1、十四、路徑之“瓜豆原理”一、圓弧型“瓜豆”題1.（2019年樂(lè)L）如圖141一1,拋物紋），=%-4與x軸交于A、8兩點(diǎn)，尸是以點(diǎn)C（0,3）為圓心，2為半徑的網(wǎng)上的動(dòng)點(diǎn)，。是線段外的中點(diǎn)，連接。則線段OQ的最大值是（）簡(jiǎn)析1（中位線模型）：如圖14-1-2,連接8P、BC、CP,易得0。=今2：又8P的最大值為6C+CP=5+2=7,故。的最大值為選C:簡(jiǎn)析2（瓜豆原理）：點(diǎn)。可看作點(diǎn)尸以定點(diǎn)A為位似中心，以3為位似比縮小而來(lái),根據(jù)“瓜豆原理”，點(diǎn)Q的軌跡可看作點(diǎn)P的軌跡以定點(diǎn)A為位似中心，以;為位似比縮小而來(lái)：因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡是。C,所以點(diǎn)Q的軌跡也是一個(gè)圓，其圓心相當(dāng)于，點(diǎn)C以定點(diǎn)A為位似

2、中心，以;為位似比縮小而來(lái)，其半徑為。C半役尾.常規(guī)證明如下：如圖14-1-3,連接AC并取其中點(diǎn)連接QM、PC、OM,易得3點(diǎn)“（一2,5），且QM=jPC=1,故點(diǎn)。在以點(diǎn)例為圓心，以1為半徑的OM上運(yùn)動(dòng)，57從而。的坡大值為。何+。何=弓+1=5,選C.反恐：方法一利用中位埃模里進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化，屬中點(diǎn)潛地的處理乳略：方法二基于“瓜豆原理”判斷目標(biāo)點(diǎn)0所在的軌跡圓，屬于“瓜豆原理”中的"中點(diǎn)結(jié)構(gòu)”，它是“住似結(jié)構(gòu)”的"IH.“立原理”在中考里不適合書寫過(guò)叁,可采取上述方法來(lái)證明.相當(dāng)于把目標(biāo)點(diǎn)。所在的軌跡回加以常規(guī)證明,對(duì)本題而言，方法一最為簡(jiǎn)便，但方法二更為本質(zhì)、更加

3、通用.題2.（2019年桂林）如圖H-2-l,在矩形ABCD中，/18=而，AO=3,點(diǎn)P是4D邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接HP.作點(diǎn)人關(guān)于直線8P的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4c設(shè)AC的中點(diǎn)為。，當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),沿邊AD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.筒析：點(diǎn)。可看作點(diǎn)人以定點(diǎn)C為位似中心，以（為位似比縮小而來(lái)，根據(jù)“瓜豆原理”，點(diǎn)。的軌跡可看作點(diǎn)4的軌跡以定點(diǎn)C為位似中心，以）為位似比縮小而來(lái)，故點(diǎn)。的路徑長(zhǎng)等于點(diǎn)4的路徑長(zhǎng)的右如圖14一22,連接4出，顯然48=48=血故點(diǎn)4在以為圈心，以鏡為半徑的08上運(yùn)動(dòng)：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)4與點(diǎn)人重合；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)ZT1R合時(shí),作點(diǎn),關(guān)于小）的對(duì)稱點(diǎn)/V即

4、為此時(shí)的點(diǎn)尸，故點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為弧4A'的長(zhǎng)度；易得乙48。=60。，則乙4用V=120。，故弧A/T的長(zhǎng)度為號(hào)嚷=午;即點(diǎn)。的路徑長(zhǎng)為2華，因此點(diǎn)。的路徑長(zhǎng)為坐.=乎，故點(diǎn)。在以E為圓心，以乎為半徑的OE上運(yùn)動(dòng)；如圖1424,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)4也與點(diǎn)A垂合，取AC的中點(diǎn)Q,則點(diǎn)。即為點(diǎn)Q的起始位巴；點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為4,連接AC,并取其中點(diǎn)。,，則點(diǎn)0即為點(diǎn)。的終止位置,故弧Q©，的長(zhǎng)度即為點(diǎn)。的路徑長(zhǎng)：易證QE/AB且。小A出，進(jìn)一步可證/。/。=乙4方4=120,由此可得點(diǎn)Q的路徑長(zhǎng)為華.反思：本題依然是“瓜豆原理”中的“中點(diǎn)練構(gòu)”.顯然，“

5、瓜豆原理”中轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)小的路徑長(zhǎng)比常規(guī)過(guò)程中直接求點(diǎn)。的路徑長(zhǎng)更簡(jiǎn)便，盡管“瓜豆原理”不適合直接運(yùn)用于解答期.選推埴空題但用無(wú)妨，而且“瓜豆原理”對(duì)于常規(guī)證明中輔助線的構(gòu)造以及思跖的彩成都有克接的指引之效.也就是說(shuō),可以用“瓜豆原理”去尋找思路、確定答案，用常規(guī)證明去書寫過(guò)程，這也是于新華老師經(jīng)常教導(dǎo)的“想有背景，解不超煙；上下貫穿，靈活自如”！題3.如圖14-3-h在ABC中，NACB=90°,BC=6,tanZ4C=1,AQ=4,將線段A£繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接8D,E為RD中盤,則線段CE長(zhǎng)度的最大值為.圖14-3-1簡(jiǎn)析1（中位線法D:如圖M32,延長(zhǎng)8C至點(diǎn)尸，使CF=

