1、第第 4 4 章章 時變電磁場時變電磁場P172P172 隨時間變化的電磁場稱為隨時間變化的電磁場稱為時變電磁場時變電磁場。 時變電磁場與靜態(tài)的電場和磁場有顯著的差別，出現(xiàn)一些由于時變而時變電磁場與靜態(tài)的電場和磁場有顯著的差別，出現(xiàn)一些由于時變而產(chǎn)生的效應。這些效應有重要的應用，并推動了電工技術的發(fā)展。產(chǎn)生的效應。這些效應有重要的應用，并推動了電工技術的發(fā)展。 M. M.法拉第提出的法拉第提出的電磁感應定律電磁感應定律表明，磁場的變化要產(chǎn)生電場。這個電表明，磁場的變化要產(chǎn)生電場。這個電場與來源于場與來源于庫侖定律庫侖定律的電場不同，它可以推動的電場不同，它可以推動電流電流在閉合導體回路中流動，

2、在閉合導體回路中流動，即其環(huán)路積分可以不為零，成為感應電動勢。現(xiàn)代大量應用的電力設備和即其環(huán)路積分可以不為零，成為感應電動勢。現(xiàn)代大量應用的電力設備和發(fā)電機發(fā)電機、變壓器變壓器等都與電磁感應作用有緊密聯(lián)系。由于這個作用。時變場等都與電磁感應作用有緊密聯(lián)系。由于這個作用。時變場中的大塊導體內(nèi)將產(chǎn)生中的大塊導體內(nèi)將產(chǎn)生渦流渦流及及趨膚效應趨膚效應。電工中。電工中感應加熱感應加熱、表面淬火表面淬火、電電磁屏蔽磁屏蔽等，都是這些現(xiàn)象的直接應用。等，都是這些現(xiàn)象的直接應用。 繼法拉第電磁感應定律之后，繼法拉第電磁感應定律之后，J.C.J.C.麥克斯韋麥克斯韋提出了提出了位移電流位移電流概念。電概念。電位

3、移來源于位移來源于電介質(zhì)電介質(zhì)中的帶電粒子在電場中受到電場力的作用。這些帶電粒中的帶電粒子在電場中受到電場力的作用。這些帶電粒子雖然不能自由流動，但要發(fā)生原子尺度上的微小位移。子雖然不能自由流動，但要發(fā)生原子尺度上的微小位移。 麥克斯韋將這個名詞推廣到真空中的電場，并且認為；電位移隨時麥克斯韋將這個名詞推廣到真空中的電場，并且認為；電位移隨時間變化也要產(chǎn)生磁場，因而稱一面積上電通量的時間變化率為位移電流間變化也要產(chǎn)生磁場，因而稱一面積上電通量的時間變化率為位移電流, ,而電位移矢量而電位移矢量 的時間導數(shù)為的時間導數(shù)為位移電流密度位移電流密度。它在安培環(huán)路定律中，除。它在安培環(huán)路定律中，除傳傳

4、導電流導電流之外補充了之外補充了位移電流位移電流的作用，從而總結(jié)出完整的電磁方程組，即著的作用，從而總結(jié)出完整的電磁方程組，即著名的名的麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組，描述了電磁場的分布變化規(guī)律。，描述了電磁場的分布變化規(guī)律。 D 麥克斯韋方程表明，不僅磁場的變化要產(chǎn)生電場，而且電場的變化麥克斯韋方程表明，不僅磁場的變化要產(chǎn)生電場，而且電場的變化也要產(chǎn)生磁場。時變場在這種相互作用下也要產(chǎn)生磁場。時變場在這種相互作用下, ,產(chǎn)生電磁輻射產(chǎn)生電磁輻射, ,即為即為電磁波電磁波。 這種電磁波從場源處以光速向周圍傳播，在空間各處按照距場源的這種電磁波從場源處以光速向周圍傳播，在空間各處按照距場源的遠近有

