1、七年級下三角形綜合題歸類雙等邊三角形模型1 .(1)如圖7,點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結AC和BD,相交于點E,連結BC.求/AEB的大小；(2)如圖8,OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O旋轉(OAB和OCD不能重疊)，求/AEB的大小.圖72 .已知：點C為線段AB上一點，ACM,CBN都是等邊三角形，且AN、BM相交于O.求證：AN=BM求/AOB的度數若AN、BMC相交于點P,BM、NC交于點(湘潭中考題)同類變式：如圖a,ABC和CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C,連接A

2、F和BE.(1)線段AF和BE有怎樣的大小關系？請證明你的結論；(2)將圖a中的CEF繞點C旋轉一定的角度，得到圖b,(1)中的結論還成立嗎？作出判斷弁說明理由；(3)若將圖a中的ABC繞點C旋轉一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形c(草圖即可)，(1)中的結論還成立嗎？作出判斷不必說明理由./I/圖ciLTLjI”fliJr儀n缸耀簫也產陽b3 .如圖9,若ABC和AADE為等邊三角形，曲,N分別為EB,CD的中點，易證:CDBE,AMN是等邊三角形.(1)當把ADE繞A點旋轉到圖10的位置時，CDBE是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)當ADE繞A點旋轉到圖11的位置

3、時，AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，若不是，請說明理由.圖9圖10圖11同類變式：已知，如圖所示，在ABC和ADE中，ABAC,ADAE,BACDAE,且點B,A,D在一條直線上，連接BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點.(1)求證：BECD;AMAN；(2)在圖的基礎上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉1800,其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結論是否仍然成立.4 .如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H.(1)證明：ABG咨ADE;(2)試猜想BHD的度數，并說明理由；(3)將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(0&#

4、176;vBAEv180°),設ABE的面積為Si,ADG的面積為S2,判斷Si與S2的大小關系，弁給予證明.5.已知：如圖，ABC在GD的延長線上取點(1)求證：AGE是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG/BC,交AC于點G,E,使DEDB,連接AE,CD.DAC；(2)過點E作EFIIDC,交BC于點F,請你連接AF,弁判斷AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論.二、垂直模型(該模型在基礎題和綜合題中均為重點考察內容)考點1：利用垂直證明角相等1 .如圖，ABC中，/ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作CF±AE,垂足為F,過B作BD，BC交

5、CF的延長線于D.求證：(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的長.J02 .(西安中考)如圖(1),已知的一條直線,ABC中,/BAC=90,AB=AC,AE是過A且B、C在A、E的異側,BD±AE于D,CE±AE于E。圖(1)圖(2)圖(3)(1)試說明：BD=DE+CE.(2) 若直線AE繞A點旋轉到圖(2)位置時(BD<CE),其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？寫結論,弁說明理由。(3) 若直線AE繞A點旋轉到圖(3)位置時(BD>CE),其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何？寫出結論,可不說明理由。3.直線CD經過BCA的頂點

6、C,CA=CB.E、F分別是直線CD上兩點，且BECCFA(1)若直線CD經過BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1,若BCA90o,90o,則EF|BEAF|(填“"，或“”號)；如圖2,若0oBCA1800,若使中的結論仍然成立，則與BCA應滿足的關系是;BCA,請探究EF、與BE、AF三條(2)如圖3,若直線CD經過BCA的外部，線段的數量關系，弁給予證明.圖1圖2圖3考點2:利用角相等證明垂直1 .已知BE,CF是ABC的高，且BP=AC,CQ=AB,試確定AP與AQ的數量關系和位置關系BC2 .如圖，在等腰RtAABC中，/ACB=90°,