6、C,連接。尸、AF,易證CE=3dF;又A=4,A=A8=6/，故6/一40。萬(wàn)WWB+4,即D尸的最大值為噸+4,從而CE的最大值為3班+2；簡(jiǎn)析2（中位線法2）:如國(guó)1433,取48的中點(diǎn)F,連接EF、CF,則EFD=2,CF=4B=35,從而有3m一2W0/近3出+2,即CE的最大值為3m+2：簡(jiǎn)析3（瓜豆原理）：點(diǎn)E可著作點(diǎn)。以定點(diǎn)B為位似中心，以T為位似比縮小而來(lái),每一個(gè)點(diǎn)E都是相應(yīng)的點(diǎn)D經(jīng)過(guò)同樣的位似變換而來(lái)，而點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是平徑為4的O4.故點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑也是一個(gè)圓，而且可看作由經(jīng)過(guò)相同的位似變換而來(lái)，其惻心亦然，即為A8的中點(diǎn)R如圖14-34所示，點(diǎn)E在半徑為2的。尸上運(yùn)動(dòng)，

7、因此C£的最大值為C/+2=3+2、反思：前兩種解法都屬于中點(diǎn)處理策略，即“中點(diǎn)+中點(diǎn)T中位線”，前者通過(guò)延長(zhǎng)的方式,，后本通過(guò)取中點(diǎn)的方式：方法三仍屬“瓜豆原理'中的“中點(diǎn)結(jié)構(gòu)”，從點(diǎn)的變換到彩的變換，體現(xiàn)了局部與整體之間的關(guān)取，這也是國(guó)彩變換的本段認(rèn)識(shí)，而且方法三對(duì)方法二有指引作用.題（如圖14-4-1.已知正方形"CD的邊長(zhǎng)為2,是正方形相C。內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn),且NAH）=9（r,連接CP取其中點(diǎn)可，則線段的最小值為.簡(jiǎn)析1（中位線法），如圖14-4-2,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)。，使BQ=BC,連接PQ.貝U8M=力。,要求""的最小值,只需求PQ的最小

8、值：lllZ4PD=90°,可知點(diǎn)P在以AD為直往的0。上運(yùn)動(dòng)，連接OP、0Q,則PQN。一。尸，即尸。的最小值為。-0P；再作QG_LZ）A于點(diǎn)G,可得。=仃，PQ=l,故尸。的最小值為531,從而的最小值為亞|二1:簡(jiǎn)析2（瓜豆原理）：如圖14-4一3,同匕點(diǎn)P在以4/）為宜行的。上運(yùn)動(dòng).基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)”也在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，其圓心為0C的中點(diǎn)O,其半徑。”等于。半徑02的;：連接。E作07/_L8c于點(diǎn)，可求得8M的最小值為05-0”班-12,反思：本題是他國(guó)與“瓜豆原理”結(jié)合的典例，以上幾題的共通之處都涉及“瓜豆原理”中所謂的“中點(diǎn)結(jié)構(gòu)”.只有這樣從結(jié)構(gòu)上去分析問(wèn)題才能

9、認(rèn)清本痂，找到通法，也只有從結(jié)構(gòu)上去看問(wèn)題，才能一眼布穿方法，一眼看到結(jié)果.題5.如圖M51,已知正方形A8C0的邊長(zhǎng)為2,以點(diǎn)A為留心，1為半徑作圓，點(diǎn)E是上的任意一點(diǎn),點(diǎn)E繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐齻?0°得到點(diǎn)兄連接ARM4F的最大值是.簡(jiǎn)析】（瓜豆原理）：如圖1452,點(diǎn)尸由點(diǎn)E繞定點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)F的軌跡可由點(diǎn)£的軌跡（即。A）繞定點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而來(lái),故點(diǎn)尸的乳跡也是一個(gè)圓，其圓心即為點(diǎn)C,半徑"=八七=1：常規(guī)證明如下：連接AE、CF,可證尸（5AS）,則CF=A£=】，故點(diǎn)尸

10、在以點(diǎn)C為圓心，以1為半徑的。C上運(yùn)動(dòng)：連接AC,可得AF的最大值為人。+1=2m+】：簡(jiǎn)析2（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）：如圖14-b3,點(diǎn)尸山點(diǎn)E繞定點(diǎn)。按逆時(shí)H方向旋轉(zhuǎn)90。而來(lái)，反過(guò)來(lái)，將線段人尸身定點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段A'E，則八產(chǎn)=4'£:易求/VE的最大值為2隹+1,故4產(chǎn)的最大值為2&+1.反思：以上兩種解法都是縣于點(diǎn)的變換與圖彩的變換之間的關(guān)浜性分析得到的，方法一屬于“瓜豆原理”中的“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，可借助旋轉(zhuǎn)型全等加以常規(guī)說(shuō)理：方法二采取了相對(duì)運(yùn)動(dòng)策略，將目標(biāo)城段人"族#至4'£.轉(zhuǎn)化成常規(guī)的“點(diǎn)明距禺”問(wèn)題

11、“怎么榜過(guò)去，怎么轉(zhuǎn)回來(lái)”，相對(duì)運(yùn)動(dòng)策略往往是解決&雜問(wèn)題的良方，需引起關(guān)注.題6.（2018年南通）如圖14-61.在正方形中，AB=25.。是8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)£是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得。尸,連接AE、(1)(2)(3)CF.求證：AE=CFt若A、仄。三點(diǎn)在同一條直線上，連接。兄求線段。尸的長(zhǎng):求線段。尸長(zhǎng)的最小值.圖14-6-1簡(jiǎn)析：(1)易證故AE=CF(2)方法一(解OCQ：如圖14-6-2,作OG1rC于點(diǎn)G,由(1)可得。尸=AE=AO-OE=39且NOCG=NOAB,進(jìn)一步可得OG=1,CG=2>從而FG=

