1、極值點偏移問題一、問題指引f(2mx),那么函數f(x)關于直線xm對極值點偏移的含義眾所周知,函數f(x)滿足定義域內任意自變量x都有f(x)稱；可以理解為函數f(x)在對稱軸兩側,函數值變化快慢相同,且假設f(x)為單峰函數,那么xm必為f(x)的極值點.如二次函數f(x)的頂點就是極值點x0,假設f(x)c的兩根的中點為人心2x0,即極值點在兩根的正中間,也就是極值點沒有偏移.2假設相等變為不等,那么為極值點偏移：假設單峰函數f(x)的極值點為m,且函數f(x)滿足定義域內xm左側的任意自變量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx),那么函數f(x)極值點m左右側變化快慢不同.故

2、單峰函數f(x)定義域內任意不同的實數x1,x2滿足f(x1)f(x2),那么x1x2與極值點m必有確定2的大小關系：什xix2,八4xi義2一一.,八右m,那么稱為極值點左偏；假設m2,那么稱為極值點右偏.22葉X1例二二6如函數g(x)x的極值點xo1剛好在方程g(x)c的兩根中點色22的左邊,我們稱之為極值點左偏e22以函數函數yx為例,極值點為0,如果直線y1與它的圖像相交,交點的橫坐標為1和1,我們簡單計算:1.x假設函數fx存在兩個零點Xi,X2且XiX2,求證：XiX22x0X.為函數fx的極值點；0.也就是說極值點剛好位于兩個交點的中點處,此時我們稱極值點相對中點不偏移2 .假

3、設函數fX中存在X1,X2且X1X2滿足fX1fX2,求證：XiX22x.X.為函數fX的極值點；.,、X1x23 .假設函數fx存在兩個零點Xi,X2且XiX2,令X.,求證：f'x.0;2xiX24.假設函數fx中存在Xi,X2且XiX2滿足fXifX2,令X.,求證：fX.0.2二、方法詳解一根本解法之對稱化構造例i是這樣一個極值點偏移問題：對于函數fxxeX,fxfx2,xix2,證實xx22.再次審視解題過程,發現以下三個關鍵點：iXi,X2的范圍0x1ix2；2不等式fxf2xxi；(3)將X2代入(2)中不等式,結合fx的單調性獲證結論.小結：用對稱化構造的方法解極佳點偏

4、移問題大致分為以下三步：stepl：求導,獲得fx的單調性,極值情況,作出fx的圖像,由f%fX2得x1,X2的取值范圍(數形結合)；2step2：構造輔助函數(對結論x1x22x),構造Fxfxf2x0x；對結論x1x2比,2構造Fxfxf),求導,限定范圍(xi或x2的范圍),判定符號,獲得不等式；xstep3：代入xi(或x2),利用fxifx2及fx的單調性證實最終結論.下面給出第(3)問的不同解法【解析】法一：f(x)(1x)ex,易得f(x)在(,1)上單調遞增,在(1,)上單調遞減,x時,1f(x),f(0)0,x時,f(x)0,函數f(x)在x1處取得極大值f(1),且f(1)

5、-,e如下圖.由f(x1)f(x2),x1x2,不妨設x1x2,那么必有0x11x2,構造函數F(x)f(1x)f(1x),x(0,1,一x2x那么F(x)f(1x)f(1x)(e2x1)0,所以F(x)在x(0,1上單調遞增,F(x)F(0)0,e也即f(1x)f(1x)對x(0,1恒成立.由0x11x2,那么1x1(0,1,所以f(1(1x1)f(2x,)f(1(1x,)f(x1)f(x2),即f(2x)f(x2),又由于2x,x2(1,),且f(x)在(1,)上單調遞減,所以2x1x2,即證x1x22.法二：欲證x1x22,即證x22x1,由法一知0x11x2,故2x,x2(1,),又由

6、于f(x)在(1)上單調遞減,故只需證f(X2)f(2%),又由于f(xjf(X2),故也即證f(x)f(2X),構造函數H(x)f(x)f(2x),x(0,1),那么等價于證實H(x)0對x(0,1)恒成立.1x由H(x)f(x)f(2x)-(1e2x2)0,那么H(x)在x(0,1)上單調遞增,所以eH(x)H(1)0,即已證實H(x)0對x(0,1)恒成立,故原不等式x,x22亦成立.-xcx2Xx2法二：由f(x,)f(x2),得xex?e,化簡得e,x1不妨設x2x1,由法一知,oX1x2.令tX2X,那么t0,x2tx1,代入式,得ettx1x反解出x1,貝Ux1x22x1te12

