1、本章主要內容本章主要內容 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器第第6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 數字濾波器數字濾波器(DF)的定義的定義 輸入和輸出均是數字信號，通過一定運算關系輸入和輸出均是數字信號，通過一定運算關系(數值運算數值運算)，改變輸入數字信號所含改變輸入數字信號所含頻率成份的相對比例頻率成份的相對比例或或濾除某些頻率成濾除某些頻率成份份的器件。的器件。 數字

2、濾波器的特點數字濾波器的特點(相對模擬濾波器相對模擬濾波器)： 精度高、穩定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。精度高、穩定、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配。 數字濾波器處理模擬信號數字濾波器處理模擬信號 通過通過A/DC和和D/AC，使用數字濾波器對模擬信號的處理。，使用數字濾波器對模擬信號的處理。6.1 6.1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念(1) 一般分類一般分類經典濾波器經典濾波器：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻：輸入信號中的有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占用不同的頻帶，通過率成分占用不同的頻帶，通過選頻濾波器選頻濾波器達到濾波的目的。達到濾波的目的。現代濾波器現

3、代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統：信號和干擾的頻帶相互重疊，要利用信號的統計分布規律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡計分布規律，從干擾中最佳提取信號，如：維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應濾波器等。爾曼濾波器和自適應濾波器等。(2) 從濾波器的功能上來分類從濾波器的功能上來分類 分為分為低通、高通、帶通、帶阻低通、高通、帶通、帶阻濾波器濾波器1 1、數字濾波器的分類、數字濾波器的分類理想濾波器幅度特性理想濾波器幅度特性 w0-|H(ejw)|低通(LF)頻率響應2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)頻率響應2-2w0-|H(ejw)|帶通BF頻率響應2-2w0-|H

4、(ejw)|帶阻BS頻率響應2-2特點：特點：(1)h(n)(1)h(n)是非因果且無限長，不可能實現，只能盡可能逼近；是非因果且無限長，不可能實現，只能盡可能逼近；(2)DF(2)DF的傳輸函數是以的傳輸函數是以2 2 為周期，為周期，低通的中心頻帶低通的中心頻帶處于處于2 2 的整數倍的整數倍處處，高通的中心頻帶，高通的中心頻帶處于處于 的奇數倍附近。的奇數倍附近。(3)從濾波器的實現網絡結構或從單位脈沖響應分類從濾波器的實現網絡結構或從單位脈沖響應分類 無限脈沖響應無限脈沖響應(IIR)數字濾波器數字濾波器 有限脈沖響應有限脈沖響應(FIR)數字濾波器：數字濾波器：在數字濾波器中，一般考

5、察其半個周期=0，的頻域特性；在模擬濾波器中，通常考察其=0，范圍內頻率域的特性。 N階IIR濾波器函數N1階FIR濾波器函數這里介紹的數字濾波器屬于這里介紹的數字濾波器屬于選頻濾波器選頻濾波器(1) (1) 數字濾波器的傳輸函數數字濾波器的傳輸函數H(eH(ejwjw) )|H(ejw)|系統的幅頻特性系統的幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成：表示信號通過該濾波器后各頻率成 分衰減情況。分衰減情況。()系統的相頻特性系統的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時：反映各頻率成分通過濾波器后在時 間上的延時情況。間上的延時情況。()()()jjjH eH ee()2 2、數字濾波器的技術

6、要、數字濾波器的技術要求求(2) (2) 數字濾波器的幅頻特性數字濾波器的幅頻特性|H(e|H(ejwjw)| )|的指標的指標過渡帶低通數字濾波器的幅頻特性技術指標|H(ejw)|通帶阻帶21-1p0.70701CS指標說明：指標說明：p：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：通帶截止頻率，通帶頻率范圍：0p ；S ：阻帶截止頻率，：阻帶截止頻率，阻帶頻率范圍：阻帶頻率范圍：s ； C ：3dB截止頻率；截止頻率； P：通帶最大衰減；通帶最大衰減； S：阻帶最小衰減阻帶最小衰減 1：通帶內幅度響應誤差范圍；通帶內幅度響應誤差范圍； 2：阻帶內幅度響應誤差范圍；：阻帶內幅度響應誤差范圍； 通帶內和阻帶內

