1、第一次1寫出下列點的齊次坐標(1)(2,0),(0,2),(1,5);(2)2x+4y+1=0的無窮遠點.解：k(1,0,1)k(0,2,1)k(1,5,1)k為非零實數2、x+4y+1=0的任一點齊次坐標為(x,(-1-x)/4,1),即(1,-1/(4x)-1/4,1/x),令x為無窮大，則坐標變成(1,-1/4,0),即(4,-1,0)為x+4y+1=0的無窮遠點坐標。2求下列直線的齊次線坐標(1)x軸(2)無窮遠直線(3)x+4y+1=0.解：(1)x軸的齊次線坐標0,1,0,y軸的齊次線坐標1,0,0(2)0,0,1(3)1,4,13求下列各線坐標所表示直線的方程：(1) 0,-1,

2、0(2)0,1,1解:(1)1,-1,0所表示的直線的方程是為-乂2=0(2) 0,1,0所表示的直線的方程是X2+X3=01,1,0之交點的直線方程.4求聯接點(1,2,-1)與二直線2,1,3,解先求二直線(2,1,3),(1,1,0)的交點坐標:x1：x2：x3J3-10=3:3:-3=1:1:-11,1),(1,2,1)的聯線的坐標:U1：u2：5=1-12-1-1-1=1:0:1所求直線方程為：x+x3=0或x+1=05經過A(-3,2)和B(6,1)兩點的直線被直線x+3y-6=0截于P點，求簡比(ABP).-36'2,y0-1111解：設P點的坐標為(Xo,y。)APAP

3、,、,:(ABP)="="=九(分害肚匕)BPPB-36,2且P在直線x+3y-6=0上，:()+3()6=01-1解得入=1即P是AB6經過A(-3,2,2),B(3,中點，且(ABP)=1。1,-1)兩點的直線的線坐標2U1：U2：U3=1-1-122331-3-32=-4:9:-911335:54=1:8:29-37求直線1,1,2與二點3,4,-1,5,-3,1之聯線的交點坐標解：先求二點(3,4,1),(5,3,1)的聯線坐標:一一4U1-U2.U3=再求二直線(1,-1,2),-12X1：X2：X3=-8-29(1,-8,29)的交點坐標:211-291:1-1

4、=45:31:-78-3所求交點坐標為(45,31,27)。第二次1已知共線四點A、B、C、D的交比(AB,CD)=2,則(CA,BD)=_-1_2試證四直線2xy+1=0,3x+y2=0,7xy=0,5x1=0共點，并順這次序求其交比。證明：以2xy+1=0和3x+y2=0為基線表示7xy=0,5x1=0,7xy=0與(2xy+1)+入1(3x+y2)=0重合，7-101.二:'1;23'1-111-2'12,5x1=0與(2xy+1)+入2(3x+y2)=0重合.50-1彳-=九2=1,23-2-1-21-2,2所求交比為;，由于交比存在，所以四直線共點。3、設共線

5、四點Pi(3,1,-2),P2(1,3,1),3(2,2,3),P4Q8,5),求("P2,P3P4)解：因為R、P2、P3、P4四點共線，可設P3=P1+;fP2,P4=P1+%P2由2=3+(-1)X1,-2=1+(-1)X3,-3=-2+(-1)X1；1=3+(-2)X1,-5=1+(-2)X3,-4=-2+(-2)X1。得=1,Z2=2。1所以(P1P2,P3P4)=24設兩點列同底，求一射影對應0,1,分別變為1,0o,0.解：設第四對對應點為xx'由定理有(0,l,OCtX)=(1叫Oxj(10.x)_(Ovl)1-0故所求的射影對應為:1=1H015求射影變換九

6、%4九+4=0的自對應元素解：，二-4/."4=0,=2.3x26一直線上點的射影變換是x'=注二，則其不變點是解：x=3X-2,x4則x=1,x=-2.7證明一線段中點是這直線上無窮遠點的調和共軻點2、證明一線段中點是這直線上無窮遠點的調和共軻點。證明：設C為線段AB的中點，Doo為直線AB上的無窮遠點,/c、ACBD一AC彳(AB,CDco)=1AD.BCBC03第三次1舉例我們已經學習過的變換群答：1、射影變換群2、仿射變換群3、相似變換群4、正交變換群2下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？ 非平行線段的相等；不垂直的直線；四邊形；梯形；菱形；平行移動；關于點的對稱；

