1、123模糊數(shù)學(xué)的概念l處理現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型確定性數(shù)學(xué)模型:確定性或固定性,對(duì)象間有必然聯(lián)系.隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型:對(duì)象具有或然性或隨機(jī)性模糊性數(shù)學(xué)模型:對(duì)象及其關(guān)系均具有模糊性.l隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別隨機(jī)性:指事件出現(xiàn)某種結(jié)果的機(jī)會(huì).模糊性:指存在于現(xiàn)實(shí)中的不分明現(xiàn)象.l模糊數(shù)學(xué):研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法.4 然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價(jià)值的沒有價(jià)值的. . 甚至可以這樣說，有時(shí)模糊性比精確性還甚至可以這樣說，有時(shí)模糊性比精確性還要好要好. . 例如例如, ,要你某時(shí)到某地去迎接一個(gè)要你某時(shí)到某地去迎接一個(gè)“大胡子高個(gè)子大胡子高個(gè)

2、子長(zhǎng)頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人長(zhǎng)頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”. . 盡管這里只提供了一個(gè)精確信息盡管這里只提供了一個(gè)精確信息男人，而其他男人，而其他信息信息大胡子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中大胡子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個(gè)人腦的綜合分析判斷，就可以接到這個(gè)人. . 模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、個(gè)領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)

3、、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的應(yīng)用應(yīng)用. .5模糊數(shù)學(xué)研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) （概念與其對(duì)立面之間沒有一條明確的分界線）與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問題（一）模糊分類問題已知若干個(gè)相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個(gè)確定事物用哪一個(gè)模糊概念來反映更合理準(zhǔn)確模糊相似選擇 按某種性質(zhì)對(duì)一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性6模糊聚類分析根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系 模糊層次分析法兩兩比較指標(biāo)的確定模糊綜合評(píng)判綜合評(píng)判就是對(duì)受到多個(gè)因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆?/p>

4、個(gè)總的評(píng)價(jià)，如產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評(píng)價(jià)等，都屬于綜合評(píng)判問題。由于從多方面對(duì)事物進(jìn)行評(píng)價(jià)難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評(píng)判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果 7經(jīng)典集合經(jīng)典集合 經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重復(fù)性；范圍邊界分明即無重復(fù)性；范圍邊界分明, ,即一個(gè)元素即一個(gè)元素x要么屬要么屬于集合于集合A( (記作記作x A),),要么不屬于集合要么不屬于集合( (記作記作x A) )，二者必居其一二者必居其一. . 集合的表示法：集合的表示法： (1)(1)枚舉法，枚舉法，A= x1 ,

5、 x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，A= x | P(x). A B 若若x A，則則x B； A B 若若x B，則則x A； A=B A B且且 A B. .8 集合集合A的所有子集所組成的集合稱為的所有子集所組成的集合稱為A的冪集，的冪集，記為記為 (A).并集并集AB = x | x A或或x B ；交集交集AB = x | x A且且x B ；余集余集Ac = x | x A . .集合的運(yùn)算規(guī)律集合的運(yùn)算規(guī)律 冪等律：冪等律： AA = A， AA = A； 交換律：交換律： AB = BA， AB = BA； 結(jié)合律：結(jié)合律：( AB )C = A( BC )， (

6、 AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；9分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；0-10-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；還原律：還原律： (Ac)c = A ；對(duì)偶律：對(duì)偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = ；U 為全集，為全集， 為空集為空集.集合的直積：集合的直積： X Y = (x , y )| x X , y Y .10模糊子集與隸屬函數(shù)模糊

7、子集與隸屬函數(shù) 設(shè)設(shè)U是論域，稱映射是論域，稱映射A(x)：U0,1確定了一個(gè)確定了一個(gè)U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)稱為稱為A的的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)，它表示，它表示x對(duì)對(duì)A的隸屬程度的隸屬程度. 使使A(x) = 0.5的點(diǎn)的點(diǎn)x稱為稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性具模糊性. 當(dāng)映射當(dāng)映射A(x)只取只取0或或1時(shí)，模糊子集時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)就是經(jīng)典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形.11 例例 設(shè)論域設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (1

8、60), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：?jiǎn)挝唬篶m)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一個(gè)模糊集上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為可定義為140190140)(xxA100200100)(xxB也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxB12還可用向量表示法：還可用向量表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，還可以在另外，還可

9、以在U上建立一個(gè)上建立一個(gè)“矮個(gè)子矮個(gè)子”、“中等個(gè)子中等個(gè)子”、“年輕人年輕人”、“中年人中年人”等模糊等模糊子集子集. . 從上例可看出：從上例可看出： (1) (1) 一個(gè)有限論域可以有無限個(gè)模糊子集一個(gè)有限論域可以有無限個(gè)模糊子集, ,而經(jīng)典子集是有限的；而經(jīng)典子集是有限的； (2) (2) 一個(gè)模糊子集的隸屬函數(shù)的確定方法是一個(gè)模糊子集的隸屬函數(shù)的確定方法是主觀的主觀的. . 隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，模糊數(shù)學(xué)方法是在客觀的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)主觀模糊數(shù)學(xué)方法是在客觀的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)主觀的方法的方法. .13 例例 設(shè)論域設(shè)論域U =

