1、高考數學(理科)一輪復習函數的奇偶性與周期性學案附答案學案6函數的奇偶性與周期性導學目標：1.了解函數奇偶性、周期性的含義.2.會判斷奇偶性，會求函數的周期.3.會做有關函數單調性、奇偶性、周期性的綜合問題自主梳理1 函數奇偶性的定義如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有，則稱f(x)為奇函數；如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有，則稱f(x)為偶函數2 奇偶函數的性質(1) f(x)為奇函數⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=;f(x)為偶函數⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=.(2) f(x

2、)是偶函數⇔f(x)的圖象關于軸對稱；f(x)是奇函數⇔f(x)的圖象關于_對稱(3) 奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有的單調性3 函數的周期性(1) 定義：如果存在一個非零常數T,使得對于函數定義域內的任意x，都有f(x+T)=，則稱f(x)為函數，其中T稱作f(x)的周期.若T存在一個最小的正數，則稱它為f(x)的(2) 性質：f(x+T)=f(x)常常寫作f(x+T2)=f(xT2) 如果T是函數y=f(x)的周期，貝kT(kZ且kz0)也是y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x). 若對于函數f(x)的定義域內任一個自變量

3、的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx(a是常數且az0),則f(x)是以為一個周期的周期函數自我檢測1 .已知函數f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函數，則m的值是()A1B2C3D42 (2011茂名月考)如果奇函數f(x)在區間3,7上是增函數且最大值為5，那么f(x)在區間-7，-3上是()A增函數且最小值是-5B增函數且最大值是5C減函數且最大值是5D減函數且最小值是53 .函數y=x1x的圖象()A關于原點對稱B.關于直線y=-x對稱C.關于y軸對

4、稱D.關于直線y=x對稱4 .(2009江西改編)已知函數f(x)是(一3,+)上的偶函數，若對于x0,都有f(x+2)=f(x)，且當x0,2)時，f(x)=Iog2(x+1)，貝Uf(2012)+f(2011)的值為()A.2B.1C.1D.25 .(2011開封模擬)設函數f(x)=x+1x+ax為奇函數,貝a=探究點一函數奇偶性的判定例1判斷下列函數的奇偶性.(1) f(x)=(x+1)1x1+x；(2)f(x)=x(12x1+12)；(3) f(x)=Iog2(x+x2+1)；(4)f(x)=x2+x,x0,x2+x,x

5、0變式遷移1判斷下列函數的奇偶性.f(x)=x2-x3;f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=4-x2|x+引一3.探究點二函數單調性與奇偶性的綜合應用例2函數y=f(x)(x工0)是奇函數，且當x(0,+)時是增函數，若f(1)=0,求不等式fx(x-12)0的解集變式遷移2(2011承德模擬)已知函數f(x)=x3+x，對任意的2,2,f(mx2)+f(x)0恒成立，則x的取值范圍為探究點三函數性質的綜合應用例3(2009山東)已知定義在R上的奇函數f(x),滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間0,2上是增函數，若方程f(x)=m(m0),在區間8,8上有四個不同的根x1,x2,

6、x3,x4，貝x1+x2+x3+x4=.變式遷移3定義在R上的函數f(x)是偶函數，且f(x)=f(2-x)若f(x)在區間1,2上是減函數，則f(x)()A在區間-2，-1上是增函數，在區間3,4上是增函數B在區間-2，-1上是增函數，在區間3,4上是減函數C在區間2，1上是減函數，在區間3,4上是增函數D在區間2，1上是減函數，在區間3,4上是減函數轉化與化歸思想的應用例(12分)函數f(x)的定義域為D=x|x半0，且滿足對于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1) 求f(1)的值；(2) 判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；(3) 如果f(4)=1,f(3x+

7、1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函數，求x的取值范圍.【答題模板】解(1)T對于任意x1,x2D有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),.令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.2分(2) 令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),.f(-1)=12f(1)=0.4分令x1=-1,x2=x有f(x)=f(1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)為偶函數.6分(3) 依題設有f(4X4)=f(4)+f(4)=2,f(16X4)=f(16)+f(4)=3,7分f(3x+1)+f(2x-6)3,即f(3x+1)(2x-6)f(64)8分f(x

