1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)： 若若,0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂收斂部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收斂收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列nSnS有界有界, 故故nS1nnu從而從而又已知又已知故有界故有界.則稱則稱為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”第二節(jié)第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別定理定理2 (比較判別法比較判別法)設(shè)設(shè),1nnu1nnv且且 對(duì)一切對(duì)一切,Nn有有(1) 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnv則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nnu(2) 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu則級(jí)數(shù)則

2、級(jí)數(shù)1nnv和令nSn則有則有收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .分別表示分別表示 和和 的部分和的部分和, 則有則有nnvu 是兩個(gè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,1nnu1nnv(1) 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnv則有則有nn lim因此對(duì)一切因此對(duì)一切,Nn有有nS由定理由定理 1 可知可知,1nnu則有則有(2) 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu,limnnS因此因此,limnn這說(shuō)明級(jí)數(shù)這說(shuō)明級(jí)數(shù)1nnv也發(fā)散也發(fā)散 .nSn也收斂也收斂 .發(fā)散發(fā)散, ,收斂收斂,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例1. 討論討論 p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)pppn131211(常數(shù)常數(shù) p 0)的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若, 1

3、p因?yàn)閷?duì)一切因?yàn)閷?duì)一切,Nn而調(diào)和級(jí)數(shù)而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn1, 1p因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 .時(shí)時(shí),1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散發(fā)散 .證證: 因?yàn)橐驗(yàn)?) 1(

4、1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)111nn21kk發(fā)散發(fā)散根據(jù)比較判別法可知根據(jù)比較判別法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .例例2.2.定理定理3. (比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng)當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng)當(dāng) l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)散nnu設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足滿足(1) 當(dāng)當(dāng) 0 l 時(shí)時(shí),的斂散性的斂散性. nnn1lim例例3. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)11sinnn的斂散性的斂散性 .解解: nlim s

5、in1nn11根據(jù)比較判別法的極限形式知根據(jù)比較判別法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較判別法的極限形式知根據(jù)比較判別法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn定理定理4 . 比值判別法比值判別法 ( Dalembert 判別法判別法)設(shè)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且,lim1nnnuu則則(1) 當(dāng)當(dāng)1(2) 當(dāng)當(dāng)1時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 ;或或時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 . limn例例5. 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù))0(11xxnnn的斂散性的斂散性 .解解: nn

6、nuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理根據(jù)定理4可知可知:,10時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 ;,1時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級(jí)數(shù)nn,1時(shí)當(dāng) x定理定理5. 根值判別法根值判別法 ( Cauchy判別法判別法)設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí)為正項(xiàng)級(jí),limnnnu則則;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) .,1)2(級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng) 數(shù)數(shù), 且且正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法的優(yōu)先使用順序：正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法的優(yōu)先使用順序：2、比值或根值判別法、比值或根值判別法3、比較判別法的極限形式、比較判別法的極限形式4、比較判別法、比較判別法5、部分和數(shù)列是否有界、部分和數(shù)列是否有界1、先看一般項(xiàng)是否趨向于、先看一般項(xiàng)是否趨向

7、于0一一 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其判別法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其判別法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)nnuuuu1321) 1( 稱為稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂收斂 , 且其和且其和 .1uS ,2, 1,0nun設(shè)第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別收斂收斂收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用用Leibnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)

8、的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu若若若原級(jí)數(shù)收斂若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原則稱原級(jí)級(jí)111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nn

9、nn1nnu收斂收斂 ,1nnu數(shù)數(shù)1nnu為條件收斂為條件收斂 .均為絕對(duì)收斂均為絕對(duì)收斂.例如例如 ：絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)則稱原級(jí)數(shù)數(shù)條件收斂條件收斂 .定理定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .證證: 設(shè)設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較判別法根據(jù)比較判別法顯然顯然,0nv1nnv收斂收斂,收斂收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂也收斂)(21nnuu 且且nv,nu收斂收斂 , 令令例例1 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而而141nn

10、收斂收斂 ,14sinnnn收斂收斂因此因此14sinnnn絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對(duì)收斂.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法必要條件必要條件0limnnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值判別法比值判別法 limn1nunu根值判別法根值判別法nnnulim1收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1不定不定 比較判別法比較判別法用它法判用它法判別別部分和

11、極限部分和極限13. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法判別法:01nnuu0limnnu則交錯(cuò)級(jí)數(shù)則交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂收斂概念概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂條件收斂1nnu稱注：注：一般的，一般的，1nnu發(fā)散時(shí)，發(fā)散時(shí)，不一定發(fā)散，不一定發(fā)散，根據(jù)比值判別法判定根據(jù)比值判別法判定 發(fā)散發(fā)散,則則 1nnu一定發(fā)散。一定發(fā)散。1nnu1nnu但是，如果但是，如果判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性步驟：判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性步驟：1、先看一般項(xiàng)是否趨于、先看一般項(xiàng)是否趨于0；2、看其是否絕對(duì)收斂；、看其是否絕對(duì)收斂；3、是否條件收斂；、是否條件收斂；（若不絕對(duì)收斂（若不絕對(duì)收斂,且用比值判別法得到且用比值判別法得到,則原級(jí)數(shù)發(fā)散）則原級(jí)數(shù)發(fā)散）（交錯(cuò)級(jí)數(shù)，用萊布尼茲判別法）（交錯(cuò)