1、淺談最優化問題12材控一班 袁揭 1210121054摘 要：優化設計是一門綜合性的學科，非常有發展潛力的研究方向，是解決復雜設計問題的一種有效工具。最優化問題涉及很多內容很多，由其產生來源到問題分類，再到求解方法及模型的構建等，它將最優化原理和計算技術運用于設計領域，為生活生產提供重要的科學方法。關鍵詞：優化方法 分類 模型1最優化問題概念1.1最優化問題在工業、農業、交通運輸、商業、國防、建筑、通信、政府機關等各部門各領域的實際工作中，我們經常會遇到求函數的極值或最大值最小值問題，這一類問題我們稱之為最優化問題。而求解最優化問題的數學方法被稱為最優化方法。它主要解決最優生產計劃、最優分配、

2、最佳設計、最優決策、最優管理等求函數最大值最小值問題。最優化問題的目的有兩個：求出滿足一定條件下，函數的極值或最大值最小值；求出取得極值時變量的取值。最優化問題所涉及的內容種類繁多，有的十分復雜，但是它們都有共同的關鍵因素：變量，約束條件和目標函數。1.2變量變量是指最優化問題中所涉及的與約束條件和目標函數有關的待確定的量。一般來說，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標函數緊密關聯。設問題中涉及的變量為；我們常常也用表示。1.3約束條件 在最優化問題中，求目標函數的極值時，變量必須滿足的限制稱為約束條件。 例如，許多實際問題變量要求必須非負，這是一種限制；在研究電路優化設計問題時，變量必須

3、服從電路基本定律，這也是一種限制等等。在研究問題時，這些限制我們必須用數學表達式準確地描述它們。 用數學語言描述約束條件一般來說有兩種：等式約束條件 不等式約束條件 或 注：在最優化問題研究中，由于解的存在性十分復雜，一般來說，我們不考慮不等式約束條件或。這兩種約束條件最優化問題最優解的存在性較復雜。1.4目標函數在最優化問題中，與變量有關的待求其極值（或最大值最小值）的函數稱為目標函數。目標函數常用表示。當目標函數為某問題的效益函數時，問題即為求極大值；當目標函數為某問題的費用函數時，問題即為求極小值等等。求極大值和極小值問題實際上沒有原則上的區別，因為求f(X)的極小值，也就是要求f(X)

4、的極大值，兩者的最優值在同一點取到。2. 最優化問題分類 最優化問題種類繁多，因而分類的方法也有許多。可以按變量的性質分類，按有無約束條件分類，按目標函數的個數分類等等。 一般來說，變量可以分為確定性變量，隨機變量和系統變量等等，相對應的最優化問題分別稱為：普通最優化問題，統計最優化問題和系統最優化問題。 按有無約束條件分類：無約束最優化問題，有約束最優化問題。按目標函數的個數分類：單目標最優化問題，多目標最優化問題。按約束條件和目標函數是否是線性函數分類：線性最優化問題（線性規劃），非線性最優化問題（非線性規劃）。按約束條件和目標函數是否是時間的函數分類：靜態最優化問題和動態最優化問題（動態

5、規劃）。按最優化問題求解方法分類： 解析法（間接法）數值算法（直接法）數值算法（梯度法）多目標優化方法網絡優化方法3最優化問題的求解步驟和數學模型3.1最優化問題的求解步驟最優化問題的求解涉及到應用數學，計算機科學以及各專業領域等等，是一個十分復雜的問題，然而它卻是需要我們重點關心的問題之一。怎樣研究分析求解這類問題呢？其中最關鍵的是建立數學模型和求解數學模型。一般來說，應用最優化方法解決實際問題可分為四個步驟進行：步驟1：建立模型提出最優化問題，變量是什么？約束條件有那些？目標函數是什么？建立最優化問題數學模型：確定變量，建立目標函數，列出約束條件建立模型。步驟2：確定求解方法分析模型，根據

6、數學模型的性質，選擇優化求解方法確定求解方法。步驟3：計算機求解編程序（或使用數學計算軟件），應用計算機求最優解計算機求解。步驟4：結果分析對算法的可行性、收斂性、通用性、時效性、穩定性、靈敏性和誤差等等作出評價結果分析。3.2最優化問題數學模型最優化問題的求解與其數學模型的類型密切相關，因而我們有必要對最優化問題的數學模型有所掌握。一般來說，最優化問題的常見數學模型有以下幾種：3.2.1無約束最優化問題數學模型由某實際問題設立變量，建立一個目標函數且無約束條件，這樣的求函數極值或最大值最小值問題，我們稱為無約束最優化問題。其數學模型為： 目標函數例如：求一元函數和二元函數的極值。又例如：求函

7、數的極值和取得極值的點。3.2.2有約束最優化問題數學模型由某實際問題設立變量，建立一個目標函數和若干個約束條件（等式或不等式），這樣的求函數極值或最大值最小值問題，我們稱為有約束最優化問題。其數學模型為： 目標函數 約束條件有約束最優化問題的例子：求函數在約束條件條件下的最大值和取得最大值的點。3.2.3線性規劃問題數學模型由某實際問題設立變量，建立一個目標函數和若干個約束條件，目標函數和約束條件都是變量的線性函數，而且變量是非負的，這樣的求函數最大值最小值問題，我們稱為線性最優化問題，簡稱為線性規劃問題。其標準數學模型為： 目標函數 約束條件矩陣形式： 目標函數 約束條件其中 ， 在線性規

8、劃問題中，關于約束條件我們必須注意以下幾個問題。注1：非負約束條件，一般來說這是實際問題要求的需要。如果約束條件為，我們作變量替換；如果約束條件為，我們作變量替換。注2：在線性規劃的標準數學模型中，約束條件為等式。如果約束條件不是等式，我們引入松馳變量，化不等式約束條件為等式約束條件。情況1：若約束條件為，引入松馳變量原約束條件變為 。情況2：若約束條件為，引入松馳變量原約束條件變為 在其它最優化問題中，我們也常常采取上述方法化不等式約束條件為等式約束條件。實際問題中，我們經常遇到兩類特殊的線性規劃問題。一類是：所求變量要求是非負整數，稱為整數規劃問題；另一類是所求變量要求只取或，稱為0-1規

9、劃問題。例如：整數規劃問題 。又例如：0-1規劃問題 。3.2.4非線性規劃問題數學模型由某實際問題設立變量，建立一個目標函數和若干個約束條件，如果目標函數或約束條件表達式中有變量的非線性函數，那么，這樣的求函數最大值最小值問題，我們稱為非線性規劃最優化問題，簡稱為非線性規劃問題。其數學模型為： 目標函數 約束條件其中目標函數或約束條件中有變量的非線性函數。例如：非線性規劃問題 。 上述最優化問題中，目標函數是非線性函數，故稱為非線性規劃問題。 前面介紹的四種最優化數學模型都只有一個目標函數，稱為單目標最優化問題，簡稱為最優化問題。3.2.5多目標最優化問題數學模型由某實際問題設立變量，建立兩個或多個目標函數和若干個約束條件，且目標函數或約束條件是變量的函數，這樣的求函數最大值最小值問題，我們稱為多目標最優化問題。其數學模型為： 目標函數 約束條件 上述模型中有個目標函數，個等式約束條件。例如：“生產商如何使得產值最大而且消耗資源最少問題”“投資商如何使得投資收益最大而且風險最小問題”等都是多目標最優化問題。參考文獻1孫靖民.現代機械設計方法M.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.2鐘志華 周彥偉.現代