1、 .定積分的背景數(shù)學(xué) 王乃雪 江西高安二中 382317596【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)目標(biāo)通過曲邊梯形的面積問題、變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程問題、變力做功問題理解定積分概念的形成的基本思想，初步了解、感受定積分的實(shí)際背景。2.能力目標(biāo)通過探索求曲邊梯形的面積的過程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限”的步驟分析問題的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用極限的思想方法思考與處理問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。3. .情感目標(biāo)對(duì)不同背景下的問題中蘊(yùn)含的統(tǒng)一數(shù)學(xué)內(nèi)涵的過程的揭示，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實(shí)用性方面的巨大力量，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的理性美產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的欣

2、賞情感。【教學(xué)重難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)了解以直代曲、逼近的數(shù)學(xué)思想，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟。2.教學(xué)難點(diǎn)曲邊梯形的不足近似和過剩近似兩種近似面積的求法。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課介紹我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽以及他的“割圓術(shù)”：劉徽(約公元225年295年)，山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。他的杰作九章算術(shù)，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，影響、支配中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展1000余年，是東方數(shù)學(xué)的典范之一，與希臘歐幾里得的幾何原本所代表的古代西方數(shù)學(xué)交相輝映。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造十進(jìn)小數(shù)、證了有關(guān)勾股定理與解勾股形的計(jì)算原理；定義許多重要數(shù)學(xué)概念解決了多種幾何形

3、、幾何體的面積、體積計(jì)算問題；創(chuàng)造了割圓術(shù)，運(yùn)用極限觀念計(jì)算圓面積和圓周率。在右圖中的圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形，通過變量來改變正多邊形的邊數(shù)，用正多邊形面積來近似估計(jì)圓的面積。提問：1.可以用正六邊形的面積來表示圓的面積嗎？可以用正12邊形來表示嗎？2.要使用多邊形的面積近似表示圓的面積更精確，應(yīng)該怎么辦？3.用內(nèi)接正多邊形的面積來表示圓的面積，怎么計(jì)算圓周率？割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體無所失矣。 劉徽二、新課講授曲邊梯形的概念：由三條直線x軸、x=a、x=b和一條曲線圍成的封閉圖形，就叫做曲邊梯形。提問：我們知道多邊形、圓形、扇形等規(guī)則圖形的面積求法，那怎么求曲邊梯形的面

4、積？探究一、求曲邊梯形的面積問題1：求由x軸、直線x=1和曲線圍成圖形的面積（一） 分割為了計(jì)算曲邊梯形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形，如下圖所示。（二） 近似代替提問：1.我們將曲邊梯形分割后，可以用圖1或者圖2中的小矩形的面積和來代替由x軸、x=a、x=b和曲線圍成的圖形的面積嗎？2.如果還有比較大的誤差，我們可以怎么做使誤差變小？3.將區(qū)間0,1分的越細(xì)，誤差越小嗎？在圖1和圖2中不斷增加小矩形的數(shù)量，得到的陰影部分的面積會(huì)越來越接近由x軸、直線x=1和曲線圍成的面積，而圖3中的面積會(huì)越來越小，直至無限接近于0.因此，只要區(qū)間分的夠細(xì)小，我們就可以用圖1或者圖2中的矩形的面積來近似代

5、替由x軸、x=a、x=b和曲線圍成的圖形的面積。下面以圖1為例求不足近似的面積。把區(qū)間0，1等分成n個(gè)小區(qū)間：；每個(gè)區(qū)間長度為，第個(gè)小矩形的高度為，所以第個(gè)小矩形的面積為。（三） 求和（四） 逼近(求極限)當(dāng)分割無限變細(xì)，即時(shí)，所以所求曲邊梯形的面積為。練習(xí)1：仿照上面求不足近似面積的方法求圖2中由x軸、直線x=1和曲線圍成的圖形的過剩近似面積探究二、變速運(yùn)動(dòng)的路程問題提問: 1.勻速直線運(yùn)動(dòng)路程公式是什么？2.若以時(shí)間為橫坐標(biāo)，速度為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，那么路程可以用什么表示？3.如果是變速直線運(yùn)動(dòng)，路程怎么求？問題2：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行5s后停下，在這一過程中汽車的速度v是時(shí)間

6、t的函數(shù)：,請(qǐng)估計(jì)汽車在剎車過程中滑行的距離s。用橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示速度，可以得到速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象如右圖所示。提問:1. 仿照問題1中的近似方法將時(shí)間區(qū)間0,55等分，得到的不足近似面積和過剩近似面積分別怎么計(jì)算？將區(qū)間0,510等分呢？2. 哪種分法得到的面積誤差較小？，如果還要使誤差更小，怎么辦？首先將滑行時(shí)間5等分，若用近似表示各時(shí)間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是；若用近似表示各時(shí)間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是。為了使誤差更小，將滑行時(shí)間10等分，用類似的方法求得過剩近似值為；不足近似值為。按照這樣的思路繼續(xù)將時(shí)間分細(xì)，我們就會(huì)得到更精確的估計(jì)值，當(dāng)小時(shí)間間隔長度趨于0時(shí)，這兩種估計(jì)值就都趨于汽車滑行的路程。方法歸納總結(jié):求曲邊梯形的面積分為以下幾個(gè)步驟1. 將區(qū)間分割；2. 近似代替(一般用不足近似和過剩近似兩種代替方法)；3. 求近似面積和；4. 求極限，讓，得到準(zhǔn)確面積。練習(xí)2：由直線x=1,y=0和曲線圍成一個(gè)曲邊梯形，將區(qū)間0,14等分，則曲邊梯形面積的近似值(過剩近似)是( ).A. B. C. D. 三、小結(jié)求曲邊梯形面積四步曲：1. 分割化整為零2. 近似代替以直代曲3. 求和積零為整4. 逼近刨光磨平四、作業(yè)：（思考題）一根彈性系數(shù)為0.4N/cm的彈簧，其拉力隨著彈簧拉伸的長度x的和變化而不斷變化，根據(jù)胡克