1、度量空間摘要：度量空間是一類特殊的拓撲空間,并且它是理解拓撲空間的一個重要過程.因此,本文通過度量空間的根本概念,力圖給出度量空間的一些重要性質.并且引入一些度量空間的其它性質.關鍵詞：度量空間導集閉集正文：度量空間是現代數學中一種根本的、重要的、最接近于歐幾里得空間的抽象空間.19世紀末葉,德國數學家G.康托爾創立了集合論,為各種抽象空間的建立奠定了根底.20世紀初期,法國數學家M.-R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來,都涉及函數間的距離關系,從而抽象出度量空間的概念.1.度量空間的定義度量空間是一類特殊的拓撲空間,它對于拓撲空間的理解起著非常重要的作用.因此,研究度量空間的一

2、些性質是必要的.為了證實這些性質,首先介紹以下定義.定義1.1設X是一個集合,假設對于X中任意兩個元素x,y都有唯一確定的實數p(x,y)與之對應,而且這一對應關系滿足以下條件：(1)正定性p(x,y)之0,并且p(x,y)=0當且僅當x=y；(2)對稱性p(x,y)=px,y);(3)三角不等式p(x,zAp(x,y)+p(y,z)那么稱p是集合X的一個度量,同時將(X,p豚為度量空間或距離空間.X中的元素稱為點,條件(3)稱為三點不等式.定義1.2設(X,p混一個度量空間,xwX.對于任意給定的實數名A0,集合yWXp(x,y)<記作B(x,一稱為一個以x為中央,以名為半徑的球形鄰域

3、,簡稱為x的一個球形鄰域2度量空間的一些例子例2.1離散的度量空間設X是任意的非空集合,對X中的任意兩點x,ywX,令d(x,y)=qfl當x-二y當x=y容易驗證dx,y劑足關于距離的定義中的條件.我們稱X,d為離散的度量空問.由此可見,在任何非空集合上總可以定義距離.使它成為度量空間.例2.2序列空間S令S表示實數列或復數列的全體,對S中任意兩點x=m寶,時,及y=P產2,Jn,令2i1；i-i易知dx,y泄足距離條件d(x,y)之0,d(x,y)=0的充要條件為x=y.(2.1)下驗證dx,y腳足距離條件d(x,y)d(x,z)+d(y,z)對任意z都成立.(2.2)為此我們首先證實對任

4、意兩個復數a和b,成立不等式a+b<a+Jbj1+|a+b|1+|a|1+|b|事實上,考察0產上的函數由于在0產止,f't=1o>0.所以ft在b,g上單調增加,由不等式1ta+bWa+b|,我們得到a+b1-.-|ab<1+|a|+|ba上引1+|a|+|b|1+同+|b;二ab1+|a|1+|b令z=(.,g,二,),a=«£,b=.一,那么a+b=-,代入上面不等式,行£.11.£._11.IJiJii<+.1+|易一"i1+18,-111+|-i-ni|由此立即可知d(x,y泗足距離條件(2.2),即S

5、按d(x,y)或一度量空間.例2.3有界函數空間B(A)設A是一給定的集合,令B(A底示A上的有界實值(或復值)函數全體,對B(A)中任意兩點x,y,定義dx,y=supxt-yt.teA下面驗證d(x,y)滿足條件(2.1)和(2.2).d(x,y)顯然是非負的.又d(x,y)=0等價于對一切twA,成立x(t)=y(t),所以x=y,即d(x,y并兩足(2.1),止匕外,對所有的twA成立xt-yt_xt-zth-|zt-yt_supxt-ztsupzt-yt.t.AtzA所以supx(t)-y(tj<supx(t)-z(t)十supz(ty(t).t三At三At三A即d(x,y閘足

6、條件(2.2).特別地,當A=hb】時,記B(A)為Bb.bl例2.4可測函數空間M(X)設M(X)為X上的實值(或復值)的Lebesgue可測函數全體,m為Lebesgue測度,假設m(X)<8,對任意兩個可測函數f(t)及g(t),由于f(t)-g(t)1+f(t)g(t)：二1所以這是X上的可積函數,令d(f,g)=Lf(t)-g(t)_dtX1+f(t)-g(t)ab1-|a1b如果把M(X)中的兩個幾乎處處相等的函數視為M(X)中的同一個元,那么利用,正-a+b|不等式_L1ab及積分性質很容易驗證d(f,g)是距離.因此M(X)按上述距離d(f,g)成為度量間.例2.5Cb,

