1、練習(xí)1、設(shè)列車(chē)停車(chē)位置控制系統(tǒng)如下，其中參數(shù)k11,k21000，k3=0.001,a0.1,b=0.1，試證明當(dāng)放大器增益Ka為任何正值時(shí)，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的KaK2K3/s2C(s)as2bsk1R(s)至停點(diǎn)距離放大器剎車(chē)系統(tǒng)列車(chē)實(shí)際位置加速度計(jì)測(cè)速計(jì)位置測(cè)量裝置2、設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為) 12)(1() 1()(sTsssKsG要求系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)穩(wěn)定，試確定K和T的范圍系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為2Ts3+(2+T)s2+(1+K)s+K=0勞斯表： s3 2T 1+k s2 2+T K S1 1-K(T-2)/(T+2) s0 K系統(tǒng)穩(wěn)定則第一列均大于0T0,2+T0, 1-K(T-2)/(

2、T+2) ,K0所以：T0，0K k=100; z=-4; p=1 2 4; r=roots(p)r = -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i p=0 -1 -10 -1+1.732i -1-1.732i; num den=zp2tf(z,p,k)； w=logspace(-1,1,100); mag,phase,w=bode(num,den,w); semilogx(w,20*log10(mag),grid頻率特性的概念頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個(gè)給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變幅值不變頻率頻

3、率不斷增大不斷增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲線如下曲線如下:結(jié)論：結(jié)論：給給穩(wěn)定穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入是與輸入同頻率同頻率的正弦，幅值隨的正弦，幅值隨而而變變，相角，相角也是也是的函數(shù)。的函數(shù)。40不不例題：繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線解：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)30s)(5 . 0s ( s)2s (300) s (H) s (G) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 低頻段：S405 . 0 時(shí)為38db轉(zhuǎn)折頻率：0.5 2 30斜率： -40 -20 -401 . 0 時(shí)為52

4、db繪制繪制L()曲線例題曲線例題0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()返回-20-40-20-40) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 低頻段：S405 . 0 時(shí)為38db轉(zhuǎn)折頻率：0.5 2 30斜率： -40 -20 -401 . 0 時(shí)為52db L()曲線曲線返回說(shuō)明: r(t)=(t), C( )=0所以,系統(tǒng)穩(wěn)定 時(shí)域穩(wěn)定曲線返回說(shuō)明: r(t)=(t), C( )=所以,系統(tǒng)不穩(wěn)定 時(shí)域不穩(wěn)定曲線返回對(duì)數(shù)坐標(biāo)系返回倒置的坐標(biāo)系0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40

5、dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(返回積分環(huán)節(jié)L()0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20ssG)(ssG2)(ssG1 . 0)(返回微分環(huán)節(jié)L() 4.3極坐標(biāo)圖(Polar plot)，幅相頻率特性曲線，奈奎斯特曲線)(jG可用幅值)(jG和相角)(的向量表示。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率由零變化到無(wú)窮大時(shí)，向量)(jG的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。在極坐標(biāo)圖上，正/負(fù)相角是從正實(shí)軸開(kāi)始，以逆時(shí)針/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)來(lái)定義的 -3-2-10123-5-4-3-2-1012Real AxisImag

6、 Axis極坐標(biāo)圖)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0但它不能清楚地表明開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)因子對(duì)系統(tǒng)的具體影響 采用極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)特性。4.3.1積分與微分因子11)(jjjG所以jjG1)(的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。jjG)(的極坐標(biāo)圖是正虛軸。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50積分因子極坐標(biāo)圖90190jjG)(0Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-1012

7、300.511.522.533.544.55微分因子極坐標(biāo)圖04.3.2一階因子TjjG11)(01)0( jG 4521)1(TjGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1.5-1-0.500.511.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50一階因子jjG11)(極坐標(biāo)圖TarctgT2)(1101800)( jGT1)(jGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-1012300.511.522.533.544.55一階因子jjG1)(極坐標(biāo)圖4.3.3二階因子0,)()(211)(2nnjjjG01)0(

8、 jG1800)( jG)(jG的高頻部分與負(fù)實(shí)軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比有關(guān)，但對(duì)于欠阻尼和過(guò)阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10n0二階因子極坐標(biāo)圖對(duì)于欠阻尼n時(shí)21)(jjGn相角90)(jG的軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率，就是無(wú)阻尼自然頻率n極坐標(biāo)圖上，距原點(diǎn)最遠(yuǎn)的頻率點(diǎn)，相應(yīng)于諧振頻率r這時(shí))(jG可以用諧振頻率r處的向量幅值，與0處向量幅值之比來(lái)確定。當(dāng)Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4