7、t2t一t,故要證：x1x22,即證：一te1e12,又由于e10,等價于證實:2t(t2)(et1)0-,構造函數G(t)2t(t2)(et1),(t0),那么G(t)(t1)et1,G(t)tet0,故G(t)在t(0,)上單調遞增,G(t)G(0)0,從而G(t)也在t(0,)上單調遞增,G(t)G(0)0,即證式成立,也即原不等式x1x22成立.法四：由法三中式,兩邊同時取以e為底的對數,得x2x1In上Inx2Inx1,也即Inx2Inx1X2x1從而X1,、Inx2Inx1X2(X1X2)X2X1X2X2,nX2X1X1上1In,&1X1X1t(1,)上單調遞增,由洛比塔法

8、那么知:IimM(t)Iim也X1X11)Intt1Iimx1(t1)令tjX2-(t1),那么欲證：X1X22,等價于證實：-11nt2,Xt1即證M(t)2,即證式成立,也即原不等式X,x22成立.【點評】以上四種方法均是為了實現將雙變元的不等式轉化為單變元不等式,方法一、二利用構造新的函數來到達消元的目的,方法三、四那么是利用構造新的變元,將兩個舊的變元都換成新變元來表示,從而到達消元的目的.【類題展示】函數f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點x,?.證實：Xx22.【解析】由工十儀工得/口5二(工a/十如可知co在?td.D上單調遞減,在Q：上單調遞幅要使國藪有兩個零點再f,那么

9、必須白'0.法一：構造局部對稱硝卜妨設甬由單調性知X1H一雙D町2口田),所以2一巧又7FC0在170.D單調速城j故要證：甌+$<2_,等價于證實：=0又巧)+«、一目,(/):(吃一2"叼+應三一1尸=0二/Q%)=石31一(電2"%構造的敵泰力三-Y(l2)/,*«L也以由單調性可證,此處咯法二：參變別離再構造差量函數,由得：fxifx20,不難發現x11,x21,故可整理得:xi2e,1x22ex2a-,設gxX1x21x2ex,貝UgXgx2x1那么g'xx221V-e,當x1時,g'X0,gx遞減；當x1時,g&

10、#39;Xx10,gx遞增.設m0,構造代數式：g1mg1mm11m1m1mm12meee1mmm1設hmm-e2m1,m0那么h'mm122m2m2em10,故hm單調遞增,有hm因此,對于任意的m0,g1mgx可知不、x2不可能在gx的同一個單調區間上,不妨設Xx2,那么必有X1x2令m1X0,那么有g11xig2XigXigX2,而2xi1,x21,gx在1,上單調遞增,因此：g2xigX22xiX2整理得：XiX22.法三：參變別離再構造對稱函數x2ex由法二得gX廠,構造G(x)g(x)g(2x),(x(,1),利用單調性可證,此處略.x1注血7麗造增強蹣【分析說明】由于原函

11、數的不又措,故磊望構造一個關于直線宣=1對稱的函物奴只,使得當X時,時,式上"結合圖象,易證序不等式成立【解答】由6)=(兀-2)十火工一1)0Ax)=(x-1X+2),故希望構造一個函數使得尸G)+2G(工1)(察+20=31)(/助,從而F(盼在(rcj)上單調遞嚕J在a十上單調遞增,從而構造出虱哥=+警f+c(仁為任意常班儲R由于物門希望FQ)=O,而D=引故取.=三,從而到達目的.故g二色立誓-設雙X)的兩個零點為均鼻J結合圖象可知：西M的1%知所以為+均V均+%=2,即原不等式得證一法五：利用時數平均不等式參變別離得：a(2Xi耳(2乂2)/,由a0得,x11x22,(Xi

