1、數值分析復習要點引論1數值計算研究的對象與特點計算方法研究的對象是專門研究各種數學問題的計算機解法(數值解法)，包括方法的構造和求解過程的理論分析及軟件實現，包括方法的收斂性、穩定性以及誤差分析等計算方法即具有純數學的抽象性與嚴密性的特點，又具有應用的廣泛性與實驗的技術性特點.2誤差的概念2.1 誤差的來源模型誤差：數學模型的解與實際問題的解之間出現的誤差，稱為模型誤差.測量誤差：在測量具體數據時產生的誤差稱為測量誤差截斷誤差：數學模型的準確解與數值方法白準確解之間的誤差稱為截斷誤差.舍入誤差：由于計算機字長的限制而產生的誤差，稱為舍入誤差.2.2 誤差的度量(1) .絕對誤差與絕對誤差限(2

2、) .相對誤差與相對誤差限(3) .有效數字2.3誤差的傳播和、差的誤差限不超過各誤差限的和.積、商的相對誤差限不超過各相對誤差限的和3數值計算的若干原則避免兩相近數相減和絕對值太小的除數、簡化計算步驟、使用數值穩定的算法方程求根1二分法用二分法求方程f(x)=0的實根X*的近似值，其主要思想是：將含有根X*的隔離區間二分通過判斷二分點與邊界點函數值的符號，逐步對半縮小隔離區間，直到縮小到滿足精度要求為止，然后取最后二分區間的中點為根X*的近似值.2迭代法一般地，為了求一元非線性方程f(X)=0的根，可以先將其轉換為如下的等價形式X斗X法后構造迭代公式.Xk由=%Xk)k=0,1,23收斂性和

3、收斂速度(收斂性基本定理)的條件和結論收斂速度的快慢可用收斂階來衡量.(收斂階)設序列tk匕收斂到X*,并記誤差ek=|xkx*|.若存在常數p21和c#0,使得:lim*=c1k1jek則稱序列&篇是p階收斂的，當p=1時，稱為線性收斂，當p>1時，稱為超線性收斂,當p=2時，稱為二次收斂或平方收斂.4牛頓迭代公式及其收斂性牛頓迭代公式Xk.1=Xk-fxklk002,2-f(Xk)牛頓法的收斂性、1*、.設X是方程f(x)=0的單根，并且f'(X)在x的鄰域上連續，則牛頓迭代法(3.4.1)至少平方局部收斂.解線性方程組的直接法1高斯消去法消元過程為：又k=1,2，,

4、n1逐次計算：1=aikk9/akkn,(i=k+1n)細(k)=a產likakj",(i,j=k+1;-,n)Pi(k)=b("likbk"(i=k+1;：n)回代過程：逐步回代求得原方程組的解xnm前產八八nXk=(bk)-"akjXj)/akk),(k=n1,n-2；-,1)j生1高斯消去法的乘除法總計算量為:1n3n2n2/nn3n2n32522332高斯一約當消去法約當消去法的計算過程為:對于k=1,2，n計算：ak)二ak：Q/akk(j=k1,n1)14k)=a(3-a產Makjk)(i=1,2,n且i#k;j=k+1,k+2,n+1)乘除

5、法的總次數為1n3n222它比高斯消去法的計算量大，但不需要回代過程3向量和矩陣的范數、條件數向量范數：1范數n|x|1=xx2范數i1|兇2=(2|Xi)M=maxXi01g包i矩陣的范數設X為n維向量,A為n階方陣,則算子范數稱為矩陣A的行范數。|A|1=paxgaj稱為矩陣A的列范數。1空空一設A為n階可逆矩陣，則稱數Cond(A)=|A1|A為條件數:Cond.A)二網恒,10a,Condi(A)=|A|jAL分別稱為A的2條件數，1條件數，2條件數解線性方程組的迭代法1雅克比迭代法的迭代公式：n、(k-H)1(k).沖=Zaijxj+biaaiikjmj#JCond2(A)|A2AJ

6、2矩陣形式：x(k詢=Bjx的+fjBj=ID,A,fj=D/b2高斯一賽德爾迭代法迭代公式為：“i_1n、Zaijxjk*-Na。x(k)十«,(iH,2,，n)j二j二中x(k1)=1aii成矩陣形式x(k1)=BG，x(k)fG3Bgc=D-L“U,fG，=(D-L)b3迭代法的收斂性判斷(迭代法收斂的基本定理)設有n階方程組x=Bx+f,對于任意初始向量x(0)和右端項f,迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑二(B)門.(迭代法收斂的充分條件)若|B|<1,則由迭代公式(5.1.3)所產生的向量序列«(k)收.、)I，一.»,一一，一*斂于萬程

