1、第一章第一章非線性振動初步非線性振動初步第一節 無阻尼單擺的自由振蕩第二節 阻尼振子第三節 受迫振蕩非線性振動初步非線性振動初步第一節第一節 無阻尼單擺的自由振蕩無阻尼單擺的自由振蕩 1 小角度無阻尼單擺小角度無阻尼單擺 2 任意角度無阻尼單擺振動任意角度無阻尼單擺振動 3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線無阻尼單擺的相圖與勢能曲線由牛頓第二定律：由牛頓第二定律： 非線性方程非線性方程, 式中角頻率：sin22mgFdtdlm0sin22lgdtd0sin2022dtdlg /01 1 小角度無阻尼單擺小角度無阻尼單擺 數學表達式數學表達式(1)(2)(3) 線性化處理線性化處理忽略3次以上的高次項

2、得線性方程! 7! 5! 3sin753xxxxxxx sin02022dtd0sin2022dtd(4)cos()(0tPt002022dtd(5)該式是振幅為該式是振幅為P，角頻率為，角頻率為 的簡諧振動，其振動的簡諧振動，其振動波形為正弦曲線。波形為正弦曲線。角頻率只與擺線角頻率只與擺線 l 得長度有關，得長度有關，與擺錘質量無關與擺錘質量無關，稱為固有角頻率。，稱為固有角頻率。引入代換引入代換 得：得：一次積分后：一次積分后： 式中式中E E 為積分常數，由初始條件決定。把為積分常數，由初始條件決定。把 看作為兩個看作為兩個變量，則方程是一個圓周方程，圓的半徑為變量，則方程是一個圓周方

3、程，圓的半徑為 ，振動過程，振動過程是一個代表點沿圓周轉動。是一個代表點沿圓周轉動。022dtdtt 0Edtd222121,dtd2E相圖相圖(6)相圖相圖 相圖即狀態圖，是法國偉大數學家龐加萊相圖即狀態圖，是法國偉大數學家龐加萊(Poincare(Poincare) )于十九于十九世紀末提出用相空間軌線表示系統運動狀態的方法。相圖上每一世紀末提出用相空間軌線表示系統運動狀態的方法。相圖上每一個點表示了系統在某一時刻狀態（擺角與角速度），個點表示了系統在某一時刻狀態（擺角與角速度），系統運動狀系統運動狀態用相圖上的點的移動來表示，點的運動軌跡稱為軌線態用相圖上的點的移動來表示，點的運動軌跡稱

4、為軌線。能量方程能量方程右邊第一項為系統動能右邊第一項為系統動能K ，第二項為系統勢能，第二項為系統勢能V，E 是系統的是系統的總能量。運動過程中總能量。運動過程中K 和和V 兩者都隨時間變化，而系統總能量兩者都隨時間變化，而系統總能量E 保持不變。保持不變。 當當K =V =0時，時，E=0，有，有 ，這時擺處于靜止狀態，這時擺處于靜止狀態，為靜止平衡。為靜止平衡。 當當E 0 時，由于系統總能量保持不變，擺的運動用確定周時，由于系統總能量保持不變，擺的運動用確定周期描述。不同能量期描述。不同能量E 相應于半徑不同的圓，構成一簇充滿整個相應于半徑不同的圓，構成一簇充滿整個平面的同心圓平面的同

5、心圓(或橢圓或橢圓)。 同一圓周同一圓周(或橢圓或橢圓)上各點能量相同，又稱為等能軌道。坐標上各點能量相同，又稱為等能軌道。坐標原點是能量原點是能量E =0 的點，圍繞該點是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的的點，圍繞該點是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點為靜止平衡點為橢圓點橢圓點。Edtd222121EVK0周期與擺角無關？T0為零擺角極限下的周期看看實驗結果：0510203045T/T01.00001.00051.00191.00771.01741.0369?2/200TglT單擺周期單擺周期2 2 任意角度無阻尼單擺振動任意角度無阻尼單擺振動 定性結論：1. 周期隨擺角增加周期隨擺角增加而增加而