12、1)2(X21)212r,(2Xi).(2X2)將上述等式兩邊取以e為底的對數,得lnj笠Xiln-fX2,(Xi1)(X21)化簡彳導:ln(x11)從而X1X2elnX1lnX22u1U2法二：利用參數a作為媒介,換元后構造新函數:不妨設X1X2,lnx1ax10,lnx2ax20,1-lnx1lnx2a(x1x2),1nxilnx2a(x1x2),ln(x21)2ln(2x1)ln(2x2)x1x2,22_故1ln(x1D1n(X2Dln(2X1)1n(2x2)X1X2X1X2(Xi1)(X21)22ln(x11)2ln(x21)2ln(2X)ln(2x2)由對數平均不等式得:(X11)

13、2(x21)2(2Xi)(2X2)ln(Xi-1)2-ln(X2-1)2(X11)2(X21)2221(X11)2(X21)2ln(2-Xj-InQ")(2X1)(2X2)(2X1)(2X2)'從而12(x1x22)2(X1X22)等價于:由(X122(X11)(X21)(2x.(2X2)(X1221)(X21)4(X1X2)X1X224(X1X2)(X12(X1X22)11)2(X21)21X1X224(X1X2)1)22(x142)22(X11)(X21)2(X21)20,4(X1xx224(X1X2)(X1X22)22(X11)(X21)4(X1X2)X2)0,故X1X

14、22,證畢.(二)含參函數問題可考慮先消去參數【例2】函數f(x)lnxax,a為常數,假設函數f(x)有兩個零點X1,X2,.、一2試證實：X1X2e.【解析】法一：消參轉化成無參數問題:f(x)0lnxaxlnxaelnx,x,X2是方程f(x)0的兩根,也是方程lnxae1nx的兩根,那么lnx/nx?是xaex,設ulnx1,U2lnX2,g(x)xex,那么g(u1)g(u2),2,此問題等價轉化成為例1,下略.Inx1Inx22a,欲證實XX2e,即證Inx1Inx22.x1x221nxiInx2a(x1x2),.即證ax1x2八一Inx11nx22,xi2(xx2)人xx1原命題

15、等價于證實,即證：1n令t一,(t1),構造x1x2x1x2x2x1x2x2g(t)Int2t_1,t1,此問題等價轉化成為例2中思路二的解答,下略.t1法三：直接換元構造新函數：1nx11nx2xx21nt1nx11nx11nx2x2,x2,1ntx1,設x1x2,t一,(t1),貝Ux2tx1,t1nx1xx11nx11nt.反解出：1nx1,1nx2t11ntx11nt1nxi1nt1ntt1ntt1t1故x)x2e21nx11nx22t1一-1nt2,轉化成法二,下同,略t1【點評】含參數的極值點偏移問題,在原有的兩個變元X,x2的根底上,又多了一個參數,故思路很自然的就會想到：想盡一

16、切方法消去參數,從而轉化成不含參數的問題去解決；或者以參數為媒介,構造出一個變元的新的函數.1【類題展本】設函數f(x)a2x-2a1nax(a0),函數f(x)為f(x)的導函數,且x&."為),B(x2,f(x2)是f(x)的圖像上不同的兩點,滿足f(x1)f(x2)0,線段AB中點的橫坐標為xo,證實：axo1.【解析】:ax01x-x2-x1-x2,又依題意f(x)(a-)20,2aax2得f(x)在定義域上單倜遞增,所以要證ax01,只需證f(x2)f(x1)f(-x2),a-2111即f(x2)f(x2)0,不妨設Xx2,注意到f(一)0,由函數單調性知,有x1-

17、,x2-,aaaa3224(ax1)3構造函數F(x)f(-x)f(x),那么F(x)f(x)f(x)2,aax(2ax)1_當x時,Fa1,一F(-)0,從而不等式式成立,故原a1,(x)0,即F(x)單調遞減,當x時,F(x)a不等式成立_X1【類題展本】函數f(x)xe(a0),假設存在為2(為X2),使f(x1)f(X2)0,求證：一ae.X2InrIny【解析】國薊,在)的零點等價于方程M=巴士的實根,令冢切=巴士；.?0)XX求導可知,蟲燈在上單調速憎,在g的)上里調遞;吼g(戲外二冢包)二、&(力下證：當o口?工時,方程"=叱4二也有兩個實根一exx當KE(Q叁

18、時,g是減圖數,.鼠1人."»=Lge,當x匕0)=g(x)為僧函數,回=0.00)L鼠D?日?政歐eIri工,當工£(0*)時啟=一有一解,記為/一X當工十刈時I晨冷為減函數,式4)=-%aa先證tg(-lr)?口,即證；alna,h(a)=-nlna=(q>0)>日2求導由m冷的單調性可得Jg)的=應3=2>L故不等式.m即證：疹包22也即原不等式虱4)?口成立.a*,當XW(金+土)時,門有一解,記為吃.Xx1x1ax1ax1x1ax1ae再證一ae一一,而0xiex2,lnx21,.-.-ae.證畢.x2x2ax2Inx2x2Inx21【

19、類題展示】函數f(x)xaex有兩個不同的零點xi,x2,求證：x1x22.【解析】由于函數f(x)有兩個零點xi,x2,所以x1aexi(1)x2aex2(2)由(2)得：x1x2a(ex1e'2),要證實xx22,只要證實a(e"ex2)2,xxex1ex2ex1x21由(1)得：X1x2a(e1e),即a1-xr,即證(x1x2)f-x22(x1x2)x1x22,eeeee1不妨設%X2,記tX1X2,那么t0,et1,因此只要證實：t"eT2t2e一D0,et1et1再次換元令etx1,tinx,即證Inx2(x10x(1,)x1構造新函數F(x)Inx4(

20、x1)22x_n,F(1)0,求導F'(x)7ab12x1x(x1)220,得F(x)在(1,)x(x1)ab即調和平均數小于等于幾何平均數小于等于算術平均值小于等于等號成立的條件是ab.遞增,所以F(x)0,因此原不等式x1x22獲證.(三)對數平均不等式我們熟知平均值不等式:a,bR2-2ab平方平均值2ab(2)我們還可以引入另一個平均值：對數平均值:abInaInb那么上述平均值不等式可變為：對數平均值不等式:b,aababb,vatK<InaInb2以下簡單給出證實:lnxx1x/2(x1)bx,那么原不等式變為：x1,x1【例3】設函數f(x)exaxa(aR),其圖

21、象與x軸交于&.0),B(x2,0)兩點,且為網.(D求實數a的取值范圍；(I)證實：f(Jx1x2)0(f(x)為函數f(x)的導函數)；【解析】(I)f(x)exa,xR,當a0時,f(x)0在R上恒成立,不合題意當a0時,易知,xlna為函數f(x)的極值點,且是唯一極值點,故,f(x)minf(lna)a(2Ina)當f(x)min0,即0ae2時,f(x)至多有一個零點,不合題意,故舍去；當f(x)min0,即ae2時,由f(1)e0,且f(x)在(,lna)內單調遞減,故f(x)在(1,lna)有且只有一個零點；由f(lna2)a22alnaaa(a12lna),“一22_

22、22令ya12lna,ae,那么y10,故a12lnae14e30所以f(lna2)0,即在(lna,21na)有且只有一個零點(I)由(I)知,f(x)在(,1na)內遞減,在(lna,)內遞增,且f(1)e0Inax221na,由于f(x1)ex1ax1a0,f(x2)_x?eax2a0ex1ax11ex2x2x11ex11ex21彳(x11)(x21)-一,所以1-x211n(x1)1n(x21)J(xJ1)右1)所以xx2(x1x2)0,要證:f(jxjX")0,只須證eEa,即Jx1x21na故,J為x2x11n(x11),Jx1x2x21n(x21)所以2jx1x2x1x

23、21n(x11)(x21),所以1n(x1x2(x1x2)1)x1x22jx1x2由于x1X2(x1x2)0,所以1n(xx2(x1x2)1)1n10,而x1x22j%x20所以1n(x1x2(x1x2)1)x1x22x1x2成立,所以f(.x1x2)01nx【類題展示】函數fxX-(aR),曲線yfx在點1,f1處的切線與直線xy10xa垂直.(1)試比擬20212021與20212021的大小,并說明理由;(2)假設函數gxfxk有兩個不同的零點x1,x2,證實：X1?X2e2.1解析】試題分析:CI)求出f的導數由兩直線垂直的條件：斜率相等,艮國得到切的斜率和切點坐標進而式式)的解析式和

