1、第十章曲線積分與曲面積分§10.1 對弧長曲線的積分一、判斷題b1 .若f(x)在s*)內連續(xù)，則ff(x)dx也是對弧長的曲線積分。()2 .設曲線L的方程為x=?(y)在a,P上連續(xù)可導則f(x,y)ds=f(y),y).1-(y)2dyLi:不,()二、填空題1 .將(x2+y2)ds,其中L為曲線x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0<t<2n:)化為定積分的結果是。2 .1(x+y)ds=,其中L為連接(1,0)和(0,1)兩點的直線段。三、選擇題1. (x2+y2)ds=(),其中L為圓周x2+y2=10.2二.2-：22二(A)4

2、日(B)Ida(Q0rd8(D)0w2d日22. (xds=(),L為拋物線y=x±0<x<1的弧段。(A)(5<5-1)(B)(5后-1)(C)(D)-(575-1)12128四、計算£(x+y)ds,其中C為連接點(0,0)、(1,0)、(0,1)的閉折線。五、計算；(x22.xy+2z)ds,其中L為*x+y2z2=R2六、計算t(x2+y2)nds,L為上半圓周：x2+y2=R2(nwN)22七、計算Ie*'ds,其中222.L為圓周x+y=a,直線y=x和y=0在第一象限內圍成扇形的邊界。八、求半徑為a,中心角為2中的均勻圓弧（P=1）的

3、重心。§10.2對坐標的曲線積分、判斷題1.定積分也是對坐標的曲線積分。()2.1 駕二ydx=0，其中L為圓周x2+y2=1按逆時針方向轉一周。()Lxy、填空題1 .fx3dx+3y2dy+x2ydz=,其中是從點A(1,2,3)到點B(0,0,0)的直線段AR2 .化P(x,y)dx+Q(x,y)dy為對弧長的曲線積分結果是其中L為沿y=J7從點(0,0)到(1,1)的一段。三、選擇題1 .設曲線L是由A(a,0)到O(0,0)的上半圓周x2+y2=ax,則lQxsiny-my)dx(ecosy-m)dy=22(A) 0(B)(C)()(D)284222 .設L為x="

4、;cost,y=Msint,0<t<,萬向按t增大的萬向，則xydy-xydx=2cost.sintsint.sint(A)I2(costvsint-sintcost)dt(B)f2:.,dt；二0二2.sint2cost(C)302dt(D)02(cos21一sin2t)dt22四、計算=1a(x一丫)dx+xydy,其中O為坐標原點，A的坐標為(1,1)1.OA為直線段y=x2.OA為拋物線段y=x23.OA為y=0,x=1構成的折線段。4.OA為x=0,y=1的折線段。五、計算xy2dy-x2ydx,L是從A(1,0)沿y=。1x2到B(-1,0)的圓弧。六、計算fxydx,

5、L為圓周x2+y2=2ax(a>0)取逆時針方向。七、設方向依oy軸負方向，且大小等于作用點的橫坐標平方的力構成一力場，求質量2為m的質點沿拋物線1-x=y，從點A(1,0)移到B(0,1)時力場所做的功。九、把(x2ydx-xdy(L為y=x3上從A(-1,-1)到B(1,1)的弧段)化為對弧長的曲線積分。、判斷題§10.3格林公式及其應用1 .閉區(qū)域D的邊界按逆時針即為正向。2 .設P、Q在閉區(qū)域D上滿足格林公式的條件，QP(一-一)dxdy=PdxQdyd：:x：:yLL是D的外正向邊界曲線，則()3 .對單一積分Pdx或£Qdy不能用格林公式。4 .設閉區(qū)域D

6、由分段光滑的曲線L圍成,P(x,y),Q(x,y)上有一階連續(xù)偏導數，則二P二Q.(a) ,Pdx+Qdy=()dxdyLd,：x2y(b):P二Q.LQdy-P(x,y)dx=D(-(c);Q(x,y)dy=Ddy填空題1.設C是圓周x2+y2=9的正向，則(x+4絲y+(x-y)dx=Cx24y222,設f(u)在(,依)上連續(xù)可導，沿連接點A(3,)和B(1,2)的直線段AB的曲線積分32一2一ABdy=1-Yf(x,y).x(yf(x,y)-1)J,x2yy3.設有二元函1U(x,y),已知u(1,1)=0，且du=(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-媯siny)dy,貝

