1、 ,1,.,211033dxxdxxxxf例如分對于有些定積卻比較麻煩的值計算但直接用定積分的定義非常簡單雖然被積函數現從前面的學習中可以發.dxx121定義計算定義計算請你嘗試利用定積分請你嘗試利用定積分幾幾乎乎不不可可能能.?,?,.和定積分的聯系和定積分的聯系我們先來探究一下導數我們先來探究一下導數呢呢利用這種聯系求定積分利用這種聯系求定積分我們能否我們能否內在的聯系呢內在的聯系呢這兩個概念之間有沒有這兩個概念之間有沒有導數和定積分導數和定積分的概念的概念中兩個最基本和最重要中兩個最基本和最重要學學我們已經學習了微積分我們已經學習了微積分另外另外方法求定積分呢方法求定積分呢加簡便、有效的

2、加簡便、有效的有沒有更有沒有更那么那么直接用定義計算直接用定義計算 ?Stvts,Sb, atstvt,.tss, 16.1嗎嗎表示表示、你能分別用你能分別用內的位移為內的位移為設這個物體在時間段設這個物體在時間段的速度的速度時刻時刻它在任意它在任意由導數的概念可知由導數的概念可知運動規律是運動規律是物體的物體的一個作變速直線運動的一個作變速直線運動的如圖如圖探究探究 0ta1t1itit1nt ntb BA1h1hihihnhnSiS1S tss StSo16.1圖圖 .Stv,來求位移由我們還可以利用定積分另一方面 .asbsS,atbttssS,即處的函數值之差處與在是函數物體的位移顯然

3、.nabttt,t ,t,t ,t,t ,t,t ,t:nb, abttttta1iin1ni1i2110ni1i10 每個小區間的長度均為個小區間等分成將區間用分點 .tsnabttsttvhS,tv,tv,t ,t,t1i1i1iii1ii1i物體所作的位移作勻速運動體近似地以速度可以認為物的變化很小上在很小時當PDCots1its itsiSiht1itit tss 26.1圖圖 . ttstDPCtanhS,tsPD,PPD,Pttss,26.11iii1i1i于是的斜率等于切線導數的幾何意義知由點處的切線是點為對應的上與設曲線圖從幾何意義上看n1iin1iihSS, 16.1可得物體

4、總位移結合圖. ttsttv1in1in1i1i,b, a,t,n,的分劃就越細區間越小即越大顯然1in1in1in1in1i1itvnablimS.SttsttV由定積分的定義有的近似程度就越好與1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvSbaba有結合 .asbsb, atstv,tss,分就是物體的位移分就是物體的位移上的定積上的定積在區間在區間那么那么律是律是物體的運動規物體的運動規如果作變速直線運動的如果作變速直線運動的上式表明上式表明 .aFbF|xFdxxf,|xFaFbF,bababa即即記記成成我我們們常常常常把把為為了了方方便便 .

5、xF,.xFxfxFdxxf,ba法法則則從從反反方方向向求求出出算算導導公公式式和和導導數數的的四四則則運運運運用用基基本本初初等等函函數數的的求求我我們們可可以以通通常常的的函函數數是是找找到到滿滿足足的的關關鍵鍵計計算算定定積積分分微微積積分分基基本本定定理理表表明明 又叫做又叫做這個結論叫做這個結論叫做那么那么并且并且上的連續函數上的連續函數是區間是區間如果如果一般地一般地),calculusoftheoremlfundamenta(.aFbFdxxf,xfxF,b, axf,ba微積微積分分基基本本定定理理LeibnizNewton(萊萊布布尼尼茲茲公公式式牛牛頓頓).Formula

6、( )basv t dt( )( )ss bs a( )( )( )bav t dts bs a另一方面，這段位移還可以通過位移函數s=s(t) 在a,b上的增量s(b) s(a) 來表達，即則有則有：一汽車沿直線作變速運動的規律是s=s(t) 在t時刻時物體的速度為v(t) v(t)0,則汽車在時間間隔a, b內經過的位移可用速度表示為()()stvt( )( )( )( )babas t dSv t dtts bs a【微積分基本定理微積分基本定理】( )( )( )( )babas t dSv t dtts bs a一般地，如果函數f(x)在區間上連續，并且F (x)=f(x)，那么(

7、)( )( )baf x dxF bF a這個結論叫這個結論叫微積分基本定理微積分基本定理又叫做又叫做牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式。( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a( ) |baF x( )( )FbFa為了方便起見，還常用 表示定理定理 （微積分基本定理）（微積分基本定理）記記:( )( )( )|baF bF aF x則:( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a注意注意:3. 牛頓萊布尼茨公式溝通了導數與積分之間的關系牛頓萊布尼茨公式溝通了導數與積分之間的關系基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式1.2.()3.4.5.ln

8、6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x

9、)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x11(1) (1)1bbnnaax dxxnn (3) bbxxaae dxe 1(4) lnbbxxaaa dxaa 12) ln( ,0)bbaadxxa bx (5) sincosbbaaxdxx (6) cossinbbaaxdxx 12 ) ln() ( ,0)bbaadxxa bx 常用積分公式常用積分公式1(2) lnbbaadxxx 例例1 1 計算下列定積分計算下列定積分 dxx10dxx102dxx1031、2、3、nxn n + + 1 1b bb ba aa ax x公公 式式 2 2 : : d d x x

10、 = =| |n n + + 1 1公式：公式：解：解：1、xx221）（21021121|212210210）（xdxx解：解：2、2331xx）（31031131|3133103102）（ xdxx解：解：3、3441xx）（41041141|4144104103）（xdxx【例題講解例題講解】例例2 2 計算下列定積分計算下列定積分 b bb ba aa a1 1公公式式1 1: : d dx x = = l ln nx x| |x x公式：公式：解解1、21xx ）（2112|11211212）（）（）（xdxx解解2、1lnx x）（2ln1ln2ln|ln21211）（xdxx解解3、dxxdxdxx21212121)21 (dxx212dxx2111、2、3、dxx21)21 (2121| )(ln2|xxdxxdx21211212ln211ln2ln212）（）（例例1 1 求求 解解.112dxx dxx 12112ln()|x . 2ln2ln1ln .cossin,sin.sin,sin:2000 xdxxdxxxdxx計算下列定積分例00|co