24、導數,求出單調區間,可得M2021)>f(20213即可得到Ml#5與2CLP的大小JCII)運用分析法證實,不妨設X>X2>0,由根的定義可得所以化簡得Inx.-kK=0*1閱-皿=0,可得lnxi-nxz=k1卻-位),Inxi-lnx2=k(mi-xz),要證實,w叱>囪,.即證實LnxlHt>上也就是k(苴+出)>2.求出匕即證期二星,令五二/,那么t>l,即證nf方出1.令五(.二改一乂二西一時河+向均r+1r十1Ct>l).求出導氮.判斷單調性,即可得證.試題解析：(1)依題意得f"x1nx,所以1a12-一,又由切線方程可

25、得f11,1a1a令fx0,即11nx0,解得0xe;令fx0,即11nx0,解得xe所以fx的增區間為0,e,減區間為e,所以f2021f2021,即包那么2021202120211n202120211n2021,2021202120212021(2)證實：不妨設x1x20由于gxgx20所以化簡得1nxikx10,1nx2kx20可得1nxi1nx2kx1x21nxi1nx2kx12.要證實x1x2e,即證實1nx11nx2xx2由于k1nx11nx2Xx21nx1x11nx22X2x1X2r.x1即1n又2x1x2X2x1令一X2即證1nt1nt2101故函數h1,是增函數,所以0,即1

26、ntxx2【類題展示】函數f(x)1nx2ax(2a)x.(I)討論f(x)的單調性;(II)設a0,證實：當0時,1f(一x)a1f(一a(iii)假設函數yf(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x°,證實:f(%)0.【解析】(I)(II)略,(III)由f(X)f(x2)021nx1ax1(2a)x11n2、cax2(2a)x201nx11nx22(xx2)a(x；2x2x2)a1nx)2x)1nx22(x1x2)2x2故要證f(x0)x0又222x12x2x1x2x1x211nx11nx22(x1x2)1nx1nx21nx11nx2xX2根據對數平均不等,

27、此不等式顯然成立,故原不等式得證四極值點偏移之一題多解12【例4】fxxlnxmx22x,mR.假設fx有兩個極值點不,*2,且XX2,求證：xX2ee為自然對數的底數.解法一：齊次構造通解偏移套路2.證法1：欲證x1x2e,需證lnx1lnX22.假設fX有兩個極值點X1,X2,即函數X有兩個零點.又fxlnxmx,所以,X2是方程fx0的兩個不同實根.于是,有lnlnx1mX|x2mx2lnx1lnx2X1X2另一方面,由lnx1lnx21mxim&0/日,0,得lnX2InXimX2Xi,從而可得lnx2lnx1X2X1lnx1lnx2X1X2是,1nxilnx2lnx2lnX1

28、x2X1X2.X2-ln-X1X1又0X1X2,設t要證lnX1lnt所以,X221X1x2,貝UtX1InX1InX2lnX22,即證：-1Int2,t即:1時,有2t1lnt為1.1時,有0,上的增函數.注意到,0,因止匕,0.2t1lnt.所以,t1有lnX1lnX22成立,X1X2解法二變換函數能妙解2證法2：欲證x1x2e,需證lnx1lnx22.右fx有兩個極值點X,X2,即函數X有兩個零點.又fxlnxmx,所以,X,X2是方程fx0的兩個不同實根.顯然m0,否那么,函數fX為單調函數,不符合題意.由.x：鼠oinx1inx2mx1x2,即只需證實m%+丐?2即可.即只需證實巧斗

29、9、一.室遽：刪影xt號中用理搬增渚'm設營=*刈三2(附一1)x(2mjc-1,、(2g二0r故(X)<f由于廣=!一鵬=,故r但在q.t<XQ,令苒=馬.那么/'叼=/'五v/；五解法三構造函數現實力證法3:由x1,x：是方程x0的兩個不同實根得minx人,令gxxinx由于1inx因此,在1,e設1x1x：需證實x1x2：一e,只需證實x1x：0,e,只需證實fx1：er一,即x：x：x：x：2fex：0.來源:微信公眾號中學數學研討部落1,ee,0,即ffx：x12fex1由于x：e,所以x：e一,即x1xx：x1：inxex解法四巧引變量一證法4：