9、-3-2-10n0的峰值過(guò)阻尼情況增加到遠(yuǎn)大于1時(shí)，)(jG的軌跡趣近于半圓。這是因?yàn)閷?duì)于強(qiáng)阻尼系統(tǒng)，特征方程的根為實(shí)根，并且其中一個(gè)根遠(yuǎn)小于另一個(gè)根。對(duì)于足夠大的值， 比較大的一個(gè)根對(duì)系統(tǒng)影響很小，因此系統(tǒng)的特征與一階系統(tǒng)相似。 當(dāng)Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-101 . 0Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 0Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101

10、23-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 0Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 . 0Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-102 . 01 . 03 . 04 . 02對(duì)于2)()(21)(nnjjjG )2()1 (22nnj極坐標(biāo)圖的低頻部分為：01)0( jG極坐標(biāo)圖的高頻部分為：180)( jGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-

11、3-2-101230123456二階因子2)()(21nnjj極坐標(biāo)圖Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-101230123456 二階因子2)()(21nnjj極坐標(biāo)圖例 考慮下列二階傳遞函數(shù)：) 1(1)(TsssG試畫(huà)出這個(gè)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。解：)1 (1)(TjjjGTarctgTTjjjG90)(11)1 (1)(2極坐標(biāo)圖的低頻部分為：90)0( jG 極坐標(biāo)圖的高頻部分為：1800)( jGNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-3-2-10123-6-5-4-3-2-10)1 (1Tjj極

12、坐標(biāo)圖4.3.4 傳遞延遲ReIm010TjejG)(TjTjGsincos1)(ReIm0Tj11Tje低頻區(qū)當(dāng)T1時(shí)，TjeTj1TjTj111當(dāng)T1兩者存在本質(zhì)的差別低頻時(shí)傳遞延遲與一階環(huán)節(jié)的特性相似 時(shí)4.4對(duì)數(shù)幅-相圖(Nichols Chart)尼柯?tīng)査箞DNichols ChartOpen-Loop Phase (deg)Open-Loop Gain (dB)-180-135-90-450-50-40-30-20-1001020二階因子對(duì)數(shù)幅-相圖4.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion)C(s)R(s)G(s)H(s)閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為)

13、()(1)()()(sGsHsGsRsC為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程0)()(1sGsH的全部根，都必須位于左半s平面。)()(sGsH的極點(diǎn)和零點(diǎn)可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 雖然開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)充要條件奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng))()(jGjH與)()(1sGsH在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的判據(jù)。這種方法無(wú)須求出閉環(huán)極點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。 由解析的方法和實(shí)驗(yàn)的方法得到的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線，均可用來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形影射基礎(chǔ)上的 假設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù))()(sGsH可以表示成s的多項(xiàng)式之比。

14、對(duì)于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的階數(shù)必須大于或等于分子多項(xiàng)式的階數(shù)，這表明，當(dāng)s趨于無(wú)窮大時(shí)，任何物理上可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的)()(sGsH的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。 4.5.1 預(yù)備知識(shí)0)()(1)(sGsHsF可以證明，對(duì)于S平面上給定的一條不通過(guò)任何奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線，在)(sF平面上必存在一條封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。)(sF平面上的原點(diǎn)被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)。例如考慮下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：)2)(1(6)()(sssGsH其特征方程為：)2)(1(61)()(1)(sssGsHsF0)2)(1()

15、4 . 25 . 1)(4 . 25 . 1(ssjsjs函數(shù))(sF在s平面內(nèi)除了奇點(diǎn)外處處解析。對(duì)于s平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，)(sF平面上必有一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)21js，則)(sF為：577. 0115. 1)23)(22(61)21 (jjjjF這樣，對(duì)于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過(guò)任何奇點(diǎn)，在)(sF平面上就必有一個(gè)封閉曲線與之對(duì)應(yīng)。例如-101234-1-0.500.511.52-4-3-2-10100.20.40.60.811.21.41.61.82A B CDA1 B1 C1D1ImRej平面s平面)(sF s平面上的圖形在 平面上的變換)(sF上半s平面內(nèi)的直線1 , 3

16、和2在)(sF平面上的變換 -3-2-101-2-1.5-1-0.500.511.52-101234-2-1.5-1-0.500.511.52A B C D E F A B C D E F1 A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 ImRej平面s平面)(sF00當(dāng)s平面上的圖形包圍兩個(gè))(sF的極點(diǎn)時(shí)，)(sF的軌跡將反時(shí)針?lè)磿r(shí)針?lè)较虬鼑?(sF平面上原點(diǎn)兩次 -3-2-101-3-2-1012301234-2-1.5-1-0.500.511.52AABFEDCA1B1F1E1D1C1Rej平面s平面)(sFIm當(dāng)s平面上的圖形包圍)(sF的兩個(gè)極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，)(sF的軌跡將