7、允許的衰減用通帶內和阻帶內允許的衰減用dB數表示數表示 如將如將|H(ej0)|歸一化為歸一化為1，上兩式則表示成，上兩式則表示成 當幅度衰減到當幅度衰減到 2/2倍時，所對應頻率倍時，所對應頻率 c，此時此時 P 3dB，稱稱c為為3dB截止頻率。截止頻率。20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB p p和和s s的定義的定義IIRIIR濾波器設計方法濾波器設計方法 (1)先設計模擬濾波器先設計模擬濾波器(AF)的傳輸函數的傳輸函數Ha(s)；然后按某種變換，；然后按某種變換，將將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數轉

8、換成數字濾波器的系統函數H(z)。 (2) 借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計；借助計算機輔助設計在頻域或時域直接進行設計；FIRFIR濾波器設計方法濾波器設計方法 (1)采用的是采用的是窗函數設計法窗函數設計法和和頻率采樣法頻率采樣法， (2)用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計用計算機輔助的切比雪夫最佳一致逼近法設計。3. 3. 數字濾波器設計方法數字濾波器設計方法 理論和設計方法相當成熟，有若干典型的模擬濾波器可以選理論和設計方法相當成熟，有若干典型的模擬濾波器可以選擇。如：擇。如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器濾波器、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)

9、濾波器濾波器、橢圓橢圓(Kllipse)濾波器濾波器、貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器等，這些濾等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用。 6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計1 1、各種理想模擬濾波器的幅度特性、各種理想模擬濾波器的幅度特性低通設計指標：低通設計指標： p和和s分別稱為分別稱為通帶截止頻率通帶截止頻率和和阻帶截止頻率阻帶截止頻率; c稱為稱為3dB截止頻率截止頻率 p是通帶是通帶(=0p)中的中的最大衰減系數最大衰減系數， s是阻帶是阻帶s的的最小衰減系數最小衰減系數，|Ha(

10、j)|0.707ps通帶阻帶過渡帶10Cps通帶過渡帶阻帶(dB) 衰減pS02 2、模擬低通濾波器的設計指標、模擬低通濾波器的設計指標p和和s一般用一般用dB表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()paps

11、asHjHj 2210lg()10lg()papsasHjHj 如果=0處幅度已歸一化到1，即:|Ha(j0)|=1圖中c稱為3dB截止頻率()1/2, 20lg()3acacHjHjdB()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdB實際濾波器的幅頻特性只能實際濾波器的幅頻特性只能采用某種函數（曲線）去逼近理想采用某種函數（曲線）去逼近理想幅頻特性幅頻特性，逼近函數不同就得到不同的逼近幅頻特性，該濾波，逼近函數不同就得到不同的逼近幅頻特性，該濾波器就被稱作某某逼近函數濾波器。器就被稱作某某逼近函數濾波器。常用的逼近函數有：巴特沃斯常用的逼近函數有：巴特沃斯(Butterworth) (Bu

12、tterworth) 函數、切比雪函數、切比雪夫夫(Chebyshev) (Chebyshev) 函數、橢圓函數、橢圓(Ellipse)(Ellipse)函數和貝塞爾函數和貝塞爾(Bessel)(Bessel)函數等。在本課程只對巴特沃斯濾波器的設計方法作簡介。函數等。在本課程只對巴特沃斯濾波器的設計方法作簡介。各類濾波器由于其逼近函數的特點，其特點各異各類濾波器由于其逼近函數的特點，其特點各異: :v在實際工作中可根據具體要求選擇不同類型的濾波器。在實際工作中可根據具體要求選擇不同類型的濾波器。 給出模擬濾波器的技術指標給出模擬濾波器的技術指標 ； 設計設計傳輸函數傳輸函數 Ha(s)：使其

13、：使其幅度平方函數幅度平方函數滿足給定指標滿足給定指標p和和 s，|Ha(j )|2 = Ha(j ) Ha*(j ) = Ha(s) Ha(-s)|S=j 確定確定Ha(s)：系統系統Ha(s)應是應是穩定穩定的的系統系統，因此，因此，極點極點應位于應位于3 3、 用模擬濾波器逼近方法設計數字用模擬濾波器逼近方法設計數字IIRIIR濾波器步驟濾波器步驟巴特沃斯低通濾波器的巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數幅度平方函數|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示： c c，幅度迅速下降，幅度迅速下降，N N越大，幅度下降越快，過渡帶越窄越大，幅度下降越快，過渡帶越窄當當 =0時，時， |H(j )|=