7、 關于直線的對稱；繞點的旋轉；面積的相等。 答：仿射：四邊形梯形平行移動關于點的對稱面積的相等歐氏：非平行線段的相等不垂直的直線菱形關于直線的對稱繞點的旋轉3從原點向圓(x2)2+(y-2)2=1作切線ti,t2。試求x軸，y軸，前也順這次序的交比。解：設直線y=kx與圓相切，則2k2_i兩邊平方得：3k28k+3=0,1k2解得：ki,2=一ti鄰近X軸，.ti的斜率為ki=47t2的斜率為k2=57,因此ti的方程為y-4-7x=0,t2的方程為yt7x=0,=ki=4-;74若有兩個坐標系，同以解：設變換式為:已知(1,0,0)k24.7AiA2A3為坐標三角形，但單位點不同，那么兩種坐

8、標間的轉換式為何？“11送ai2x243X3，WPX2=a2iXi+222X2+223X3,aij#0ix3=a3ix|,a32X2a33X3一（1,0,0）,（0,1,0）一（0,1,0）,（0,0,1）一（0,0,1）分別代入變換式得pi=aii,a2i=0,a3i=0；化=m2,ai2=0,a32=0；3=a33,ai3=0,a23=0“/為洛，故有：a=a22x2.aj=&但22a33*0：X3=a33X3又（1,1,1）一（a,b,c）I'a=aii,b=a22,即a：b:c=aii:m2:a33C1C=a335在二維射影坐標系下，求直線AiE,A2E,A3E的方程和

9、坐標。解：坐標三角形頂點Ai(1,0,0),A2(0,1,0),A3(0,0,1)和單位點E(1,1,1)設P(xi,X2,X3)為直線AiE上任一點，具方程為:即X2X3=0,線坐標為(0,1,一1)X1X2X3直線A2E的方程為：010=0,111X1X2X3直線A3E的方程為：001=0,111即X1X3=0,線坐標為(1,0,1)；即X2-X1=0,線坐標為(一1,1,0)6設點A(3,1,2),B(3,-1,0)的聯線與圓X2+y25x7y+6=0相交于兩點C和D,求交點C,D及交比(AB,CD)。解：圓方程齊次化：X12+X22-5X1X3-7X2X3+6X23=0,設直線AB上任

10、一點的齊次坐標是(3+3入，1%2),若此點在已知圓上，則(3+3入)2+(1-X)25(3+3X)2-7(1-力2+6X22=0,化簡得：1022-10=0,；方=1,力=-1,即直線AB與圓有兩個交點，設上后分別對應的交點是C,D,則C的坐標是(3,0,1),D的坐標是(0,1,1)且(AB,CD)=21=-1.第四次1寫出下列的對偶命題(1) 三點共線(2) 射影平面上至少有四個點，其中任何三點不共線解：(1)三線共點(2)射影平面上至少有四條直線，其中任何三條直線不共點2已知A,B,P,Q,R是共線不同點，如果(PAQB)=1,(QR,AB)=1，求(PR,AB)解：設P=Ak1B,Q

11、=Ak2B,R=Ak3B(PA,QB)=1,得(PA,QB)=1-(PQ,AB)k1(AB,PQ)=(PQ,AB)=2=，k=2k2k2kc由(qr,ab)=-1,得(AB,QR)=-1=k3=-k2k3k所以(PR,AB)=(AB,PR)=1二-2k33證明巴卜斯定理：設A1,B1,C1三點在一直線上，A2,B2,C2三點在另一直線上，B1C2與B2C1的交點為L,C1A2與C2A1的交點為M,A1B2與A2B1的交點為N,證明：L,M,N三點共線.證明：如圖所示，AC2與A2B1交與D,4G與B1C2交與E,a*A2瓊與O(Ai)(C1)于是(Bi,D,N,A)=(0。2艮4)=(BiC,

12、L,E),AA所以，(Bi，D,N,A)-(BiGLE)A在這個射影對應中，二點列底的交點B1是自對應，所以(Bi)(4，D,NA)=(BiC，L,E)A由透視對應的定義，可知DC2,NL,A2E三直線共點，也就是LN通過DC2和A2E的交點。LMN稱為巴卜斯線。4求二次曲線xy+x+y=0的漸近線方程.iii解：先求出中心，因為：A3i=1,A32=1，A33-.444所以中心為C(i,i)，代入axg)2+2al2(xj)(yc2)+a22(yQ)2=0(2.ii)得漸近線方程:(xi)(yi)=0即：x=-i,y=-i5.求通過兩直線ai,3,i,bi,5,i交點且屬于二級曲線4q2+u