12、4,OF=y26i圖14-6-2方法二（垂直處理）：如圖1463,作EKL4。于點(diǎn)K,再過(guò)點(diǎn)尸作4。的垂線，垂足為G，交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易得DEK04FDG,則DG=EK=羋，AK=羋，F(xiàn)G=DK=¥，從而尸，=羋，0/7="卮，故。尸=小：50（3）方法一（瓜豆原理）：如圖14-64,點(diǎn)尸由點(diǎn)£繞定點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)”的軌跡可由點(diǎn)E的軌跡（即不含端點(diǎn)的半。）繞定點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)9CT而來(lái)，故點(diǎn)尸的機(jī)跡也是一個(gè)圓，其圓心。'可由點(diǎn)。繞定點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而來(lái)，其半徑ON=OE=2*常規(guī)

13、證明如下：連接OD,并將OD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得O'D,連接0H可證。£92X。'。尸（SAS'）,則OF=OE=2,故點(diǎn)尸在以點(diǎn)。'為圓心，以2為半徑的。'上運(yùn)動(dòng)：連接。'，則。=5,故。尸的最小值為。方法二（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）；如圖14-6-5,點(diǎn)廣山點(diǎn)E繞定點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°而來(lái)，反過(guò)來(lái)，將線段。尸繞定點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到線段OE,則。尸要求。尸的最小值，只需求OE的最小值；連接。1同上易得0七的最小值為。，一。£=56一2,故OF的最小值為。一。如=砧一2.反思：（2）中方法一相當(dāng)于解AOCE比

14、方法二中的垂克處理簡(jiǎn)便的多，而且在解O”的過(guò)程中，考慮到數(shù)據(jù)特抽，這里過(guò)點(diǎn)。作CF的垂線段比過(guò)點(diǎn)F作。C的垂線段的運(yùn)兒更加簡(jiǎn)找.總之，多思考、多現(xiàn)蔡，總會(huì)有出典不意的收獲！（3）是他倒與“麻豆原理”+“技轉(zhuǎn)集構(gòu)”然合的典例，方法一找到了目標(biāo)點(diǎn)所在的軌邊半陰，可利用凝轉(zhuǎn)/XODE至O'OF的方式加以常規(guī)說(shuō)理：方法二再次運(yùn)用相對(duì)運(yùn)幼策喀，化繁為簡(jiǎn)，化磔為易，這兩種方法往往都是解決此典問(wèn)題的通法.題7.如圖14一71,矩形A8c。中，A8=6.BC=9,以。為例心，3為半徑作OD.E是G）D二一動(dòng)點(diǎn)，連接4E,以AE為直角邊作RtAAEF,使NEA尸=90。，且liin/AE/=k則點(diǎn)/與點(diǎn)

15、C之間的最大距離為.kJ簡(jiǎn)析，如圖1472,點(diǎn)尸可看作點(diǎn)£先繞定點(diǎn)人按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再以定點(diǎn)A為位似中心，以;為位似比縮小而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)F的軌跡可看作點(diǎn)E的軌跡（即。）先繞定點(diǎn)人按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再以定點(diǎn)A為位似中心，以;為位似比縮小而來(lái)，故點(diǎn)尸的軌跡也是一個(gè)EI，其圓心。可由點(diǎn)。先繞定點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。再以定點(diǎn)A為位似中心，以J為位似比縮小而來(lái)，即為A8的中點(diǎn)，其半徑OF=1E=l：JJ第7頁(yè)共26頁(yè)常規(guī)證明如下：取45的中點(diǎn)0,連接。，可證AEFs/'a。，進(jìn)一步可證ADEs/Mof,則器=器=/印。/=如=1，故點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為131心，以1為半

16、徑的0。上運(yùn)動(dòng)，由此可得C尸的最大值為OC+OF=3/+1.反思：本題是“瓜豆原理”中的“旋轉(zhuǎn)包似結(jié)構(gòu)”，可借助“就杼相似”加以常觀說(shuō)理，可見(jiàn)“瓜豆原理”與“旋豺相似,之何有密不可分的取系.且前者對(duì)后者的輔助圾構(gòu)造及思路冊(cè)成有指引之效.會(huì)改為“稹若點(diǎn)E在。上坨動(dòng)一周.朱點(diǎn),尸及過(guò)的路徑長(zhǎng),'可佝助"瓜立原理先捷得到點(diǎn)尸經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)等于點(diǎn)£經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)的即。同長(zhǎng)的由此可見(jiàn)，“瓜豆原理”對(duì)于此類路徑長(zhǎng)問(wèn)題有絕時(shí)的秒殺之效.當(dāng)然作為解客芯的話，還要根據(jù)“碇轉(zhuǎn)相似”，加以論證.題8.如圖】4一81,在正方形ABCD中，八5=2,E是邊。上一動(dòng)點(diǎn)，連接8E,作C/_L8E于點(diǎn)

17、F,將C尸繞點(diǎn)尸順時(shí)價(jià)旋轉(zhuǎn)90。得到尸G,連&AG,則AG的最小位為.圖14-8-1簡(jiǎn)析1（瓜豆原理）«如圖14-8-2,易得點(diǎn)尸在以AC為宜徑的00上運(yùn)動(dòng)（事實(shí)上，點(diǎn)尸的軌跡是四分之一,園苑），點(diǎn)G可看作點(diǎn)尸先繞定點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)C為位似中心，以m為位似比放大而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)G的機(jī)跡可看作點(diǎn)F的軌跡先繞定點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)C為位似中心，以小為位似比放大而來(lái),故點(diǎn)G在一個(gè)圓（弧）上運(yùn)動(dòng)，其副心。可由點(diǎn)。先繞定點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,再以定點(diǎn)C為位似中心，以出為位似比放大而來(lái)，其半徑。6=派。/=*:常規(guī)證明如下：作等原RtAOCO其

