1、第十章曲線積分曲面積分練習題a組一.填空題1.設L是x21上從A(1,0)經E(0,1)到B(1,0)的曲線段，貝ULeydy=2.設MN是從M(1,3)沿圓(x2)2(y2)22至點N(3,1)的半圓，則積分MNydxxdy=3.L是從A(1,6)沿xy6至點B(3,2)的曲線段，貝ULexy(ydxxdy)=24.設L是從A(1,0)沿x2紅1至點B(0,、2)的曲線段,222則L2xexydxyexydy=5.設L是yx2及y1所圍成的區域D的正向邊界，則:l(xyx3y3)dx+(x242、Xy)dy=6.設L是任意簡單閉曲線,a,b為常數，則(adxbdy)=L7.設L是xoy平面上

2、沿逆時針方向繞行的簡單閉曲線，且(x2y)dx(4x3y)dy9，則l所圍成L的平面區域D的面積等于8.常數k=時，曲線積分kxydxx?dy與路徑無關。L9.設?是球面x222yz1，則對面積的曲面積分X2y2z2ds=10.設L為。(0,0),A(1,0)和B(0,1)為頂點的三角形圍成的線,則對弧長的曲線積分ds=L11.設L是從點(1,1)到(2,3)的一條線，則L(Xy)dx(xy)dy=12.設L是圓周acost,yasint(0t2)，則(x2y2)3dS=13.設?為曲面x2y2z2dS=二、選擇題1設AP(x,y)iQ(x,y)j，曲線，則以下四個命題中，錯誤的是(X,y)D

3、且P,Q在域D內具有一階連續偏導數，又L:aB是D內任A.若lPdxQdy與路徑無關，則在D內必有B.若lAds與路徑無關，則在D內必有單值函數u(x,y),c.使得du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy若在QPD內-一，則必有xyLAdS與路徑無關。D.若對D內每一閉曲線C,恒有:PdxQdy，則PdxQdy與路徑無關。CL晉嚴為某函數的全微分，又為與路徑無關的曲線積分被積函數，則a等于()A.-1B.0C.1D.23、設曲線積分lxy2dxyxdx與路徑無關，其中x具有連續導數，且00，則1,12ooxydxyxdy=()A.3/8B.1/2C.3/4D4.設S是平面xyz4被圓柱

4、面x2y21截出的有限部分，則曲面積分yds的值是()SA.0;B4.3；D5.設空間區域由曲面zx2y2與平面z0圍成，其中a為正的常數,記的表面外側為S,的體積為V,則A.0B:xyzdydzS.Vxy2z2dzdxz12VD.3V6.已知曲線C:逆時針方向一周，則A.0;B.C.；D.7.已知為平面x11x2A.0dx0(x11x-C.°dy。(x8.單連通區域G內xyzdxdy=(xdyydx、c22Cxy在第一卦限內的下側曲面，則11x2y1)dy;b.0dx0(x1)dx；D.11xdx00(X2(x2P(x,y),Q(x,y)具有連續的一階偏導數，則曲線積分z)dxdy

5、=()y1)dyz)dyLPdxQdy與路徑無關的充要條件是()C.在G內有一閉曲線？，使:：PdxQdy0；B在G內有恒有2P2Q在G內有另一曲線C,使LPdxQdyCPdxQdy；QD.在G內有恒有-9.設？為平面-2在第一卦限內的部分，則(z2x3y)ds=()23(1A4dx07)dy；B.320dx0dy；240dx0dy；D.4.61323(12)dxdy0010.設L:ydx(22L12.2abxdy&L22LxyA.與L取向無關，與a,b大小有關;B.與L取向無關，與a,b大小無關;C.與L取向有關，與a,b大小有關；D.與L取向有關，與a,b大小無關；三、計算題21.