8、)為偶函數，f(|(3x+1)(2x-6|)f(64).10分又f(x)在(0,+)上是增函數，f(x)的定義域為D.0|(3x+1)(2x-6)|64.11分解上式，得3x5或73x-13或13x3.x的取值范圍為x|-73x-13或一13x3或3x5.12分【突破思維障礙】在(3)中,通過變換已知條件,能變形出f(g(x)f(a)的形式，但思維障礙在于f(x)在(0，+a)上是增函數，g(x)是否大于0不可而知，這樣就無法脫掉“f”，若能結合(2)中f(x)是偶函數的結論，則有f(g(x)=f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定義域為x|x工0，這才能有|g(x)|0，從而得出0|g

9、(x)|a,解之得x的范圍【易錯點剖析】在中，由f(|(3x+1)(2x-6)|)f(64)脫掉“f”的過程中,如果思維不縝密,不能及時回顧已知條件中函數的定義域中x|x工0，易出現0W|(3x+1)(2x-6)|64,導致結果錯誤.1正確理解奇函數和偶函數的定義，必須把握好兩個問題：定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要非充分條件；f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.2 奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要先將函數進行化簡，或應用定義的等價形式：f(-x)=f(x)⇔f(-x)f(x)=0&

10、#8660;f-xfx=1(f(x)工0).3 奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，反之也真利用這一性質可簡化一些函數圖象的畫法，也可以利用它判斷函數的奇偶性4 關于函數周期性常用的結論：對于函數f(x)，若有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx(a為常數且0),則f(x)的一個周期為2a(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1 .(2011吉林模擬)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數

11、，那么a+b的值為()A-13B2D-122 (2010銀川一中高三年級第四次月考)已知定義域為x|x工0的函數f(x)為偶函數，且f(x)在區間(一a,0)上是增函數，若f(-3)=0,貝Ufxx0的解集為()A.(-3,0)U(0,3)B.(-a,-3)U(0,3)C(-a,-3)U(3,a)D(-3,0)U(3,a)3 .(2011鞍山月考)已知f(x)是定義在R上的偶函數,并滿足f(x+2)=-1fx，當1x0時，f(x)=2x+2x+b(b為常數),貝f(-1)等于()A3B1C-1D-35 .設函數f(x)滿足：y=f

12、(x+1)是偶函數；在1,+a)上為增函數，貝Uf(-1)與f(2)大小關系是()Af(-1)f(2)Bf(-1)f(2)C.f(-1)=f(2)D.無法確定題號12答案二、填空題(每小題4分,共12分)6 (2010遼寧部分重點中學5月聯考)若函數f(x)=x1,x0,a,x=0,x+b,x0是奇函數，則a+b=7 .(2011咸陽月考)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，若f(x)滿足f(x+3)=f(x)，且f(1)1,f(2)=2m3m+1,貝m的取值范圍是.8 .已知函數f(x)是R上的偶函數，g(x)是R上的奇函數，且g(x)=f(x1)，若f(2)=2,貝yf(2010)的值為三

13、、解答題(共38分)9 (12分)(2011汕頭模擬)已知f(x)是定義在6,6上的奇函數,且f(x)在0,3上是x的一次式,在3,6上是x的二次式，且當3x6時，f(x)f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的表達式.10.(12分)設函數f(x)=x22|x|1(3x3)(1) 證明f(x)是偶函數；(2) 畫出這個函數的圖象；(3) 指出函數f(x)的單調區間,并說明在各個單調區間上f(x)是增函數還是減函數；(4) 求函數的值域(14分)(2011舟山調研)已知函數f(x)=x2+ax(x工0，常數aR).(1) 討論函數f(x)的奇偶性，并說明理由；(2) 若函數f(x)在2,+)上

14、為增函數，求實數a的取值范圍答案自主梳理1f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2(1)00(2)y原點(3)相反3(1)f(x)周期最小正周期(2)2a自我檢測1 B因為f(x)為偶函數，所以奇次項系數為0，即mn2=0,m2.2 A奇函數的圖象關于原點對稱，對稱區間上有相同的單調性3 A由f(x)=f(x)，故函數為奇函數，圖象關于原點對稱4 Cf(2012)+f(2011)=f(2012)+f(2011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.5 1解析Tf(-1)=0,.f(1)=2(a+1)=0,a=-1.代入檢驗f(x)=是奇函數，故a=堂活動區例1解題導引判

