1、2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析16.4 6.4 函數的極值與最（小）大值函數的極值與最（小）大值2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析2一、函數的極值及其求法一、函數的極值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x1 1、函數極值的定義、函數極值的定義2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析30( )( , ),( , ),f xa bxa b 設設函函數數在在區區間間內內有有定定義義0,x如如果果存存在在著著點點 的的一一個個鄰鄰域域 對對于于這這鄰鄰域域內內的的,x任任何何點點0( )(),f

2、xf x 均均成成立立0()( );f xf x就就稱稱是是函函數數的的一一極極大大值值個個0,x如如果果存存在在著著點點 的的一一個個鄰鄰域域 對對于于這這鄰鄰域域內內的的,x任任何何點點0( )(),f xf x 均均成成立立0()( ).f xf x就就稱稱是是函函數數的的一一極極小小值值個個函數的極大值與極小值統稱為函數的極大值與極小值統稱為極值極值, ,使函數取得使函數取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點. .2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析4定理定理5.35.3( (費馬定理費馬定理) )( )0)fx ：使使導導數數為為零零的的點點 即即方方程

3、程定定的的實實根根義義( ),f x： 可可導導函函數數的的極極值值點點必必定定是是注注它它的的駐駐點點意意例如例如, ,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 x2 2、函數極值的求法、函數極值的求法( ).f x叫叫做做函函數數的的駐駐點點.但但函函數數的的駐駐點點卻卻不不一一定定是是極極值值點點2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析5定理定理6.10(6.10(第一充分條件第一充分條件) )0( )0( ).fxf xx 有有. .則則在在處處取取極極大大值值得得0000(1)(,),( )0;(,),xxxfxxxx若若時時 有有時時0( )0(

4、).fxf xx 有有. .則則在在處處取取極極小小值值得得0000(2)(,),( )0;(,),xxxfxxxx若若時時 有有時時0000(3)(,)(,),( )xxxxxfx若若及及時時不不變變符符號號，0( ).f xx則則處處無無極極值值在在xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析6xyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟:對可導函數對可導函數 );()1(xf 求導數求導數;0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()3(判斷極值點判斷極值點在駐點左右的正負號在駐點左右的正負號檢

5、查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點情形不是極值點情形)xyo2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析7321.( )(25).f xxx例例求求出出函函數數的的極極值值3101( );3xfxx 解解：10.xx為為駐駐點點，為為不不可可導導點點列表討論列表討論x)(xf )(xf(,0)0(0,1)1(1,) 不不存存在在 0 極極大大值值極極小小值值(0)0;f 極極大大值值(1)3.f 極極小小值值2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析832( )(25)f xxx圖形如下圖形如下102022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學

6、系 數學分析數學分析9定理定理6.11(6.11(第二充分條件第二充分條件) )000( )()0()0f xxfxfx 設設在在 處處具具有有二二階階導導數數，且且，則則00(1)()0( )fxf xx 當當時時，在在處處取取得得極極大大值值；00(2)()0( )fxf xx 當當時時，在在處處取取得得極極小小值值. .證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號，異號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數函數)(xf在在0 x處取得極大值處

7、取得極大值 同理可證同理可證(2).2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析10例例2 2解解2432( ).f xxx求出函數的極值3322(6 )xx，令令0)( xf6.x 得駐點63864(6)(2)xfx60,(6)f故極小值108.2432( )f xxx圖形如下圖形如下2432( )2fxxx0.xf 不在 定義域內2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析11注意注意: :00()0,( ),6.10.fxf xx 時在點 處不一定取極值仍用定理6 62432( )f xxx的圖形2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學

8、分析數學分析12例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數求出函數 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續在該點連續但函數但函數xf注意注意: :函數的不可導點函數的不可導點,也可能是函數的極值點也可能是函數的極值點.2ff2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析13定理定理6.126.12極值的第三充分條件極值的第三充分條件 001.fxnxn設 在 的某鄰域內存在直到階導數，在 處 階可導(

9、)( )00 ()0,(1,2,1), ()0.knfxknfx且則有01nfx（）當 為偶數時， 在 處取得極值.( )0( )0()0()0nnfxfx時取得極大值；且時取得極小值.02nfx（ ）當 為奇數時， 在 處不取極值.定理定理6.126.12的證明類似定理的證明類似定理6.116.11，略，略. .2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析14434. ( )(1).f xxx例求函數的極值3342( )4(1)3(1)fxxxxx解：32(1) (74).xxx40,1,.7x 是函數的駐點22( )6(1)(782)fxxxxx4446912( )0(