18、中/（7。'=901連接or>O'G,可證"sACTCG,則徐=含=必，即。G=g,故點(diǎn)G在以0,為圈心，以乖為半徑的。，上運(yùn)動(dòng)（事實(shí)上，點(diǎn)G的軌跡是四分之一圓孤，即孤3C）,從而AG的垃小他為人。：連接AC,在RtAAC。'中，可求得A0'=5,所以4G的最小值為赤一乖：14-8-2圖14-8-3簡(jiǎn)析2（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）：如圖1483,點(diǎn)G可看作點(diǎn)尸先繞定點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,可以定點(diǎn)C為位似中心，以也為位似比放大而來(lái)，反過(guò)來(lái)，將線段AG先繞定點(diǎn)C按悵!時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)C為位似中心，以為位似比縮小可得到紋段。尸（事實(shí)上，只鎘考慮點(diǎn)A經(jīng)過(guò)上述

19、變換得到點(diǎn)。即可），即ACGszDCR型喘=能一小，即AG小DF；要求AG的最小值，只需求DF的最小值；由點(diǎn)?在以6C為直徑的0。上運(yùn)動(dòng)，易得。尸的最小值為小一1,所以AG的最小值為限f.反思：本題是險(xiǎn)阻與“瓜豆原理”中的“旋轉(zhuǎn)位似結(jié)構(gòu)“妹合的典例，方法一星于“瓜豆原理”分析點(diǎn)的變換與就近變換之何的同步性，得到目標(biāo)點(diǎn)G所在的軌跡圓弧，將問(wèn)題傳化為“點(diǎn)圓距離”，共冷點(diǎn)是確定圓心。妁位里，尹實(shí)上，圜心。，可看成總F所在的囿心經(jīng)過(guò)同步變換而來(lái)，即“集體行動(dòng)，步調(diào)一致”，所有的點(diǎn)新在作同步運(yùn)動(dòng)；方法二的本質(zhì)可著作旋轉(zhuǎn)相似彩，但不可否認(rèn)的是，比法依然是從點(diǎn)的變換的視角,結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)策略而想到的，所以說(shuō)“

20、瓜豆原理”中涉及的變換思忠對(duì)于很多常垸解法具備指引之效.題9.已知在AABC中，AB=AC./8AC=a,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C),點(diǎn)C關(guān)于理線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，連接5D、CD.(1)如圖149一1,求證：點(diǎn)氏C、。在以點(diǎn)4為圓心，A8為半徑的圓上；(2)如圖14一9-2,當(dāng)a=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作8。的垂線與直線/交于點(diǎn)E,求證，AE=BD；(3)4nM14-9-3,當(dāng)a=90°,AB=2時(shí)，記直線,與CQ的交點(diǎn)為F,連接8F將直線/繞點(diǎn)八旋轉(zhuǎn)，直接寫出線段3"K度的最大俵.簡(jiǎn)析：(1)如圖14-9為E1心，AB為半徑的陽(yáng)上；(2)如圖149一5,連接C

21、E,可證ZUBC、均為等邊三角形，進(jìn)一步可證4ACEW4BCD,故AE=BD：(3)方法一(三角形三邊關(guān)系)：如圖14一96.1KAe的中點(diǎn)例，連接BM、MF、AD.易得RA，=.MF=AD=AC=.又AW+“尸故A南+1,即8戶的最乙乙大值為小+1:方法二(瓜豆原理):如圖149一7,由AD=AC=2,可知點(diǎn)。在以點(diǎn)A為圓心,以2為半徑的。A上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)尸可由點(diǎn)0以定點(diǎn)C為位似中心，以;為位似比縮小而來(lái),基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)廣的軌跡可由點(diǎn)。的軌跡（叩QA）以定點(diǎn)c為位似中心，以2為位似比縮小而米，其囪心即為AC的中點(diǎn)其半徑為I，山此易得8尸的垃人值為6M+“5=價(jià)+1：方法三（中位線法）：

22、如圖14-9-8,延長(zhǎng)C6至點(diǎn)P,使BP=BC,連接用、AD.PD,易iiE5F=；PD,要求8”的最大色，只需求尸D的術(shù)大值：顯然點(diǎn)。在以點(diǎn)人為用心，以2為半徑的上運(yùn)動(dòng)，從而尸Q的最大值為雨+4）；作人G_L8C于點(diǎn)G，可求以=2季，故PD的最大值為2乖+2,所以"的最大值為乖+1反思：本題是吃圓與“瓜豆原理”中的“中點(diǎn)結(jié)構(gòu).結(jié)合的典例.方法二對(duì)于方法一的輔助線構(gòu)造行一定的指引之故.方法一與方法三都涉及構(gòu)造中位線模型,前者通過(guò)取中點(diǎn)的方式，后者通過(guò)延長(zhǎng)的方民，這兩種方式都是構(gòu)造中位線常見(jiàn)的方法.“瓜豆原理”不伍可以解決路徑與最值問(wèn)題，還可以解決面積問(wèn)題等.題10.如圖14101,。

23、尸在第一象限，半徑為工動(dòng)點(diǎn)A沿著。P運(yùn)動(dòng)一周，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)B,再以A"為邊向左上方作等邊AABC則點(diǎn)C的著點(diǎn)八運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面枳為.變式1：如圖1410-2,若將等邊ZM8C改為等腰RLM8C,其余條件不變，則點(diǎn)C隨著點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為:變式2,如圖14103,若將等邊ABC改為等股A3C,旦NAC5=12（T,共余條件不變.則點(diǎn)C前若點(diǎn)人運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為.簡(jiǎn)析：如圖14104,連接CO,則NAOC=90，=/，故點(diǎn)C可由點(diǎn)A先繞定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再以定點(diǎn)。為位似中心，以2弓為位似比放大而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)

