1、第二十講第二十講劉維定理劉維定理泊松括號泊松括號本講導讀本講導讀 統計力學基本定理統計力學基本定理 劉維定理劉維定理泊松括號的定義泊松括號的定義泊松括號的性質泊松括號的性質泊松定理泊松定理一、劉維定理一、劉維定理 分析力學解決宏觀機械問題的過程并不比牛頓力學分析力學解決宏觀機械問題的過程并不比牛頓力學簡單簡單, 但是對于大數目系統但是對于大數目系統, 往往牛頓力學無法求解往往牛頓力學無法求解,而而運用哈密頓正則方程卻容易的多運用哈密頓正則方程卻容易的多. 哈密頓動力學用廣義坐標和廣義動量描述力學系統哈密頓動力學用廣義坐標和廣義動量描述力學系統的運動的運動. 對一個自由度問題對一個自由度問題,

2、某一時刻的狀態用某一時刻的狀態用x和和p值表值表示示, 即即xp平面上的一個點表示平面上的一個點表示. 隨著時間推移隨著時間推移, 狀態不斷變狀態不斷變化化, 它在它在xp平面上刻畫出一條曲線平面上刻畫出一條曲線. 多自由度的情況也類似多自由度的情況也類似. 對于對于s個自由度的力學系統個自由度的力學系統, 我們把廣義坐標和廣義動量當作直角坐標而構成我們把廣義坐標和廣義動量當作直角坐標而構成2s維的維的空間叫作相空間空間叫作相空間. 該力學系統在某一時刻的狀況也可用相該力學系統在某一時刻的狀況也可用相空間的一個點表示空間的一個點表示. 隨著時間的推移隨著時間的推移,相空間中的代表點相空間中的代

3、表點給出的曲線形成相軌道給出的曲線形成相軌道, 換句話說換句話說, 相軌道給出力學系統相軌道給出力學系統隨時間的演變過程隨時間的演變過程. 原則上原則上, 給定力學系統的初始狀態給定力學系統的初始狀態, 該系統的運動就該系統的運動就由動力學方程完全確定由動力學方程完全確定, 即以相空間中某一點為出發點即以相空間中某一點為出發點的相軌道，由動力學方程所完全決定的相軌道，由動力學方程所完全決定. 但是但是, 如果系統的如果系統的自由度數比較大自由度數比較大, 力學系統比較復雜力學系統比較復雜, 我們不能斷定相空我們不能斷定相空間中究竟哪一點準確地代表系統的狀態間中究竟哪一點準確地代表系統的狀態.

4、怎么辦怎么辦? 替代的辦法：我們只能考慮各種可能的代表點替代的辦法：我們只能考慮各種可能的代表點, 其其中每一點都代表系統的一種可能狀態中每一點都代表系統的一種可能狀態. 實質上實質上, 這是考慮這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質完全相同的力學系統處于給定約束條件下許許多多性質完全相同的力學系統, 這些性質完全相同的力學系統構成一個系綜這些性質完全相同的力學系統構成一個系綜; 相空間中相空間中每一個代表點對應于系綜中某一個力學系統的狀態每一個代表點對應于系綜中某一個力學系統的狀態, 代代表點的相軌道對應于該系統的演變表點的相軌道對應于該系統的演變, 各種可能的代表點各種可能的代表點則對應于

5、系綜中所有力學系統的狀況則對應于系綜中所有力學系統的狀況, 各種可能的相軌各種可能的相軌道則對應于系綜的演變道則對應于系綜的演變. 這就是統計力學的起點這就是統計力學的起點.劉維定理劉維定理: 保守力學體系在相空間中代表點的密度保守力學體系在相空間中代表點的密度, 在在運動過程中保持不變運動過程中保持不變.物理含義物理含義: 同一力學體系在不同的初始狀態所構成的同一力學體系在不同的初始狀態所構成的不同代表點不同代表點,它們各自獨立地沿著正則方程所規定的軌它們各自獨立地沿著正則方程所規定的軌道運動道運動.當這些點構成的區域隨時間運動到另外一個區當這些點構成的區域隨時間運動到另外一個區域時域時,

6、在新的區域在新的區域, 代表點的密度代表點的密度,等于在出發區域中的等于在出發區域中的密度密度.設體積元為設體積元為其中代表點的數目為其中代表點的數目為dN, 代表點的密度為代表點的密度為, 那么那么一般密度一般密度隨時隨地不同隨時隨地不同, 所以所以從從s21s21dddddddpppqqqddN),;,;(2121sspppqqqt知知sppqqtt1dd劉維定理說明在劉維定理說明在 體系中體系中d/dt=0劉維定理證明劉維定理證明:假定初始時假定初始時,體元位置為體元位置為經歷時間經歷時間dt, 這個固定體元中代表點的數目變化這個固定體元中代表點的數目變化另一方面也可以從代表點在運動中出

7、入這個固定體元另一方面也可以從代表點在運動中出入這個固定體元的邊界的數目來計算在時間的邊界的數目來計算在時間dt中代表點的數目變化中代表點的數目變化), 2 , 1( d,;d,spppqqqddddd)d(dttttN先考慮通過一對曲面先考慮通過一對曲面q, q + dq進出進出d 代表點的代表點的增加增加. 把體元把體元d表達式改寫為表達式改寫為ssppqqqqAqAdd;ddddd ,ddd1111在在 dt 時間內通過時間內通過q進入進入d的代表點必定位于一個柱的代表點必定位于一個柱體內體內, 柱體底為柱體底為dA, 高為高為 , 為相空間中代表點為相空間中代表點垂直于曲面垂直于曲面q

8、的速度分量的速度分量. 所以在所以在dt 時間內通過時間內通過q進進入入d的代表點數為的代表點數為tq dq 同理同理, 在在dt 時間內通過曲面時間內通過曲面q + dq離開離開d 代表點代表點的數目為的數目為qAtqddAtqqqqAtqqqqdddddd兩者相減兩者相減, 得通過曲面得通過曲面q 和和q + dq進入進入d 代表代表點的凈數目為點的凈數目為dddddtqqAtqqq同理同理, 得通過曲面得通過曲面p 和和p + dp進入進入d 代表點的代表點的凈數目為凈數目為把上面兩式相加把上面兩式相加,并對并對 求和求和, 則得在則得在 dt時間內由于代時間內由于代表點的運動表點的運動

9、, 穿過穿過d 的邊界而進入其中的代表點的凈的邊界而進入其中的代表點的凈數目數目ddtppdd)d(d1tqqppNs顯然顯然sqqppt1所以所以利用正則方程利用正則方程, 得得證明完畢證明完畢! sqqppt1dd0dd1spHqqHpt 劉維定理是統計力學的基本的定理劉維定理是統計力學的基本的定理. 它是它是2s維的相空維的相空間中的定理間中的定理, 在普通空間或在普通空間或 s 維的位形空間維的位形空間(把把 s 個廣義個廣義坐標作為直角坐標構成的空間坐標作為直角坐標構成的空間)中并不存在類似的定理中并不存在類似的定理. 因此因此, 在統計力學討論系綜時需要運用哈密頓動力學而在統計力學

10、討論系綜時需要運用哈密頓動力學而不用拉格朗日動力學不用拉格朗日動力學.劉維定理的另外表示劉維定理的另外表示 01sqHppHqt如果函數如果函數是正則變量是正則變量q, p 和時間的函和時間的函數數二、泊松括號的定義二、泊松括號的定義),;,;(2121sspppqqqt則它對時間的導數為則它對時間的導數為HtqHppHqtppqqttss,dd11其中其中,H叫做泊松括號叫做泊松括號.因為因為p, q都是相互獨立的都是相互獨立的, 所以所以0,pqqpqqpp這樣這樣, ,正則方程也可以簡化為正則方程也可以簡化為), 2 , 1( ,sHqqHpp如果函數如果函數在運動中保持為常數在運動中保

11、持為常數, ,那么那么0,Ht如果函數如果函數也是正則變量和時間的函數也是正則變量和時間的函數, ,泊松括號泊松括號 , , 定義為定義為sqppq1,三、泊松括號的性質三、泊松括號的性質是常數如果cc , 0, ) 1 (, )2(njjnjj,11, , )3(則如 , )4(t,t,t )5(0, , , , )6( 0 1, )7(pq0, )8( , )9(例例1 1 計算泊松括號計算泊松括號Ly,Lz,Lz,LxLy,Lz,Lz,Lx和和Lx,Ly; Lx,L2,Ly,L2 Lx,Ly; Lx,L2,Ly,L2 和和Lz,L2.Lz,L2.這里這里L L是質點的角動量是質點的角動量

12、. .解解: : 這里廣義坐標這里廣義坐標q1=x,q2=y, q3=z; q1=x,q2=y, q3=z; 廣義動量廣義動量p1=px,p2=py, p1=px,p2=py, p3=pz; p3=pz; 先計算泊松括號先計算泊松括號Ly,Lz,Ly,Lz,即即xyzxypxpxpzp, xzxxyzyxxyzxypxpypzpxpxpxpzpypxpxpzp, yyxxyyxyxyxzppxpzppzxppxzxppzxpzp,0,yzxyyzyzyzpxpxppxxppxxxppxxpxp0,xxxxxxxxxxpypzppzyppyzyppzypzpzxzzxxzxzxzyppypxpp

13、xyppyxyppxypxp,xyzzyLzpypLL, 同理同理zyxyxzLLLLLL, , 0, 222222zyyzyzzyzzxzxzyyxyxyzxyxzxyxxxxLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL同理同理 0, , 22LLLLzy四、泊松定理四、泊松定理泊松定理泊松定理:如果函數如果函數, 都是相空間中的運動常數都是相空間中的運動常數, 則它則它們的組合們的組合, 也是相空間中的運動常數也是相空間中的運動常數.由于由于2212112121),;,;(),;,;(CpppqqqtCpppqqqtssss0, 0,HtHt由泊松括號性質由泊松括號性質

14、(6)知知0t,t , , , , , , HHHH利用泊松括號的性質利用泊松括號的性質, 得得0 ,dtd, ,t H顯然顯然,也是運動常數也是運動常數. 還可以通過類似的關系得還可以通過類似的關系得到更多的運動常數到更多的運動常數.五、量子力學中的泊松括號五、量子力學中的泊松括號 在經典力學中在經典力學中, 兩個力學量同時具有確定的值并不成為問題兩個力學量同時具有確定的值并不成為問題. 可是可是, 在量子力學中這卻是個問題在量子力學中這卻是個問題. 力學量在量子力學中是用算符力學量在量子力學中是用算符或矩陣表示的或矩陣表示的, 兩個算符或矩陣的乘積一般是與這兩個算符或矩陣兩個算符或矩陣的乘積一般是與這兩個算符或矩陣的先后次序有關的的先后次序有關的.兩個力學量兩個力學量X和和Y是否可以同時具有確定的值是否可以同時具有確定的值就看它們的量子泊松括號就看它們的量子泊松括號 1 YXXYi是否為零是否為零. 如果兩個力學量的經典泊松括號為零如果兩個力學量的經典泊松括號為零, 則它們的量子松括號也則它們的量子松括號也為零為零, 在量個力學中它們是可以同時確定的在量個力學中它們是可以同時確定的. 比如比如, 任意