6、增加2. 隨擺角增加波形隨擺角增加波形趨于矩形趨于矩形單擺周期數學表達式單擺周期數學表達式2 任意角度無阻尼單擺振動任意角度無阻尼單擺振動 任意擺角單擺周期與擺角的關系可采用如下方法求得任意擺角單擺周期與擺角的關系可采用如下方法求得將方程將方程(3)乘以乘以 ，并對，并對 積分，得積分，得dtdtcos2202Cdtd(7)在最大角位移在最大角位移 處，處， ，可求得積分常數，可求得積分常數00dtd2002cosC 因此由因此由(7)式得式得2100coscos2dtd(8)對對(8)式積分，得式積分，得2100coscos2dt(9)設設 t = 0 時時 ，并設周期為，并設周期為 T，則

7、在，則在 t = T/4時應有時應有 ，再利用三角函數公式再利用三角函數公式002sin21cos2可得可得002120202sin2sin41dT(10)引入代換引入代換sin2sin2sin0(11)則有則有ddcos2sin2cos210進而可把進而可把(10)式變為式變為20212020202120200sin2sin122sin2sin2coscos2sin2dTdTT式中式中002T(12)最后，可計算出最后，可計算出 2sin43212sin2110420220TT(13)忽略高次項，可得忽略高次項，可得2sin411020TT(14)任意角度無阻尼擺軌線的數學表達式任意角度無阻

8、尼擺軌線的數學表達式由機械能守恒定律可知單擺的能量滿足關系式由機械能守恒定律可知單擺的能量滿足關系式cos12122mglmlE常量(15)對上式進行無量綱化處理對上式進行無量綱化處理(即把即把 看作看作 t )，可得，可得tlgt 0HmglEcos1212常量(16)由此解得由此解得cos12H(17)1.坐標原點坐標原點 附近附近相軌線為近似橢圓形的閉合道；相軌線為近似橢圓形的閉合道；2.平衡點平衡點 為單擺倒置點為單擺倒置點( (鞍點鞍點),),附近附近相軌線雙曲線相軌線雙曲線;3.從從 到到 或相反的連線為分界線或相反的連線為分界線. .在分界線內的軌線是閉合回線在分界線內的軌線是閉

9、合回線單擺作周期振動。分界線以外單擺作周期振動。分界線以外單擺能量單擺能量E E 超過勢能曲線的極超過勢能曲線的極大值，軌道就不再閉合，單擺大值，軌道就不再閉合，單擺作向左或向右方向的旋轉運動作向左或向右方向的旋轉運動00，0 0 0 單擺完整相圖單擺完整相圖3 任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線相圖橫坐標相圖橫坐標是以是以2 2 為周期的，為周期的，擺角擺角 是同一個倒立位置，是同一個倒立位置，把相圖上把相圖上G G點與點與G G 點重迭一起點重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱時，就把相平面卷縮成一個柱面。所有相軌線都將呈現在柱面。所有相軌線都將呈現在柱面上

10、。因此，平面上的相軌線面上。因此，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線柱面上的單擺相軌線3 任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第二節第二節 阻尼振子阻尼振子1 阻尼單擺 不動點2 無驅杜芬方程1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點不動點無阻尼時：設阻尼力與擺的速度成 正比：取 得：如果滿足 則有：sinmgFdtdlm22sinmgdtdlFdtdlm22m2/0sin22022dtddtdxx sin022022dtddtdl數學表達式數學表達式設解為得特征方程l為待定常數，特征方程解：故有：通解為最后有：tel022

11、02ll2022, 1l220li2, 1)(21)(2)(1titittitieCeCeeCeC)cos(tePt小擺角阻尼單擺的解小擺角阻尼單擺的解1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點不動點)cos(tePt)sin()cos(ttePdtdtsin)sin(cos)cos(tAevtAeuttPAttAe相軌線相軌線 吸引子吸引子1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點不動點對阻尼單擺解對阻尼單擺解引入新變量引入新變量 ( u, v)相軌線相軌線 吸引子吸引子1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點不動點 阻尼單擺軌線矢徑隨轉角增加而縮短，在阻尼單擺軌線矢徑隨轉角增加而縮短，在u,v平面上是向內平面上是向內旋轉的