14、1；當當 = c時，時，| H(j )|= 所示所示 c是是3dB截止頻率。截止頻率。()1/2, 20lg()3acacHjHjdB N: 濾波器階數。濾波器階數。4 4、Butterworth Butterworth 低通濾波器的設計方低通濾波器的設計方法法將幅度平方函數將幅度平方函數|Ha(j)|2寫成寫成s的函數：的函數：此式表明幅度平方函數有此式表明幅度平方函數有2N2N個個極點，極點極點，極點s sk k用下式表示：用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje 其中，k=0,1,(2N-1)2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為c的圓上，間的圓上，間

15、隔是隔是 /N rad，左半平面，左半平面N個點構成個點構成Ha(s)傳輸傳輸函數，右半平面函數，右半平面N個點構成個點構成Ha(-s)傳輸函數。傳輸函數。Ha(s)表示為：由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統一，將所有的頻率歸一化。采用對一化。采用對3dB截止頻率截止頻率c歸一化歸一化，歸一化后的，歸一化后的Ha(s)表示為表示為 ：只要知道濾波器的階數N，可得歸一化的傳輸函數，去歸一化p=j=s/ c ,可得到實際的傳輸函數Ha(s)令s/c = j/c，=/c，稱為歸一化頻率，令p=j，p稱為歸一化復變量，歸一化巴特沃斯的傳輸函數

16、為：歸一化極點歸一化極點 ，k=0,1,N-1。Nkjkep21221(1) (1) 根據給出的技術指標根據給出的技術指標 P P、 S S、 p p、 S S，求濾波器階數，求濾波器階數N N221()1()aNcHj/10/10101()101psapNas/10/10221()101()10psapNcaNsc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/,101psaspspspak 設:lglgspspkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小數部分，可能有小數部分，應取大于等于應取大于等于N的最小整數的最小整數。20lg()20lg()psjpjsH edB

17、H edB 10lg|H(jp)|2/10/10101()101psapNas巴特沃斯濾波器的設計步驟巴特沃斯濾波器的設計步驟(2) (2) 求歸一化極點求歸一化極點p pk k，確定歸一化傳輸函數，確定歸一化傳輸函數Ha(p)Ha(p) 根據求極點公式：根據求極點公式： ，k=0,1,N-1。再帶入：。再帶入： 或根據階數或根據階數N，查表，查表P157 表表6.2.1得到極點和歸一化傳輸函數得到極點和歸一化傳輸函數10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 阻帶指標有富裕度10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 通帶指標有富裕度(3) (3) 求求3

18、dB3dB截止頻率截止頻率 c c由由:|H(j:|H(j )|)|2 2=1/1+(=1/1+( / / c c) )2N2N ， = = p p時時：1+(1+( p p/ / c c) )2N2N=10=10 p p/10/10。Nkjkep21221 將將p=s/ c，代入代入Ha(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/ c。 表表6.2.1 6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數巴特沃斯歸一化低通濾波器參數 表示兩極點P1、PN-2(4)(4) 將將H Ha a(p)(p)去歸一化，去歸一化，得到實際的濾波器傳輸函數得到實際的濾波器傳輸函數Ha(s)Ha(s)例：例：已

19、知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止，阻帶截止頻率頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術指標設計巴，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。特沃斯低通濾波器。解：解：(1) (1) 設計模擬濾波器的指標為設計模擬濾波器的指標為 p=2 fp= 104(rad/s)， p=2dB s=2 fs=2.4 104(rad/s)， s=30dB (2) (2) 確定濾波器的階數確定濾波器的階數N N0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN

20、 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 取N為5lglgspspkN =(3) (3) 求極點求極點3455016523754,jjjjjseseseseseP03455016523754,jjjjjseseseseseP1P23455016523754,jjjjjseseseseseP33455016523754,jjjjjseseseseseP43455016523754,jjjjjsesesese

21、se代入歸一化傳輸函數公式代入歸一化傳輸函數公式5432432101( )aHppb pb pb pb pb)1)(1618.1)(1618.0(1)(1)(2240 ppppppppHakk)1)(1618.1)(1618.0(1)(1)(2240 ppppppppHakk最簡便的方法：由最簡便的方法：由N=5N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 極點形式：極點形式：-0.3090-0.3090j0.9511j0.9511；-0.8090-0.8090j0.5878; -1.0000j0.5878; -1.0000 分母多項式的形式：分母多項式的形式： 分母因式的形式：分母因式的形式：Nk

22、jkep21221(4) (4) 將將H Ha a(p)(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB3dB截止頻率截止頻率c c10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads 5554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(5) (5) 將將p=s/p=s/c c代入代入H Ha a(p)(p

23、)中得到：中得到：利用模擬濾波器設計利用模擬濾波器設計IIRIIR數字濾波器設計過程數字濾波器設計過程6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器設計技術成熟設計技術成熟有相當簡便的有相當簡便的公式和圖表公式和圖表模擬濾波器)(sHaAF由此設計數字濾波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性模仿模仿AFAF的特性的特性實際上是個映射問題Mapping離散時間域(Z平面)轉換關系連續時間域(S平面)(1)因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定因果穩定的。的。 (2)數字濾波器的頻率響應數字濾

24、波器的頻率響應模仿模仿模擬濾波器的頻響，模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸平面的虛軸映射映射z平面的單位圓，相應的平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系頻率之間成線性關系。Re(z)jIm(z)0z平面平面1z1z2 j j 0S平面平面S1xS2x滿足上述轉換關系的映射方法有：滿足上述轉換關系的映射方法有：脈沖響應不變法和雙線性變換法對轉換關系的兩點要求：對轉換關系的兩點要求：1、設模擬濾波器、設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點只有單階極點，且分母多項式的階次高于，且分母多項式的階次高于 分子多項式的階次，將分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示： Ha(s)LT-1Ha(

25、s)ha(t)時域采樣時域采樣h(n)ZTh(n)H(z)所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法所以說脈沖響應不變法是一種時域上的變換方法1( )NiaiiAHssssi為Ha(s)的單階極點1( )( )iNs ntaiihtAeu t1( )( )iNs n taiihtA eutLT-1Ha(s)U(t)為單位階躍函數脈沖響應不變法脈沖響應不變法一、基本思想：一、基本思想：使使h(n)模仿模仿ha(t)，讓，讓h(n)正好等于正好等于ha(t)的采樣值的采樣值二、變換方法二、變換方法對對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：，得到：對上式進行對上式進

26、行Z變換，得到數字濾波器的系統函數變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)：結論結論:(1) S平面的平面的單極點單極點s=si映射映射到到Z平面的平面的極點極點z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系數與部分分式的系數與H(z)部分分式的部分分式的系數相同系數相同。 2、Ha(s)有共軛復數對極點有共軛復數對極點 Ha(s)的極點的極點si一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一般是一個復數，以共軛成對的形式出現，將一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。一對復數共軛極點放在一起，形成一個二階基本節。 AF二階基本節形式二階基本節形式1：21211)s(s)s(Ha:+=形式一極

27、點極點- - 1 1 j j 1 1對對ha(t)進行等間隔采樣進行等間隔采樣h(n)=ha(nT)= e- nTcos(1nT)u(nT)，進行進行Z變換變換1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze)(cos)()(111tutesHLTthtaaAF二階基本節形式二階基本節形式2：ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tsin1tu(t)，對ha(t)進行等間隔采樣1h(n)=ha(nT)= e- nTsin(1nT)u(nT)，進行Z變換121211)s()s(Ha:+=形式二極點-1j1+=0

28、nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 1 1、采樣信號的拉氏變換與相應的序列的、采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z Z變換之間的映射關系變換之間的映射關系(1) 設設ha(t)的采樣信號表示為的采樣信號表示為:(2) 對對 進行拉氏變換，得到進行拉氏變換，得到( )( ) ()aanhth ttnT( )aht( )( )()()staastansnTHsh t edth tnT edtnT e nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtth

29、sH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nnznhzH)()()()(sHzHaezsT三、三、S S平面和平面和Z Z平面之間的映射關系平面之間的映射關系 模擬信號模擬信號ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號和其采樣信號 的傅里的傅里葉變

30、換葉變換 之間的關系滿足：之間的關系滿足：結論：結論：采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在采樣信號的拉氏變換是原模擬信號的拉氏變換在S平面沿平面沿虛軸以虛軸以s=2/T為周期進行的周期延拓；為周期進行的周期延拓；( )aht( )aht1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT ()aHj將將s=js=j代入上式，得：代入上式，得：2 2、模擬信號的拉氏變換與相應的序列的、模擬信號的拉氏變換與相應的序列的Z Z變換之間的映射關系：變換之間的映射關系：說明：說明：采用脈沖響應不變法將采用脈沖響應不變法將AF變換為數字變換為