7、U且u(x,y)=4設是由點11,1)到點23,3)的直線段,xdxydyzdzy2z24xyz、選擇題1 .設函數f(x)連續(xù)僅>。，對x>0的任意閉曲線有支4x3ydx+xf(x)dy=0(A)4x3-12x224x-24(B)32rx4x-12x24x-2410e(D)(C)x32 .設F(x,y)可微，如果曲線積氣F(x,y)(xdx+ydy)與路徑無關，貝F(x,y)應滿足()(A)yFy(x,y)=xFx(x,y)舊Fy(x,y)=Fx(x,y)ftTf(CyFyy(x,y)=xFxx(x,y)。xFy(x,y)=yFx(x,y)2.設函數f(x)連續(xù)可微且f(0)=-

8、2,曲線積分(ysin2x-yf(x)tanx)dxC'+f(x)dy與路徑無關，貝f(x)=()(A)-一cosx-33cosx,、-2(B)-2cosx(Q-2cosx3.曲線積分2/2-x(xyCLdy在不與X軸相交的區(qū)域上與路徑無關,八24(D-cosx33cosx則口=()(A)2(Q任意值(D)04如果2_22_2(y2xyax)dx(x2xybx)dy日Z222(xy)某一函魏(x,y)的二階微分則a、b滿足條例(1,1)=0的u(x,y),、xy(A)a=1,b=-1,u(x,y)=xy2x-y(B)a=-1,b=1,u(x,y)=xy2x-y(B)a=-1,b=-1,

9、u(x,y)=(x2y2)2x-y(D)a=-1,b=-1,u(x,y)=1xy25.L是圓域Dx2+y2W-2x的正向圓周，則(x3-y)dx+(x-y3)dy=()一3二一(A)2冗(B)0(C)。2n2四、求變力F=3x+y,2yx將質點沿橢x2+y2=4的正向轉動一周所做的功。五、利用格林公式計算。1.2xy2dxxy2dy,C為正向圓周x2+y2=R22.(exsiny-my)dx(excosy-m)dyL為點A(a,0)到點Q,0)的上半圓做2+y2=ax(a>0)六、計算=%xdy_ydx,c為正向圓耿2+y2=r2(r#i)Cxy(2,3)一七、驗證曲線積0)(2xcos

10、y-ysinx)dx+(2ycosy-xsiny)dy與路徑無關，并求其值。八、選取n,使(x_y)dx+(x+y)dy在XO"面一上除女的負半軸和原點以外的開區(qū)酬的某個函覿(x,y)的全微分,(x2y2)n并求u(x,y).、判斷§10.4對面積的曲面積分1 .二重積分也可看成是在平面片D上的第一類曲面積分。()2 .設連續(xù)曲面片工：Z=f(x,y),(x,y)eD,則工的面積為A=ds=向1+(fx')2+(fy)2dxdy，這與用二重積分求面積不一樣。()三D二、填空題1 .設E是圓錐面Z=Jx2+y2被圓柱面x2+y2=2ax所截的下部分，則2 .設工是球面

11、：x2+y2+z2=2az,則曲面積分口(x2+y2+z2)ds=y三、選擇題221.設工為Z=2xy在XY平面上萬的曲面，則Wds=()£2二.122二22(A)JdH卜1+4rrdr(B)(d。卜1+4rrdr2二2222二22(C)d日(2r)J1+4rrdr(D)d。41+4rrdr(xyyzzx)ds=£2.設有一分布非均勻的曲面工,其面密度為復(x,y,z),則曲面工對X軸的轉動慣量為(A) ffxds£2.(C) xds£-22223.設工為球面x+y+z=R，則=(,一.一24二R5二R4(A) 4nR(B)(C)52四、計算下列第一型曲

12、面積分。(B) x?(x,y,z)dsy,22、(D)(yz)(x,y,z)ds£(D) 4二R4口(z+2x+y)ds,其中工為平面三3x+y+z=1在第一卦限的部分。2342. 口(x+y+z)ds,工為球面x2+y2+z2=R2上(z之h且0<h<a)的部分。£12223. f22ds，Z是枉面x+y=R于平面Z=0和Z=h(h>0)之間的部分。fyz4. 由f(x2+y2)ds，工為錐面Z=*/x2+y2與平面z=1所圍成的區(qū)域的邊界曲面。y五、求球面Z=v'z-x2一y2在柱面x2+y2=ax內部的表面積。六、求旋轉拋物面被平面Z=2所截