10、 ).777823543ffxf 在處取得極小值(0)(1)0.ff32( )6 (3560302)fxxxxx(1)0,3fn1.fx在處不取極值2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析15(0)0.f(4)32( )24(3545151)fxxxx(4)(0)0,4fn0(0)0.fxf在處取得極大值注意：定理注意：定理6.126.12是極值的充分條件，不滿足定理條是極值的充分條件，不滿足定理條件的可能取得極值件的可能取得極值. .例如：例如：21,0;( )0 ,0.xexf xx( )(0)0,1,2,.kfk不能用定理不能用定理6.126.12判斷，但判斷，但

11、顯然顯然f在在x=0=0處取得極小值處取得極小值. .( )(0).kf這里的必須利用導數定義計算2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析16二、最大（小）值的求法二、最大（小）值的求法oxyoxybaoxyabab閉區間上的連續函數一定存在最大（小）值閉區間上的連續函數一定存在最大（小）值. .極值反映的是函數局部性質，而函數的最大（小）極值反映的是函數局部性質，而函數的最大（小）值只可能在端點或極值點處取得值只可能在端點或極值點處取得. .2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析17求最大（最小）值的一般步驟求最大（最小）值的一般步驟: :1

12、.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;可能為極值點可能為極值點2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值求區間端點及駐點和不可導點的函數值,注意注意: :如果區間內只有一個極值如果區間內只有一個極值,比較它們的大小比較它們的大小, ,最大的就是最大值；最大的就是最大值；最小的就是最小值。最小的就是最小值。則這個極值就是最值則這個極值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析18321 55. ( )2124 2.f xxxx例求函數-9在閉區間-, 上的最大值與最小值221(2912),0;4( )5(2912),0.2xxxx

13、f xxxxx解：16(1)(2),0;4( )56(1)(2),0.2xxxfxxxx1,2.x 駐點為1 5,.4 2x 區間端點為2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析190 x 是不可導點實際上可以不判斷.11155(0)0,(1)5,(2)4,(),( )5.4322fffff5(1)( )5;2fff最大值(0)0.ff最小5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析20例例6.6.一艘輪船在航行中的燃料費和速度的立方成正一艘輪船在航行中的燃料費和速度的立方成正比比. .已知當速度為已知當速度為10km/h10km/h時

14、，燃料費為每小時時，燃料費為每小時6 6元，元，而其他與速度無關的費用是每小時而其他與速度無關的費用是每小時9696元元. .問輪船的問輪船的速度為多少時，每航行速度為多少時，每航行1km1km的費用最小？的費用最小？解：設輪船的速度為解：設輪船的速度為x(km/h(km/h),),則每航行則每航行1km1km的費用為的費用為31(96).ykxx0.x 3106xkx時，0.006.k31(0.00696),0.yxxx320.012(8000)yxx020yx即為所求即為所求. .2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析21例例7.7.如圖，剪去正方形四角同樣大小的

15、正方形后，如圖，剪去正方形四角同樣大小的正方形后， 制成一個無蓋的盒子制成一個無蓋的盒子. .問剪去的小方塊的邊長為何問剪去的小方塊的邊長為何 值時，可使盒子的容積最大？值時，可使盒子的容積最大？ax,.xy解：設某個小方塊的邊長為盒子容積為2(2 ) ,yx ax0.2ax12()()62aayxx6ayx 易見 在處取得極大值，即是最大值.32( ).627aayf最大2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析22例例8.敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘的速分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河

16、的南岸B處處向正東追擊，速度為向正東追擊，速度為2千米千米/分鐘問我軍摩托車分鐘問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊好）？何時射擊最好（相距最近射擊好）？2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析23解解公里公里5 . 0(1)建立敵我相距函數關系建立敵我相距函數關系).(分分追擊至射擊的時間追擊至射擊的時間處發起處發起為我軍從為我軍從設設Bt敵我相距函數敵我相距函數22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的最小值點的最小值點求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點得唯一駐點. 5 . 1 t.5 . 1分鐘射擊最好分鐘射擊最好處發起追擊后處發起追擊后故得我軍從故得我軍從B2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析24TxyoPABC229.0808yxyxyxyx 例例由由直直線線，及及拋拋物物線線圍圍成成一一個個曲曲邊邊三三角角形形，在在曲曲邊邊上上求求一一點點，使使曲曲線線在在該該點點處處的的切切線線與與直直線線及及所所圍圍成成的的三三角角形形面面積積最最大大2022-5-4皖西學院皖西學院 數學系數學系 數學分析數學分析25解解如圖如圖,),(00yxP設設所所求求切切點點為為為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy