1、1/321機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束第三節第三節 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉曲面二、旋轉曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面五、小結五、小結2/322機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：曲面的實例：曲面的實例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念3/323機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束以下給出幾例常見的

2、曲面以下給出幾例常見的曲面. .解解RMM |0根據題意有根據題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 4/324機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束根據題意有根據題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解5/325機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束zxyo* *【例【例 3 3】方程】方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據題意

3、有根據題意有1 z)1(1)2()1(22 ccyx圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底【解】【解】c6/326機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（2 2已知坐標間的關系式，研究曲面形狀已知坐標間的關系式，研究曲面形狀（討論旋轉曲面）（討論旋轉曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程7/327機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線

4、繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .定義定義這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸播幻燈片播幻燈片 398/328機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz 122RMyxRMd 旋轉過程中的特征：旋轉過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd),0,0(zR|1y 9/329機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,

5、0,22 zyxf得方程得方程 . 0,22 zxyf10/3210機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束xozy解解 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 11/3211機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束三、柱面 定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線C 叫柱叫柱面的準線不唯一面的準線不唯一），動直線），動直線 L叫柱叫柱面的母線面的母線.LC

6、12/3212機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面13/3213機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y【結論】柱面的方程是【結論】柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且與的二元方程，且與其準線方程相同其準線方程相同. 14/3214機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁

7、下頁 返回返回 結束結束二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之三元二次方程所表示的曲面稱之相應地平面被稱為一次曲面相應地平面被稱為一次曲面討論二次曲面性狀的截痕法：討論二次曲面性狀的截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線即截痕的形狀，然后相截，考察其交線即截痕的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面四.二次曲面15/3215機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束22222zbyax(1) 橢圓錐面橢圓錐

8、面 oxzy-o0t以平面以平面 z=t 截此曲面截此曲面當當 t=0 時得一點時得一點(0,0,0)當當 時時,得平面上的得平面上的橢圓橢圓1)()(2222btyatx以平面以平面 z=t 截此曲面截此曲面當當 t=0 時得一點時得一點(0,0,0)當當 時時,得平面上的得平面上的橢圓橢圓16/3216機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束ozyx（2橢球面橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標面三個坐標面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax17/3217機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下

9、頁 返回返回 結束結束橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |118/3218機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束（3單葉雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax用坐標面用坐標面 與曲面相與曲面相截截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax19/321

10、9機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax 用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz20/3220機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 122122221yybyczax雙曲線的中心都在雙曲線的中心都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙

11、曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b21/3221機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax 用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.22/

12、3222機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz平面平面 的截痕是兩對相交直線的截痕是兩對相交直線.ax 23/3223機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo（4雙葉雙曲面雙葉雙曲面24/3224機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束（5橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論： 用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點截得一點，即坐標原點)

13、0 , 0 , 0(O設設0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的頂點原點也叫橢圓拋物面的頂點.25/3225機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 11212122zzqzypzx當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z 用坐標面用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得拋物線截得拋物線26/3226機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121

14、222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2, 0211 用坐標面用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.同理當同理當 時可類似討論時可類似討論.0, 0 qp27/3227機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：0, 0 qp0, 0 qp28/3228機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束特殊地：當特殊地：當 時，方程變為時，方程變為qp zpypx 2222旋轉拋物面旋轉拋物面)0( p（由（由 面上的拋物線面上的拋物線

15、繞它的軸繞它的軸旋轉而成的）旋轉而成的）xozpzx22 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當當 變動時，這種圓變動時，這種圓的中心都在的中心都在 軸上軸上.1zz29/3229機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq雙曲拋物面馬鞍面）雙曲拋物面馬鞍面）用截痕法討論：用截痕法討論：設設0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo（6雙曲拋物面雙曲拋物面30/3230機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束xozy拋物柱面拋物柱面xozy橢圓柱面橢圓柱面還有以下三種柱面還有

16、以下三種柱面:31/3231機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束xozy雙曲柱面雙曲柱面32/3232機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束【補充】雙曲面的漸進錐面【補充】雙曲面的漸進錐面 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax單葉：單葉：雙葉：雙葉：yx zo漸進錐面：漸進錐面：在平面上，雙曲線有漸近線。在平面上，雙曲線有漸近線。相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面面有漸近錐面。有漸近錐面。用用z=hz=h去截它們，當去截它們，當|h|h|無限增無限增大時，大時，雙曲面的截口橢圓與它的漸

17、近雙曲面的截口橢圓與它的漸近錐面錐面 的截口橢圓任意接近，的截口橢圓任意接近，即：即：雙曲面和錐面任意接近。雙曲面和錐面任意接近。33/3233機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1222222 czbyax 例如，儲水塔、例如，儲水塔、電視塔等建筑都電視塔等建筑都有用這種結構的。有用這種結構的。.【補充】單葉雙曲面是直紋面34/3234機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 zbyax 2222【補充】雙曲拋物面是直紋面35/3235機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0 的圖形是以

18、原點為頂點的錐面；的圖形是以原點為頂點的錐面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齊次的：次齊次的： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若準線準線頂點頂點n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原點為頂點的錐面的方程是反之，以原點為頂點的錐面的方程是錐面是直紋面錐面是直紋面x0z yt是任意數是任意數【補充】一般錐面36/3236機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束五、小結曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉曲面的概念及求法旋轉曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準線母線、準線). 0),( zyxF37/3237機動機動 目錄目錄

19、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束思考題思考題 指出下列方程在平面解析幾何中和空指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy38/3238機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束思考題解答思考題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸軸為為中中心心軸軸的的圓圓柱柱面面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于

20、z軸軸的的平平面面方程方程39/3239機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸40/3240機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的

21、軸41/3241機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸42/3242機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸43/3243機動機動

22、 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸44/3244機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸45/3245機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下

23、頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸46/3246機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸47/3247機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結

24、束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸48/3248機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸49/3249機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲

25、面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸50/3250機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸51/3251機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的

26、形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC52/3252機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC53/3253機動

27、機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC54/3254機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定

28、曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC55/3255機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC56/3256機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線

29、并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC57/3257機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC58/3258機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CLLC59/3259機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下