5、相應的時間滯后現(xiàn)象。電磁波還有一個重要特點，它的場矢量中遠近有相應的時間滯后現(xiàn)象。電磁波還有一個重要特點，它的場矢量中有與場源至觀察點間的距離成反比的分量。這些分量在空間傳播時的衰有與場源至觀察點間的距離成反比的分量。這些分量在空間傳播時的衰減遠比恒定場為小。按照減遠比恒定場為小。按照坡印廷定理坡印廷定理，電磁波在傳播中攜有能量，可以，電磁波在傳播中攜有能量，可以作為信息的載體。這就為作為信息的載體。這就為無線電通信無線電通信、廣播廣播、電視電視、遙感遙感等技術開闊了等技術開闊了道路。道路。 時變場中不同于靜態(tài)場的上述一些現(xiàn)象，其顯著程度都與時變場中不同于靜態(tài)場的上述一些現(xiàn)象，其顯著程度都與頻

6、率頻率的高的高低及低及設備的尺寸設備的尺寸緊密相關。按照實際需要，在允許的近似范圍內(nèi)，對時變緊密相關。按照實際需要，在允許的近似范圍內(nèi)，對時變場的部分過程可以當作恒定場處理，稱之為場的部分過程可以當作恒定場處理，稱之為似穩(wěn)電磁場似穩(wěn)電磁場或或準靜態(tài)場準靜態(tài)場。這種。這種方法使分析工作大為簡化，在方法使分析工作大為簡化，在電工技術電工技術中是行之有效的方法，已為人們所中是行之有效的方法，已為人們所廣泛采用。廣泛采用。時變電磁場還可以進一步分為周期變化的時變電磁場還可以進一步分為周期變化的交變電磁場交變電磁場及非周期性變化及非周期性變化的的瞬變電磁場瞬變電磁場。對它們的研究在目的上和方法上有一些各

7、自的特點。對它們的研究在目的上和方法上有一些各自的特點。交變電磁場在單一頻率的正弦式變化下，可采用交變電磁場在單一頻率的正弦式變化下，可采用復數(shù)復數(shù)表示以化簡計算，表示以化簡計算，在電力技術及連續(xù)波分析中應用甚多。在電力技術及連續(xù)波分析中應用甚多。 瞬變電磁場又稱脈沖電磁場，覆蓋的頻率很寬，介質(zhì)或傳輸系統(tǒng)呈瞬變電磁場又稱脈沖電磁場，覆蓋的頻率很寬，介質(zhì)或傳輸系統(tǒng)呈現(xiàn)出色散特性，往往需要采取頻域、或時序展開等方法進行分析。現(xiàn)出色散特性，往往需要采取頻域、或時序展開等方法進行分析。 時變電磁場時變電磁場 波動方程波動方程 位函數(shù)及其微分方程位函數(shù)及其微分方程 時變電磁場能量時變電磁場能量 能流能流

8、 坡印廷定理坡印廷定理 時變電磁場時變電磁場 時諧電磁場（正弦電磁場）時諧電磁場（正弦電磁場） 時變電磁場比靜態(tài)電磁場要復雜得多，主要表現(xiàn)在：時變電磁場比靜態(tài)電磁場要復雜得多，主要表現(xiàn)在： 時變電磁場之間相互激勵而具有的波動特性，波動使時變電磁場時變電磁場之間相互激勵而具有的波動特性，波動使時變電磁場的疊加不僅要考慮矢量的方向，同時還要考慮波相位對疊加的影響；的疊加不僅要考慮矢量的方向，同時還要考慮波相位對疊加的影響； 電磁場的大小和方向隨時間而變化，將導致介質(zhì)的極化和磁化特電磁場的大小和方向隨時間而變化，將導致介質(zhì)的極化和磁化特性隨時而變，使介質(zhì)呈現(xiàn)色散特性等等。性隨時而變，使介質(zhì)呈現(xiàn)色散特