10、x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：?jiǎn)挝唬篶m)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一個(gè)模糊集上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為可定義為140190140)(xxA100200100)(xxA也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA14 如：考慮年齡集如：考慮年齡集U=0,100U=0,100，A=“A=“年

11、老年老”，A A也是一個(gè)年齡集，也是一個(gè)年齡集，u = 20 u = 20 A A，40 40 呢？呢？查德給出了查德給出了 “ “年老年老” ” 集函數(shù)刻畫集函數(shù)刻畫: :10050)550(1 (5000)(12uuuuA10U5010015再如，再如，B= “= “年輕年輕”也是也是U的一個(gè)子集，只是不的一個(gè)子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，查同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)：德給出它的隸屬函數(shù)：10025)525(1 (2501)(12uuuuB102550UB（u）16模糊集的運(yùn)算模糊集的運(yùn)算相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含

12、包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為Ac (x) = 1- - A(x).17 例例 設(shè)論域設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在在U上定義兩個(gè)模糊集：上定義兩個(gè)模糊集： A =“商品質(zhì)量好商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞商品質(zhì)量壞”，并設(shè)，并設(shè)A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).則則Ac=“商品質(zhì)量不好商品質(zhì)量不好

13、”, Bc=“商品質(zhì)量不壞商品質(zhì)量不壞”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可見可見Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .18模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)模糊集的并、交、余運(yùn)算性質(zhì) 冪等律：冪等律：AA = A， AA = A；交換律：交換律：AB = BA，AB = BA；結(jié)合律：結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A

14、； 分配律：分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-10-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；還原律：還原律： (Ac)c = A ；19對(duì)偶律：對(duì)偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 對(duì)偶律的證明：對(duì)于任意的對(duì)偶律的證明：對(duì)于任意的 x U (論域論域)， (AB)c(x) = 1 - - (AB)(x) = 1 - - (A(x)B(x) = (1 - - A(x)(1 - - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x) 模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典

15、集合一致，除了排中律以外，即致，除了排中律以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特點(diǎn)，的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征. .20模糊集合的運(yùn)算和隸屬函數(shù)的參數(shù)化模糊集合的運(yùn)算和隸屬函數(shù)的參數(shù)化包含或子集包含或子集：并（析取并（析?。┙唬ê先。┙唬ê先。┭a(bǔ)補(bǔ))()(xxBABA)()()(),(max(xxxxBACBABACBABACxxBAC)(),(min()(1)( ,xxAAAAC2122(A) = A = x | A(x) - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬是一個(gè)經(jīng)典

16、集合，由隸屬度不小于度不小于 的成員構(gòu)成的成員構(gòu)成. . 例：論域例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6( (學(xué)生集學(xué)生集) )，他們的成績(jī)依次為他們的成績(jī)依次為50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生習(xí)成績(jī)好的學(xué)生”的隸屬度分別為的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，則，則A0.9 (90分以上者分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.23 定理定理1 1 設(shè)設(shè)A,

17、B (U ) (A, B是論域是論域U 的的兩個(gè)模糊子集兩個(gè)模糊子集)， , ,0,1，于是有，于是有 - -截集截集的性質(zhì)：的性質(zhì)：(1) A B A B ；(2) A A ；(3) (AB) = A B ，(AB) = A B .定理定理2 (分解定理分解定理)設(shè)設(shè)A (U )， x A，則，則A(x) = ，0,1，x A 定義定義 ( (擴(kuò)張?jiān)頂U(kuò)張?jiān)? )設(shè)設(shè)映射映射 f ：X Y，定義，定義f (A) ( y ) = A(x)， f (x) = y 24 模糊集的數(shù)積模糊集的數(shù)積 設(shè)設(shè)A (U ) (A是論域是論域U 的的模糊子集模糊子集)，0,1，稱，稱 A為為 與與A數(shù)積，數(shù)

18、積， x A, ( A)(x)= A(x)性質(zhì)：性質(zhì)：(1) A B A B；(2) A A ；定理定理3 (分解定理分解定理2)設(shè)設(shè)A (U )，則則AA1 , 0 251. 模糊統(tǒng)計(jì)方法模糊統(tǒng)計(jì)方法 與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的點(diǎn)變動(dòng)的點(diǎn)”是否落在是否落在“不動(dòng)的不動(dòng)的圈圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈變動(dòng)的圈”是否蓋住是否蓋住“不動(dòng)的點(diǎn)不動(dòng)的點(diǎn)”.2. 指派方法指派方法 一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。析表達(dá)式。3. 借用已有的借用已有的“客觀客觀”