30、設力1nxi0,1,t：inx：1,ininx：mx1mx：0/日tc得0tmet1t1t：7"met：kekk八2ktit20,那么t1r一,t2一.欲證X1X2e,e1e1蔻證In演+Lnx；2.即只需證實彳*%2r即->2es>jt(l+et)<2(e*-1)o出14門-29-1)<0.設=耳1+¥)-2卜*一1)出<0),£(婦=H-J+1,£*(>)=te*<0.故/(上,在(Y.0",故/住)?r(0)=0,故g在(YT,因此以燈以0)=0.命眼傅解法五巧引變量(二)【解析】證實:法一二S/

31、(x)=X1-(a-2)x-anx,X1x2f(T)0.得r(x)=2-(-2)-=X七分七二二工一人"-1)Jxx2故且有門;o時,方程F3=C才有兩個不相等的夾鴕根X-,巧不妨設看V七,那么0巧不巧,化藺得；口二衛4二支二士二再+1口毛一毛一In%et1t2,設lnX22,即只需證實Lt22,0,設gk【類題展示】函數f(x)x2(a2)xalnx,假設方程f(x)c有兩個不相等的實數根x1,X2,求證:兩式相標得:當“一3-2)&一右1口jc.十(口一2)巧十口111巧=00,1,t2lnx21,那么由lnx1mx1Inx2mx200t1t1k0,1,那么Gklnk?k

32、1t22,需證lnX1k1lnk.欲證x1x2e2lnklnk2k1kk10,1,g2k1k2kk1g10,命題得證.證法5:設Llnx1t1t2t1me一t2me2k1lnkk12k1k1lnk0,故gk在0,1,因此gk2k1k1欲證：f(xX22a(-),結合f(x)的單調性,2等價于證實:XiX22X12Xx222x2x1In%x2Inx2x1Inx2282x2x1x2cx1八22x231x2令t',(0x21),構造函數g(t)2t_Int,(0t1t1),求導由單調性易得原不等式成立,略x1八法二：接后續解：由得：(Xx2)(x1x2)(a2)(Xx2)aIn0x2an即；

33、("+心)(1一2)-邑=0網一巧«ln)=(為+為)-02)2d2(A-1)-On至4F)二巴-三)jqXy西+電工取取心構造函數m(t)Int1),求導由單調性易得m(t)0在t(0,1)恒成立,又由于a0,x1x2c,x10,故f(x2,)0成立.法三：接后續解：視X1為主元,2(xx9)1設g(x)InxInx2,g(x)一Xx24X2(xX2)2072,720(XX2)(xX2)那么g(x)在x(0,X2)上單調遞增,故g(x)g(X2)0,X1X20,故f(2)0成立.2法四：構造函數h(x)f(-x)2f(ax),(0x2a、),2那么h(x)aaf(-x)f

34、(-x)4x2,a.,a(x)(22X)從而h(x)在(0,a)上單調遞增,故2a、對x(0,一)恒成立,從而f(x)2h(X)h(0)f(ax),(00,嗚x)a、x-),2那么f(X2)由X2,aXi(,2a),且f(x)在(-,2x)f(Xi)f(aXi),)單調遞增,故"aX|,即ar,一,從而f(2)0成立.三、跟蹤練習1、函數2axxee為自然對數的底數.(1)討論g的單調性;(2)假設函數xIngx2ax的圖象與直線ymmR交于A、B兩點,線段AB中點的橫坐標為證實：fX00(fx為函數fx的導函【斛析】(1)由題可知,(幻=/51+M$而(20,+口,當日<2時

35、,今力之0,貝1(2-口)無+1之口,-彳之a-2令那么.x<口一2日二2時F>0j當口)2時,令/2r+x令式力<6那么(句工十1±0?二工之?,口-2二單謫遞管.當口:2時綜上：邕口<2時,在皿一；上單調噓減,在1:宜&)在於上里調擄增.當白>2時,T=式力在;二工1卜單詞逆憎,在上里調謨減.(2)fx2axInxe2aX2,Inx2axax(x0),/.fx2x1ax15當a0時,0,y0,上單調遞增,與直線ym不可能有兩個交點,故a0.單調遞減.不妨設Xi,mX2,mXiX00,X2a2ax需證aX0,所以只需證.設F2afX122ax1