13、的部分的質心坐標,假設其上各點的面密度為該點到軸的距離的平方。國0.5對坐標的曲面積分、判斷題1.設工為x2+y2+z2=R2在第一卦限部分，則工的面積為2222yxzdydz，ii.1yxydzdxDzxA=11zx2zy2dxdy-IlJx3DxyDyz其中Dxy,Dyz,Dzx分別為工在各坐標面上投影區(qū)域。xyyzzx2.因為xdydx=xcosds=,(工為x+y+z=1上側)，所以口xdxdy為第一類曲線積分。3.43_、，2刊zdxdy=一嶼,工為x+y3£二、填空題2+z2=a2的外側。222、,一一一1 .Jzdxdy+xdydz+ydzdx=,工為枉面x+y=a被平

14、面Z=1和Z=4£所截得的在第一卦限內的部分。2 .設工為平面3x+2y+2y/3z=6在第一卦限的部分的上側，將RRdxdy+Pdydz+Qdzdx化為對面積的曲面積分的結果為。三、選擇題1 .設流速場v=0,0,1,則流過球面x2+y2+z2=a2的流量值=()243(A)0(B)4nR(C)-nR(D)132.設曲面工為Z=0,x<1,y<1,方向向下,D為平面區(qū)域：x<1,y<1,則JJdxdy=(£(A)1(B)口dxdy(C)y一2223,設工為Z=0(x+yMR)(A) R2dxdy=市4x2y2出2Nd2-口dxdy(D)0Y22的上

15、，貝UJ(x+y)dxdy=()X_2_4(B) -Rdxdy-二Rx2y2生2(D)0四、計算下列第二型曲面積分。1. 口zdxdy+xdydz,工是平面x+y+z=2在第一圭卜限部分的外側。2. 口(x2-yz)dydz-2x2ydzdx+zdxdy,工柱面x2+y2=1被平面z=l和z=0所截得部分的外y側。Ze223. 向一j=dxdy,工為錐面Z=Jx+y平面z=1和z=2所圍成的立體表面的外側。1,x2y2五、求流速場v=xi+y2k穿過曲面z=x2+y2與平面z=i所圍成的立體表面的流量。六、已知f(x,y,z)連續(xù)，工是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外側，計算f(x,y,z

16、)xdydz2f(x,y,z)ydxdzf(x,y,z)zdxdyy§10.6高斯公式與斯托克斯公式散度與旋度一、斷題1 .設工是球面X2+y2+z2=R2的外側，U,P.¥為法矢的方向角。V是z所圍成的立體，則。月(x3cos«+y3cosP+z3cos?)ds=用(3x2+3y2+3z2)dv=4nR5()三v12 .空間立體G的體積V=川以丫2+丫2*+2*丫這是工為工的邊界曲面之外側。()33 .梯度和旋度為Z,散度是向量。()二、填空題1設空間區(qū)域C是由曲面z=a2-x2-y2與平面z=0圍成，其中a為正整數，記建的表面外側為s,夏的體積為v,貝U乎jx

17、2yz2dydzxy2dxdz+z(1+xyz)dxdy=。S2 設A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)R則divA=。，2-：22,，丁、3 設u=lnx+y+z，貝udiv(gradu)(i,i,i)=rot(gradu)(1JJ)=。二、選擇題、一_一一22,_22一.1.設f(u)具有連續(xù)導致，工是曲面y=x+z與y=8-x-z所圍成立體表面之外側，則()1 x1x邛ff()dydz+-f()dzdx+zdxdy=()yyxy(A)16n(B)-16n(C)-8n(D)因f(u)未知，故無法確定。2 22212 .設工為球面x+y+z=R的外側，貝U*口3"(xd

18、ydz+ydzdx+zdxdy)+(),/2222_(xyz)2(A)0(B)4n(C)4R2(D),砧333 .設工是球面x2+y2+z2=a2的外側，則ffzdzdy=()£4 3.314(A)0(B)Jia(C)43(D)-a32三、計算打(x2yz)dydz+(y2-zx)dzdx+2zdxdy,工是z=1%：x2+y2被z=0所截部分的外側。y五、計算由fx3dydz+1f(y)+y3dzdx+°f(丫)+y3dxdy,其中f(u)具有連續(xù)導數，工是球面zzyzx2+y2+z2=R2的外側。六、算下列曲面積分。222,1. 口(yz)dydz+(zx)dxdz+(x-y)dxdy,工為z=x+y(0MzMh)的下側。y2. JJ(8y+1)xdydz+z(1y2)dzdx4yzdxdy其中S是由曲線產=,"1。WyW3)繞y軸旋三x三o轉而成的旋轉曲面，它的法向量與y軸的正向的夾角恒大于。23. 口(2x+z)dydz+zdxdy,S為z=x2+y2(0WzW1)其法向量與軸正向的夾角為銳角。s