19、尺度尺度26隸屬函數(shù)參數(shù)化隸屬函數(shù)參數(shù)化1. 1. 三角形隸屬函數(shù)三角形隸屬函數(shù)xccxbbxaaxcbaxtrigbcxcabax 0 0),;( ; , , )max(min(,),0)x a c xtrig x a b cb a c bl參數(shù)參數(shù)a,b,c確定了三角形確定了三角形MF三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)的x坐標(biāo)坐標(biāo)。27l參數(shù)參數(shù)a,b,c,d確定了梯形四個(gè)角的確定了梯形四個(gè)角的x坐標(biāo)。坐標(biāo)。當(dāng)當(dāng)b=c時(shí)，梯形就退化為三角形時(shí)，梯形就退化為三角形。2. 梯形隸屬函數(shù)梯形隸屬函數(shù)0 ( , , ,)1 0 xabadxdcxaaxbtrap x a b c dbxccxddx( ; , ,

20、, )max(min(,1,),0)x adxtrap x a b c db adc283. 高斯形隸屬函數(shù)高斯形隸屬函數(shù)的寬度。決定的中心；代表MFMFcecxgcx ),;(2)(21l高斯高斯MF完全由完全由c和和決定，決定，c代表代表MF的的中心；中心；決定了決定了MF的寬度的寬度。294. 一般鐘形隸屬函數(shù)bacxcbaxbell211),;(l參數(shù)完全由b通常為正；如果b0,鐘形將倒置。鐘形MF實(shí)際上是概率中柯西分布的推廣，因此又稱為柯西MF。30trig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)31cc-ac+

21、a斜率=-b/2a隸屬函數(shù)的參數(shù)化舉例隸屬函數(shù)的參數(shù)化舉例：以鐘形函數(shù)為例，bacxcbaxbell211),;(a,b,c,的幾何意義如圖所示。改變a,b,c,即可改變隸屬函數(shù)的形狀。323334模型識(shí)別模型識(shí)別 已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個(gè)具體對(duì)象，問把它歸到哪一模型，這物中的一個(gè)具體對(duì)象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識(shí)別就是模型識(shí)別. . 模型識(shí)別在實(shí)際問題中是普遍存在的模型識(shí)別在實(shí)際問題中是普遍存在的. .例如，例如，學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屬于學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屬于哪一綱哪一目；投遞員哪一綱

22、哪一目；投遞員( (或分揀機(jī)或分揀機(jī)) )在分揀信件時(shí)在分揀信件時(shí)要識(shí)別郵政編碼等等，這些都是模型識(shí)別要識(shí)別郵政編碼等等，這些都是模型識(shí)別. .模糊模型識(shí)別模糊模型識(shí)別 所謂模糊模型識(shí)別所謂模糊模型識(shí)別, ,是指在模型識(shí)別中是指在模型識(shí)別中, ,模型模型是模糊的是模糊的. .也就是說也就是說, ,標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中提供的模型是標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中提供的模型是模糊的模糊的. .35 為了能識(shí)別待判斷的對(duì)象為了能識(shí)別待判斷的對(duì)象x = (x1, x2, xn)T是是屬于已知類屬于已知類A1, A2, Am中的哪一類？中的哪一類？ 事先必須要有一個(gè)一般規(guī)則事先必須要有一個(gè)一般規(guī)則, 一旦知道了一旦知道了x的的值值

23、, 便能根據(jù)這個(gè)規(guī)則立即作出判斷便能根據(jù)這個(gè)規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一稱這樣的一個(gè)規(guī)則為個(gè)規(guī)則為判別規(guī)則判別規(guī)則. 判別規(guī)則往往通過的某個(gè)函數(shù)來表達(dá)判別規(guī)則往往通過的某個(gè)函數(shù)來表達(dá), , 我們我們把它稱為把它稱為判別函數(shù)判別函數(shù), 記作記作W(i; x). 一旦知道了一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最判別規(guī)則，最好將已知類別的對(duì)象代入檢驗(yàn)，這一過程稱為好將已知類別的對(duì)象代入檢驗(yàn)，這一過程稱為回回代檢驗(yàn)代檢驗(yàn)，以便檢驗(yàn)?zāi)愕?，以便檢驗(yàn)?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別函數(shù)和判別規(guī)則是否判別規(guī)則是否正確正確.36模糊向量的內(nèi)積與外積模糊向量的內(nèi)積與外積 定義定義 稱向量稱向量a = (a1,

24、 a2, , an)是模糊向量是模糊向量, 其其中中0ai1. 若若ai 只取只取0或或1, 則稱則稱a = (a1, a2, , an)是是Boole向量向量. 設(shè)設(shè) a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn)都是模都是模糊向量，則定義糊向量，則定義 內(nèi)積內(nèi)積： a b = (akbk) | 1kn； 外積外積：a b = (akbk) | 1kn.內(nèi)積與外積的性質(zhì)內(nèi)積與外積的性質(zhì)(a b )c = a c b c ; (a b ) c = a c b c.37 設(shè)設(shè)A1, A2, , An是論域是論域X上的上的n個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集, ,稱稱以模糊集以模糊

25、集A1, A2, , An為分量的模糊向量為為分量的模糊向量為模糊模糊向量集合族向量集合族，記為，記為A = (A1, A2, , An). . 若若X 上的上的n個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , An的隸屬函的隸屬函數(shù)分別為數(shù)分別為A1(x), A2(x) , , An(x),則定義模糊向量則定義模糊向量集合族集合族 A = (A1, A2, , An)的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為A(x) = A1 (x1), A2 (x2) , , An(xn) 或者或者A(x) = A1 (x1) + A2 (x2) + + An(xn)/n.其中其中x = (x1, x2, , xn)為普通向量為普