7、D為BC的中點，DE，AB,垂足為E,過點B作BF/AC交DE的延長線于點F,連接CF.(1)求證：CD=BF;求證：AD±CF;(3)連接AF,試判斷ACF的形狀拓展鞏固：如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC邊上的中線,過C作AD的垂線，交AB于點E,交AD于點F,求證：/ADC=/BDE.(提示：對比此題的條件和上面那題的條件，對比此題的圖形和上題的圖像，有什么區別和聯系？)3 .如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；(2)將正方形DEFG繞點D按

8、順時針方向旋轉，使E點落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你認為(1)中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.4.如圖1,ABC的邊BC在直線1上，AC在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EFBC,且ACBC,EFP的邊FP也FP(1)在圖1中，請你通過觀察、測量,猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系;(2)將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連接AP,BQ.猜想弁寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想;(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q,連結AP,BQ，你認為(2)中所猜想的BQ

9、與AP的數量關系和位置關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由EFPAC三、等腰三角形（中考重難點之一）考點1:等腰三角形性質的應用1.如圖,E,ABC中，ABAC,BACFD與AC交于F.求證：BE90,D是BC中點，EDAF,AECF.FD,ED與AB交于oo2.兩個全等的含30,60角的三角板ADE和三角板ABC,如圖所示放置，一條直線上，連結BD,取BD的中點M,連結ME,MC.試判斷明理由.E,A,C三點在EMCW形狀，并說壓軸題拓展：（三線合一性質的應用）已知RtABC中，AC的中點，EDF90,EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交于E、F.當EDF繞D點旋轉到D

10、EAC于E時（如圖1）,易證SdefBC,C90,D為AB邊AC、CB（或它們的延長線）SCEFSABC.當EDF繞2D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立,請給予證明；若不成立，SDEF,SCEF,SABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.圖1提示：此題為上面題目的綜合應用，思路與第一題相似。3,已知：如圖，ABC中，/ABC=45°,CD±AB于D,BE平分/ABC,且BEXAC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G。（1）BF=ACCE=1BF2（3）CE與BC的大小關系如何。靖孝邈!潘

11、熱痔/）男繳1考點2:等腰直角三角形（45度的聯想）1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A,B重合），另一條直角邊與/CBM的平分線BF相交于點F.（1）如圖141,當點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE,EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是: 連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數量關系是；請證明你的上述兩猜想如圖142,當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N,使得NE=BF,進而猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系弁證明2.在RtAABC中,AC=BC,/ACB=

12、90,D是AC的中點，DG±AC交AB于點G.（1）如圖1,E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF,連結EF與CF,過點F作FH±FC,交直線AB于點H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數量關系弁加以證明.（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借（1）中得出的結論是否助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，弁判斷你在發生改變.（本小題直接寫出結論，不必證明）同類變式：（期末考試原題哦）三角尺的一條直角邊經過點A,BCEDEF已知：ABC為等邊三角形，M且60o角的頂點E在BC上滑動,是BC延長線上一點，直

13、角E不與點B、C重合），斜邊與/ACM的平分線CF交于點F（1）如圖（1）當點E在BC邊得中點位置時1猜想AE與EF滿足的數量關系是2連結點E與AB邊得中點N,猜想BE和CF滿足的數量關系是3請證明你的上述猜想;（2）如圖（2）當點E在BC邊得任意位置時，AE和EF有怎樣的數量關系，弁說明你的理由?ANFCMBECM圖(2)圖（1）四、角平分線問題1.如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分/DAB和/CBA,/AEB=90°,設AD=xBC=y,且x,y滿足x2y26x8y250(1)求AD和BC的長；(2)你認為AD和BC還有什么關系？弁驗證你的結論；(3)你能求出AB的長度嗎？

14、若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由2.如圖，OP是/MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題:(1)如圖，在ABC中，/ACB是直角，/B=60AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷弁寫出FE與FD之間的數量關系;如圖，在ABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你3.(北京市中考模擬題)如圖，在四邊形ABCD中，AC平分并且AEJ(ABAD)，則ABCADC等于多少？2AB于BAD，過C作CEE,DF±AC于F.D4.如圖，ABC中，AD平分/