9、性等等。t EHt HE 0 H0 Et DJHt BE 0 B D由麥克斯韋方程組微分形式由麥克斯韋方程組微分形式00J1. 1. 建立建立電磁場的波動方程電磁場的波動方程( (無源無源空間空間) )在在無源無源空間，空間， 、 ，線性、各向同性的均勻，線性、各向同性的均勻理想理想媒質(zhì)中媒質(zhì)中00J電磁場的波動方程，提示了時變電磁場的運動規(guī)律，即電磁場的波動性。電磁場的波動方程，提示了時變電磁場的運動規(guī)律，即電磁場的波動性。P172P172HEt EHt HE ) () ( HEt0) ( 22tEEEEE2)() ( 0222tEE0 EP172P1720222tHH0222tEE同理同理

10、無源無源空間中空間中 的波動方程的波動方程無源無源空間中空間中 的波動方程的波動方程EHP173P173 靜態(tài)電磁場可通過位函數(shù)滿足的方程進行求解，并且可以得到簡化。靜態(tài)電磁場可通過位函數(shù)滿足的方程進行求解，并且可以得到簡化。時變電磁場能否引入勢函數(shù)，通過勢函數(shù)滿足的方程來求解，達到求解時時變電磁場能否引入勢函數(shù)，通過勢函數(shù)滿足的方程來求解，達到求解時變電磁場的目的呢變電磁場的目的呢?022222222tEzEyExExxxx022222222tEzEyExEyyyy022222222tEzEyExEzzzz在直角坐標系下，分解為三個標量方程在直角坐標系下，分解為三個標量方程波動方程的解是在空

11、間中沿一個特定方向傳播的電磁波。波動方程的解是在空間中沿一個特定方向傳播的電磁波。2. 標量位與矢量位標量位與矢量位 AB式中式中 稱為電磁場的稱為電磁場的矢量位矢量位t BE )(AEt 已知已知 ，0 B即即0tAEBAA因此因此 可以表示為矢量場可以表示為矢量場 的旋度的旋度 將上式代入式將上式代入式 中，得中，得即即 矢量場矢量場 為為無旋無旋場。可以用一個標量場場。可以用一個標量場 的的梯度梯度來表示來表示tAEtAE式中式中 稱為電磁場的稱為電磁場的標量位標量位tAE由此得由此得即即P173P173 當與當與時間無關時間無關時，位與場量的關系和時，位與場量的關系和靜態(tài)場靜態(tài)場完全相

12、同。完全相同。 稱稱矢量磁位矢量磁位，稱稱標量電位標量電位。注意，這里的矢量位注意，這里的矢量位 及標量位及標量位 均是均是時間時間及及空間空間函數(shù)。函數(shù)。AA 已經(jīng)規(guī)定了矢量位已經(jīng)規(guī)定了矢量位 的的旋度旋度， ，必須再規(guī)定其，必須再規(guī)定其散度散度。BAt A洛倫茲條件洛倫茲條件為了為了簡化簡化計算，通常規(guī)定計算，通常規(guī)定 A根據(jù)位函數(shù)定義式及根據(jù)位函數(shù)定義式及麥克斯韋方程麥克斯韋方程，得，得 tt22 AJAtAP174P174 已知電流及電荷分布，即可求出矢量位已知電流及電荷分布，即可求出矢量位 和標量位和標量位 。求出。求出 及及 以后，即可求出電場與磁場。以后，即可求出電場與磁場。 這

13、樣，這樣，麥克斯韋方程麥克斯韋方程的求解歸結(jié)為的求解歸結(jié)為位函數(shù)方程位函數(shù)方程的求解，而且求解過程的求解，而且求解過程顯然得到了顯然得到了簡化簡化。P175P175JAA 222t222tAA達朗貝爾方程達朗貝爾方程 電磁位滿足的非齊次波動方程電磁位滿足的非齊次波動方程 原來電磁場方程為兩個結(jié)構復雜的矢量方程，在三維空間中需要求原來電磁場方程為兩個結(jié)構復雜的矢量方程，在三維空間中需要求解解 6 個坐標分量個坐標分量位函數(shù)方程為一個矢量方程和一個標量方程位函數(shù)方程為一個矢量方程和一個標量方程JHH222t1222ttJEE 在三維空間中僅需求解在三維空間中僅需求解 4 個坐標分量。在直角坐標系中