36、x2ax0,那么XXiX2,XqXiX2X2即證:InaXInaX0,1在0-上單調遞增,在af-X1a時,1,、x在0,上單倜遞減,a0,原不等式成立.2、函數fXXlnX2_axxaaR在其定義域內有兩個不同的極值點1求a的取值兀范圍.2設fx的兩個極值點為X1,X2,證實X1X2e2.【解析】試題分析；?1?極值點轉化為導曲數零點,即M注+2亞=.在0,2有兩個不同根.變量別離為口=-學,利用導數可得函數尸=竽在oq上單調溫,在值收上單調增,根據趨勢可得函數2x2x?二位在0.司上范圍為lx,在公+®上范圍為|,oL因此要有兩解,1人必/.利用導教證實不等式關鍵是構造恰當的國幼

37、：岑士?/等份=nx1+lu三20口為+七2口直_12而由零點可得S一代人化簡得向工衛國,令五=h那么Sr,因此構造函數刎山一假設！,利用導數求苴最小值為通血由于川,船潞題得證試題解析：1依題意,函數fX的定義域為0,所以方程fXQ在0,有兩個不同根.即方程Inx2ax0在0,有兩個不同根lnx轉化為,函數gx與函數yp1lnxr一一又gx,即0xe時,x2a的圖象在所以gx在0,e上單調增,在,e,上單調減,0,從而上有兩個不同交點e時,gx0,又gx有且只有一個零點是1,且在0時,g的圖象,lnx要想函數gx與函數x一一11八帝02a-,即e2e2a的圖象在0,2由1可知xi,x2分別是方

38、程lnxaxx10,作差得,lnax1x2x23、ln-x22x1x2x1x21nt1,gt函數0,即不等式1ntxlnx2ax1求gx的單調區間;2假設函數fxgx的導函數,證實:xx22【解析】試題分析:遞增,當a0時,gx極大=9時,gx0,所以由g上有兩個不同交點,0的兩個根,即lnxiaxi,lnx2ax2,x1令一X22t12tt1ln-x2.原不等式x1&0,函數2,e等價于1nxi1nx22lnx2成立,故所證不等式xx2x,aR.2x,x1,x2xx2是函數f0.2Kx2Int1,上單調遞增,x的兩個零點,f是函數f1先求函數導數,根據導函數是否變號進行討論,當a0時

39、,g導函數有一零點,導函數先正后負,故得增區間為10,一,減區間為ax0,g利用分析法先等價轉化所證不等式：要證實fXiX22一r20,只需證實XiX21nxi1nX2XiX2(0XiX2),即證實2X1X21nxilnx2,即證實二iX2XX2XlilnX2Xit0,1,構造函X2X2ht在0,i上遞增,所以數htItInt2t2,利用導數研究函數ht單調性,確定其最值:hthi0,即可證得結論試題解析：當a0時,gx當a0時,gXgx的定義域為0,i-2ax2ax0x(；g0,gx遞增I-一2ax2axx)0,gx遞增;22ax2axix2xiaxixix-,gxa0,gx遞減一,&quo

40、t;、,ii綜上：,當a0時,gX的單調增區間為0-,單調減區間為-,aa當a0時,gx的單調增區間為0,由句是函數f(x)=lLX+X-OJC的防個零點有再)=1嗎+0Kl=0巧)=lux,+aXj=0,相減得&=y無_1rLic,+七+七2Injq-Inx.%十三三一毛所以要證實'歲只需證實二一-幽心殳0(04巧巧)2J玉+與西一過即證實2Xix2XiX22土i1nxi1nx2,即證實x21n二*XiiX2X21tlnt2t2,那么ht111lnt-1,ht一二0ttt2x1-,令t0,1,那么htX2.ht在0,1上遞減,hth10,.ht在0,1上遞增,hth10所以*

41、成立,即fx乜024.設aR,函數f(x)Inxax,(1)討論f(x)的單調性；(2)假設f(x)有兩個相異零點x1,x2,求證1nxilnx22.1ax【解析】由題意,得f(x)a-x(0,),x當a0時,f'(x)0,那么f(x)在定義域上單增,1,1當a0,那么函數在(0,一)上單增,在(一,)上單減.aa(2)由得,1n為ax10,1n飛ax20,x1lnx1lnx2lnx1lnx2所以a=xx2所以Inx1Inx22等價于xx2xx2,x1Inx2即工1-1n8x22,x2設為x2,令t上x21,g(t)Int2(t1)那么g(t)14(t1)2(t1)2t(t1)20,所