31、數字DF時時 Ha(s)沿虛軸以沿虛軸以 s=2 /T為周期進行周期延拓為周期進行周期延拓; 再經過再經過Z=eST的映射關系映射到的映射關系映射到Z平面上，從而得到平面上，從而得到H(z)上面的這種轉換是否滿足對轉換關系提出的上面的這種轉換是否滿足對轉換關系提出的2點要求點要求:設：設：S=j ，Z=r ejw 脈沖響應不變法標準映射關系：脈沖響應不變法標準映射關系： Z=eST頻率域的坐標變換是線性的因果穩定模仿頻響由采樣信號的拉氏變換與相應的序列的由采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z Z變換之間的映射關系：變換之間的映射關系：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz

32、ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT TjTTjjeeeer)(r= e T = T 0時，時，S平面的平面的左半平面左半平面映射到映射到Z平面的平面的單位圓內單位圓內(r=|z|0時，時，S平面的平面的右半平面右半平面映射到映射到Z平面的平面的單位圓外單位圓外(r=|z|1)結論：若結論：若Ha(s)是因果穩定的，則轉換后的是因果穩定的，則轉換后的H(z)也是因果穩定的。也是因果穩定的。r= e T因果穩定的分析因果穩定的分析j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面 當當 不變，模擬角頻率不變，模擬角頻率 變化變化2 /T整數倍，整數倍，映射值不變映射值

33、不變，S平平面上每一條寬度為面上每一條寬度為2 /T的水平橫帶都重迭地映射到的水平橫帶都重迭地映射到Z平面的整個全平面的整個全平面上平面上 每條水平橫帶的左半部分映射到每條水平橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓內；平面單位圓內； 水平橫帶右半部分映射到水平橫帶右半部分映射到Z平面的單位圓外平面的單位圓外 j 虛軸上每虛軸上每2 /T段都對應著單位圓一周段都對應著單位圓一周j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面2(),jM TsTTj TTTeeeeeM由于由于z=esT是周期函數是周期函數由上面分析結果：由上面分析結果： S平面與平面與Z平面的映射關系滿足轉換條件；平

34、面的映射關系滿足轉換條件； 但存在著但存在著多值多值(s)單值單值(z)映射關系映射關系(3) DF的頻響是AF頻響的周期延拓)(jeH0T0T)( jHa頻率混疊sTez (1)雖然)(sHa)(zH直接映射但并非)(sHa而是)(zH映射注意：只有AF頻響限于/T之內，DF頻響才不失真地復現AF頻響，否則，設計出來的DF在w=附近產生頻率混疊。(2) 采樣信號的拉氏變換是其模擬信號的拉氏變換以2/T為周期，沿虛軸進行周期化。脈沖響應不變法的應用受限脈沖響應不變法的應用受限 只適合設計只適合設計帶限濾波器帶限濾波器，如：低通、帶通濾波器的設計，不，如：低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻

35、濾波器的設計。適合高通、帶阻濾波器的設計。假設 沒有頻率混疊現象，即滿足： ()aHj()0,/aHjT 按照上式，并將關系式s=j代入，=T，代入得到：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 1()(),jaH eHjTT數字濾波器的頻響可以很好模仿模擬濾波器的頻響四、四、 脈沖響應不變法的優缺點脈沖響應不變法的優缺點優點：優點： 1、頻率變換是、頻率變換是線性關系線性關系; = T ，數字濾波器可以很好重現模擬，數字濾波器可以很好重現模擬濾波器的頻響特性；濾波器的頻響特性； 2、數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波

36、器的單位沖激、數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，響應，時域特性逼近好時域特性逼近好；缺點：缺點： 1. 有頻譜混迭失真現象；有頻譜混迭失真現象；(S平面到平面到Z平面有多值映射關系平面有多值映射關系) 2. 由于頻譜混迭，使應用受到限制。由于頻譜混迭，使應用受到限制。(T失真失真 ，但運算量但運算量 ,實實現困難現困難)【例】【例】 已知模擬濾波器的傳輸函數已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為為用脈沖響應不變法將用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數轉換成數字濾波器的系統函數H(z)解：解：首先將首先將Ha(s)寫成部分分式：寫成部分分式：極點為：極點為