14、，實際上個坐標分量。在直角坐標系中，實際上等于求解等于求解 1 個標量方程。個標量方程。JAA 222t222t0222tEE0222tHH 必須指出的是，盡管磁感應強度在形式上只與磁矢勢有關，不能必須指出的是，盡管磁感應強度在形式上只與磁矢勢有關，不能據(jù)此認為磁感應強度由磁矢勢決定而與電標勢無關。因為在時變情形據(jù)此認為磁感應強度由磁矢勢決定而與電標勢無關。因為在時變情形下，電磁場相互激發(fā)，而時變電場由磁矢勢和電標勢共同描述，使得下，電磁場相互激發(fā)，而時變電場由磁矢勢和電標勢共同描述，使得時變磁場本質(zhì)上與磁矢勢和電標勢都有聯(lián)系。時變磁場本質(zhì)上與磁矢勢和電標勢都有聯(lián)系。 P175P1750222

15、tHH0222tEEJAA 222t222t達朗貝爾方程達朗貝爾方程 無源無源空間中的空間中的波動方程波動方程t A洛倫茲條件洛倫茲條件BA標量位標量位矢量位矢量位 tAE3. 能量密度與能流密度矢量能量密度與能流密度矢量 靜態(tài)場的能量密度公式及損耗功率密度公式完全可以推廣到時變靜態(tài)場的能量密度公式及損耗功率密度公式完全可以推廣到時變電磁場。電磁場。),( 21),(),(2121),(2etEtttwrrDrEDEr電場能量密度電場能量密度),( 21),(),(2121),(2mtHtttwrrBrHBHr磁場能量密度磁場能量密度),( ),(2tEtplrr損耗功率密度損耗功率密度對于對

16、于各向同性各向同性的的線性線性媒質(zhì)媒質(zhì)P175P175因此，時變電磁場的能量密度為因此，時變電磁場的能量密度為 ),( ),( 212121),(22tHtEtwrrBHDEr 時變場的能量密度是時變場的能量密度是空間空間及及時間時間的函數(shù)，而且時變電磁場的能量的函數(shù)，而且時變電磁場的能量還會還會流動流動。 為了衡量這種能量流動的為了衡量這種能量流動的方向方向及及強度強度，引入，引入能流密度矢量能流密度矢量，其，其方向方向表示能量表示能量流動流動方向，其方向，其大小大小表示表示單位單位時間內(nèi)時間內(nèi)垂直垂直穿過單位面積的能量。穿過單位面積的能量。以以 表示，表示， 單位為單位為W/m2 (瓦/米

17、2)。P176P176 設設無外源無外源 ( = 0, = 0) 的區(qū)域的區(qū)域 V 中，媒質(zhì)是中，媒質(zhì)是線性線性且且各向同性各向同性的，的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為則此區(qū)域中麥克斯韋方程為t DJHt BE0) (H0) (E利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，將上式代入，將上式代入HEEHHE)(, , , , V能流密度矢量又稱為能流密度矢量又稱為坡印廷坡印廷矢量。矢量。SJEH整理后求得整理后求得222 2 2 )(EEtHtHE將上式兩邊對區(qū)域?qū)⑸鲜絻蛇厡^(qū)域 V 求積，得求積，得 VVVdVEdVHEtdV 222 ) (21)(HEP176P176考慮到考慮到 ，那么，那么VSddV

18、)()(SHEHEVVSVEVHEtdd d) (21)(2 22 SHE根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為 VSHE d )( dVpwdVtlSV上式稱為時變上式稱為時變電磁場的能量定理電磁場的能量定理，即，即坡印廷定理坡印廷定理。表征電磁場能量守恒。表征電磁場能量守恒關系。任何滿足麥克斯韋方程的時變電磁場均必須服從該能量定理。關系。任何滿足麥克斯韋方程的時變電磁場均必須服從該能量定理。P177P177 矢量（矢量（ ）代表垂直穿過單位）代表垂直穿過單位面積的功率，因此，就是前述的能流面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量密度矢量 ， 即即HEHES 此

