為垂足。取AB中點C（圓錐底面中心，編號為8）；再取自由點D；(2)在X軸上取點E（編號10）；以E為心過O作圓（編號11）；過E作X軸的垂線和圓交于F（編號12）；(3) 連接線段BD、DA，分別作DA、BD的中點H、I（編號為16,17）；(4) 使用把三角形OEF變為三角形ICH的仿射變換，對編號為11的圓作變換，得到以C為心的橢圓，編號為18，即圓錐底面。這一步操作要用仿射變換文本作圖命令：Affin

40、eTriangle(11, 1, 10, 12, 17, 8, 16, );其中的7個參數，第一個是被變換的對象（圓）的編號，其次是三角形OEF的頂點號，然后是三角形ICH的頂點號； （5）自點C作AB的垂線CJ，J是圓錐的頂點；連線段JA、JB、JD； (6) 作點K使ADBK是平行四邊形；連線段KJ、KA、BK；2. 作截割平面和截線 （7）在BK上作點L，在JK上作點M，連線段ML； （8）在橢圓上取點Q（編號31），連線段QJ（編號32）； （9）連線段LB，過L作BD的平行線，交直線AD于N； （10）連線段LN，過M作BD的平行線，交直線AJ于P； （11）連線段MP、PN、DN；

41、 （12）過Q作AD的平行線，交LN于T，交AK于U；連QT、QU； （13）連JU，交MP于V； （14）連TV，交JQ于W（編號47）； （15）用文本作圖命令，作點W的軌跡，即截線（編號48）： Locus(31, , , , , ,47 ); （16）用文本作圖命令，作線段QJ的軌跡，即用來渲染圓錐的線條：Locus(31, , , , , ,32 );3. 修飾和截面的填充(17)用文本命令，自圓錐頂點J（編號19）向底面橢圓（編號18）作兩切線： Tangent(19,18 , 0, );Tangent(19,18 , 1, ); （18）作出上述兩切線與橢圓的切點X、Y； （19

42、）隱藏兩切線，連接線段JX、YJ； （20）順次選擇N、L、M、P四點，執行右鍵菜單中“多邊形”命令，作出多邊形NLMP(編號56)；在多邊性屬性中不選擇填充； （21）用文本命令，作出多邊形NLMP與截線（編號48）區域的差（編號57）：RegionDiff(56,48, );對此區域和截線區域分別用不同的顏色填充，并使用“增加透明”圖標，把填充的顏色調整為半透明狀態；（22）用文本命令，作出可變換文本的標題： TransformText(圓錐的截線);在上面的操作中，步驟（21）用到了作出兩區域的差的文本作圖命令。類似的文本命令一共有4個，分別可以作出兩區域的和、交、差以及與和： Regi

43、onOr( m, n , );RegionAnd(m, n , );RegionDiff(m, n , );RegionXor(m, n, ); 其中參數m和n是兩個可填充的對象的編號。這是幾個很有用的文本作圖命令。 在上述文件中，截割平面沒有圓錐的一部份截掉。用適當的填充技巧，可以作出將圓錐的一部份截掉的效果，見配套資源中文件“7-7圓錐的截面.zjz”，如圖7-28，7-29，7-30所示。有興趣的讀者，可以仔細分析該文件的作圖過程，作為習題，自己動手模仿制作。 圖7-28 圖7-29 圖7-30 在完成下列習題時，可能遇到這樣的困難：在文件“7-7圓錐的截面.zjz”的對象工作區里列出的不少對象沒有名字。這時，你可以用右鍵單擊該對象的所在行，打開對象的屬性表， 在“文本”欄里給對象添上名字，問題就解決了。習題7-6 參看文件“7-7圓錐的截面.zjz”的第1頁（如圖7-28），制作圓錐的橢圓形截面的直觀圖。習題7-7 參看文件“7-7圓錐的截面.zjz”的第2頁（如圖7-29），制作圓錐的拋物線形截面的直觀圖。習題7-8 參看文件“7-7圓錐的截面.zjz”的第3頁（如圖7-30），制作圓錐的雙曲線形截面的直觀圖。5一些有用的立體幾何素材在教學中要用到的立體幾何動態圖形，如果都用超級畫板來制作，