37、：根據：根據： ，H(z)的極點為：的極點為：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze按照：按照： ，經過整理，得到，經過整理，得到當：當：T=1s時用時用H1(z)表示，表示，T=0.1s時用時用H2(z)表示，則：表示，則：將將Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它們最大值歸一化的幅度特性用它們最大值歸一化后，得到它們的幅度特性曲線，如下圖所示：后，得到

38、它們的幅度特性曲線，如下圖所示：11( )1iNis TiAH zez111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=-很輕的混疊現象嚴重的混疊現象= T 脈沖響應不變法的主要缺點脈沖響應不變法的主要缺點:產生頻率譜混迭現象。產生頻率譜混迭現象。 原因

39、原因：模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率模擬低通的最高頻率超過了折疊頻率 /T，數字化后，數字化后在在= 形成頻譜混疊現象。形成頻譜混疊現象。 解決方法：解決方法：采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范采用非線性壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到圍壓縮到/T 之間，而后再用之間，而后再用 Z=eST 轉換到轉換到 Z 平面上。平面上。 一雙線性變換法消除頻譜混迭的原理一雙線性變換法消除頻譜混迭的原理1、非線性壓縮：、非線性壓縮：(S平面平面S1平面平面映射映射)雙線性變換法用雙線性變換法用正切變換正切變換實現非線性頻率壓縮，設實現非線性頻率壓縮，設Ha(s)，s=j，經過非線性頻率壓縮

40、后用，經過非線性頻率壓縮后用Ha(s1)， s1=j1 表示。則：表示。則：上式表明：上式表明：當當1從從/T經過經過0變化到變化到-/T時，時，則由則由經過經過0變化到變化到-，這樣實現了，這樣實現了s平面上整個虛軸完全平面上整個虛軸完全壓縮到壓縮到s1平面上虛軸的平面上虛軸的/T之間的轉換。之間的轉換。6.4 6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器121tan()2TT 0/T-/T1T：時域采樣間隔；由上面可得：由上面可得：(- ，+ )， 1 (- /T，+ /T) ；6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通

41、濾波器)2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSth

42、CeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 2、S1平面到Z平

43、面的映射將S1平面映射到Z平面上，用標準映射Z=eS1T。代入上式SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即112 1122zsTzsTzsT推出3、雙線性、雙線性變換變換的映射關系的映射關系映射過程：映射過程：從從s平面映射到平面映射到s1平面，再從平面，再從s1平面映射到平面映射到z平面。平面。 S平面與平面與Z平面是平面是

44、一一對應的單值映射一一對應的單值映射關系，消除了脈沖響應關系，消除了脈沖響應不變法的多值映射關系，消除了頻譜混迭現象。不變法的多值映射關系，消除了頻譜混迭現象。 只要模擬濾波器只要模擬濾波器Ha(s)因果穩定，其極點應位于因果穩定，其極點應位于S左半平面，左半平面，轉換成的轉換成的H(z)也是因果穩定的，位于單位圓內。也是因果穩定的，位于單位圓內。6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器001j1j/T-/T2/T tan(1T)Z=es1TS平面S1平面Re(z)jIm(z)0z平面S 2/T th(S1T)二、模擬頻率二、模擬頻率和數字頻率和數字頻率之

45、間的關系之間的關系將：將：Z=ej ，S=j ，代入，代入SZ平面映射關系式：平面映射關系式：6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器112 1122zsTzsTzsT-0W)2(2wtgT 說明：s平面上 與z平面的成非線性正切關系，當增加時， 增加得很快，當 趨于 時，趨于，由于這種非線性關系，消除了頻率混疊現象。代價：影響數字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。2 1121tan2jjejTeT )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(22112

46、2/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2(2)2(2wtgTwtgTj 2 1121tan2jjejTeT 三、雙線性變換法特點三、雙線性變換法特點1、優點、優點 消除了頻譜混迭失真；消除了頻譜混迭失真；頻率映射頻率映射 表明表明S平面與平面與Z平面是一一對應的單值映射關系，避免了脈平面是一一對應的單值映射關系，避免了脈沖響應不變法的頻譜沖響應不變法的頻譜“混迭混迭”現象。現象。2.缺點缺點 以以頻率變換的非