24、C的軌跡可由點(diǎn)人的枕跡（即。P）先繞定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)加,再以定點(diǎn)。為位似中心，以水為位似比放大而來(lái)，由此可知，點(diǎn)c的軌跡也是一個(gè)圓，其半徑是OP半徑的西倍，即3小，故其面積為27心即點(diǎn)C隨著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的而枳為273c.變式I：如圖14105,連接OC,則能=】，同上可得，點(diǎn)C隨著點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為9n；變式2：如圖14106,連接。C,則蜉=乎，同上可得，點(diǎn)C隨著點(diǎn)八運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為3兀反思：這幾個(gè)問(wèn)題的共通之處都是通過(guò)連接0C,借助“三線合一”定理，將"三動(dòng)點(diǎn)”箏腰三角彩問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“雙動(dòng)點(diǎn)”直向三角形問(wèn)題，結(jié)合“瓜豆原理”中的“旋轉(zhuǎn)住似”結(jié)構(gòu)，從而瑜定從

25、動(dòng)點(diǎn)C的就跡.“瓜豆原理”常與旋轉(zhuǎn)或位似變換掛鉤，事實(shí)上，它也可與平移變換等其他的各類變換關(guān)聯(lián)，請(qǐng)奇下例：題1L如圖1411一1,在。中，弧A8所對(duì)的圓心角/人。8=108。，點(diǎn)C是。上的一動(dòng)點(diǎn)，以A。、AC為鄰邊構(gòu)造Z2Z4ODC,當(dāng)NA=。時(shí)，線段8。的長(zhǎng)度最大.簡(jiǎn)析：如圖14一11一2,點(diǎn)。可由點(diǎn)C沿著人。的方向向右平移人。個(gè)單位得到，故點(diǎn)。的軌跡可由點(diǎn)C的軌跡(0。)沿著4。的方向向右平移4。個(gè)單位得到，即點(diǎn)D的軌跡也是一個(gè)陰，其圓心。可由點(diǎn)。沿著A。的方向向右平移4。個(gè)單位得到，其半徑0D等于。C,從而當(dāng)8。為0O,的直徑時(shí)，線段8。的長(zhǎng)度最大，此時(shí)NBO7)=180。：又易得點(diǎn)。在

26、。上，則NOO'8=)/AO8=54。，/OO,O=N4OC=180。-54。=126。，從而NA=27，即當(dāng)N<=27。時(shí)，線段8D的長(zhǎng)度最大.反思：本題可理解為平移類“瓜豆”，中“瓜豆原理”中的“平移結(jié)構(gòu)”，判斷點(diǎn)D所在的軌跡圓是解題的關(guān)佬.二、直線型M瓜豆R題12.（2019年泰安）如圖14121,矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為A8的中點(diǎn)，尸為EC上一動(dòng)點(diǎn)，尸為。尸中點(diǎn)，連接一叢則PB的最小值是（）A.2B.4C心D.2m簡(jiǎn)析1（瓜豆原理），加圖14122,點(diǎn)。可由點(diǎn)尸以定點(diǎn)O為位似中心，以9為位似比縮小而米，基于“瓜豆原埋”分析，點(diǎn)尸的軌跡可由點(diǎn)尸的凱跡（即線段

27、EC）以定點(diǎn)D為位似中心，以I為位似比縮小而米，即點(diǎn)。的軌跡為的中位線何M連接易證BM工MN,故.PBmBM=2yJi,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)M重合，即點(diǎn)"與點(diǎn)C垂合時(shí)取等,所以P8的最小值是2m，選D.常規(guī)證明如下？取CO的中點(diǎn)M,連接。則必是0）產(chǎn)的中位線,故從而NDMP=NDCE為定角,所以點(diǎn)P在一條11線上運(yùn)動(dòng)，下略：簡(jiǎn)析2（中位線法），如圖14-12-3,連接DB并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q,使BQ=BD,連接Q凡則PB=+Q要求3的最小值，只需求”。的地小值；連接QC,作QGJ_OC于點(diǎn)G,易證QG=28C=4,且CG=CO=4,進(jìn)一步可證QC上CE,故FQ2CQ=4戊,從而照的最小值是2乖，選

28、D.反思：本題是“瓜豆展理”中的“中點(diǎn)結(jié)構(gòu)”，且為“直線型瓜豆”，即“直線生直線”，方法一確定點(diǎn)”的就跡線段MN是解颼的關(guān)佬，這里首先乩于點(diǎn)的變換視角可以輕易找到其軌跡.然后利用“夾所定住法”進(jìn)行常規(guī)說(shuō)理，最后結(jié)合“垂線段遺短”求最依；方法二通過(guò)延長(zhǎng)的方式構(gòu)造中位線結(jié)構(gòu)進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化，這里的輔助線構(gòu)造還可以看作是相對(duì)運(yùn)動(dòng)策略的指引，即點(diǎn)可由點(diǎn)F以定點(diǎn)。為位以中心，以為位似比縮小而來(lái)，反過(guò)來(lái)，將線段-8以定點(diǎn)。為位以中心，以2為位似比放大得到FQ（只需找到點(diǎn)“的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。即可），從而將m的最小依轉(zhuǎn)化為尸。的最小值.題13.（2019年宿遷）如圖14131,正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4,E為8c上一點(diǎn)，

29、且跳：=1,尸為A8邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接"，以"為邊向右側(cè)作等邊EFG,連接CG,則CG的最小值為.簡(jiǎn)析1（瓜豆原理）：點(diǎn)G可由點(diǎn)尸繞定點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)G的軌跡可由點(diǎn)尸的軌跡（即線段AB）繞定點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,而來(lái)，故點(diǎn)G的軌跡仍是一條線段，即將線段AB繞定點(diǎn)E順時(shí)針旋傳60。所得到的線段：常規(guī)證明如下：如圖14-13-2,將點(diǎn)8繞定點(diǎn)E順時(shí)付旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)“，連接MG,由ABEM與AEFG均為等邊三角形,易證（SAS）,則NEA/G=NE8F=90°；由“為定點(diǎn)，EM為定線，NEMG為定向,可知點(diǎn)G在一條直線上運(yùn)動(dòng)：如圖14