15、BAC,DG±BC且平分BC,DELAB于E,b(1)說明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=,求AE、BE的長.1.在ABC中,D為BC的中點，過D點的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于點GoDEGF,弁交AB于點E.連結EG.(1)求證：BGCF請猜想BECF與EF的大小關系,弁加以證明ZDJ2.AB如右下圖，在2DE.ABC中，若B2C,ADBC,E為BC邊的中點.求證:3.已知ABC中,AB的中線.求證CDAC,BD為AB的延長線，且2CE（提示：倍長中線試試）BDAB,CE為ABC的AB邊上附加思考題：（此題有很好地思維訓練價值，為腰分別向外作等腰RtABD和

16、等腰值得深入思考探究）以ABC的兩邊AB、AC別是BC、DE的中點.探究：AMRtACE,BADCAE與DE的位置關系及數量關系.90.連接DE,如圖當ABC為直角三角形時,AM與DE的位置關系是；線段AM與DE的數量關系是將圖中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉90）后，如圖所示，問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由.CM圖BM圖1.判斷與說理（1）如圖111,AADE中，AE=AD且/AED=/ADE,/EAD=90,EC、DB分別平分/AED、/ADE,交AD、AE于點C、B,連接BC.請你判斷AB、AC是否相等，弁說明理由；（2）AADE的位置保持不變，將ABC繞點A逆時針旋

17、轉至圖112的位置，AD、BE相交于O,請你判斷線段BE與CD的關系，弁說明理由.2 .某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題:如圖12-1,在正三角形ABC中，M、點，BM與CN相交于點O,若/BON=60N分別是AC、AB上的如圖12-2,在正方形ABCD中，M、點，BM與CN相交于點O,若/BON=90N分別是CD、AD上的,則BM=CN.圖121D圖122學習小組成員根據上述兩個命題運用類比.的思想又提出了如下的命題:如圖12-3,在正五邊形ABCDE中,M、的點，BM與CN相交于點O,若/BON=108分別是CD、DE貝UBM=CN.（友情提示：正多邊形的各邊相等且各內角也

18、相等）（1）請你從、三個命題中選擇一個說明理由;（2）請你繼續完成下面的探索:圖12-3圖124如圖12-4,在正n邊形（n>6）中,于點O,問當/BON等于多少度時，結論M、N分別是BM=CN成立?如圖12-5,在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交（不要求證明）DE、AE上的點，BM與CN相交JTI解：（1）我選.（僅填寫、中的一個）圖12-5于點O,當/BON=108。時，請問結論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由理由如下:,AD是BC邊上的中線，過C作AD3 .如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，/ACB=90的垂線，交A

19、B于點E,交AD于點Fo請你猜想/ADC和/BDE關系，弁證明你的猜想。圖94 .如下幾個圖形是五角星和它的變形.(1)圖中是一個五角星形狀,求/A+ZB+ZC+ZD+ZE=圖中的點A向下移到BE上時（如圖）五個角的和（即/CAD+/B+/C+/D+/E)有無變化？說明你的結論的正確性;（3）把圖中的點C向上移動到BD上時（如圖），五個角的和（即/CAD+/B+/ACE+/D+/E）有無變化？說明你的結論的正確性.（4）如圖，在ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的中線，延長CD到F,使FD=CD,延長BE到G,使EG=BE,那么AF與AG是否相等?F、A、G三點是否在一條直線上？說說你的

20、理由.5、操作實驗:圖（1）圖（2）如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折弁展開，發現被折痕分成的兩個三角形成軸對稱.所以ABD應ACD,所以/B=/C.歸納結論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等.根據上述內容，回答下列問題：思考驗證：如圖(4),在ABC中，AB=AC.試說明/B=/C的理由.探究應用：如圖(5),CBXAB,垂足為A,DA±AB,垂足為B.E為AB的中點，AB=BC,CE±BD.(1)BE與AD是否相等？為什么？(2)小明認為AC是線段DE的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由(3)/DBC與/DCB相等嗎？試說明理由.6.如圖13-1