19、式表明，此式表明， 與與 及及 垂直。又知垂直。又知 ，因此，因此， ， 及及 三者在空三者在空間是間是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 至至 與與 構成構成右旋右旋關系，如圖示。關系，如圖示。HE 能流密度矢量的能流密度矢量的瞬時值瞬時值為為),(),(),(tHtEtSrrr可見，能流密度矢量的可見，能流密度矢量的瞬時值瞬時值等于電場強度等于電場強度和磁場強度的瞬時值的和磁場強度的瞬時值的乘積乘積。 只有當兩者只有當兩者同時同時達到最大值時，能流密度才達到達到最大值時，能流密度才達到最大最大。若某一時刻。若某一時刻電場強度電場強度或或磁場強度為磁場強度為零零，則在該時刻能流密度矢量為，則在

20、該時刻能流密度矢量為零零。SSEHSEHSEHESH, , , , EHS4. 惟一性定理惟一性定理 在在閉合面閉合面 S 包圍的區(qū)域包圍的區(qū)域 V 中，當中，當t = 0時刻的電場強度時刻的電場強度 及磁場強及磁場強度度 的的初始值初始值給定時，又在給定時，又在 t0 的時間內(nèi)，只要的時間內(nèi)，只要邊界邊界 S 上的電場強度上的電場強度切切向向分量分量 或或磁場強度的磁場強度的切向切向分量分量 給定后，那么在給定后，那么在 t 0 的的任一時刻任一時刻，體積體積 V 中中任一點任一點的電磁場由麥克斯韋方程的電磁場由麥克斯韋方程惟一地惟一地確定。確定。利用麥克斯韋方程導出的利用麥克斯韋方程導出的

21、能量定理能量定理，采用，采用反證法反證法即可證明這個定理。即可證明這個定理。)0( , rE)0( , rH&P179P179VSHEHE or )( ,trE)( ,trH)( ,trE)( ,trH5. 時諧電磁場（正弦電磁場）時諧電磁場（正弦電磁場） 一種特殊的時變電磁場，其場強的一種特殊的時變電磁場，其場強的方向方向與時間無關，但其與時間無關，但其大小大小隨隨時間的變化規(guī)律為時間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)正弦函數(shù)，即，即)( sin)(),(emrrrEtEt式中式中 僅僅為空間函數(shù)，它是正弦時間函數(shù)的為空間函數(shù)，它是正弦時間函數(shù)的振幅振幅。 為為角頻率角頻率。 為正弦函數(shù)的為正弦函

22、數(shù)的初始相位初始相位。 由傅里葉變換得知，任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定由傅里葉變換得知，任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，我們著重著重討論正弦電磁討論正弦電磁場是具有場是具有實際意義實際意義的的。 P180P180 正弦電磁場是由隨正弦電磁場是由隨時間時間按按正弦正弦變化的時變變化的時變電荷電荷與與電流電流產(chǎn)生的。雖產(chǎn)生的。雖然場的變化然場的變化落后落后于源，但是于源，但是場場與與源源隨時間的變化隨時間的變化規(guī)律規(guī)律是是相同相同的，所以的，所以正弦電磁場的正弦電磁場的場場和和源源具有具有相同相同的的頻

23、率頻率。)(mrE)(er 對于這些對于這些相同頻率相同頻率的正弦量之間的運算可以采用的正弦量之間的運算可以采用復數(shù)方法復數(shù)方法，即，即僅僅須考慮正弦量的須考慮正弦量的振幅振幅和和空間空間相位相位 ，而略去，而略去時間時間相位相位 t 。那么，。那么，對于電場強度可用一個與時間無關的復矢量對于電場強度可用一個與時間無關的復矢量 表示為表示為)(er)(mrE)(jmmee )()(rrrEE原來的原來的瞬時瞬時矢量和矢量和復復矢量的關系為矢量的關系為 )(Re),( jmteEtrrE復復矢量矢量僅僅為為空間空間函數(shù)，與函數(shù)，與時間時間無關無關。只有只有頻率相同頻率相同的正弦量之間才能使用的正