30、13-3,將點(diǎn)從繞定點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)N,線段MN即為點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)CG_LMN時(shí)，CG取得最小值：作EH上CG于點(diǎn)H,則CG£M,NGCE=NME8=60。，微CH=bCE=：；又GH=ME=BE=1,所以CG=j,即CG的最小值為5：簡(jiǎn)析2（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）：如圖14134,點(diǎn)G可由點(diǎn)F繞定點(diǎn)£順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。而來(lái),反過(guò)來(lái)，將H標(biāo)線段CG繞定點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CN（只需確定點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C即可），則CG=CF,要求CG的最小值，只福求CF的最小值：作C7<LA8于點(diǎn)，再作CK_L5CJ點(diǎn)K,易證CCE為等邊三角形，CH=BK=*又CT2C7A可得CF

31、2R65,從而CG的最小值為日反思：本題屬“直線型瓜豆''中的“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，方法一基于“瓜豆原理”輕松判斷點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)枕跡，再用“夫向定位法”加以常規(guī)說(shuō)理，從而將問(wèn)趣轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)線距禹”問(wèn)題：方法二巧施相對(duì)運(yùn)動(dòng)廉略，即因?yàn)辄c(diǎn)G可由點(diǎn)F繞定點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60而來(lái)，所以反過(guò)來(lái)將目標(biāo)線段CG繞定點(diǎn)E逆時(shí)針流轉(zhuǎn)60°得到線段C'R相當(dāng)于將/XCEG繞定點(diǎn)£逆時(shí)針戰(zhàn)轉(zhuǎn)60°得到（；'£凡從而將CG的#.小值轉(zhuǎn)化為CT的最小但，最后依然利用“垂城段最短”解決問(wèn)迎.題14.如圖14-14-1,矩形ABCO中，AB=4,BC=3,E為48邊上

32、一動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊向右作正方形DEFG,連接CF,貝JC尸的最小值為.設(shè)8E=/(0WiW4),則CP=HQ=r.HF=1+3,從而CF=(7-r)24-(7+3)2即CF的股小值為5#；圖14-14-1簡(jiǎn)析1（垂直處理+函數(shù)建模）：如圖1414-2,作£P_LCO于點(diǎn)，再作“"LC8于點(diǎn)，交支線EP干點(diǎn)Q,易證PEDgAQ尸E,PD=QE=HB=4-i,PE=QF=3,故CH=l-l,=2(/-2)2+50,當(dāng)1=2時(shí)，CF2取得最小值為50,簡(jiǎn)析2（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）：如圖1414一3,連接0F,由aDE尸為等腰£1角三角形，可知點(diǎn)尸可由點(diǎn)£先繞定點(diǎn)D順時(shí)針

33、旋轉(zhuǎn)45。，可以定點(diǎn)。為位似中心，以貶為位似比放大而來(lái)：反過(guò)來(lái),將目標(biāo)線段CF先繞定點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)。為位似中心，以坐為位似比縮小得到線段SE（只需找到點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)S即可）：常規(guī)證明如下：作等腰RtACCS,其中/CSD=90。，又OEf為等腰直角三角形，易證ACDFsSDE,則睡=器=或，即。戶=也5£,要求CF的最小值，只需求SE的奴OILLJIL小值；作5TJ_A8于點(diǎn)丁，交CO于點(diǎn)K,則5E/5T=SK+K7=2+3=5,即興:的Al小色為5,從而b的最小值為反；簡(jiǎn)析3（瓜豆原理）：如圖1414一4,連接。尸，由/）£為等腰直角三角形，可知點(diǎn)戶可由點(diǎn)E

34、先繞定點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)D為位似中心，以小為位似比放大而來(lái)，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)F的軌跡可由點(diǎn)E的軌跡（即線段/M）先繞定點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)。為位似中心，以啦為位似比放大而來(lái)，故點(diǎn)F的軌跡也是一條線段：常規(guī)證明如下：將點(diǎn)5先繞定點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)。為位似中心，以貶為位似比放大得到點(diǎn)“，叩作等腰RlAADM,K1'ZDW=900,連接DA則ADEF為等腰立角三角形，從而易證SDEsm。入故NDMF="BE為定向，由此可判斷點(diǎn)F在一條直線上運(yùn)動(dòng)；如圖1414一5,再作等腰RlAOAM共中/OAN=90。，則紋段MN為點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡，故當(dāng)CT

35、«LMV時(shí)，。尸取得最小值；此時(shí)設(shè)C尸交8A于點(diǎn)心山前易知NOMV-/D8A,從而易得/】=/2=45。，所以與ACK均為等腰有角三角形，故HR=HC=3,CR=3/，又BN=7,則AN=%R尸=2m，CF=5/，即CF的最小值為隊(duì)兩於反思：本題屬“直線型瓜豆”中的“旋件栩似結(jié)構(gòu)”，方法一利用正直處理發(fā)喀，構(gòu)造“一線三直向”，主動(dòng)設(shè)元，建立二次函數(shù)模型求最值；方法二基于點(diǎn)的變換視角分析，采取相對(duì)運(yùn)動(dòng)鬃略，相當(dāng)于將CD尸反向旋骷45°并放縮成SDE,從而將目標(biāo)報(bào)段C尸的ft小值轉(zhuǎn)化為的最小伍.最后利用“'叁線段最短',斛決問(wèn)卷：方由三叢于“瓜豆原理”分析出點(diǎn)尸