17、不包圍原點(diǎn) 相應(yīng)的ImRej平面s平面)(sF00如果這個(gè)曲線只包圍一個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)的)(sF的軌跡將順時(shí)針順時(shí)針包圍原點(diǎn)一次， 封閉曲線既不包圍零點(diǎn)又不包圍極點(diǎn)，)(sF的軌跡將永遠(yuǎn)不會(huì)包圍)(sF平面上的原點(diǎn) 如果在s平面上曲線包圍k個(gè)零點(diǎn)和k個(gè)極點(diǎn)(k=0,1,2)，)(sF相應(yīng)的封閉曲線不包圍)(sF上述討論是影射定理的圖解說(shuō)明。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是建立在影射定理的基礎(chǔ)上。 即包圍的零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同，則在平面上，平面上的原點(diǎn)。4.5.2影射定理設(shè))(sF為兩個(gè)s的多項(xiàng)式之比，并設(shè)P為)(sF的極點(diǎn)數(shù)，Z為)(sF的零點(diǎn)數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi)，)(sF的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)。于是

18、，s平面上的這一封閉曲線影射到)(sF平面上，也是一條封閉曲線。當(dāng)變量s順時(shí)針通過(guò)封閉曲線時(shí))(sF平面上，相應(yīng)的軌跡順時(shí)針包圍)(sF原點(diǎn)的總次數(shù)R等于Z-P。且有多重極點(diǎn)和多重零點(diǎn)的情況。設(shè)上述封閉曲線不通過(guò)在若R為正數(shù)，表示)(sF的零點(diǎn)數(shù)超過(guò)了極點(diǎn)數(shù)；)(sF的極點(diǎn)數(shù)超過(guò)了零點(diǎn)數(shù)。)()(sGsH很容易確定)()(1)(sGsHsF的P數(shù)。因此，如果，)(sF的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)若R為負(fù)數(shù)，表示在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由很容易確定。 )()()()(sAsBsGsH)()()()()(1)(sAsBsAsGsHsF兩者的極點(diǎn)數(shù)相同4.5.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

19、分析中的應(yīng)用為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個(gè)右半s平面。這時(shí)的封閉曲線由整個(gè)j軸(從到該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?。因?yàn)槟慰固剀壽E包圍了整個(gè)右半s平面，所以它包圍了)和右半s平面上半徑為無(wú)窮大的半圓軌跡構(gòu)成)()(1sGsH的所有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn)。)()(1sGsH則不存在閉環(huán)極點(diǎn)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果在右半s平面不存在零點(diǎn)，平面sj0 s平面內(nèi)的封閉曲線ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH軌跡對(duì)-1+j0點(diǎn)的包圍奈奎斯特穩(wěn)

20、定判據(jù) 1)如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 不包括（1,j0)點(diǎn)。 2）如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時(shí)針?lè)较驀@（1,j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。)()(jHjG)()(jHjG這一判據(jù)可表示為：PRZZ函數(shù))()(1)(sGsHsF在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)R對(duì)-1+j0點(diǎn)順時(shí)針包圍的次數(shù)P函數(shù))()(sGsH如果P不等于零，對(duì)于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須0Z或PR，這意味著必須反時(shí)針?lè)较虬鼑?1+j0點(diǎn)P次。4.5.5關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明式中在右半s平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)如果函數(shù))()(sGsH在右半s平面內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)

21、，則RZ 因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，)()(jHjG的軌跡必須不包圍-1+j0點(diǎn)。如果在s平面內(nèi)，奈奎斯特軌跡包含)()(1sGsH和P個(gè)極點(diǎn)，并且當(dāng)s變量順時(shí)針沿奈奎斯特軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，不)()(1sGsH通過(guò)的任何極點(diǎn)或零點(diǎn)，則在)()(sGsH平面上相對(duì)應(yīng)的曲線將沿順時(shí)針?lè)较虬鼑?1j點(diǎn)PZR次（負(fù)R值表示反時(shí)針包圍01j點(diǎn)）。4.6穩(wěn)定性分析的Z個(gè)零點(diǎn)a)不包圍-1+j0如果這時(shí))()(sGsH在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。點(diǎn)。如果反時(shí)針?lè)较虬鼑拇螖?shù)，等于)()(sGsH在右半s平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)數(shù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。點(diǎn)。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 c

22、)順時(shí)針包圍-1+j0b)反時(shí)針包圍-1+j0例 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1)(1()()(21sTsTKsGsH)()(jGjH的軌跡如圖所示。)()(sGsH在右半s平面內(nèi)沒(méi)有任何極點(diǎn)，并且)()(jGjH的軌跡不包圍01j，所以對(duì)于任何的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6上 例中的)()(jGjH極坐標(biāo)圖 例 設(shè)系統(tǒng)具有下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：) 1)(1()()(21sTsTsKsGsH試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益