1、高等院校非數學類本科數學課程第四章 導數的應用本章學習要求： 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理， 并能較好運用上述定理解決有關問題函數方程求解、 不等式的證明等）。 掌握羅必塔法則并能熟練運用它計算有關的不定式極限。熟練掌握求函數的極值、最大最小值、判斷函數的單調性、判斷函數的凸凹性以及求函數拐點的方法。能運用函數的單調性、凸凹性、極值等來討論函數的圖形性質，并熟練掌握函數作圖過程。掌握建立與導數和微分有關的數學模型的方法。能熟練求解相關變化率和最大、最小值的應用問題。一、曲線的凹凸性、拐點二、曲線的漸近線三、函數圖形的描繪第四章 中值定理與導數的應用第六節 曲線的凹凸性、拐點

2、第七節 函數圖形的描繪我們說一個函數單調增加, 你能畫出函數所對應的曲線的圖形嗎?OxyAB? !. 一、曲線的凹凸性、拐點, )() ,(時baxf它的圖形的形式不盡相同.一般說來, 對于一個區間上單調的函數的圖形都存在一個需要判別弧段位于相應的弦線（或切線的“上方或“下方的問題 .在數學分析中將這種問題稱為曲線 (函數)的凹凸性問題 .簡單地說 , 在區間 I 上 :曲線弧段位于相應的弦線上方(在切線的 “下方”)時, 稱之為凸的下凹 ） ;曲線弧段位于相應的弦線下方(切線“上方” )時, 稱之為凹的上凹）.凸凹Oxy221xx )(xfy 2x1xOxy221xx )(xfy 2x1x.

3、 ) I ()( Cxf設 , )( I , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區間 I 上是凸的 ; , )( I , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 則稱曲線)(xfy 在區間 I 上是凹的 .1. 曲線凹凸性的定義及其判別法Oxy3xy , )0 ,( 上在 , 3是凸的xy ,32xy , 6xy . 0 y此時, ) , 0( 上在, 3是凹的xy . 0 y此時, 0 時x, 0 y . )0 , 0( 是曲線凹凸性的分界點點有何體會？能不能根據函數的二階導數的符

4、號來判別函數所對應的曲線的凸凹性呢？定理 . ) ,( , ) , ()( 內有二階導數在設babaCxf . , )( , ) ,( , 0)( 是凹的在則若baxfybaxxf . , )( , ) ,( , 0)( 是凸的在則若baxfybaxxf 在運用該定理時要注意：但僅在個別孤立點處等于零 , 則定理仍然成立 . , ) ,( , 0)( 0)( baxxf 如果. 1 的凹凸性判別曲線xy . ) , 0()0 ,( 函數的定義域為, 2 , 1 32xyxy 因為 , 1 , 0 , )0 ,( 為凸的時所以xyyx . 1 , 0 , ) , 0(為凹的時xyyx 該函數的圖

5、形 請自己繪出. 例2解解 . 1) , 1( 12 - 34內的凹凸性在研究xxy,6423xxy),1(1212122 xxxxy, 0 ,1 )0 ,( yx）時，或（. 函數是凹的故10 xx，是使0 y的點,是曲線凹凸性的分界點.例4解解為判斷y的正負,先計算y=0, 得 x=0 或 x=1, 0 , ) 1 , 0( yx時. 函數是凸的故 比較例3 和例4 , 發現使得曲線所對的分界點 .我們的興趣 , 因為它可能是曲線凹凸性應的函數的二階導數等于零的點引起了拐 點連續曲線上凸弧與凹弧的分界點 , 稱為曲線的拐點.OxyOxy)(xfy )(xgy 2. 曲線拐點的定義及判別法

6、. )(上二階可導在區間設 Ixf . 0)( , ) ( )( ) ,( 0000 xfIxxfyyx則的拐點為曲線若定理( 判別拐點的必要條件 ), )( 0)( 不存在的點及使xfxf 稱為曲線的拐點可疑點 .定理( 判別拐點的充分條件 ) . ) I( )(U )( , ) I ()( 00內二階可導在設xxxfCxf , )( 0則兩側符號相反在點若xxf . )( )( ,( 00的拐點為曲線點xfyxfx根據拐點的定義立即可證明該定理 . 求拐點一般步驟: )( 拐點的一般步驟求曲線xfy ; )( )( ) 1 (或確定討論區間的定義域求xf; ) )( ( , )( , )(