36、的運(yùn)動(dòng)枕跡，再利用“旋轉(zhuǎn)相似”結(jié)合“夾角定位法”加以常現(xiàn)說(shuō)理，從而將問(wèn)題杪化為“點(diǎn)現(xiàn)距禺''問(wèn)題.捫對(duì)而言，向兩種方法更為簡(jiǎn)單，但方法三中確定目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)廣的運(yùn)動(dòng)就迂，解決地更為徹底、本質(zhì).題15.（2019年無(wú)保改編）14-15-L在AAH;中，Atf=/C=5,BC=&g。為邊46上一動(dòng)點(diǎn)（。點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDE，連接6E,則線段8E的取值范圍為.簡(jiǎn)析（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）：如圖14152,連接CE,由為等腰百角三角形,可知點(diǎn)E可由點(diǎn)D光繞定點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再以定點(diǎn)。為位似中心，以m為位似比放大而來(lái);y(2反過(guò)來(lái)，將目標(biāo)線段8E先繞定點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，再

37、以定點(diǎn)C為位似中心，以失為位似比縮小得到線段PQ(只需找到點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可圖14-15-2常規(guī)證明如下：作等腰RtABCP,3t+Z5PC=9C%又口)£為等股立角三角形,易證8CEs尸m則將=卷=例即BE=&)D要求BE的取值范圍，只需求PD的I僅僅范圍:連接AP,交AC于點(diǎn)從作尸G1M。于點(diǎn)G.易得PR=BCV2=2枷.pa=PH+AH=22m+小=3小,PG=%sin/%G=3.爐=6,因?yàn)?V2訴3巾，所以6WPDW3班,從而蜒W8EW3m.反思：本題仍屬“直線型瓜豆”中的“旋轉(zhuǎn)柏似結(jié)構(gòu)“，其本質(zhì)與題14相同，上述三種方法都行得通，這里僅提供相對(duì)運(yùn)動(dòng)策略，其他解法可自

38、行探究.為鞏固這三種方去，再提供一例：題16.如圖14-16-1,正方形人瓦7）的邊長(zhǎng)為1.E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，將4E繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段斯，M為。E的中點(diǎn)，堆接例尸，則M”的最小傷為.簡(jiǎn)析1（垂直處理十函數(shù)建模）:如圖14162,延長(zhǎng)£產(chǎn)至點(diǎn)M值FN=E3連接DN,則MF=；DN,要求MF的最小值，只需求ON的最小值：作NGLBC于點(diǎn)G,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證ASEs則嘗一舞一空一2,設(shè)SEx（OWkWI）,nLAtL則GN=Zx,EG=2,從而HN=l_2x|,O4=】+x,故oMMl-Zif+a+QLsf-iqiqq、后2-2=53一£）葉£,當(dāng)

39、寸，0M取得報(bào)小值即DN的坡小ff（為從而Mb的坡3339小35小偉為謫口圖14-16-2簡(jiǎn)析2（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）:如圖14-16-3,延長(zhǎng)E尸至點(diǎn)N,使FN=EF,在接ON,則MF=£oM要求M尸的最小假，只需求ON的最小值；由題易得cosNEAN一然一蜚，點(diǎn)N可由點(diǎn)£先繞定點(diǎn)A逆時(shí)斜旋轉(zhuǎn)NEW,再以定點(diǎn)A為位似中心，以南為位似比放大而來(lái)：反過(guò)來(lái)，將目標(biāo)線段DN先繞定點(diǎn)A順時(shí)針旋、后轉(zhuǎn)NEAM再以定點(diǎn)A為位似中心，以當(dāng)為位似比縮小得到線段SE（只需找到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)S）;5常規(guī)證明如下：作RuMSO,使RuMSDsraeA,易OE&WNs/MSE,則黑二靠=小，即

40、3;W=SS£,要求ON的最小值，只需求SE的最小色；顯然，當(dāng)S£L8C時(shí)，5E取得最小色，此時(shí)設(shè)直線SE與4D交于點(diǎn)丁，如圖14一164所示，易得AS=簡(jiǎn)析3（瓜豆原理）：同上,可將M尸的最小值轉(zhuǎn)化為mV的最小值的余如圖14-16-5.將點(diǎn)B先繞定點(diǎn)人逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/E4N,再以定點(diǎn)A為位似中心，以小為何似比放大得到點(diǎn)H即作RizMBP,其中/cosN8/P=co$NEAN=W，連接PN,可證A6£sA/WW則N4/W=NABE=90。，故點(diǎn)N在一條直線上運(yùn)動(dòng)：加圖M-16-6,將點(diǎn)C先燒定點(diǎn)人逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)NZMP,再以定點(diǎn)A為位似中心，以小為位似比放大得到點(diǎn)0即作R

41、tzMCg,其中Ncos/CAQ=cosN8AP=,則線段PQ即為點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡；當(dāng)QNLPQ時(shí)，£W取得最小值，此時(shí)延長(zhǎng)人。交PQ于點(diǎn)火，nJ得AP=y5.AR=5“kc3=?從而。火=5，DN=反思:本期的精彩之處在于通過(guò)倍長(zhǎng)EF,構(gòu)造中位線模型，將雙動(dòng)點(diǎn)、的我值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)的ON最值問(wèn)題以上提供的三種斛法完仝與我14相，可見(jiàn)從結(jié)構(gòu)上分析問(wèn)題才能真正弄清本質(zhì)，找到通法.題17.(2019年沏州)如圖14171,己知在邛面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形0A8C是矩形，點(diǎn)A、C分別在x軸和),軸的正半軸上，連接AC,QA=3,ian/O4C=乎，。是8c的中點(diǎn).<1)求OC的長(zhǎng)

42、和點(diǎn)D的坐標(biāo)；9(2)如圖14172,用是線段OC上的點(diǎn)，。5=彳。，點(diǎn)P足線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)八D、B三點(diǎn)的拋物線交工軸正半軸干點(diǎn)E,連接OE交48于點(diǎn)E將山/沿QE所在的直線翻折，若點(diǎn)B恰好落在AC上，求此時(shí)37的長(zhǎng)和點(diǎn)E的坐標(biāo)：以線段DF為邊,在/?/所在立我的右上方作等邊/)尺7,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路役的長(zhǎng).簡(jiǎn)析：(1)OC=，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(|V3)；(2)如圖14173,以。為圓心，以O(shè)B為半徑作。，交AC于點(diǎn)方，則點(diǎn)？即為點(diǎn)B此時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作的平分線，分別交x軸、4月于點(diǎn)£、F,易證BF=%B、639=9fAE=Q6=5