6、 計算曲線積分xdx(yx)dy，其中l是圓周x2y21在第一象限中的部分，依逆時針方向。2. 計算xdydzydzdx2dxdy，其中是上半球面za_xy2上側3. 設L是由x22xy3y36所表示的正向橢圓，計算|=(x23y2)dx(2xy3y2)dyLds4計算，L是點A(0,2)與B(4,0)直線段Lxy5計算xyds,l是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)，為頂點的三角形閉回路。6.計算.x2y2ds,L為圓周x2y2Rx7計算；xyds,L是圓周x2y2R2的閉路8.計算L2xydxx2dy,L分別為下列三種情形。1)從點0(0,0)經yx到A(1,1)2)從點0(0,0

7、)經yx2到A(1,1)3)從點0(0,0)經yx3到A(1,1)2ox9計算Ly2dyL是由直線Xy1,x3,y5圍成的逆時針閉路。FdS10計算l，其中Fyixj,l是由yx,x1及y0所圍成的三角形逆時針閉路。11計算Ldx2xydy，L是由yx2與yX，所圍成的逆時針閉路。LX112.計算)x2y2dxx2y2dy,l是以(0,0),(1,0),(0,1)為頂點的三角形正向閉路。2213.計算；x2ydxxy2dy,L是沿橢圓篤1的正向閉路。Lab14.計算2xy2zds,:平面xyz14xyz15.計算(2x-yz)ds,?:1在第一卦限323416計算xds,:x2y2z2R2在第

8、一卦限部分。四. 應用題1. 利用曲線積分，求曲線所圍圖形的面積。橢圓X43cost,y24sint2. 設半徑為r的球面的球心在定球面x2y2z2a2(a0)上，問當r取何值時，球面在定球面內部的哪部分面積最大3在過點°(0,0)和人(，0)的曲線族yasinx,(a0)中，求一條曲線L,使沿該曲線從O到A的積分l1y3dx2xydy的值最小Xx4.求(esinymy)dx(ecosym)dy，式中anc為由A(a,0)至0(0,0)的x2y2axa0ANC設f(X)連續可導，求1dxq【y2f(xy)1dy，式中C是從A(3,-)到B(1,2)的直線段。Cyy3五證明題1. 設函

9、數f(x)在(-?,+?)內具有一階連續導數，L是上半平面(y0)內的有向分段光滑曲線，其起點為(a,b)，終點為(c,d),1x記1cHy2f(xy)dx評y2f(xy)1dy(1)證明曲線積分I與路徑L無關；(2)當abcd時，求I的值對于它所圍成的區域來說取正向，試證:2. 設L2是包含坐標原點在內的任意光滑無重點閉回路，xdyydx5、設S為曲面x2y22z1的外側，則22I°xdydzydxdzsz2dxdy=_.一、1.(0;2.(0;3.0扌是示：ydxxdyd(xy);,提示：2y2xdxydyd(x);5.3/10;627.3/2;8.2;9.4；10.22;11.

10、5.12.2a7;2二、2、D3、B4、A5、B6.B;7.A;8.D;9.D;10.D三、1、2a33、04、5ln25、126、2氏7、2R38、19、3210、111、41+2ln212、-113、2ab3014、5.315、4.6116、-R364四、1、122、S-a322a3、ysinx0x是使曲線積分的為最小的曲線。3274、1a2m5、-48B組一、填空題：1、設L是順時針方向的橢圓2x2471,其周長為1,則:L(xyx224y)dS.2、設曲線C為x2y2z2R2與xzR的交線，從原點看去C的方向為順時針方向，則cydxzdyxdz22223、計算x2dS,其中C:xyzRCxyz04、設r.22<y2z,則divgradrA組答案2.0；、解答題:6、計算.，xdyyfx,。為逆時針方向繞圓周x2y21一圈的路徑。Cxy7、設函數f(t)具有連續的二階導數，且f(1)f(1)1，試確定函數f(=)，使x2xf(-)dxyxf(-)dy0，其中L是不與y軸相交的簡單正向閉路徑。Lxxx8、計算2(1x2)dydz8xydzdx4xzdxdy，其中是由曲線xey(0ya)繞x軸旋轉成的旋轉曲面。9、空間立體V由x2y21,z0,z2x所圍成，S為V的邊