7、bl空間令Ca,b1表示閉區間b,bl上的實值(或復值)連續函數全體,對Cb,bl中任意兩點x,y,定義d(x,y)=maxx(t)-y(t)容易驗證它滿足距離條件(2.1)和(2.2).例2.6l2記l2=/x=Qx2<0°l.設x=Lkl2,y=yjwl2定義,k工,1二2ad(x,y)='、(yk-xk).,k4那么d是l2的距離.距離條件(2.1)是容易得出的,現檢驗條件(2.2).對任何正整數n,x(n)=(xi,xn)和y(n)=(y1,yn)都R中的元素,由Cauchy不等式£xkYk££x：、kT)kT再令右端nt8,即得Z

8、xkyk|WZxk<k=1kk=i再令左端的nt笛,即得,oc工XkYk<kJ2-1oO2二'X2kJoO.2-、yk:二二k1由此可得2、(Xkyk)-Xkcd2XXkykk4cO'y；k1二二1二二m、x2-20x2y2)2-、y2k=1kz4k=4k=4£Xk+£yk)1k4)j令取x=<4=*,=<.以Xk='-4,yk"k-,k代入上式,即可得的三點不等式d(,)<d(,)d(,)由上述例子可見,度量空間除了有限維的歐幾里德空間Rn之外,還包括其他的空間.3度量空間的一些簡單性質定理3.1設(X,p促

9、一個度量空間,那么拓撲空間X是一個離散空間當且僅當p是一個離散的度量.證充分性假設p是一個離散的度量,那么對于任意的X-X,存在實數6x>0,使得對于任意的ywX,y#X,有p(X,y)>6X.于是x的球形鄰域B(x,6x)=x,所以,&為開集.由x的任意性以及開集的性質,故X為離散空間.必要性假設X為離散空間,那么對于任意的xwX,單點集&為開集,于是存在x的球形鄰域B(x,&)=x,令Sx=:,那么對于任意的yWX并且y#x,有p(x,y)>dx,所以,P為離散的度量.定理3.2度量空間的每一個子集的導集都是閉集.證設(X,P)為一個度量空間,A是

10、X的任意一個子集.欲證A的導集d(A)為閉集,只需證ddAdA.如果d(d(A)=%顯然d(d(A)戶d(A).如果d(d(A)#%由于d(d(A)戶AUd(A),所以對于任意xwd(d(A),有xeA或xwd(A).假設xwA,那么對于x的任意一個球形鄰域B(x,名),有Bx,；dA-"二.于是,對于任意的yBx,；dA-lx),那么y#x,取、=min*px,y,-px,y:那么By,Bx,；,并且By,6iA-ly；k*=又由于B(y,3P(Ay)B(y(A仁B(x.(A&),所以b(x,®)n(A-x)#*,因此綜上,對于任意xwd(d(A),有xwd(A)

11、.所以,d(d(A)戶d(A)定理3.3度量空間中的每一個單點集都是閉集.證(X,P訥一個度量空間,xwX,對于任意ywX,y=x,令名=見羅,于是名下0,并且B(y,8&=©,所以,y僅,于是“=僅,因此,單點集黑為閉集.由x的任意性,度量空間X中的每一個單點集都是閉集.定理3.4X是一個度量空間,如果X有一個基只含有有限個元素,那么X必為只含有有限多個點的離散空間.證假設X是無限集.由于X是一個度量空間,由定理3.1可知,X中的每一個單點集都是閉集,于是,對于任意xwX,集合X-x都是開集.因此,拓撲空間X中有無窮多個不同的開集.又由X有一個基只含有有限個元素,它們中的任

12、意多個元素之并只能組成有限個開集,所以X中的開集只有有限個,這與上述矛盾！因此假設錯誤,X只能是有限集.最后,由于含有有限多個點的度量空間都是離散的度量空間,故由定理1可知,X是一個離散空間.定理3.5度量空間X中的任何一個收斂序列都只有惟一的極限.證設(X,P誕一個度量空間,?匕十是X中的一個收斂序列.假假設序列X電不少有兩個極限x和y.由于y=x,那么p(x,y)A0.設；=px,y0,于是對于x的球形鄰域B(x,&),存在MiCZ+,使得當iaMi時,有xiwB(x,名);對于y的球形鄰域B(y,8),存在M2CZ+,使得當jaM2時,有x產B(y,w).那么一方面B(x,B(y

13、,£)=®.(3.1)另一方面,令M=maxM1,M2,于是當i>M時,有xiwB(x,w)nB(y,W),這與(3.1)式矛盾！所以假設錯誤.因此,度量空間X只有一個極限.定理3.6設X是一個度量空間,AcX,xcX有一個序列為*在X&中并且U斂于x當且當x是集合X的一個凝聚點.證必要性設序列小乜+在X-板中并且斂于x.如果U是x的一個鄰域,那么存在MwZ+使xM1,xM2,一U,因此xM1,xM2,UA-'X),從而UA-ix)=.所以x是A的一個凝聚點.充分性如果x是A的一個凝聚點,那么對于x任意一個或形鄰域B(x,z)有Bx,；A-X二,于是對