43、，從而點(diǎn)上的坐標(biāo)為q,0):點(diǎn)G可由點(diǎn)尸稅定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)G的軌跡可由點(diǎn)尸的軌跡繞定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到，要求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)，只要求點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)。重合時(shí)，可求得腦物線的解析式為.、,=一攣J+，5人從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（*0）,由知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3當(dāng)）；當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合時(shí)，可求得拋物線的解析式為y=乎f+乎k+平，從而可得LIJJ點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6.0）,進(jìn)一步可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為C呼），由此可得.點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)路行的長(zhǎng)為逑一算=W,從而點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)也為虐：J/bo反思：本題是“宜線型瓜豆”中的“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，這里借助點(diǎn)的變摸視角分析,將目標(biāo)點(diǎn)

44、G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)，然后利用臨界點(diǎn)法找到點(diǎn)尸的臨界位匿即可解決.需妥引起思考的為以下的方面：一是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為無(wú)來(lái)回？二是加何利用常規(guī)解法來(lái)說(shuō)明點(diǎn)G的跖徑長(zhǎng)等于點(diǎn)F的路徑長(zhǎng)？對(duì)于扉一個(gè)問(wèn)題，可以采取定性分析，OP越大，拋物線的開口越大，從而AE越大，BF越小,故點(diǎn)廣的運(yùn)動(dòng)路徑并無(wú)來(lái)回；對(duì)于第二個(gè)問(wèn)遜，可構(gòu)造“旋轉(zhuǎn)全等型”結(jié)合“頭角定位法”加以說(shuō)理，可自行探究.題18.（2019年濟(jì)南）小園同學(xué)對(duì)圖形旋*專前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.（一）猜測(cè)探究在ABC中，AB=ACtM是平而內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段4W繞點(diǎn)人按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與N84C相等的角度，得到線段AN,連接

45、NB.（1）如圖14181,若“是線段8c上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出/NAB與NAMC的數(shù)量關(guān)系是,M與朋C的數(shù)量關(guān)系是；如圖14一18一2,點(diǎn)上是A8延長(zhǎng)線上點(diǎn)，若”是NC8E內(nèi)部射線8。上任意一點(diǎn),連接MC,（1）中結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（二）拓展應(yīng)用（3）如圖14183,在AiBCj中,A/i=8,NABG=60°,N84G=75°,P是用G上的任意點(diǎn)，連接AP,將4P繞點(diǎn)4按順時(shí)針力向旋轉(zhuǎn)75',得到線段A。，連接BQ.求線段8。長(zhǎng)度的附小值.簡(jiǎn)析：（1）£NAB=4MAC,NB=MC:（2）仍然成立，可證明NA

46、SgZiMAC（SAS）；（3）方法一（相對(duì)運(yùn)動(dòng)），如圖14-1H4,在邊AQ上取點(diǎn)O,使4Q=44=8,同上可證4Q氏空4尸D（S4S）,則8Q=DP,要求&。的最小值,只需求OP的最小值；分別過(guò)點(diǎn)4、。作aG的垂線，垂足依次為G、H,易得4G=4，i4G=4乖，從4班,的最小值也為45一4啦;6i小gT7TCffl14-18-4而GD=4m一8,。=4#一4/，故62。=43-4/.即DP的最小值為4#一方法二(瓜豆原理)：如圖14185,點(diǎn)。可由點(diǎn)一繞定點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°得到，基于“瓜豆原理”分析，點(diǎn)Q的軌跡可由點(diǎn)P的軌跡(即線段BG)繞定點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°

47、;得到,故點(diǎn)。的軌跡也是一條紋段：常規(guī)證明如下：分別將點(diǎn)以、G繞定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°得到點(diǎn)8八C，易證AGP/ZiACQ(SAS),則NG=NG=45。，故點(diǎn)。在一條直線上運(yùn)動(dòng)，線段69?即為點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)凱跡：作于點(diǎn)G,再作&HJL氏G于點(diǎn)H,同前可用AG=4G=4#,則&Q=4m一8,故BiH=4小一4小,即SQ的最小值為44-4啦.反思：本題依然是“直線型瓜豆”中的“破杼結(jié)構(gòu)”，三個(gè)小間層層遞邊，其中(3)提供的兩種解法，顯然方法一中采取的相對(duì)運(yùn)動(dòng)就略比方法二中使用的“瓜豆原理”更為簡(jiǎn)戰(zhàn)，前者不需要尋找目標(biāo)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)航跡，后者需要精準(zhǔn)定位，并且純合“夾角定位法”進(jìn)

48、行常規(guī)說(shuō)理.題19.（2019年淮安）如圖1419一1,在/$（?中，AB=AC=3,NB4c=100',。是8C的中點(diǎn).小明對(duì)圖14-191進(jìn)行了如下探究：在線段AZ）上任取一點(diǎn)P,連接PB將線段尸8繞點(diǎn)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80.，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連接8£,得到打£小明發(fā)現(xiàn),隨著點(diǎn)尸在線段AD上位設(shè)的變化，點(diǎn)E的位冏也在變化，點(diǎn)E可能在M線4。的左側(cè)，也可能在直線4。上，還可能在直線人。的右側(cè).請(qǐng)你幫助小明繼續(xù)探尢，并解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在直線4。上時(shí)，見(jiàn)圖1419一2所示.NBEP=°；連接CE,直線CE與直城48的位置關(guān)系是.（2）請(qǐng)?jiān)趫D1419一3中畫出6PE,使點(diǎn)£在立紋A。的右側(cè)，連接CE試判斷直線CE與直線A8的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3