7、組x=Bx+f的精確解x,且有誤差估計式x(k)*-x:二B(k)(k4)-1-bxx3(1)x(0)-x(充分條件)若線性方程組Ax=b的系數矩陣為嚴格對角占優或不可約弱對角占優矩陣，則雅克比和高斯一賽德爾迭代法收斂。函數插值1插值的基本概念包括線性插值、拋物插值和多項式插值的存在惟一性。-xj-'xj2拉格朗日插值nnxLn(x)八一i0j=0xijT3插值余項與誤差估計若f(x)在a,b上的插值多項式為Ln(x),則稱Rn(x)=f(x)Ln(x)為Ln(x)的插值余項(也稱誤差)。設f(x)在a,b上的n+1階導數連續，記為f(x)Cn*a,b且f(x)在互異節點a4x0<

8、;xiL”<b的函數值為y0,yi，yn。若滿足插值條件Ln(為)=yi(i=0,1,2,，n)的插值多項式為Ln(x),則對Vxa,b有：Rn(x)=f(x)Ln(x)(n1)!f(n1)()(n-1)!,-n1(x)n其中a<J<b,6n書(x)=口(xxj)j=04牛頓插值Nn(x)=f(x°)，f(x0,x1)(x-x。)匚戶+f(x0,x，xn)(x-x0)(x-x1)一(x-xnj)數值積分1代數精度的概念及其求法若數值求積公式對被積函數f(x)=1,x,xm都能精確成立，而對被積函數f(x)=xm+不能精確成立，則稱求積公式具有m次代數精度。2牛頓-柯

9、特斯公式bnI(f)=f(x)dx=(b-a)%Ci(n)f(xi)ai=0C(n)Ci(T嚴ni!(n-i)!0H(t-j)dtj=0j才梯形求積公式I(f)：T二吐aIf(a)-f(b)2拋物線求積公式或辛普生求積公式b-ab-aI(f):、S=f(a)4f()f(b)62_''.梯形公式的截斷誤差R1(f).l-L)b(x-a)(x-b)dx=a'擊ea)3,”(a，b)3復合梯形求積公式將a,b反間n等分，記分點為Xi=aTh,b-a(h=,in=0,1,，n)并在每個小區間xi,xi1b1上應用梯形公式得:f(x)dxnxnh11f(x)dxXhnf(a)0f

10、(x,f(b)2一y復合梯形公式的截斷誤差Rn(f)=-bah2f''()"三(a,b)124復合辛普生求積公式在每個小區間如，為1上，用辛普生公式得：h|n1n1|Sn=1f(a)+4£f(x1)+2£f(xi)+f(b)6-i3日yJ其中x/為為，為捫的中點，即x=為12125高斯求積公式若有一組節點xo,x1，,xn虻-1,1,使插值型求積公式(8.5.1)具有2n+1次代數精度，則稱此組節點為高斯點，并稱相應的求積公式為高斯型求積公式。常微分方程初值問題的數值解法1歐拉公式包括顯式、隱式、兩步、改進的歐拉公式和梯形公式。歐拉公式'0

11、1=Vnhf(xn,Yn)隱式歐拉公式yn1小門,hf函.141)h為梯形公式yn1=ynf(xn,yn)，f(xn1,yn1)改進的歐拉公式yn1=yn.hf(xn/n),f(xn1必,hHxn,yn)2兩步歐拉公式yn1-ynj-2hf(xn,yn)2單步法的局部截斷誤差和方法的階設y(x)是微分方程的精確解，則Tn1y(xn1)-y(xn)-h,(xn，xn1,y(xn),y(xn1),h)稱為單步法的局部截斷誤差。如果求微分方程數值方法的局部截斷誤差是Tn卡=O(hp*),其中p*為整數，則稱該方法是p階的，或該方法具有p階精度。p越大，方法的精度越高。含hp卡的項，稱為該方法的局部截

12、斷誤差主項。h2歐拉公式是一階方法，其截斷誤差主項為三y"(xn)。隱式歐拉公式也是一階方法，它的主項是-y*(xn)3梯形公式是二階方法，其局部截斷誤差為-Xy'(xn).12可以證明，改進的歐拉方法也為二階方法。3四階龍格一庫塔方法hyn1=yn(ki2k22k3-k4)ki=f(xn,yn),h.h4階經典RK方法形式為:"k2f(xn,ynk1)22,h.hk3=f(xn+-,yn十一k2)22k4=f(xn+h,yn+hk3)4單步法的收斂性和穩定性若求微分方程的一種數值方法對于任意固定的xn=x0+nh，當hT0(同時nT)時，有ynTy(xn),則稱該方法是收斂的。Euler方法是收斂的梯形公式是收斂的改進的Euler方法也是收斂的若用某一數值方法計算yn時，所得到的實際計算結果為n,且由擾動6nNyn-n|引起以后各節點ym(mn)的擾動為第，如果總有16m國加|,則稱該方法是穩定的。單步法的穩定區間方法E(h九)穩定區間隱式歐拉法一二h.0梯形公式122“h12-：h<0考試題型判斷題解同一個線性方程組，高斯消去法比約當消去法的計算量大。（）。選擇題在牛頓柯特斯求積公式中，柯特斯系數的代數和為（）A.0B