26、通向量.38 最大隸屬原則最大隸屬原則 設(shè)論域設(shè)論域X =x1, x2, , xn 上有上有m個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , Am( (即即m個(gè)模型個(gè)模型),),構(gòu)構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù), ,若對(duì)任一若對(duì)任一x0X, ,有有k1, 2, , m , ,使得使得Ak(x0)=A1(x0), A2(x0), , Am(x0)，則認(rèn)為則認(rèn)為x0相對(duì)隸屬于相對(duì)隸屬于Ak . . 最大隸屬原則最大隸屬原則 設(shè)論域設(shè)論域X上有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模上有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型型A, ,待識(shí)別的對(duì)象有待識(shí)別的對(duì)象有n個(gè)：個(gè)：x1, x2, , xnX, 如果如果有某個(gè)有某個(gè)xk滿足滿足A(xk)=A(x1)

27、, A(x2), , A(xn), 則應(yīng)優(yōu)先錄取則應(yīng)優(yōu)先錄取xk . .39 例例1 1 在論域在論域X=0,1000,100分?jǐn)?shù)上建立三個(gè)表示分?jǐn)?shù)上建立三個(gè)表示學(xué)習(xí)成績(jī)的模糊集學(xué)習(xí)成績(jī)的模糊集A=“優(yōu)優(yōu)”, ,B =“良良”, ,C =“差差”. .當(dāng)一位同學(xué)的成績(jī)?yōu)楫?dāng)一位同學(xué)的成績(jī)?yōu)?888分時(shí)分時(shí), ,這個(gè)成績(jī)這個(gè)成績(jī)是屬于哪一類？是屬于哪一類？.100901,9080,1080,800, 0)(xxxxxAA(88) =0.840;10095, 0,9585,1095,8580, 1,8070,1070,700, 0)(xxxxxxxxBB(88) =0.741.100800,8070

28、,1080,700, 1)(xxxxxCA(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 根據(jù)最大隸屬原則根據(jù)最大隸屬原則,88,88分這個(gè)成績(jī)應(yīng)隸屬分這個(gè)成績(jī)應(yīng)隸屬于于A, ,即為即為“優(yōu)優(yōu)”. . 例例2 論論域域 X = x1(71), x2(74), x3(78)表示三表示三個(gè)學(xué)生的成績(jī)個(gè)學(xué)生的成績(jī), ,那一位學(xué)生的成績(jī)最差？那一位學(xué)生的成績(jī)最差？C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,根據(jù)最大隸屬原則根據(jù)最大隸屬原則， x1(71)最差最差.42例例3 3 細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別 細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別就是幾

29、何圖形的細(xì)胞染色體形狀的模糊識(shí)別就是幾何圖形的模糊識(shí)別模糊識(shí)別, ,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€(gè)三角圖形而幾何圖形常常化為若干個(gè)三角圖形, ,故設(shè)論域?yàn)槿切稳w故設(shè)論域?yàn)槿切稳w. .即即X= (A,B,C )| A+B+C =180, ABC 標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)=E( (正三角形正三角形),),R( (直角三角形直角三角形), ), I( (等腰三角形等腰三角形),),IR( (等腰直角三角形等腰直角三角形),),T( (任意三任意三角形角形).). 某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，某人在實(shí)驗(yàn)中觀察到一染色體的幾何形狀，測(cè)得其三個(gè)內(nèi)角分別為測(cè)得其三個(gè)內(nèi)角分別為94,50,36,94,

30、50,36,即待識(shí)別對(duì)象即待識(shí)別對(duì)象為為x0=(94,50,36).=(94,50,36).問問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形？應(yīng)隸屬于哪一種三角形？43先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中先建立標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中各種三角形的隸屬函數(shù)各種三角形的隸屬函數(shù). 直角三角形的隸屬函數(shù)直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下列應(yīng)滿足下列約束條件：約束條件： (1) (1) 當(dāng)當(dāng)A=90時(shí)時(shí), R(A,B,C)=1; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)A=180時(shí)時(shí), R(A,B,C)=0; (3) (3) 0R(A,B,C)1. 因此，不妨定義因此，不妨定義R(A,B,C ) = 1 - - |A - - 90|/90. 則則R(x0)=0

31、.955. 或者或者. 0, 1, 0,901),(1pppCBARp其中其中 p = | A 90| 則則R(x0)=0.54.44 正三角形的隸屬函數(shù)正三角形的隸屬函數(shù)E(A,B,C)應(yīng)滿足下列約應(yīng)滿足下列約束條件：束條件：(1) 當(dāng)當(dāng)A = B = C = 60時(shí)時(shí), E(A,B,C )=1;(2) 當(dāng)當(dāng)A = 180, B = C = 0時(shí)時(shí), E(A,B,C)=0;(3) 0E(A,B,C)1. 因此，不妨定義因此，不妨定義E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.則則E(x0) =0.677. 或者或者. 0, 1, 0,1801),(1pppCBAEp其中其中 p = A