15、斷函數奇偶性的方法(1) 定義法：用函數奇偶性的定義判斷(先看定義域是否關于原點對稱)(2) 圖象法：f(x)的圖象關于原點對稱，則f(x)為奇函數；f(x)的圖象關于y軸對稱，則f(x)為偶函數(3) 基本函數法：把f(x)變形為g(x)與h(x)的和、差、積、商的形式，通過g(x)與h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性解定義域要求0且XZ1,1x0|x+引工3得，f(x)定義域為2,0)U(0,2定義域關于原點對稱,又f(x)=4x2x,f(x)=4x2x f(x)=f(x) f(x)為奇函數例2解題導引本題考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式解題的關鍵是利用函數的單調性、奇偶性化“抽象

16、的不等式”為“具體的代數不等式”在關于原點對稱的兩個區間上,奇函數的單調性相同,偶函數的單調性相反解Iy=f(x)為奇函數，且在(0,+)上為增函數，y=f(x)在(乂,0)上單調遞增，且由f(1)=0得f(1)=0.若fx(x12)0=f(1),則xx120xx121即0x(x12)1，解得12x1+174或1174x0.若fx(x12)0=f(1)，貝Uxx120xx121由x(x12)1,解得x∅.原不等式的解集是x|12x1+174或1174x0變

17、式遷移2(2，23)解析易知f(x)在R上為單調遞增函數，且f(x)為奇函數，故f(mx2)+f(x)0，等價于f(mx2)f(x)=f(x)，此時應用mx2x，即mx+x20對所有2,2恒成立，令h(m)=mx+x2,此時，只需h20h20即可,解得x(2,23)例3解題導引解決此類抽象函數問題,根據函數的奇偶性、周期性、單調性等性質，畫出函數的一部分簡圖，使抽象問題變得直觀、形象，有利于問題的解決8解析因為定義在R上的奇函數，滿足f(x4)=-f(x)，所以f(4x)=f(x).因此，函數圖象關于直線x=2對稱且f(0)=0,

18、由f(x4)=f(x)知f(x8)=f(x)，所以函數是以8為周期的周期函數又因為f(x)在區間0,2上是增函數，所以f(x)在區間2,0上也是增函數，如圖所示，那么方程f(x)=m(m0)在區間8,8上有四個不同的根x1,x2,x3,x4，不妨設x1x2x3x4.由對稱性知x1+x2=12,x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=12+4=8.變式遷移3BIf(x)=f(2x),f(x+1)=f(1x)x=1為函數f(x)的一條對稱軸.又f(x+2)=f2(x+2)=f(x)=f(x),2是函數f(x)的一個周期.根據已知條件畫出函數簡圖的一部分，如右圖：由圖象可以看出，在區間2，1上是

19、增函數，在區間3,4上是減函數課后練習區1 .B依題意得a1=-2ab=0,.a=13b=0,a+b=13.2 D由已知條件，可得函數f(x)的圖象大致為右圖，故fxx0的解集為(一3,0)U(3,+).3 .D由f(x+2)=1fx,得f(x+4)=1fx+2=f(x),那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因為f(x)是偶函數，則f(2.5)=f(2.5)=f(1.5).而1x2時,f(x)=x2,.f(1.5)=0.5.由上知：f(6.5)=0.5.4 .D因為奇函數f(x)在

20、x=0有定義，所以f(0)=20+2X0+b=b+1=0,b=1.f(x)=2x+2x1,f(1)=3,從而f(1)=f(1)=3.5 .A由y=f(x+1)是偶函數，得到y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，f(1)=f(3).又f(x)在1,+TO)上為單調增函數，.f(3)f(2),即f(1)f(2)6 1解析Tf(x)是奇函數，且xR.f(0)=0,即a=0.又f(1)=f(1)，b1=(11)=0，即卩b=1,因此a+b=.1m23解析f(x+3)=f(x),f(2)=f(1+3)=f(1)f(x)為奇函數，且f(1)1,f(1)=f(1)1,.2m3m+11.解得：1m22解析由g(x)=f(x1)，得g(x)=f(x1)，又g(x)為R上的奇函數，g(x)=g(x),.f(x1)=f(x1)，即f(x1)=f(x1)，用x+1替換x，得f(x)=f(x2).又f(x)是R上的偶函數，.f(x)=f(x+2).f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期為4.f(2010)=f(4X502+2)=f(2)=2.9.解由題意，當3x6時，設f(x)=a(x5)2+3，f(6)=2,.2=a(65)2+3.二a=1.f(x)=(x5)2+3(3x6)(3分).f(3)=(35)2+3=1.又f(x)為奇函數，f(0)=0.一次函數圖象過(0,0),(3,-1)兩點.二