24、弦量之間才能使用復復矢量的方法進行運算。矢量的方法進行運算。P181P1816. 麥克斯韋方程的復數(shù)形式麥克斯韋方程的復數(shù)形式 已知已知正弦正弦電磁場的電磁場的場場與與源源的的頻率相同頻率相同，因此可用，因此可用復矢量復矢量形式表形式表示麥克斯韋方程。示麥克斯韋方程。P182P182可得可得 BE j0 B D j JED HB JEJ 以及以及上述方程稱為麥克斯韋方程的上述方程稱為麥克斯韋方程的復數(shù)形式復數(shù)形式。麥克斯韋方程的復數(shù)形式麥克斯韋方程的復數(shù)形式 t JED HB JEJ t DJHt BE 0 B DDJH jBE j0 B D j JED HB JEJ 瞬時形式瞬時形式 ( r

25、, t )復數(shù)形式復數(shù)形式 ( r )7. 復電容率和復磁導率復電容率和復磁導率 高頻場中存在損耗高頻場中存在損耗導電媒質(zhì)導電媒質(zhì)(,)，歐姆損耗，歐姆損耗EEEEHcjjjj)(jc稱為等效復介電常數(shù)或復電容率稱為等效復介電常數(shù)或復電容率電介質(zhì)中電極化損耗電介質(zhì)中電極化損耗 jc稱為復介電常數(shù)或稱為復介電常數(shù)或復電容率復電容率 tan定義損耗角正切定義損耗角正切導電媒質(zhì)導電媒質(zhì)/tan相似地，磁介質(zhì)中相似地，磁介質(zhì)中 jc tan稱為稱為復磁導率復磁導率P183P1838. 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 將將 ，由波動方程得，由波動方程得222t/、jt/式中式中 k022HHck022EEck

26、即時諧電磁場的復矢量即時諧電磁場的復矢量 和和 在無源空間中的波動方程（在無源空間中的波動方程（亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程） 媒質(zhì)的損耗時，導電媒質(zhì)媒質(zhì)的損耗時，導電媒質(zhì)(00)cck亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 022HHk022EEkP184P184EH9. 時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 對于對于正弦正弦電磁場，位函數(shù)也可用電磁場，位函數(shù)也可用復矢量復矢量表示。表示。式中式中22kP185P185AEjAH1洛倫茲條件變?yōu)槁鍌惼潡l件變?yōu)?jA達朗貝爾方程變?yōu)檫_朗貝爾方程變?yōu)?JAA 22kk22由洛倫茲條件，標量位由洛倫茲條件，標量位jA即即)(2kjjjAAAAEAH1),(),(),(ttt

27、rHrErS) sin() sin()()(hemmttrHrE已知能流密度矢量已知能流密度矢量 S 的的瞬時值瞬時值為為 其其周期平均值周期平均值為為 ttttTd ),(2d ),(1)(2 0 0 avrSrSrSTP185P18510. 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量)()(Re21)(avrHrErS*由時諧場坡印廷矢量由時諧場坡印廷矢量S S電場能量密度和磁場能量密度的時間平均值電場能量密度和磁場能量密度的時間平均值*EEEE41)Re(4110eeavcTdtwTw*HHHH41)Re(4110mmavcTdtwTwVwwVVVlSd )( j2d

28、d)(21eavmav PSH*E即即復數(shù)形式的坡印廷定理復數(shù)形式的坡印廷定理。右端表示體積。右端表示體積V內(nèi)的有用功率和無用功率。內(nèi)的有用功率和無用功率。左端的面積分是穿過閉合面左端的面積分是穿過閉合面S 的復功率，其實部為有用功率，即功率的復功率，其實部為有用功率，即功率的時間平均值，被積函數(shù)的實部即為平均能流密度矢量的時間平均值，被積函數(shù)的實部即為平均能流密度矢量Sav。 由此可見，復能流密度矢量的由此可見，復能流密度矢量的實部實部表示能量表示能量流動流動，虛部虛部表示能量表示能量交換交換。 P187P187VVVVSd d) ( jd)( *EEEEHHSHE能量定理能量定理也可用也可用復復矢