32、C 則則E(x0)=0.02.45 等腰三角形的隸屬函數(shù)等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足下列約應(yīng)滿足下列約束條件：束條件：(1) (1) 當(dāng)當(dāng)A = B 或者或者 B = C時(shí)時(shí), I(A,B,C )=1;(2) (2) 當(dāng)當(dāng)A = 180, B = 60, C = 0時(shí)時(shí), I(A,B,C ) = 0;(3) (3) 0I(A,B,C )1. 因此，不妨定義因此，不妨定義I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60.則則I(x0) =0.766. 或者或者. 0, 1, 0,601),(1pppCBAIp p = (A B)(B C)則則I(x0)=0.10.46等腰直角

33、三角形的隸屬函數(shù)等腰直角三角形的隸屬函數(shù)(IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.任意三角形的隸屬函數(shù)任意三角形的隸屬函數(shù)T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045. 通過以上計(jì)算通過以上計(jì)算, ,R(x0) = 0.955最大最大, ,所以所以x0應(yīng)隸應(yīng)隸屬于直角三角形屬于直角三角形. 或者或者(IR)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍仍然是然是R(x0) = 0.54最大最大, ,

34、所以所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形應(yīng)隸屬于直角三角形.47 設(shè)論域設(shè)論域X =x1, x2, , xn 上有上有m個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , Am( (即即m個(gè)模型個(gè)模型),),構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)型庫(kù), ,若對(duì)任一若對(duì)任一x0X, ,取定水平取定水平 0,1. 若存在若存在 i1, i2, , ik, ,使使Aij(x0) ( j =1, 2, , k),則判決為：則判決為： x0相對(duì)隸屬于相對(duì)隸屬于.21kiiiAAA 若若Ak(x0)| k =1, 2, , m , ,則判決為：不則判決為：不能識(shí)別能識(shí)別, ,應(yīng)當(dāng)找原因另作分析應(yīng)當(dāng)找原因另作分析. 該方法也適用于

35、判別該方法也適用于判別x0是否隸屬于是否隸屬于標(biāo)準(zhǔn)模型標(biāo)準(zhǔn)模型Ak. .若若Ak(x0) , ,則判決為：則判決為：x0相對(duì)隸屬于相對(duì)隸屬于Ak; 若若Ak(x0) , ,則判決為：則判決為： x0相對(duì)不隸屬于相對(duì)不隸屬于Ak. .48 設(shè)在論域設(shè)在論域X =x1, x2, , xn上有上有m個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , Am( (即即m個(gè)模型個(gè)模型),),構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)庫(kù). . 被識(shí)別的對(duì)象被識(shí)別的對(duì)象B也是也是X上一個(gè)模糊集上一個(gè)模糊集, ,它與標(biāo)它與標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)中那一個(gè)模型最貼近？這是第二類模糊準(zhǔn)模型庫(kù)中那一個(gè)模型最貼近？這是第二類模糊識(shí)別問題識(shí)別問題.

36、. 先將模糊向量的內(nèi)積與外積的概念擴(kuò)充先將模糊向量的內(nèi)積與外積的概念擴(kuò)充. . 設(shè)設(shè)A(x), B(x)是論域是論域X上兩個(gè)模糊子集的隸屬上兩個(gè)模糊子集的隸屬函數(shù)函數(shù), ,定義定義 內(nèi)積：內(nèi)積： A B = A(x) B(x) | xX ； 外積：外積：AB = A(x)B(x) | xX . 49(1) (1) (A B )c = AcBc; (2) (2) (AB )c = Ac Bc;(3) (3) A Ac 1/2; (4) (4) AAc 1/2.證明證明(1) (1) (A B)c = 1- -A(x) B(x) | xX = 1- - A(x)1- - B(x) | xX = A

37、c(x)Bc(x) | xX = AcBc.證明證明(3) (3) A Ac =A(x) 1- - A(x) | xX 1/2 | xX 1/2.50 下面我們用下面我們用 (A, B)表示兩個(gè)模糊集表示兩個(gè)模糊集A, B之間之間的貼近程度的貼近程度( (簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱貼近度貼近度),),貼近度貼近度 (A, B)有一些有一些不同的定義不同的定義. . 0(A, B) = A B + (1 - -A B)/2 (格貼近度格貼近度) 1(A, B) = (A B )(1- - A B)擇近原則擇近原則 設(shè)在論域設(shè)在論域X = x1, x2, , xn上有上有m個(gè)模糊子集個(gè)模糊子集A1, A2, , A

38、m構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù), ,B是待識(shí)別是待識(shí)別的模型的模型. .若有若有k1,2, m, 使得使得 (Ak , B) = (Ai , B) | 1im,則稱則稱B與與Ak最貼近最貼近, ,或者說把或者說把B歸于歸于Ak類類. .這就是這就是擇擇近原則近原則. .51213 . 07 . 3exp)(xxA223 . 09 . 2exp)(xxA233 . 06 . 5exp)(xxA243 . 09 . 3exp)(xxA252 . 07 . 3exp)(xxA228. 043. 3exp)(xxB52 設(shè)在論域設(shè)在論域X =x1, x2, , xn上有上有n個(gè)模糊子集個(gè)模