12、對數螺旋線簇。在旋轉的對數螺旋線簇。在 平面內也與此類似。平面內也與此類似。 能量耗散使相軌線矢徑對數衰減。無論從哪點出發，經若干能量耗散使相軌線矢徑對數衰減。無論從哪點出發，經若干次旋轉后趨向坐標原點，原點為次旋轉后趨向坐標原點，原點為“吸引子吸引子”，它把相空間的點，它把相空間的點吸引過來，原點又稱吸引過來，原點又稱不動點不動點。tAe,1. 整相平面被通過鞍點整相平面被通過鞍點G與與G 的軌線分成三個區域。的軌線分成三個區域。2. 在坐標原點附近軌線是向在坐標原點附近軌線是向內旋轉的對數螺旋線內旋轉的對數螺旋線, ,和小和小擺角情況相似。擺角情況相似。3. 鞍點的位置仍在原處。鞍點的位置

13、仍在原處。任意擺角下的相圖任意擺角下的相圖1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點不動點運動運動 從倒立開始往下擺，從倒立開始往下擺，由于能量耗散達不到原有由于能量耗散達不到原有高度。高度。軌線軌線 從一個鞍點出發到不從一個鞍點出發到不了另一鞍點，分界線被破了另一鞍點，分界線被破壞了。壞了。相流相流 所有中間區域的相點所有中間區域的相點流向坐標原點。原點是該流向坐標原點。原點是該區域的不動點，是該區域區域的不動點，是該區域吸引子。左右兩個區域也吸引子。左右兩個區域也有相應的吸引子，它們分有相應的吸引子，它們分別處在該圖左別處在該圖左( -2( -2) )和右和右(+2(+2 ) )兩側。兩側。2. 杜芬

14、方程杜芬方程 數學上將含有 三次項的二階方程稱為Duffing方程。有。有驅動力方程為： 例例：弱非線性單擺屬Duffing方程：取： 得：tFxxdtdxdtxdcos3223x6/sin3xxx0)6/(32022xxdtdxdtxd0sin2022xdtdxdtxd杜芬杜芬方程研究無驅無阻尼杜芬方程：研究無驅無阻尼杜芬方程： 積分得：積分得：由系統能量由系統能量 知：知：23200,1,0d xxxdtF Exxdtdx242212121EVK242121xxV00勢能曲線勢能曲線2. 杜芬方程杜芬方程00勢能曲線勢能曲線2. 杜芬方程杜芬方程勢能：勢能： 討論討論：由：由 知：知：1.

15、 當當 時有一個平衡點：時有一個平衡點：2. 當當 時有三個平衡點：時有三個平衡點：3. 平衡點平衡點 為兩個能量最小點為兩個能量最小點242121xxV0000/dxdV00 xx0 xx00相圖相圖2. 杜芬方程杜芬方程00 從杜芬方程從杜芬方程勢能曲線勢能曲線，畫出，畫出( ( ）平面上的相軌線。）平面上的相軌線。1. 1. 對于對于 ，坐標原點是橢圓點，附近為閉合橢圓軌道，坐標原點是橢圓點，附近為閉合橢圓軌道; ;2. 2. 對于對于 , ,坐標原點是鞍點，鄰近相軌線是雙曲線坐標原點是鞍點，鄰近相軌線是雙曲線; ;在在 處是處是橢圓點，附近是閉合軌道。因原點軌線附近呈雙曲線，形成一對蛋橢圓點，附近是閉合軌道。因原點軌線附近呈雙曲線，形成一對蛋形軌線。形軌線。3. 3. 對于對于 , ,通過坐標原點是兩條相交界軌線。其中兩條軌線走向原通過坐標原點是兩條相交界軌線。其中兩條軌線