47、線性為代價，模擬域和數字域進行非線性頻率變換的非線性為代價，模擬域和數字域進行非線性映射，其映射，其瞬時響應瞬時響應不如脈沖響應不變法好。不如脈沖響應不變法好。6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器2 1121tan2jjejTeT 四、雙線性變換法的幅度失真和相位失真情況四、雙線性變換法的幅度失真和相位失真情況 如果如果的刻度是均勻的，通過非線性正切關系，映射到的刻度是均勻的，通過非線性正切關系，映射到z平面的平面的刻度不均勻，隨刻度不均勻，隨增加越來越密，即邊界頻率發生畸變。增加越來越密，即邊界頻率發生畸變。 如果模擬濾波器具有如果模擬濾波器具有片段

48、常數特性片段常數特性，則轉換到，則轉換到z平面仍具有平面仍具有片片段常數特性段常數特性。適于適于片段常系數濾波器片段常系數濾波器的設計。的設計。6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器幅度特性失真相位特性失真五、雙線性變換法的預畸變五、雙線性變換法的預畸變對對邊緣臨界頻率點產生的畸變邊緣臨界頻率點產生的畸變，可通過頻率的，可通過頻率的預畸變預畸變加以校正。加以校正。例例：數字低通濾波器的兩個截止頻率：數字低通濾波器的兩個截止頻率： p和和s，如果按照線如果按照線性變換所對應的模擬濾波器的截止頻率分別為：性變換所對應的模擬濾波器的截止頻率分別為：再利用非線性

49、的頻率變換公式，得到的數字濾波器的截止頻率再利用非線性的頻率變換公式，得到的數字濾波器的截止頻率就不等于原來的頻率就不等于原來的頻率 。解決方法：解決方法：數字頻率轉換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理數字頻率轉換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理：6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器pp /Tss /T2 1121tan2jjejTeT 例例：例例6.4.1，已知，已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求，求H(z)。解：解：1、用脈沖響應不變法時用脈沖響應不變法時，先確定極點：，先確定極點：s= a，則，則 2. 用雙線性不變法時用雙線性不

50、變法時6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器11)( zeazHaTT為采樣間隔1111112)2()2()1(112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS1111112)2()2()1(112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT其中：設設:a1000,T=0.001和和T=0.002，H1(z)和和H2(z)的歸一化幅頻特的歸一化幅頻特性如圖

51、所示性如圖所示6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器雙線性變換法脈沖響應不變法模擬濾波器幅頻特性250Hz500Hz存在混疊不存在混疊，曲線形狀差別大五、用模擬濾波器設計五、用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器步驟數字低通濾波器步驟(1)確定數字低通濾波器的性能指標；確定數字低通濾波器的性能指標；(p，ap，s，aS)(2)確定相應模擬低通濾波器的性能指標；確定相應模擬低通濾波器的性能指標；o 脈沖響應不變法：脈沖響應不變法： = /To 雙線性變換法：雙線性變換法： =2/Ttan( )預畸變；預畸變；(3)設計模擬低通濾波器的傳輸函數設計模擬低通濾波

52、器的傳輸函數Ha(S)；(4)將將Ha(S) 轉換成數字濾波器系統函數轉換成數字濾波器系統函數 H(z)；o利用脈沖響應不變法設計時，應先確定利用脈沖響應不變法設計時，應先確定Ha(s)極點，按極點，按 Z=eST 映射極點，并根據映射極點，并根據P171頁公式表示出頁公式表示出H(z)。o 若利用雙線性變換法，設采樣間隔為若利用雙線性變換法，設采樣間隔為T，則，則6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器, | )()(11112 zzTsasHzH例例1：要求設計一數字低通濾波器，指標為：在通帶內頻率低于要求設計一數字低通濾波器，指標為：在通帶內頻率低于

53、0.2 rad/s時，容許幅度誤差在時，容許幅度誤差在1dB以內；在頻率以內；在頻率0.3之間，阻之間，阻帶衰減大于帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。分。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。分別用別用脈沖響應不變法脈沖響應不變法和和雙線性變換法雙線性變換法設計設計H(z)。6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器(dB)w11500.30.2數字域指標圖對應模擬域指標圖(dB)1150 sp解：解：采用脈沖響應不變法采用脈沖響應不變法(1)數字域指標數字域指標: P=0.2 rad， p=1dB ， S=0.3 rad， S=15dB(2)模擬域指標模擬域指標：取：取T=1， 則：則： p= p/T=0.2 rad/s， s=0.3 rad/s， P=1dB， s=15dB。(3) 設計模擬低通設計模擬低通AF：要求采用巴特沃斯低通濾濾器要求采用巴特沃斯低通濾濾器6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換