39、糊子集A1, A2, , An構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù), ,每個(gè)模型又每個(gè)模型又由個(gè)特性來刻劃：由個(gè)特性來刻劃：Ai =(Ai1, Ai2, , Aim), i = 1,2, n, 待識(shí)別的模型待識(shí)別的模型B=(B1, B2, , Bm). . 先求兩個(gè)模糊向量集合族的貼近度：先求兩個(gè)模糊向量集合族的貼近度：si = (Aij , Bj) | 1jm, i = 1,2, n, 若有若有k1,2, n, ,使得使得 (Ak , B) =si | 1in, ,則稱則稱B與與Ak最貼近最貼近, ,或者說把或者說把B歸于歸于Ak類類. . 這就是這就是多個(gè)特性的擇近原則多個(gè)特性的擇近原

40、則. .53格貼近度的不足之處是一般格貼近度的不足之處是一般 0(A, A)1.定義定義 (公理化定義公理化定義)若若 (A, B)滿足滿足 (A, A)=1; (A, B)= (B, A); 若若ABC, 則則 (A, C) (A, B) (B, C).則稱則稱 (A, B)為為A與與B的貼近度的貼近度. 顯然顯然, ,公理化定義顯得自然、合理、直觀公理化定義顯得自然、合理、直觀, ,避免了避免了格貼近度的不足之處格貼近度的不足之處, ,它具有理論價(jià)值它具有理論價(jià)值. .但是公理化定但是公理化定義并未提供一個(gè)計(jì)算貼近度的方法義并未提供一個(gè)計(jì)算貼近度的方法, ,不便于操作不便于操作. . 于是

41、于是, ,人們一方面盡管覺得格貼近度有缺陷人們一方面盡管覺得格貼近度有缺陷, ,但還但還是樂意采用易于計(jì)算的格貼近度來解決一些實(shí)際問題；是樂意采用易于計(jì)算的格貼近度來解決一些實(shí)際問題；另一方面另一方面, ,在實(shí)際工作中又給出了許多具體定義在實(shí)際工作中又給出了許多具體定義(P145).(P145).54離散型離散型,)()()()(),(111nkkknkkkxBxAxBxABA連續(xù)型連續(xù)型,d)()(d)()(),(1xxBxAxxBxABA55離散型離散型,)()()()(2),(112nkkknkkkxBxAxBxABA連續(xù)型連續(xù)型,d)()(d)()(2),(2xxBxAxxBxABA5

42、6離散型離散型, )()(11),(13nkkkxBxAnBA連續(xù)型連續(xù)型.d)()(11),(3xxBxABA57 事實(shí)上事實(shí)上, ,擇近原則的核心就是最大隸屬原則擇近原則的核心就是最大隸屬原則. .如在小麥品種的模糊識(shí)別如在小麥品種的模糊識(shí)別( (僅對(duì)百粒重考慮僅對(duì)百粒重考慮) )中中, ,可重新定義可重新定義“早熟早熟”、“矮稈矮稈”、“大粒大粒”、“高肥豐產(chǎn)高肥豐產(chǎn)”、“中肥豐產(chǎn)中肥豐產(chǎn)”的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù). .重新定義重新定義“早熟早熟”的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為13 .07 .3exp21),(21A重新定義重新定義“矮稈矮稈”的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為13 .09 .2exp21)

43、,(22A58例例4 4 大學(xué)生體質(zhì)水平的模糊識(shí)別大學(xué)生體質(zhì)水平的模糊識(shí)別. . 陳蓓菲等人在福建農(nóng)學(xué)院對(duì)陳蓓菲等人在福建農(nóng)學(xué)院對(duì)240240名男生的體名男生的體質(zhì)水平按質(zhì)水平按中國(guó)學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查研究中國(guó)學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查研究手冊(cè)上手冊(cè)上的規(guī)定的規(guī)定, ,從從1818項(xiàng)體測(cè)指標(biāo)中選出了反映體質(zhì)水平項(xiàng)體測(cè)指標(biāo)中選出了反映體質(zhì)水平的的4 4個(gè)主要指標(biāo)個(gè)主要指標(biāo)( (身高、體重、胸圍、肺活量身高、體重、胸圍、肺活量),),根根據(jù)聚類分析法據(jù)聚類分析法, ,將將240240名男生分成名男生分成5 5類：類：A1( (體質(zhì)體質(zhì)差差),),A2( (體質(zhì)中下體質(zhì)中下),),A3( (體質(zhì)中體質(zhì)中),),A