21、,在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AEEF,BE2.(1)求EC:CF的值；(2)延長EF交正方形外角平分線CP于點P(如圖13-2),試判斷AE與EP的大小關系,弁說明理由；(3)在圖13-2的AB邊上是否存在一點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.BEC圖13-27.團體購買某“素質拓展訓練營”的門票，票價如表(a為正整數)團體購票人上|每人門票價a元(a3)元(a6)元“素質拓展訓練營活動，其中高一（某中學高一（1）、高一（2）班同學準備參加力1)班人數不超過50,高一（2）的人數超過5

22、0但不超過80。a=48時，若兩班分別購票，兩班總計應付門票費4914元；若合在一起作為一個團體購票,總計支付門票費4452元。問這兩個班級各有多少人?某校學生會現有資金4429元用于購票，打算組織本校初三年級團員參加該項活動。為了讓更多的人能參加活動，學生會統一組織購票，購票資金恰好全部用完，且參加人數超過了100人，問共有多少人參加了這一活動？弁求出此時a的值。8.如下圖，在ABC中，AD平分/BAC,AB+BD=AC，則/B：/C的值為9.如左下圖，AB/CD,AD/BC,OE=OF,則圖中全等三角形的組數是A.3B.4C.5D.610.兩個全等的含30°,60°角的

23、三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，直線上，連結BD,取BD的中點M,連結ME,MC.試判斷EMCE,A,C三點在一條的形I狀，弁說明理由.11、（1）不用量角器，只利用刻度尺就能畫出一個角的平分線，下面是小明的畫法，你認為他的畫法對嗎？請你按照小明的畫法，畫出圖形，說明理由利用刻度尺在/AOB的兩邊上分別取OC=OD;連結CD,利用刻度尺畫出為/AOBCD的中點E畫射線OE射線OE即的角平分線。（2）請你探索只利用你的三角尺（可以量長度、畫直角）畫出一個角的平分線的畫法。（要求：畫出圖形；簡要說明畫法；說明理由。12.（1）如圖（1）,正方形ABCD中，E為邊CD上一點，連結AE,過點A

24、作AFXAE交CB的延長線于F,猜想AE與AF的數量關系，并說明理由;（2）如圖（2）,在（1）的條件下，連結AC,過點A作AM±AC交CB的延長線于M,觀察弁猜想CE與MF的數量關系(不必明理由)6)解決:王傅有一如所示的板材余料，其中/A=/C=90°,AB=AD.王傅想切一刀后把它拼成正方形.你幫王傅在(3)中畫出剪拼的示意；王傅有兩同大小的余料，能否在每上各切一刀，然后拼成一個大的正方形呢？若能，你畫出剪拼的示意；若不能，要明理由.13.下是按一定律排列的方程集合和它解的集合的關系，若方程集合中的方程自左至右依次作方程1、方程2、方程3、？?方程n.(1)將方程1的

25、解填入中；(2)依據方程和它的解化的律，將方程n和它的解直接填入集合中;,求m、n的，弁判斷方程是否符合(2)xny1x10(3)若方程的解是xmy16y9中的律？14.某工廠用如甲所示的方形和正方形板,做成如乙所示的式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒.(長方形的寬與正方形的邊長相等)(1)現有正方形紙板50張，長方形紙板l00張，若要做豎式紙盒x個，橫式紙盒y個.根據題息，元成以下表格:啜式紙盒橫式紙拿國甲國乙(2)若有正方形紙板80張，長方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好全部用完.已知162<n<172,求n的值.15 .(1)如圖1,圖2,圖3,在ABC中，分別以AB,AC為