14、于任給的正實數名有亍0,其中iwZ卡.并且Bx,：門(A-&)#4.<2i)所以對于每一個iZ+,任取xiwBx,A-'：x)=,那么序列xjiz.Ax,中并且收斂于x.4度量空間的緊致性和完備性4.1度量空間的緊致性定義4.1.1設A是度量空間(X,p)中的一個非空子集.集合A的直徑如果A是有界的如果A是有界的diam(A淀義為diam(A)=>UpP(X,y)X,yA定義4.1.2設(X,p顯一個度量空間,A是X的一個開覆蓋.實數兒：>0成為開覆蓋A的一個Lebesgue數,如果對于X中的任何一個子集A,只要diam(A)<九,那么A包含于開覆蓋A的

15、某一個元素之中.Lebesgue數不一定存在.例如考慮實數空間重的開覆蓋(-«,1)U?(n-,n+1+1)nwZ+>lnn,那么任何一個實數都不是它的Lebesgue數.定理4.1.1(Lebesgue數定理)序列緊致的度量空間的每一個開覆蓋有個Lebesgue數.證設X是一個序列緊致的度量空間,A是X的一個開覆蓋.假假設開覆蓋A1一沒有Lebesgue數,那么對于任何iwZ+,實數-不是A的Lebesgue數,所以X有一i1個子集Ei使彳Sdiam(Ei)<并且Ei不包含于A的任何兀素之中.i在每一個Ei之中任意選取一個點X,由于X是一個序列緊致空間,所以序列Xi,X

16、2,有一個收斂的子序列Xn0,XN1,設這個子序列收斂于ywX.由于A是X的一個開覆蓋,故存在AwA使得y亡X,并且存在實數&>0使得球形鄰域B(y,w/A.由于序列XN0,XN1,收斂于y,所以存在整數M>0使得當>M時2XNiuB(y,).令k為任意一個整數,使得k>M+公,那么對于任何z-ENk有：(z,y)<：(z,XnJ：(xNk,y)：二；這證實ENkBy,；AA與ENk的選取矛盾.定理4.1.2每一個序列緊致列緊致的度量空間都是緊致空間證設X是一個序列緊致的度量空間,A是X的一個開覆蓋.根據Lebesgue數定理,X的開覆蓋A有一個Lebes

17、gue數,設為九下0.,它是X的開覆蓋,我們先來證實B有一個有限覆蓋假設B沒有有限覆蓋,任意選取一點XiwX,對于i>1,假定點Xi,X2,x已經取定,由于BXi二IB%二,Bx二!不是X的覆蓋,選取xwx使得3八3)<3力Xi正Jj；BXj,根據歸納原那么,序列Xi,X2已經取定,易見對于任意j3Ji,jWZ+,i#j,有P(Xi,Xj巨土,序列Xi,X2,沒有任何收斂的子序列,(由于3任彳ywX的球形鄰域By,-j中最多只能包含這個序列中的一個點.)這與X是<6J序列緊致空間相矛盾.r(九、(九現在設BBXi,BX2,.,BXn,I是開覆蓋B的一個有限子覆蓋.由L13八3

18、)13力于其中每一個元素的直徑都小于九,所以對于每一個i=i,2,n存在A亡A似f,、的BXj,I匚A.于是,1A,A2,.An是A的一個子覆蓋.<3；定理4.i.3設X是一個度量空間,那么以下條件等價(1) X是一個緊致空間；(2) X是一個列緊空間；(3) X是一個序列緊致空間；(4) X是一個可數緊致空間.4.2度量空間的完備性定理4.2.1設X,P班一個度量空間.那么X,P是緊致的當且僅當X,P是一個完全有界的完備度量空間.證設度量空間X,P顯緊致的.任意給定實數8>0,由球形鄰域構成的集族Bx,wjxwX是X的開覆蓋,它有一個有限子覆蓋,設為IteXi,£X2,

19、名,BXn®上易見有限集合&1,X2,Xn是X的一個Z網.這證實X是完全有界的.為證實X,P屈完備的,設序列Gn%以+是X中的一個Cauchy序列.由于緊致的度量空間是序列緊致的,所以序列Xnnez+有一個收斂的子序列,設這個子序列收斂于X這時序列國門,三+也必收斂于X.這證實X中的每一個Cauchy序列都收斂.另一方面,設X,P屆一個完全有界白完備度量空間.為證實X是緊致的.只需證實它是序列緊致的.由于X是一個完備度量空間,這又只要證實X中的每一個序列有一個子序列是Cauchy序列.設&n>ne+是X中的一個序列.我們按歸納方式對于每一個iWZ+定義一個序列%=媼+如下：首先,令%=XnLz+.其次對于i>1,假定內已經定義設Q,Z2,Zm是X的一個2<卻網,因此