44、4( (體質(zhì)良體質(zhì)良),),A5 ( (體質(zhì)優(yōu)體質(zhì)優(yōu)),),作為論域作為論域U( (大學(xué)生大學(xué)生) )上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)型庫(kù), ,然后用最大隸屬原則然后用最大隸屬原則, ,去識(shí)別一個(gè)具體學(xué)生去識(shí)別一個(gè)具體學(xué)生的體質(zhì)的體質(zhì). 5. 5類標(biāo)準(zhǔn)體質(zhì)的類標(biāo)準(zhǔn)體質(zhì)的4 4個(gè)主要指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)個(gè)主要指標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示如下表所示. .59身高身高(cm)體重體重(kg)胸圍胸圍(cm)肺活量肺活量(cm3)A1158.43.047.98.484.22.43380184A2163.44.850.08.689.06.23866800A3166.93.655.39.488.37.0412852

45、6A4172.64.657.78.289.26.44349402A5178.44.261.98.690.98.04536756 現(xiàn)有一名待識(shí)別的大學(xué)生現(xiàn)有一名待識(shí)別的大學(xué)生x = x1, x2, x3, x4 = 175, 55.1, 86, 3900，他應(yīng)屬于哪種類型？，他應(yīng)屬于哪種類型？6061 定義定義1 設(shè)設(shè)R = (rij)mn，若，若0rij1，則稱，則稱R為為模模糊矩陣糊矩陣. 當(dāng)當(dāng)rij只取只取0或或1時(shí)，稱時(shí)，稱R為為布爾布爾(Boole)矩陣矩陣. 當(dāng)模糊方陣當(dāng)模糊方陣R = (rij)nn的對(duì)角線上的元素的對(duì)角線上的元素rii都為都為1時(shí)，稱時(shí)，稱R為為模糊自反矩陣模糊自

46、反矩陣.定義定義2 設(shè)設(shè)A=(aij)mn, ,B=(bij)mn都都是模糊矩陣，是模糊矩陣，相等相等：A = B aij = bij；包含包含：AB aijbij；并并：AB = (aijbij)mn；交交：AB = (aijbij)mn；余余：Ac = (1- - aij)mn.62冪等律：冪等律：AA = A，AA = A；交換律：交換律：AB = BA，AB = BA；結(jié)合律：結(jié)合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)

47、；0-10-1律：律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A；還原律：還原律：(Ac)c = A；對(duì)偶律：對(duì)偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.1.11.1E63 設(shè)設(shè)A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定義模糊矩陣，定義模糊矩陣A 與與B 的合成為：的合成為：A B = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方陣的冪模糊方陣的冪 定義：若定義：若A為為 n 階方陣，定義階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak- -1 A.7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 0

48、3 . 01 . 07 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 0364性質(zhì)性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)；性質(zhì)性質(zhì)2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性質(zhì)性質(zhì)3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性質(zhì)性質(zhì)4：O A = A O = O，I A=A I =A；性質(zhì)性質(zhì)5：AB，CD AC B D.注：合成注：合成( )運(yùn)算關(guān)于運(yùn)算關(guān)于()的分配律不成立，即的分配律不成立，即( AB ) C ( A C )( B C )2 . 03 . 01 . 05 .

49、0,2 . 03 . 01 . 02 . 0,1 . 02 . 03 . 01 . 0CBA652 . 03 . 01 . 05 . 0,2 . 03 . 01 . 02 . 0,1 . 02 . 03 . 01 . 0CBA( AB ) C 1 . 02 . 01 . 01 . 02 . 03 . 01 . 05 . 01 . 02 . 01 . 01 . 0( A C )( B C )1 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 01 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 0( AB ) C ( A C )( B C )66 定義定義 設(shè)設(shè)A = (aij)mn

50、, 稱稱AT = (aijT )nm為為A的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)置矩陣，其中置矩陣，其中aijT = aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1：( AT )T = A；性質(zhì)性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性質(zhì)性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；性質(zhì)性質(zhì)4：( Ac )T = ( AT )c ；性質(zhì)性質(zhì)5：AB AT BT .67證明性質(zhì)證明性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .證明證明：設(shè)：設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 記記(

51、A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由轉(zhuǎn)置的定義知由轉(zhuǎn)置的定義知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 68 定義定義7 設(shè)設(shè)A = (aij)mn,對(duì)任意的對(duì)任意的 0, 1，稱，稱A = (aij( )mn,為模糊矩陣為模糊矩陣A的的 - - 截矩陣截矩陣, 其中其中 當(dāng)當(dāng)aij 時(shí)，時(shí)，aij( ) =1；當(dāng)；當(dāng)aij

52、 時(shí)，時(shí)，aij( ) =0. 顯然，顯然，A的的 - - 截矩陣為布爾矩陣截矩陣為布爾矩陣. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA69對(duì)任意的對(duì)任意的 0, 1，有，有性質(zhì)性質(zhì)1：AB A B ；性質(zhì)性質(zhì)2：(AB) = A B ，(AB) = A B ；性質(zhì)性質(zhì)3：( A B ) = A B ；性質(zhì)性質(zhì)4：( AT ) = ( A )T.下面證明性質(zhì)下面證明性質(zhì)1： AB A B 和性質(zhì)和性質(zhì)3.性質(zhì)性質(zhì)1的證明：的證明： AB aijbij；當(dāng)當(dāng) aijbij時(shí)，時(shí)