26、邊，向ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE,CD相交于點O.(說明：每條邊都相等，每個角都相探究：如圖1,BOCo；如圖2,BOCo；如圖3,BOCo.(2)如圖4,已知：AB,AD是以AB為邊向ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC,AE是以AC為邊向ABC外所作正n邊形的一組鄰邊.BE,CD的延長相交于點O.猜想：如圖4,BOCo(用含n的式子表示)；根據圖4證明你的猜想.16 .按照指定要求畫圖(1)如下圖1所示，黑粗線把一個由18個小正方形組成的圖形分割成兩個全等圖形，請在圖2中，仿圖1沿著虛線用四種不同的畫法，把每圖形分割成兩個全等（2）請將下面由16個小正方形組成的圖形，用兩

27、種不同的畫法沿正方形的網格線用粗線把它分割成兩個全等圖形ftEi17.用兩個全等的等邊三角形這個四邊形疊合，使三角尺的尺繞點A按逆時針方向旋轉。ABC和ACD拼成四邊形ABCD,把一個含60°角的三角尺與60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角（1）當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（如圖a）,通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結論？并說明理由;（2）當三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時（如圖b）,你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由。（本題12分）18.如圖，在下列網格中，/ABC和

28、/DEF全等，DE與AB是對應線段，則符合條件的F點的個數為（且）.A.1個B.2個C.3個D.4個26.小本JK送分客分】如圖，已知梯形/A8中.月二。=10厘米,的=&廛米.氟B濤金片的營&臚衽戰段班?上由4點向匕點運動.同Bt.點Q在線段CD上由C點向D點運動.茬點戶與Q輒以：匣粕出的相同速度運動.經過I.5秒后.AWB與&C©是否金.？清說明理由t密特點P的速度為3厘米/秒，當點Q詢運動逑度為多少時，朧夠便呼£吃(!©尸至等？BpC19、已知：如圖所示，在ABC和ADE中，ABAC,ADAE,/BAC=/DAE=a,且點B,A,D在

29、一條直線上，連接BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點.(1)求證：BECD；(2)在圖的基礎上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉1800,其他條件不變，得到圖所示的圖形.請直接寫出(1)中的兩個結論是否仍然成立;圖(3)在旋轉的過程中，若直線BE與CD相交于點P,試探究/APB理由。(結果用含a的代數式表示)第27題圖27.1本康滿分10分）在AWC中學府=，?,點Q是直獻以C上一點（不號樂C直合），以4D為一邊在AO的右側作ZUDM使建題絆ftWC=%/B=B.一1"H2'ftffiBD備用同（1如圖收當點D在城段BC上時.、.如果/ac=wr,則ch國如果/&c

30、=iMr.Mbce-ft】加果/5"££=Jfc你認為q.e之間有龍樣的數量關*t*說明可由工障）當點d在直線ac上移動時,則。.有怎樣的制送樂字勝備用國上出國形井直接寫出你的結論.21.如右圖所示，方格紙中有A、B、C、D、E五個格點（圖中的每一個方格均表示邊長為1個單位的正方形），以其中的任意3個點為頂點，畫出所有的三角形，數一下，共構成個三角形，其中有對全等三角形，它們分別請選取一對非直角全等三角形，說明全等的理由.22.已知/AOB=90,在/AOB的平分線OM上有一點C,將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）

31、相交于點D、E.當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），易證：CD=CE當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下,成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.上述結論是否還23.如圖，ADAC和4EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點MN,有如下結論：ACEADCB;CM=CN;EM=BN.其中，正確結論的個數A.3個B.2個C.1個D.0個24 .銳角為45o的直角三角形的兩直角邊長也相等，這樣的三角形稱為等腰直角三角形.我們常用的三角板中有一塊就是這樣的三角形，也可稱它為等腰直角三角板.把兩塊全等的等腰直角三角板按如圖1放置，其中邊BC、FP均在直線l上，邊EF與邊AC重合.將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q,連結AP,BQ.猜想弁寫出BQ與A