13、222u32=0的直線解：通過直線ai,3,i,bi,5,i的交點的直線的線坐標為ik,35k,i-k若此直線屬于二階曲線則有4(ik)2(35k)2-2(i-k)2=02iii即27k2+42k+ii=0解得k=,k=一396求點(5,i,7)關于二階曲線2x；+3x22+x32-6xix2-2xix3-4x2x3=0的極線解：設(5,i,7)為P點坐標，二階曲線矩陣為A=1I3：21-21所以點P的極線為Sp=0，2-3SP=(5,1,7)-33L一2-1Yx1-2x21人X3第五次作業1求(1)二階曲線X2-2x22+3x32_/x3=0過點P(2,J5,1)的切線方程解：將點(2,J5

14、,1)代入次曲線xj-2x2+3x2-x1x3=0,C5.C因為(2)2-2()2+3(1)2-21=0,2所以該點在二次曲線上，故所求的切線方程為20-201203x1x2<x3即3x12j5x2+4x3=0為所求的切線方程.(2)二級曲線u12+u2217u32=0在直線L1,4,1上的切點方程解：設P(X1,X2,X3)為二級曲線U12十U22-17U32=0在直線L1,4,1上的切點，則可知-17JL1J10(xx2x3)0100即x14x2-17x3=0故所求的切點方程為x14x2-17x3=02(1)求二次曲線x2+3xy-4y2+2x10y=0的中心與漸近線。解：二次曲線的

15、齊次方程為：x/+3xiX2-4x22+2xiX310x»3=0,1c3-D=為=-1-4_5=36第0，一次曲線為常態的,-50設中心仁產)，且已32-4-5-513二廠,A332225則中心為(142526一25)求漸近線方程:a11X2+2a12XY+a22丫2=0,X=xE,Y=y一中從X23已知二階曲線(C)：2x1+4x1x2+6x1x3+x3=0(1)求點P(1,2,1)關于曲線的極線2、求直線3x1x2+6x3=0關于曲線的極點解：(1)將點(1,2,1)的坐標及aij(i,j=1,2,3)的值代入極線方程：(any1a12y2a13y3)x1921%a22y2a23

16、y3)x2931%a32y2a33y3)x3=。即(2*1+2*2+3*1)X+(2*1+0+0)X2+(3*1+0+1*1)X3=0整理即得所求極線方程為X1+2X2+4X3=0(2)由(any+a12y2+a13y3)x1+口21必+a22y2+a23y3)x2+(a31y1+a32y2+a33y3)x3=0可知2y1+2y2+3y3=32y1=-13y+y3=6解得y1=-1/2y2=-37/4y3=15/2直線3x1-x2+6%=0關于曲線的極點(2,37,-30)+3XY4Y2=0一(X+4Y)(XY)=0.X+4Y=(x14)+4(y+26)=05x+20y+18=0,142526

17、25X-Y=(x-)-(y+天)=0-5a5y-8=0。=0的過點A(1,1,1)的直徑及其共鈍直徑.(2)求二階曲線：x12+2x1x2+2x2+4x1x3+2x2x3+x；解：因12：(附)=121<211；4=-3出廣1,友二1故二次曲線的中心為CHL),非齊次坐標為(一31)。設直徑為(x+j+2)+t(x+2y+1)二。因為過點(1,1,1),所以七二一1,帶入上式，得直徑!為一1二。的】+_Q)的共軻直徑i為。+7+2)+hx+2y+l)=。；=%+%/所以，的共軻直徑i為：工+了+2二。22土匕1224證明雙曲線：ab的兩條以N入為斜率的直徑成為共軻的條件是b2-2入入a解

18、：漸近方向為b2x2-a2y2=0,漸近斜率為k=b,k'=_b,aa入，入是一對共軻直徑的斜率，故（入；Tkk'）=1,即（?.-k）（?/-k）=，化簡后得：2入入+2kk'=0九九?kk（一k）（-k）b2b2因為kk'=2,所以入一2°aa|Pxi=XiX25求射影變換®2=X2的不變元素JiX3-X3（1-）Xx2=0解：（i）由（Xi,X2,X3）滿足（1_R）X2=0（2）（1-）%=01N10由010=0得（1，=0,解得科=1001N將=1代入（2）式得X2=0為不變點列，所以X2=0這條直線上的點都是不變點。因此這直線是不變直