7、 )2(xfxfxf 如需要可求出計算; )( 0)( 不存在的點的點和使xfxf . )4(否確為拐點根據定理判別可疑點是 : )3(求拐點可疑點 . , 22并求拐點的凹凸性討論曲線xey) ,( :定義域為, 22xxey,) 1(222xexy : 0 得拐點可疑點令 y)( 1 , 1橫坐標xxxy y) 1 , (1) 1 , 1(1) , 1 (00拐點拐點拐點拐點例4解解, ) , 1 ( ) 1 , ( 內為凹的及在. 1) , 1( 內為凸的在 . ) , 1 ( ) , 1( 2121為其拐點及點eeOxy1122xey : 22xey曲線 , 0 )2.5 , 2( 2

8、的拐點為曲線已知點ybxayx . , 的值求ba . 0 :2bx由題意 , 得由隱函數求導法則, 22bxayxy, )(246222bxybxayxy . 0 :1 y由拐點的必要條件得 : 5 . 2 , 2 代入得以yx (1) 05860ba例6解解 : , ,得其坐標滿足曲線方程又拐點在曲線上 (2) 05 . 2210ba , )2( , ) 1 ( 解之得成方程組聯立 , 320a . 34b例7 , )( 其一階導數的圖形上二階可導，在設函數baxf .如下圖所示 . )( 性、凹凸性的極值點、拐點、單調指出函數xf ; , , ,內單調增加TQPKJa . , ,內單調減

9、少QPKJ ; Q , : ; , :KPJ極小點極大點 凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸 . , , , , , , :IHFEDCB拐點xyO)(xfyABCDEFHIKJPQTabMW 函數的凹凸性的判別以及函數的極值的判別都與函數的二階導數有關.你清楚它們之間的聯系嗎?畫畫圖就能搞清楚. 極大凸 0)( xf 極小凹 0)( xf 現在我們還不能很好地作出函數的圖形 , 因為還不知道如何求曲線的漸近線 .中學就會求了.若動點 P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠離坐標原點時, 動點 P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x ) 的一

10、條漸近線 . 二、曲線的漸近線曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線Oxyxy1, 01limxx . 0 y水平漸近線, 1lim0 xx . 0 x垂直漸近線水平漸近線 . )( , )(lim byxfbxfx有一條水平漸近線則曲線若 . )(lim )(lim bxfbxfxx或這里的極限可以是 . )( , )(lim axxfyxfax有一條垂直漸近線則曲線若這里的極限可以是; )(lim ,)(limxfxfaxax. )(lim ,)(limxfxfaxax; )(limxfax垂直漸近線Oxy)(xfy bxay, 0)()(limbxaxfx . bxay斜漸近線想想：

11、怎么求 a ,b ? )( , )(lim , )(lim xfybxaxfaxxfxx則曲線若 . bxay有一條斜漸近線這里的極限過程可以是. , xx以上的極限實際是. 0)()(limbxaxfx 斜漸近線. sin 的漸近線求曲線xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平漸近線是曲線xxyyOxyxxysin0y 曲線可以穿過其漸近線 .例8解解. ln 的漸近線求曲線xy 的定義域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲線 0 x. ln的垂直漸近線xy Oxyxyln1例9解解. 1 2的漸近線求曲線xxy 1lim2xxx曲線無水平漸近線, 1l

12、im20 xxx 1lim20 xxx . 0 x曲線有垂直漸近線(函數間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解解11lim1lim222xxxxxxx1a0 1 lim 11 lim)()(2xxxxxx0b . xbxay曲線有斜漸近線請同學課后自己繪出此函數的圖形 .現在給定一個函數 , 我們可以討論它的：定義域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 連續性、 間斷點、 可微性、單調性、 極 值、 最 值、 凹凸性、拐 點、 漸近線、 零點位置 .用極限討論函數的變化趨勢 .用泰勒公式將函數離散化 .作函數圖形的一般步驟如下：(1) 確定函數的定義域 , 觀察奇偶性、周期性 .(2) 求函數的一、二階導數 , (3) 列表 , 確定函數的單調性、凹凸性、極值、拐點 .(4) 求曲線的漸近線 .(5) 作出函數的圖形 . 三、函數圖形的描繪確定極值可疑點和拐點可疑點 . ) 1() 1( 23的圖形作出函數xxy :函數的定義域. ) , 1() 1 ,(x, ) 1()5() 1(32xxxy, ) 1() 1(244 xxy , 5 , 1 , 0 xxy得駐點令 , 1 , 0 xy得拐點可疑點令例12解解xyy y)5 ,(5) 1 , 5(1) 1 , 1(1) , 1 (000極大拐點, 5 : x極大點, 5 .13)5( : f極