42、以g(t)g(1)0,即Int2(t12,所以原題得證.r-t1即是lntt15.函數xxlnx的圖像與直線m交于不同的兩點Ax"x2,y2xx2證實：(i)fx上Z;當0x1時,fx0；f10；當x1時,fx0；當x0時,fx0(洛必達法那么)；當x時,fx,于是fx1的圖像如下,得0x1x21.e(ii)均通函=f(M-£,那么r(x)=r(x)=l+lnjf+-S-f-(1+1ft.Y)-10<x<-fl+】n£40.1-e工N.那么廣(算)7.,得F(/)在±Z,有F(x)<F,即沙/白0<jc<-(iii)椅&am

43、p;代入(ii)中不等式得了|百)</；I型一,又圖)二了(馬).敬,g26.函數f(x)Inxax(2a)x.(I)討論f(x)的單調性;(II)設a0,證實：當0工時,a,1,1f(x)f(x)；(ill)假設函數yf(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證實：f(x0)0.【解析】(i)易得：當a0時,1f(x)在(0,)上單調遞增；當a0時,f(x)在(0,)上單調遞增,在a1,(-,)上單調遞減.a(11)法一：構造函數g(x)1.1f(x)f(x),(0法二：構造以a為主元的函數,1設函數h(a)f(ax)1一x-),利用函數單調性證實,方法上同,略；

44、a.,1f(x),那么h(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax,ah(a)1ax1ax2x1.一一1.-1.一,解得0a,當0a一時,h(a)0,而axxh(0)0,所以h(a)1,0,故當0x時,af(一x)f(x).1、(III)由(I)知,只有當a0時,且f(x)的最大值f(_)0,函數yf(x)才會有兩個零點,不妨設aA(xi,0),B(x2,0),0Xix2,那么0xi1,1小1x2,故一x1(0,一),由(II)得:aaaf(|x1)2x2一x1,于是x0a_111x1)f(-(一x1)f(x1)f(xi),又由f(x)在(-,aaax1x21一,由(I)知,f(x0)0.2a)

45、上單調遞減,所以7.函數fx2lnxx2x,假設正實數x1,x2滿足fx1+fx2=4,求證：x1x22.2證實：注意到f1=2,fx1+fx2=2f1,fx1+fx2=2f1,fx=-+2x10x2fx=2,f1=0,那么(1,2)是fx圖像的拐點,假設拐點(1,2)也是fx的對稱中央,那么x有xx2=2,證實xx22那么說明拐點發生了偏移,作圖如下想到了極值點偏移,想到了對稱化構造,類似地,不妨將此問題命名為拐點偏移,仍可用對稱化構造來處理.不妨設0x11x2,要證x,x22x22x11fx2f2x14ff24fx1f2x1Fxfxf2x,x0,1,那么2-,2,1Fxfxf2x-2x12

46、2x141x10,x2xx2x得Fx在0,1上單增,有FxF1214,得證.1xx8.函數f(x)2e1 x(I)求函數f(x)的單調區間；(I)當f(Xi)f(X2),XiX2時,求證：XiX20【解析】(I)函數f(X)的定義域為Rf(X)(1X2)2X(1X)11Xyx(x1)22122e2e2-2e(1X)1X(1X)由f(x)0,得X0,由f(x)0,得函數的遞增區間(,0),由f(x)0,得函數的遞減區間(0,),所以f(x)maxf(0)1(I)解法一、利用函數的單調性求解“1X1X,令h(x)f(x)f(x)2e2e,x01X1X那么h(x)(x22x3)e2x(x22x3)XZ2T2X(1X)e令H(x)2_2x2_(x2x3)e(x2x+3),x0那么H(x)22x一.2(x2x2)e(x1),x0,那么H(x)一一2_2x_2(2x23)e1,x0由X0得,H(x)2(31)40,故H(X)在(0,)內單調遞增故H(x)H(0)20,故H(x)在(0,)內單調遞增由(1)及f國)故H(x)H(0)0,