53、， aij( ) =bij( ) =1；當(dāng)當(dāng)aij bij時(shí)，時(shí)， aij( ) =0, bij( ) =1；當(dāng)當(dāng)aijbij 時(shí)，時(shí)， aij( ) = bij( ) =0；綜上所述綜上所述aij( )bij( )時(shí)，時(shí)， 故故A B .70性質(zhì)性質(zhì)3的證明：的證明：設(shè)設(shè)A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij( ) =1 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik( ) =bkj( ) =1 (aik( )bkj( )=1cij( ) =0 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik

54、或或 bkj k, aik( ) =0或或bkj( ) =0 (aik( )bkj( )=0所以所以, cij( ) =(aik( )bkj( ).( A B ) = A B .71 與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣系是普通關(guān)系的推廣. . 設(shè)有論域設(shè)有論域X，Y，X Y 的一個(gè)模糊子集的一個(gè)模糊子集 R 稱稱為從為從 X 到到 Y 的的模糊關(guān)系模糊關(guān)系. 模糊子集模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射的隸屬函數(shù)為映射R : X Y 0,1.并稱隸屬度并稱隸屬度R (x , y ) 為為 (x , y )關(guān)于模糊關(guān)系關(guān)于模糊關(guān)系 R 的的相

55、關(guān)程度相關(guān)程度. 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) X =Y 時(shí)，時(shí)，稱之為稱之為 X 上各元素之上各元素之間的間的模糊關(guān)系模糊關(guān)系.72 由于由于模糊關(guān)系模糊關(guān)系 R就是就是X Y 的一個(gè)模糊子集，的一個(gè)模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì)的運(yùn)算及性質(zhì).設(shè)設(shè)R，R1，R2均為從均為從 X 到到 Y 的的模糊關(guān)系模糊關(guān)系.相等相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)；并并： R1R2 的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交交： R1R

56、2 的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余余：Rc 的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為Rc (x, y) = 1- - R(x, y).73 (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)對(duì)模糊關(guān)系對(duì)模糊關(guān)系“R1或者或者R2”的相關(guān)程度，的相關(guān)程度， (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)對(duì)模糊對(duì)模糊關(guān)系關(guān)系“R1且且R2”的相關(guān)程度，的相關(guān)程度，Rc (x, y)表示表示(x, y)對(duì)對(duì)模糊關(guān)系模糊關(guān)系“非非R”的相關(guān)程度的相關(guān)程度.模糊關(guān)系的矩陣表示模糊關(guān)系的矩陣表示 對(duì)于有限論域?qū)τ谟邢拚撚?X = x1, x2, , xm和和Y =

57、 y1, y2, , yn，則，則X 到到Y(jié) 模糊關(guān)系模糊關(guān)系R可用可用mn 階模糊階模糊矩陣表示，即矩陣表示，即R = (rij)mn，其中其中rij = R (xi , yj )0, 1表示表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度的相關(guān)程度. . 又若又若R為布爾矩陣時(shí)為布爾矩陣時(shí), ,則關(guān)系則關(guān)系R為普通關(guān)系為普通關(guān)系, ,即即xi 與與 yj 之間要么有關(guān)系之間要么有關(guān)系(rij = 1), ,要么沒有關(guān)系要么沒有關(guān)系( rij = 0 ).74 例例 設(shè)身高論域設(shè)身高論域X =140, 150, 160, 170, 180 (單位：?jiǎn)挝唬篶m), 體重論域體重論

58、域Y =40, 50, 60, 70, 80(單位：?jiǎn)挝唬簁g), ,下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系. .405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8175 設(shè)設(shè) R1 是是 X 到到 Y 的關(guān)系的關(guān)系, R2 是是 Y 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系, 則則R1與與 R2的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一個(gè)關(guān)系上的一個(gè)關(guān)系.(R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合

59、成化為模糊當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成矩陣的合成. 設(shè)設(shè)X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且，且X 到到Y(jié) 的的模糊模糊關(guān)系關(guān)系R1 = (aik)ms，Y 到到Z 的的模糊模糊關(guān)系關(guān)系R2 = (bkj)sn，則，則X 到到Z 的的模糊模糊關(guān)關(guān)系可表示為系可表示為模糊模糊矩陣的合成：矩陣的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks.76模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)； 性質(zhì)性質(zhì)2：A ( BC )

60、 = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性質(zhì)性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；性質(zhì)性質(zhì)4：A B，C D A C B D.注：注：(1) 合成合成( )運(yùn)算關(guān)于運(yùn)算關(guān)于()的分配律不成立的分配律不成立, ,即即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 這些性質(zhì)在有限論域情況下這些性質(zhì)在有限論域情況下, ,就是模糊矩就是模糊矩陣合成運(yùn)算的性質(zhì)陣合成運(yùn)算的性質(zhì).77模糊等價(jià)關(guān)系模糊等價(jià)關(guān)系 若模糊關(guān)系若模糊關(guān)系R是是X上上各元素之間的各元素之間的模糊關(guān)系，模糊關(guān)系，且滿足：且滿足： (1)(1)自反性：自反性：R(x, x)